高中数学必修一最全知识点汇总

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高中数学必修1知识点

第一章集合与函数概念

1.1 集合

1.1.1 集合的含义与表示

集合是由元素组成的整体，其中的元素具有确定性、互异性和无序性。

常用的数集有自然数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R。

集合与元素之间的关系可以表示为a∈M或a∉M。

集合的表示法有自然语言法、列举法、描述法和图示法。

集合可以分为有限集、无限集和空集(∅)。

1.1.2 集合间的基本关系

集合间的基本关系包括子集、真子集和集合相等。

子集表示为A⊆B，真子集表示为A⊂B，集合相等表示为A=B。

已知集合A有n(n≥1)个元素，则它有2个子集，2^(n-1)个真子集，2^(n-1)个非空子集和2^n-2个非空真子集。

1.1.3 集合的基本运算

集合的基本运算包括交集、并集和补集。

交集表示为A∩B，并集表示为A∪B，补集表示为A的补集。

补集的性质为A∪A的补集=全集，A∩A的补集=空集。

2.补充知识：含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

含绝对值的不等式|x|0)的解集为{-aa(a>0)的解集为{xa}。

一元二次不等式的解法与一元二次方程类似，可以通过移项、配方法和求根公式等方式求解。

1.解一元二次不等式

将$ax+b$看作一个整体，化成$|x|c(c>0)$，$|x|>a(a>0)$型不等式来求解。

2.解一元二次不等式的方法

通过判别式$\Delta=b^2-4ac$，确定二次函数

$y=ax^2+bx+c(a>0)$的图像，分类讨论$\Delta>\Delta'$，

$\Delta=\Delta'$和$\Delta0)$的根$x_1,x_2$（其中$x_10$和

$y<0$的解集。

3.函数及其表示

3.1 函数的概念

设$A$、$B$是两个非空的数集，如果按照某种对应法则$f$，对于集合$A$中任何一个数$x$，在集合$B$中都有唯一确定的数$f(x)$和它对应，那么这样的对应（包括集合$A$、$B$以及$A$到$B$的对应法则$f$）叫做集合$A$到$B$的一个函数，记作$f:A\to B$。函数的三要素是定义域、值域和对应法则。只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数。

3.2 区间的概念及表示法

设$a,b$是两个实数，且$aa,x\leq b,x

3.3 求函数的定义域时的原则

1）$f(x)$是整式时，定义域是全体实数。

2）$f(x)$是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数。

3）$f(x)$是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合。

4）对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1.

5）$y=\tan x$中，$x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)$。

6）零（负）指数幂的底数不能为零。

7）若$f(x)$是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。

及判定方法

单调递增

若对于定义域内的任意x1

判定方法：求出函数的导数f'(x)，若f'(x)>0，则函数单调递增。

单调递减

若对于定义域内的任意x1

判定方法：求出函数的导数f'(x)，若f'(x)<0，则函数单调递减。

2）最大（小）值

函数f(x)在定义域内的某一点x0处取得最大（小）值，当且仅当x0是f(x)在该区间内的一个极值点，即f'(x0)=0或不存在。

1.3.2】奇偶性和周期性

1）奇偶性

若对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)

为偶函数；若对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称

函数f(x)为奇函数。

2）周期性

若存在正数T，使得对于定义域内的任意x，都有

f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数的周期。

1.3.3】连续性

函数f(x)在定义域内的某一点x0处连续，当且仅当满足

以下三个条件：

①f(x0)存在；

②f(x)在x0的邻域内有定义；

③当x→x0时，f(x)→f(x0)。

若函数f(x)在定义域内的每一点都连续，则称f(x)在该区

间内连续。

域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，那么称函数f(x)为偶函数；

如果对于函数f(x)定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，那么称函数f(x)为奇函数；

如果函数既不是偶函数也不是奇函数，那么称函数为既非偶函数也非奇函数。

2）打“√”函数f(x)=x+a(a>0)的图象与性质

函数f(x)=x+a(a>0)是奇函数，因为对于任意的x，都有f(-x)=(-x)+a=-(x-a)=-f(x)。其图象关于原点对称，且在第一象限

上为增函数，在第二象限上为减函数，在第三象限上为增函数，在第四象限上为减函数。

3）最大（小）值定义

如果函数y=f(x)在定义域I内存在实数M，对于任意的

x∈I，都有f(x)≤M，且存在x∈I，使得f(x)=M，那么M就是

函数f(x)在定义域I内的最大值，记作fmax(x)=M；

如果函数y=f(x)在定义域I内存在实数m，对于任意的

x∈I，都有f(x)≥m，且存在x∈I，使得f(x)=m，那么m就是

函数f(x)在定义域I内的最小值，记作fmin(x)=m。

4）函数的奇偶性

如果函数f(x)满足对于任意的x∈定义域，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数；

如果函数f(x)满足对于任意的x∈定义域，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数；

如果函数既不是偶函数也不是奇函数，那么函数f(x)是既

非偶函数也非奇函数。

5）函数单调性的判定方法

①利用定义：对于定义域内的任意两个自变量x1、x2，

如果x1f(x2)，那么函数f(x)在该区间上是减函数。

②利用已知函数的单调性：如果函数g(x)在某个区间上是增函数，而函数f(x)在该区间上与g(x)单调性相同，那么函数

f(x)在该区间上也是增函数；如果函数g(x)在某个区间上是减

函数，而函数f(x)在该区间上与g(x)单调性相同，那么函数

f(x)在该区间上也是减函数。

③利用函数图象：如果函数f(x)在某个区间上的图象是上

升的，那么函数f(x)在该区间上是增函数；如果函数f(x)在某

个区间上的图象是下降的，那么函数f(x)在该区间上是减函数。

④利用复合函数：对于复合函数y=f[g(x)]，令u=g(x)，如果函数f(u)在某个区间上是增函数，而函数u=g(x)在该区间上

也是增函数，那么函数y=f[g(x)]在该区间上是增函数；如果函数f(u)在某个区间上是减函数，而函数u=g(x)在该区间上也是

减函数，那么函数y=f[g(x)]在该区间上是增函数；如果函数

f(u)在某个区间上是增函数，而函数u=g(x)在该区间上是减函

数，那么函数y=f[g(x)]在该区间上是减函数；如果函数f(u)在某个区间上是减函数，而函数u=g(x)在该区间上是增函数，那么函数y=f[g(x)]在该区间上是减函数。

6）函数的性质

①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数。

②对于复合函数y=f[g(x)]，令u=g(x)，如果函数f(u)在某个区间上是增函数，而函数u=g(x)在该区间上也是增函数，那么函数y=f[g(x)]在该区间上是增函数；如果函数f(u)在某个区间上是减函数，而函数u=g(x)在该区间上也是减函数，那么函数y=f[g(x)]在该区间上是增函数；如果函数f(u)在某个区间上是增函数，而函数u=g(x)在该区间上是减函数，那么函数

y=f[g(x)]在该区间上是减函数；如果函数f(u)在某个区间上是减函数，而函数u=g(x)在该区间上是增函数，那么函数

y=f[g(x)]在该区间上是减函数。

域内任意一个x，如果有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)被称为奇函数。同样地，如果对于定义域内任意一个x，有f(－x)=f(x)，那么函数f(x)被称为偶函数。

如果一个函数f(x)为奇函数，并且在x=0处有定义，那么

f(0)=0.

奇函数在y轴两侧是对称的，所以它们的增减性质是相同的。而偶函数在y轴两侧是相反的。

在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数。

函数的图象可以通过描点法或基本函数的变换来作图。我们要准确记忆各种基本初等函数的图象及其变换规律，以便能够对函数的图象进行识图和分析。

函数图像可以直观地展示函数的性质，是研究数量关系问题的重要工具。因此，我们应该重视数形结合解题的思想方法。

第二章基本初等函数(Ⅰ)

2.1〗指数函数

2.1.1】指数与指数幂的运算

1) 根式的概念

根式指的是一个数的某个次方根，其中根指数为n，被开

方数为a。当n为奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n

为偶数时，a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号−na表示。注意，负数a没有n次方根。根式的性质是：

当n为奇数时，a= a；当n为偶数时，na n= a；当n为偶数时，na = |a|。

2) 分数指数幂的概念

分数指数幂指的是一个数的分数次方，其中分母为n，分

子为m，底数为a。当a>0，m、n为正整数且n>1时，正数的正分数指数幂等于a的m/n次方；正数的负分数指数幂等于a

的n/m次方；指数幂没有意义时，底数取倒数，指数取相反数。

3) 分数指数幂的运算性质

分数指数幂的运算性质有以下三条：

① a^r × a^s = a^(r+s) (a>0.r。s∈R)

② (a^r)^s = a^(rs) (a>0.r。s∈R)

③ (ab)^r = a^r × b^r (a>0.b>0.r∈R)

2.1.2】指数函数及其性质

4) 指数函数

指数函数是指函数y=a^x（a>0且a≠1）的图像。它的定义域为R，值域为(0.+∞)。在第一象限内，a越大图像越高；在第二象限内，a越大图像越低。指数函数在R上是增函数，在(0.+∞)上是减函数。它的图像过定点(0,1)，即当x=0时，

y=1.

2.2〗对数函数

2.2.1】对数与对数运算

1) 对数的定义

若a=N（a>0且a≠1），则x叫做以a为底N的对数，记作x=log a N，其中a叫做底数，N叫做真数。负数和零没有对数。

对数式与指数式是可以互相转换的，即x=loga N等价于a=N^(x)，其中a>0且a≠1，N>0.

对数函数有几个重要的恒等式：loga 1=0，loga a=1，loga (ab)=loga a+loga b，其中a>0且a≠1，b>0.

常用的对数是以10为底的对数，表示为lgN，自然对数是以e为底的对数，表示为lnN，其中e≈2..

对数有几个运算性质，包括加法、减法、数乘、幂运算和换底公式。

对数函数y=loga x（a>1或0

反函数是指函数y=f(x)的逆函数，用f^(-1)(x)表示。反函

数的求法包括确定反函数的定义域、反解出x=f^(-1)(y)和将

x=f^(-1)(y)改写成y=f(x)。原函数和反函数的图象关于直线

y=x对称。

1.函数的反函数

如果函数y=f(x)有反函数y=f-1(x)，则它们的定义域和值

域是相互对应的。对于点P(a,b)在函数y=f(x)的图像上，点

P(b,a)在反函数y=f-1(x)的图像上。

一般来说，只有单调函数才有反函数。

2.3 幂函数

1) 幂函数的定义

形如y=x^α的函数称为幂函数，其中x为自变量，α为常数。

2) 幂函数的图像

幂函数的图像分布在第一、二、三象限，第四象限没有图像。当幂函数是偶函数时，图像分布在第一、二象限（关于y 轴对称）；当幂函数是奇函数时，图像分布在第一、三象限（关于原点对称）；当幂函数既不是奇函数也不是偶函数时，图像只分布在第一象限。

3) 幂函数的性质

①图像分布：幂函数的图像分布在第一、二、三象限，第四象限没有图像。当幂函数是偶函数时，图像分布在第一、二象限（关于y轴对称）；当幂函数是奇函数时，图像分布在第一、三象限（关于原点对称）；当幂函数既不是奇函数也不是偶函数时，图像只分布在第一象限。

②过定点：所有的幂函数在(0.+∞)都有定义，并且图像都通过点(1,1)。

③单调性：当α>0时，幂函数的图像经过原点，并且在

[0.+∞)上为增函数。当α<0时，幂函数的图像在(0.+∞)上为减函数，在第一象限内，图像无限接近x轴和y轴。

④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数。当α=p/q（其中p,q互质，p和q都是

整数）时，如果p为奇数q为奇数，则y=x是奇函数；如果p

为奇数q为偶数，则y=x是偶函数；如果p为偶数q为奇数，则y=x是非奇非偶函数。

⑤图像特征：幂函数y=x^α，当α>1时，如果01，则图

像在直线y=x上方。当α1，则图像在直线y=x下方。

补充知识：二次函数

1) 二次函数的解析式

①一般式：f(x)=ax^2+bx+c (a≠0)

②顶点式：f(x)=a(x-h)^2+k (a≠0)

③两根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)

2) 求解二次函数的解析式

①已知三个点的坐标时，宜用一般式。

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式。

③如果已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知，

则选用两根式求f(x)更方便。

3) 二次函数图像的性质

①二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)的图像是一条抛物线，

对称轴方程为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a。c-b^2/4a)。

②当a>0时，抛物线开口向上，函数在(-∞。-b/2a)上单调递减，在(-b/2a。+∞)上单调递增。当a<0时，抛物线开口向下，函数在(-∞。-b/2a)上单调递增，在(-b/2a。+∞)上单调递减。

二次函数是高中数学中的重要内容，它可以用来描述许多实际问题的变化规律。在研究二次函数时，我们需要掌握它的基本性质，如开口方向、顶点坐标、对称轴位置等。对于一元二次方程的根的分布，我们可以通过分析二次函数的图象来更加系统地理解和掌握。

对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$，我们可

以通过判别式$\Delta=b^2-4ac$来判断它的根的情况。当

$\Delta>0$时，函数图象与$x$轴有两个交点，根的个数为$2$；当$\Delta=0$时，函数图象与$x$轴有一个交点，根的个数为

$1$；当$\Delta0$时，抛物线开口向上，函数在$(-

\infty,+\infty)$上递增，当$a<0$时，抛物线开口向下，函数在$(-\infty,+\infty)$上递减。

对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，其中$a\neq0$，我们可以通过对应的二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图象来分析它的根的情况。设方程的两个实根为$x_1$和$x_2$，且$x_1\leq

x_2$。我们可以从以下四个方面来分析实根的分布情况：

1.开口方向：当$a>0$时，抛物线开口向上，根的个数为$0$或$2$；当$a<0$时，抛物线开口向下，根的个数为$0$或$2$。

2.对称轴位置：对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$，它是抛物线的中垂线，将$x$轴分成两个对称的部分。当$x_1$和$x_2$在对称轴的同侧时，根的个数为$2$；当$x_1$和$x_2$在对称轴的两侧时，根的个数为$0$。

3.判别式：$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta>0$时，根的个数为$2$；当$\Delta=0$时，根的个数为$1$；当$\Delta<0$时，根的个数为$0$。

4.端点函数值符号：当$x$趋近于正无穷时，$f(x)$的符号与$a$的符号相同；当$x$趋近于负无穷时，$f(x)$的符号与

$a$的符号相同。根据这个性质，我们可以判断方程的根的个

数和符号。

在分析一元二次方程的根的分布时，我们还需要考虑一些特殊情况，如方程的根为整数或分数等。通过对二次函数图象的分析，我们可以更加深入地理解一元二次方程的根的分布规律，为解决实际问题提供更加有效的方法和思路。

本文介绍了关于二次函数在闭区间上的最值和函数零点的概念及求法。

二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)在闭区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m。当a>0时，若p<-b/2a，则m=f(p)；若p≤-

b/2a≤q，则m=f(-b/2a)；若-b/2a

p<-b/2a，则M=f(p)；若p≤-b/2a≤q，则M=f(-b/2a)；若-b/2a

函数y=f(x)的零点是使得f(x)=0成立的实数x。函数

y=f(x)的零点也可以理解为函数图象与x轴交点的横坐标。因此，方程f(x)=0有实数根的充分必要条件是函数y=f(x)的图象

与x轴有交点，即函数y=f(x)有零点。