学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版)
第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译
1.了解在平面内,两条直线的两种位置关系:相交与平行.
2.掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义,并能用图形或几何符号表示它们.
3.掌握直线平行的条件,并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析
【例1】如图,三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ,一共构成哪几对对顶角?一共构成哪几对邻补角? 【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角:有一个公共顶点,并且一个角的两边是另一个角的两边的
反向延长线.
⑶邻补角:两个角有一条公共边,另一边互为反向延长线.
有6对对顶角. 12对邻补角.
【变式题组】
01.如右图所示,直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ,则:
⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角,几对邻补角?
02.当两条直线相交于一点时,共有2对对顶角; 当三条直线相交于一点时,共有6对对顶角; 当四条直线相交于一点时,共有12对对顶角. 问:当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.
【例2】如图所示,点O 是直线AB 上一点,OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC .
⑴求∠EOF 的度数;
⑵写出∠BOE 的余角及补角.
【解法指导】解这类求角大小的问题,要根据所涉及的角的定义,以及各角的数量关系,把它们转化为代数式从而求解;
【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC =21
∠BOC ,
∠FOC =21∠AOC ∴∠EOF =∠EOC +∠FOC =21∠BOC +21
∠AOC =()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC +∠AOC =180° ∴∠EOF =21×180°=90°
⑵∠BOE 的余角是:∠COF 、∠AOF ;∠BOE 的补角是:∠AOE. 【变式题组】
01.如图,已知直线AB 、CD 相交于点O ,OA 平分∠EOC ,且∠EOC =100°,
则∠BOD 的度数是( ) A .20° B . 40° C .50° D .80°
02.(杭州)已知∠1=∠2=∠3=62°,则∠4= . 【例3】如图,直线l1、l2相交于点O ,A 、B 分别是l1、l2上的
点,试用三角尺完成下列作图:
⑴经过点A 画直线l2的垂线.
⑵画出表示点B 到直线l1的垂线段.
【解法指导】垂线是一条直线,垂线
段是一条线段.
【变式题组】
01.P 为直线l 外一点,A 、B 、C
是直线l 上三点,且PA =4cm ,PB =5cm ,PC =6cm ,则点P 到直线l 的距离为( )
A .4cm
B . 5cm
C .不大于4cm
D .不小于6cm 02 如图,一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶,M 、
N 为位于公路两侧的村庄;
⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行
A
B C D E
F A B C D E
F P
Q R C
E F E A A
C
D O (第1题图) 1 4 3 2 (第2题图)
l 2
驶到AB 上点Q 的位置时,距离村庄N 最近,请在图中的公路上分别画出点P 、
Q 的位置.
⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中,在 的路上距离M 村越来越近..在
的路上距离村庄N 越来越近,而距离村庄M越来越远.
【例4】如图,直线AB 、CD 相交于点O ,OE ⊥CD ,OF ⊥AB ,∠DOF =65°,求∠BOE 和∠AOC 的度数.
【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据,也可以作为该图形具备的性质,由图可得:∠AOF =90°,
OF ⊥AB .
【变式题组】 01.如图,若EO ⊥AB 于O ,直线CD 过点O ,∠EOD ︰∠EOB =1︰3,求∠AOC 、∠AOE 的度数. 02.如图,O 为直线AB 上一点,∠BOC =3∠AOC ,OC 平分∠AOD . ⑴求∠AOC 的度数; ⑵试说明OD 与AB 的位置关系.
03.如图,已知AB ⊥BC 于B ,DB ⊥EB 于B ,并且∠CBE ︰∠ABD =1︰2,请作出∠CBE 的对顶角,并求其度数.
【例5】如图,指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的,并说出它们的名称: ∠1和∠2:
∠1和∠3:
∠1和∠6:
∠2和∠6: ∠2和∠4: ∠3和∠5: ∠3和∠4:
【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是:首先弄清所判断的是哪两个角,其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线,其余两条边所在的直线就是被截的两条直线,最后确定它们的名称.
【变式题组】
F B A O
C D E
C D B A E
O C
D
A B A E D
C F E
B A D 1 4 2 3 6 5 A B G E
01.如图,平行直线AB 、CD 与相交直线EF ,GH 相交,图中的同旁内角共有( )
A .4对
B . 8对
C .12对
D .16对
02.如图,找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.
03.如图,按各组角的位置判断错误的是( )
A .∠1和∠2是同旁内角
B .∠3和∠4是内错角
C .∠5和∠6是同旁内角
D .∠5和∠7是同旁内角 【例6】如图,根据下列条件,可推得哪两条直线平行?并说明理由?
⑴∠CBD =∠ADB ; ⑵∠BCD +∠ADC =180°
⑶∠ACD =∠BAC
【解法指导】图中有即即有同旁内 角,有“ ”即有内错角.
【解法指导】⑴由∠CBD =∠ADB ,可推得AD ∥BC ;根据内错角相等,两直线
平行.
⑵由∠BCD +∠ADC =180°,可推得AD ∥BC ;根据同旁内角互补,两直线平
行. ⑶由∠ACD =∠BAC 可推得AB ∥DC ;根据内错角相等,两直线平行. 【变式题组】
01.如图,推理填空.
⑴∵∠A =∠ (已知) ∴AC ∥ED ( ) ⑵∵∠C =∠ (已知)
∴AC ∥ED ( )
⑶∵∠A =∠ (已知) ∴AB ∥DF ( )
02.如图,AD 平分∠BAC ,EF 平分∠DEC ,且∠1=∠2,试说明DE 与AB
的位置关系. 解:∵AD 是∠BAC 的平分线(已知) ∴∠BAC =2∠1(角平分线定义) 又∵EF 平分∠DEC (已知) ∴ ( ) 又∵∠1=∠2(已知) ∴ ( ) ∴AB ∥DE ( ) 03.如图,已知AE 平分∠CAB ,CE 平分∠ACD .∠CAE +∠ACE =90°,求证:AB ∥CD . 04.如图,已知∠ABC =∠ACB ,BE 平分∠ABC ,CD 平分∠ACB ,∠EBF =∠EFB ,求证:CD ∥EF. 7 1 5 6 8 4 1 2 乙
丙 3 2
3 4 5
6 1 2 3 4
甲 1 A B C 2 3
4 5
6 7 A B C D O
A B D E F
C A B C
D
E A B C E 1 2 A D
E
【例7】如图⑴,平面内有六条两两不平行的直线,试证:在所有的交角中,至少有一个角小
于31°.
【解法指导】如图⑵,我们可以将所有的直线移动后,使它们相交于同一点,此时的图形为图⑵.
证明:假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°
则12×31°=372°>360°
这与一周角等于360°矛盾
所以这12个角中至少有一个角小于31°
【变式题组】
01.平面内有18条两两不平行的直线,试证:在所有的交角中至少有一个角小于11°.
02.在同一平面内有2010条直线a1,a2,…,a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是.
03.已知n(n>2)个点P1,P2,P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上,设Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数,显然:S2=1,S3=3,S4=6,∴S5=10…则Sn=.
演练巩固·反馈提高
01.如图,∠EAC=∠ADB=90°.下列说法正确的是()
A.α的余角只有∠B B.α的邻补角是∠DAC
C.∠ACF是α的余角D.α与∠ACF互补
02.如图,已知直线AB、CD被直线EF所截,则∠EMB的同位角为()A.∠AMF B.∠BMF C.∠ENC D.∠END
03.下列语句中正确的是()
A.在同一平面内,一条直线只有一条垂线
B.过直线上一点的直线只有一条
C.过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D.垂线段就是点到直线的距离
04.如图,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,则下列结论中,正确的个数有()①AB⊥AC ②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD>BD A.0 B. 2 C.4 D.6
05.点A、B、C是直线l上的三点,点P是直线l外一点,且PA=4cm,PB=5cm,PC=6cm,则点P到直线l的距离是()
A.4cm B.5cm C.小于4cm D.不大于4cm
06.将一副直角三角板按图所示的方法旋转(直角顶点重合),则∠AOB+∠DOC =.
l1l2
l3
l4
l5
l6
图⑴
1
l2
l3
l4
l5
l6
图⑵
A
E
B C F
D
A
B
C D
F
E
M
N
α
第1题图第2题图
A
B D C
第4题图
07.如图,矩形ABCD沿EF对折,且∠DEF=72°,则∠AEG=. 08.在同一平面内,若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.(a1与a10不重合)
09.如图所示,直线a、b被直线c所截,现给出下列四个条件:①∠1=∠5,②∠1=∠7,③∠2+∠3=180°,④∠4=∠7,其中能判断a∥b的条件的序号是.
10.在同一平面内两条直线的位置关系有.
11.如图,已知BE平分∠ABD,DE平分∠CDB,且∠E=∠ABE+∠EDC.试说明AB∥CD?
12.如图,已知BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,∠1
=∠2,那么直线AB与CD的位置关系如何?
13.如图,推理填空:
⑴∵∠A=(已知)
∴AC∥ED()
⑵∵∠2=(已知)
∴AC∥ED()⑶∵∠A+=180°(已知)
∴AB∥FD.
14.如图,请你填上一个适当的条件使AD∥BC.
培优升级·奥赛检测
01.平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是()
A.1,3 B.0,1,3 C.0,2, 3
D.0,1,2,3
02.平面上有10条直线,其中4条是互相平行的,那么这10
A
B
C
D
O
A
B C
D
E
F
G
H
a
b
c
第6题图第7题图第9题图
1
2
3 4
5
6
7 8
1
A
C D
E
B
A B
C D
E
F
1
2
A
B C
D
E
F
第14题图
条直线最多能把平面分成( )部分.
A .60
B . 55
C .50
D .45 03.平面上有六个点,每两点都连成一条直线,问除了原来的6个点之外,这些直线最多还有( )个交点. A .35 B . 40 C .45 D .55 04.如图,图上有6个点,作两两连线时,圆内最多有 __________________交点. 05.如图是某施工队一张破损的图纸,已知a 、b 是一个角的两边,现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线,请你帮助这个施工队画出这条平行线,并证明你的正确性. 06.平面上三条直线相互间的交点的个数是( ) A .3 B .1或3 C .1或2或3 D .不一定是1,2,3 07.请你在平面上画出6条直线(没有三条共点)使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交,并简单说明画法? 08.平面上有10条直线,无任何三条交于一点,要使它们出现31个交点,怎么安排才能办到?
09.如图,在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ,那么两条对角线的夹角等于( )
A .60°
B . 75°
C .90°
D .135°
10.在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件? ⑴任意两条直线都有交点; ⑵总共有29个交点. 第13讲 平行线的性质及其应用 考点·方法·破译 1.掌握平行线的性质,正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系; 2.初步了解命题,命题的构成,真假命题、定理; 3.灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明,确定两直线的位置关系,感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用. 经典·考题·赏析 【例1】如图,四边形ABCD 中,AB ∥CD , BC ∥AD 求∠C 的度数.
【解法指导】 两条直线平行,同位角相等; 两条直线平行,内错角相等; 两条直线平行,同旁内角互补. 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一,必须正确识别图形的特征,看清截线,识别角的关系式关键. 【解】:∵AB ∥CD BC ∥AD ∴∠A +∠B =180° ∠B +∠C =180°(两条直线平行,同旁内角互补) ∴∠A =∠C ∵∠A =38° ∴∠C =38°
【变式题组】 01.如图,已知AD ∥BC ,点E 在BD 的延长线上,若∠ADE =155°,则∠DBC 的度数为( ) A .155° B .50° C .45° D .25° a b A
C
02.(安徽)如图,直线l1 ∥l2,∠1=55°,∠2=65°,则∠3为()
A.50°B.55°C.60°D.65°
03.如图,已知FC∥AB∥DE,∠α:∠D:∠B=2: 3: 4, 试求∠α、∠D、∠B
的度数.
【例2】如图,已知AB∥CD∥EF,GC⊥CF,∠B=60°,∠EFC=45°,求∠BCG
的度数.
【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线
相结合,可求各种位置的角的度数,但注意看清角的位置.
【解】∵AB∥CD∥EF ∴∠B=∠BCD ∠F=∠FCD(两条直
线平行,内错角相等)又∵∠B=60°∠EFC=45°∴∠BCD=
60°∠FCD=45°又∵GC⊥CF ∴∠GCF=90°(垂直定
理)∴∠GCD=90°-45°=45°∴∠BCG=60°-45°=15°
【变式题组】
01.如图,已知AF∥BC, 且AF平分∠EAB,∠B=48°,则∠C的的度数=
_______________
02.如图,已知∠ABC+∠ACB=120°,BO、CO分别∠ABC、∠ACB,DE过点
O与BC平行,则∠BOC=___________
03.如图,已知AB∥MP∥CD, MN平分∠AMD,∠A=40°,∠D=50°,求
∠NMP的度数.
【例3】如图,已知∠1=∠2,∠C=∠D.求证:∠A=∠F.
【解法指导】
因果转化,综合运用.
逆向思维:要证明∠A=∠F,即要证明DF∥AC.
要证明DF∥AC, 即要证明∠D+∠DBC=180°,
即:∠C+∠DBC=180°;要证明∠C+∠DBC
=180°即要证明DB∥EC.要证明DB∥EC即要
证明∠1=∠3.
证明:∵∠1=∠2,∠2=∠3(对顶角相等)所以∠1=∠3 ∴DB∥
EC(同位角相等?两直线平行)∴∠DBC+∠C=180°(两直线平行,
同旁内角互补)∵∠C=∠D ∴∠DBC+∠D=180°∴DF∥AC
(同旁内角,互补两直线平行)∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相
等)
【变式题组】
01.如图,已知AC∥FG,∠1=∠2,求证:DE∥FG
A
B C
D O E
F
A
E
B C
(第1题图)(第2题图)
E
A
F
G
D
C
B
B
A
M
C
D
N
P
(第3题图)
C
D
A
B
E F
1
3
2
B
3
C
A 1
D
2
F
D A 2
1 B F E A C
D 02.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B . 求证:∠AED =∠ACB
03.如图,两平面镜α、β的夹角θ,入射光线AO 平行 于β入射到α上,经两次反射后的出射光线O′B 平行
于α,则角θ等于_________. 【例4】如图,已知EG ⊥BC ,AD ⊥BC ,∠1=∠3.
求证:AD 平分∠BAC . 【解法指导】抓住题中给出的条件的目的,仔细分析
条件给我们带来的结论,对于不能直接直接得出结论 的条件,要准确把握住这些条件的意图.(题目中的: ∠1=∠3)
证明:∵EG ⊥BC ,AD ⊥BC ∴∠EGC =∠ADC =90°
(垂直定义)∴EG ∥AD (同位角相等,两条直线平行)
∵∠1=∠3 ∴∠3=∠BAD (两条直线平行,内错角相等)
∴AD 平分∠BAC (角平分线定义)
【变式题组】
01.如图,若AE ⊥BC 于E ,∠1=∠2,求证:DC ⊥BC .
02.如图,在△ABC 中,CE ⊥AB 于E,DF ⊥AB 于F, AC ∥ED ,CE 平分∠ACB . 求证:∠EDF =∠BDF.
AB ∥CD ,∠B =40°,CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ,求:的度数. 【例5】已知,如图,AB ∥EF ,求证:∠ABC +∠BCF +∠CFE =360°
【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想,分析类
比,
A D M C
N E B A
2 C F
3 E D 1
B
(第2题图)3 1 A B G D
C E
A B
α β P B C D A
∠P =α+β
F γ D
α β E B C A F D E B
C A B C A
A ′
l B ′
C ′
联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.
过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来,这是关键. 【证明】:过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1+∠ABC =180° (两直线平行,同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ,∴CD ∥EF (平行 于同一条直线的两直线平行) ∴∠2+∠CFE =180°(两直线平行, 同旁内角互补) ∴∠ABC +∠1+∠2+∠CFE =180°+180°=360° 即∠ABC +∠BCF +∠CFE =360° 【变式题组】
01.如图,已知,AB ∥CD ,分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系,请你从所得四个关系中选出任意一个,说明你探究的结论的正确性. 结论:⑴____________________________ ⑵____________________________
⑶____________________________ ⑷____________________________
【例6】如图,已知,AB ∥CD ,则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α+∠γ+∠ψ-∠β=180° 【解法指导】基本图形
善于从复杂的图形中找到基本图形,运用基本图形的规律打开思路【解】过点E 作EH ∥AB . 过点F 作FG
∥AB . ∵直线平行,内错角相等)又∵FG ∥AB ∴EH
∥FG (平行于同一条直线的两直线平行)∴∠2=∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD ∴∠ψ+∠4=180°+∠3+∠4-ψ-∠1-∠2=∠4+ψ=180°
【变式题组】
01.如图, AB ∥EF ,∠C =90°,则∠α、∠β、∠γ的关系是( ) A . ∠β=∠α+∠γ B .∠β+∠α+∠γ=180° C . ∠α+∠β-∠γ=90° D .∠β+∠γ-∠α=90°
02.如图,已知,AB ∥CD ,∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ,∠E =140°,求∠BFD 的度数.
【例7】如图,平移三角形ABC ,设点A 移动到点A/,画出平移后的三角形A/B/C/. 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定,找,移,连. ⑴定:确定平移的方向和距离. ⑵找:找出图形的关键点. ⑶移:过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点. 【解】①连接AA/ ②过点B 作AA/的平行线l ③在l 截取BB/=AA/,则点B/就是的B 对应点,用同样的方法作出点就得到平移后的三角21cm ,作出平移后的图形. B
A
P
C
A
C C
D
A
A P
C
B
D P
B
P
D B
D ⑴
⑵
⑶
⑷
西 B 30°
A 北
东
南 02.如图,已知三角形ABC 中,∠C =90°, BC =4,AC =4,现将△ABC 沿CB 方向平移到△A/B/C/的位置,若平移距离为3, 求△ABC 与△A/B/C/的重叠部分的
面积.
03.原来是重叠的两个直角三角形,将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离,就得到此图形,求阴影部分的面积.(单位:厘米) 演练巩固 反馈提高 01.如图,由A 测B 得方向是( ) A .南偏东30° B .南偏东60° C .北偏西30° D .北偏西60° 02.命题:①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③垂直于同一条直线的两直线
平行;④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 03.一个学员在广场上练习驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,两次拐弯的角度可能是( ) A .第一次向左拐30°,第二次向右拐30° B .第一次向右拐50°,第二次向左拐130° C .第一次向左拐50°,第二次向右拐130° D .第一次向左拐60°,第二次向左
拐120°
04.下列命题中,正确的是( ) A .对顶角相等 B . 同位角相等 C .内错角相等 D .同旁内角互补
05.学习了平行线后,小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法,是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]
从图中可知,小敏画平行线的依据有( )
①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③同位角相等,两直
线平行;④内错角相等,两直线平行. A .①② B .②③ C .③④ D .①④
06.在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路,从A 地测得B 地的走向是南
偏东52°.现A 、B 两地要同时开工,若干天后,公路准确对接,则B 地所修公路的走向应该是( ) A .北偏东52° B .南偏东52° C .西偏北52° D .北偏西38°
07.下列几种运动中属于平移的有( ) ①水平运输带上的砖的运动;②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动(忽略车轮的转动);③升降机上下做机械运动;④足球场上足球的运动. A .1种 B .2种 C .3种 D .4种 08.如图,网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案,使它正好位于左上角的位置(不能出格) B
B /
A
A /
C C /
150° 120° D B C E 湖 2 1
A
B
E
F
09.观察图,哪个图是由图⑴平移而得到的( )
10.如图,AD ∥BC ,AB ∥CD ,AE ⊥BC ,现将△ABE 进行平移. 平移方向为射线AD 的方向. 平移距离为线段BC 的长,则平移得到的三角形是图中( )图的阴影部分.
11.判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,举出一个反例. ⑴对顶角是相等的角;⑵相等的角是对顶角;
⑶两个锐角的和是钝角;⑷同旁内角互补,两直线平行.
12.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并指出命题的真假. ⑴互补的角是邻补角; ⑵两个锐角的和是锐角; ⑶直角都相等. 13.如图,在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A =120°,第二个拐弯处∠B =150°,第三个拐弯处∠C ,这时道路CE 恰好和道路AD 平行,问∠C 是多少度?并说明理由. 14.如图,一条河流两岸是平行的,当小船行驶到河中E 点时,与两岸码头B 、D 成64°角. 当小船行驶到河中F 点时,看B 点和D 点的视线FB 、FD 恰好有∠1=∠2,∠3=∠4的关系. 你能说出此时点F 与码头B 、D 所形成的角∠BFD 的度数吗?
4 P 2
3
1
A B E
F
C D 15.如图,AB ∥CD ,∠1=∠2,试说明∠E 和∠F 的关系.
培优升级·奥赛检测
01.如图,等边△ABC 各边都被分成五等分,这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个,那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有( )个
02.如图,一足球运动员在球场上点A 处看到足球从
B 点沿着BO 方向匀速滚来,运动员立即从A 处以匀
速直线奔跑前去拦截足球.
若足球滚动的速度与该运
动员奔跑的速度相同,请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.(运动
员奔跑于足球滚动视为点的平移)
03.如图,长方体的长AB =4cm ,宽BC =3cm ,高AA1=2cm. 将AC 平移到A1C1的位置上时,
平移的距离是___________,平移的方向是
___________. 04.如图是图形的操作过程(五个矩形水平方向
的边长均为a ,竖直方向的边长为b );将线段
A1A2向右平移1个单位得到B1B2,得到封闭图
形A1A2B2B1 [即阴影部分如图⑴];将折现A1A2
A3向右平移1个单位得到B1B2B3,得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 [即阴影部分如图⑵]; ⑴在图⑶中,请你类似地画出一条有两个折点的直线,同样的向右平移1个单位,从而得到1个封闭图形,并画出阴影. ⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1=________, S2=________, S3=
________. ⑶联想与探究:如图⑷,在一矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路
在任何地方的水平宽度都是1个单位),请你猜想空白部分草地面积是多少? 05.一位模型赛车手遥控一辆赛车,先前进一半,然后原地逆时针旋转α°(0°<α°<180°),被称为一次操作,若5次后发现赛车回到出发点,则α°角为( ) A .720° B .108°或144° C .144° D .720°或144° 06.两条直线a 、b 互相平行,直线a 上顺次有10个点A1、A2、…、A10,直线b 上顺次有10个点B1、B2、…、B9,将a 上每一点与b 上⑶ ⑷ C
B 1
A A 1
C 1
D 1 B
D . B
. O . A
F E B A C
G D
每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点,则这些选段的交点个数是
( ) A .90 B .1620 C .6480 D .2006
07.如图,已知AB ∥CD ,∠B =100°,EF 平分∠BEC ,EG ⊥EF. 求∠BEG 和∠DEG.
08.如图,AB ∥CD ,∠BAE =30°,∠DCE =60°,EF 、EG 三等分∠AEC . 问:
EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线?为什么?
09.如图,已知直线CB ∥OA ,∠C =∠OAB =100°,E 、F 在CB 上,且满足∠FOB =∠AOB ,OE 平分∠COF. ⑴求∠EOB 的度数;
⑵若平行移动AB ,那么∠OBC :∠OFC 的值是否随之发生变化?若变化,找出变化规律;若不变,求出这个比值.
⑶在平行移动AB 的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC =∠OBA ?若存在,求出其度数;若不存在,说明理由.
10.平面上有5条直线,其中任意两条都不平行,那么在这5条直线两两相交所成的角中,至少有一个角不超过36°,请说明理由.
11.如图,正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段,以每一小段为对角线作小正方形,这n 个小正方形的周长之和为多少?
12.如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起,用添补法如何求出阴影部分面积?
第06讲 实 数 考点·方法·破译 1.平方根与立方根:
若2x =a(a ≥0)则x 叫做a 的平方根,记为:a 的平
F
E
B
A
C G
D 100° F
E B
C A B
C
D
方根为x
a 的平方根为x
a 的算术平方根. 若x3=a ,则x 叫做a 的立方根.记为:a 的立方根为x
2.无限不循环小数叫做无理数,有理数和无理数统称实数.实数与数轴上的点一
一对应.任何有理数都可以表示为分数p
q (p 、q 是两个互质的整数,且q ≠0)
的形式. 3非负数: 实数的绝对值,实数的偶次幂,非负数的算术平方根(或偶次方根)都是非负数.即
a
>0,2n
a ≥0(n 为正整数)
0(a ≥0) .
经典·考题·赏析
【例1】若2m -4与3m -1是同一个数的平方根,求m 的值.
【解法指导】一个正数的平方根有两个,并且这两个数互为相反数.∵2m ?4与3m?l 是同一个数的平方根,∴2m?4 +3m?l =0,5m =5,m =l . 【变式题组】
01.一个数的立方根与它的算术平方根相等,则这个数是____. 02.已知m
m 的平方根是____. 03
____.
y 是____.
【例
2】(全国竞赛)已知非零实数
a 、b
满足
244
2
a b b
a -+++=,则a +
b 等于( )
A .-1
B . 0
C .1
D .2 有意义,∵a 、b 为非零实数,∴b2>0∴a -3≥0 a
≥3 ∵24242a b a -+++=
∴
24242a b a -++=,∴20
b ++=.
∴()22030b a b +=???-=??,∴3
2a b =??=-?
,故选C .
【变式题组】
0l 3b +=0成立,则ab =____.
02()2
30
b -=,则a
b 的平方根是____.
03.(天津)若x 、y 为实数,且20x +=,则2009
x y ??
???
的值为( )
A .1
B .-1
C .2
D .-2
04.已知x 1
x π-的值是( )
A .
1
1π-
B .
11π+
C .1
1
π
- D .无法确定
【例3】若a、b
都为有理效,且满足1
a b
-+=+a+b的平方根.
【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商(除数不为0)还是有理数,但
两个无理数的和、差、积、商(除数不为0)不一定是无理数.
∵
1 a b
-+=+
∴
1
a b
-=
??
=
1
a b
-=
??
=
,∴
13
12
a
b
=
?
?
=
?,
a +b=12 +13=25.
∴a+b
的平方根为:5
==±.
【变式题组】
01.(西安市竞赛题)已知m、n
2)m+(3-
)n+7=0
求m、n.
02.(希望杯试题)设x、y都是有理数,且满足方程(1
23
π
+
)x+(
1
32
π
+
)y?4?π
=0,则x?y=____.
【例4】若a
?2的整数部分,b?1是9的平方根,且
a b b a
-=-
,求a
+b的值.
【解法指导】
?2=整数部分+小
数部分.整数部分估算可得2
?2 ?2
?4.∵a=2,b?1=±3 ,∴b=-2或4
∵
a b b a
-=-
.∴a
【变式题组】
01.若3
a,
的小数部分是b,则a+b的值为____.02
a,小数部分为b
a)·b=____.
演练巩固反馈提高
0l.下列说法正确的是( )
A.-2是(-2)2的算术平方根B.3是-9的算术平方根
C.16的平方根是±4 D.27的立方根是±3
02
.设a=b=-2
,2
c=-
,则a、b、c的大小关系是( )
A.a
03.下列各组数中,互为相反数的是( )
A.-9与81的平方根B.4与
C.4
D.3
04.在实数1.414
,,0.1?5?,
π,3.1?4?
( ) A.2个B.3个C.4个D.5个
05.实数a、b在数轴上表示的位置如图所示,则( )
A.b>a B.
a b
>
C.-a<b D.-b>a
06.
+1
1之间的有( )
A.1个B.2个C.3个 D .4个
07.设m
n
=
2
.则m,n的关系是( )
A. m=±n
B.m=n C .m=-n D.m n
≠
08.(烟台)如图,数轴上A、B两点表示的数分别为-1
B关于点A
的对称点C,则点C所表示的数为( )
A.-
2B.-
1C.-2
D.l
09.点A
B在数轴上和原点相距3个单位,
且点B在点A左边,则A、B之间的距离为____.
10.用计算器探索:已知按一定规律排列的一组数:1
.如果从中选出若干个数,使它的和大于3,那么至少要选____个数.
11.对于任意不相等的两个数a、b,定义一种运算※如下:a※b
=,如3※2
=
12.※4=____.
12.(长沙中考题)已知a、b为两个连续整数,且
()
()
2
2
a b a b
ab a b
??
?
??
≥
<
,已知3*m =36,则实数m=____.
14.设a是大于1的实数.若a,
2
3
a+
,
21
3
a+
在数轴上对应的点分别是A、B、C,则三点在数轴上从左自右的顺序是____.
15.如图,直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P.点P表示的实数为-1.如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′,那么点P′所表示的数是____.
16.已知整数x、y
x、y.
17.已知2a?1的平方根是±3,3a+b?1的算术平方根是4,求a+b+1的立方根.
18.小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏,如图有一圆心角为60°,半径为1个单位长的扇形放置在数轴上,当扇形在数轴上做无滑动的滚动时,当B点恰好落在数轴上时,(1)求此时B点所对的数;(2)求圆心O移动的路程.
19.若b
+3l,且a+11的算术平方根为m,4b+1的
立方根为n,求(mn?2)(3mn +4)的平方根与立方根.
20.若x、y为实数,且(x?y+1)2
值.
培优升级奥赛检测
01.(荆州市八年级数学联赛试题)一个正数x的两个平方根分别是a+1与a?3,则a值为( ) A.2 B.-1 C.1 D.0
02.
( )
A.0 B.1
C.1 D.2
03
?2的最小值为____.
04.设a、b为有理数,且a、b满足等式a2+3b+
,则a+b=____.05.若
a b
-
=1,且3
a
=4
b
,则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____.06.已知实数a
满足
2009a a
-=
,则a? 20092=_______.
m满足关系式
199
y x
--
试确定m的值.
08.(全国联赛)若a
、b满足
5b
=7,S=
3b
,求S的取值范围.
09.(北京市初二年级竞赛试题)已知