数学模型课程设计淋雨模型

攀枝花学院

学生课程设计（论文）

题目：淋雨问题

姓名：杨腾佼

学号： 201210802025 所在院(系)：数学与计算机学院

专业：信息与计算科学

指导教师：马亮亮

2014年12 月19 日

攀枝花学院教务处制

攀枝花学院本科学生课程设计任务书

注：任务书由指导教师填写。

摘要

本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。其中本文中所涉及到的降雨量是指从天空中降落到地面上的雨水，未经蒸发。渗透、流失而在水面上集聚的水层深度，它可以直观地表示降雨量的多少。淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到的雨的体积，它可以表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积

本模型是研究人的淋雨量与人在雨中奔跑的速度的关系。由于人在雨中行走的过程比较复杂，难于研究，于是我们只能将人体简化为一个长方体建立模型，便于我们后续进行讨论，然后建立模型，最终得到结果。

本题中采用了优化模型，通过将人分为几个平面，分别求得各个平面所接受的淋雨量，然后求其加和的方法求解。

在问题（1）中：因为已经假设降雨淋遍全身，且人以最大的速度跑步。所以根据已知条件，直接列出方程进行求解。

在问题（2）中：我们利用最优化原理，建立出一个动态规划模型。雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。

关键词：淋雨量优化模型动态规划模型

目录

摘要 (1)

一、问题的重述 (1)

二、问题分析 (2)

三、模型假设 (4)

四、符号说明 (5)

五、模型的建立 (6)

六、结果分析 (8)

七、模型的评价 (10)

参考文献 (11)

一、问题的重述

生活中的我们经常会遇到下雨而没有带雨具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走的越快雨淋得越少，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况

在人行进在雨中时，淋雨量和人行进速度之间是怎样的关系。为了研究这个问题，假设一人在雨中从一处沿直线跑到另一处，雨速为常数且方向不变，但是雨水的下落方向存在差异，因此就雨水的方向建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化为一个长方体，高a=1.5 m(颈部以下)，宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步距离d=1000m,跑步最大速度为

v=5/m s，雨速

m

u=4/m s，降雨量w=2 /

cm h，记跑步速度为v,按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1。建立总淋雨量与速度v及参数a, b, c, d, u, w，θ之间的关系，问速度v为多大，总淋雨量最少。计算θ=0, θ=300时的总淋雨量。

二、问题分析

淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。可得：

淋雨量（V）=降雨量（w）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t）（1）时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v）（2）由（1）（2）得：淋雨量/

=??（3）

V w S d v

全部问题最基本的就是这个公式，根据具体情况，求出每个量的值，从而得出最终结果。

问题一分析：

当雨滴垂直下落时（即使没有风），此时只有顶部淋雨，淋雨量:

淋雨面积降雨强度淋雨时间

Q=??

问题二分析：

雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为θ，如图一所示。根据实情况估计人体淋雨可分为头顶和前后左右几个方向上。雨迎面吹来时，由于雨相对人的速度有变化，因此人单位时间内接收雨量变化，且与相对速度成正比。据此，推算出前后侧上单位时间接受雨量。同理，头顶部位接雨量与雨速垂直于头顶平面的分速度成正比。分别计算出头顶侧与前后侧单位时间接雨量，并分别乘以各面积以及时间/

D V，即得到头顶及两侧淋雨的总量。在人体总的淋雨量，据此可得Q与v之间的关系。

由图可知，雨速在垂直方向只有向下的分量，且与v无关。所以：

单位时间单位面积的降雨量为：

cos ωθ? （4） 淋雨面积为：bc ;淋雨时间为：

/d v （5）

于是，头顶淋雨量为:

1

c o s

/V b c w d v θ=

（6）

三、模型假设

（1）降雨地区的地面是平面且不考虑风的因素。 （2）人是平稳地沿直线向前移动的。 （3）降雨时，雨在空间中是均匀分布的。

（4）为计算淋雨面积的方便，把人体表面积看成长方体。 （5）将人体简化成一个长方体，高 1.5a m =（颈部以下），宽0.5b m =，厚0.2c m =，设跑步距离1000d m =，跑步最大速度5/m V m s =，雨速

4/u m s =，降雨量2/w cm h =，记跑步速度为v ；

（6）假设降雨量到一定时间时，应为定值； （7）设人在雨中跑步应为直线跑步；

（8）问题中涉及的降雨量应指天空落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少。

四、符号说明a--长方体的长单位：米

b--长方体的宽单位：米

c--长方体的厚度单位：米

Q--淋雨量单位：升

v--人行走的速度单位：米每秒

D--路程单位：米

I--降雨强度单位：厘米每小时

P--雨滴的密度

u--雨滴下落的速度单位：米每秒

--雨迎面吹来时与人体的夹角

五、模型的建立

模型一：

由已知条件知，不考虑雨的方向且降雨淋遍全身，所以人淋雨的面积为：

22S ab ac bc =++ （7） 淋雨的时间为：

/m t d v = （8）

总降雨量为：

/m V w s d v =?? （9） 带入数据 1.5a m =，0.5b m =，0.2c m =，1000d m =，5/m v m s =，2/w cm h =得：

()22.2S m = ()30.0024 2.4(L)V m ==

模型二：

若雨从迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ（如图）：

所以人只有头顶和前面淋到了雨即：人的淋雨量可分为：头顶淋雨量和前部淋雨量。

（1） 头顶淋雨量：

由图可知，雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v 无关。所以： 单位时间单位面积的降雨量为：cos ωθ? 淋雨面积为：bc ;淋雨时间为：/d v

于是，头顶淋雨量为:

1cos /V b c w d v θ= （10）

（2） 前部淋雨量：

由图可知，雨速的水平分量为sin u θ且方向与v 相反，故人相对于雨的水平速度为：sin u v θ+ 所以，单位时间单位面积的降雨量为：

u /v sin u ）（

+??θω (11) 淋雨面积为:ab; 淋雨时间为：/d v 于是，前部淋雨量为：

()()2sin //V a b d w u v u v θ=+ (12)

由（1）（2）得：总淋雨量为：

()()12sin /V V V b c d w u v u v θ=+=+ (13)

代入数据得：

()

c o s 7.5s i n

1.875

1800v V v θθ++=

对v 求导得：

()

'2

cos 0.75sin 1800V v θθ

+=-

所以()V v 是关于v 在定义域上的减函数，所以当v 取最大值时，V 有最小值即：

当5/m v v m s ==时，总淋雨量最少。 （1） 当0θ=，代入得：

()()30.00115 1.15V m L ==

当θ=30°，代入得：

()()30.00155 1.55V m L ==

六、结果分析

(1)在该模型中考虑到雨的方向问题，这个模型跟模型二类似将模型二与第三题综合起来跟实际的生活就差不多相似了，由这三个模型可以得出在一定速度下人跑的越快淋雨量就越少。（2）若雨迎面吹来时，跑得越快越好。

但是该模型只是考虑雨线方向与人的跑步方向在同一平面内若是雨线方向与人的跑步方向不在同一平面内建立坐标系上，对于这种情况，我们认为在本质和考虑问题的思想上来说模型是不变的，应分别对几个淋雨模型进行以上同样的方法建立求解模型，但是解算的过程中，我想应该复杂。

七、模型的评价

模型优点：

总体上讲，本文重点体现了模型的建立,运用了求最优解的思想，并且通过对图形的有效利用，使结果更直观明了。从解题思路和方法上看，相对客观的对人在雨中奔跑的各个情况进行了分析，合理假设了人在雨中奔跑的淋雨量不仅与跑步速度有关，还与雨线与人跑步方向的夹角，雨速以及人跑步速度等因素有关。

模型缺点：

本题在模型建立时，忽略了实际生活中降雨的种种不确定性，如降雨密度不均匀、雨滴的体积大小不等、风向不稳定、雨速大小与方向时刻改变、人体与长方体的差距等因素，模型建立的相对有些简单，因此本文仍存在一定的局限性，考虑问题也不太全面，有待改进和提高。

参考文献

【1】姜启源，谢金星，叶俊，数学建模（第四版）,北京，高等教育出版社，2011年1月

【2】数学建模，刘峰，葛朝强，南京：南京大学出版社2005

【3】数学模型简明教程，党林立，孙晓群主编，西安电子科技大学出版社

【4】全国大学生数学建模竞赛组委会，全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编，北京：中国物价出版社，2002