数学模型的课程设计——赛跑的速度概要

数学模型的课程设计

设计题目：赛跑速度

班级：

组员：

课程设计任务书

专业：班级：

课程名称：赛跑的速度

学生姓名：

发题时间：2013 年7 月 1 日

一、课题名称：赛跑的速度

二、课题条件

参考文献：[1]张天详．中长跑有氧训练的生化基础训练原则及方法．宝鸡文理学院学报，1996

[2]衣春林，李美贞．赛跑最优速度的数学模型与应用．山东工商学院学报，

2001

[3]郑寿炳．中长跑最优速度控制的数学模型．体育与科学，1995

[4]姜启源.数学模型(第三版).北京：高等教育出版社，2003

[5]赵静，但琦.数学建模与数学实验（第二版）. 北京：高等教育出版社，

2003

赛跑的速度

摘要

本文针对赛跑运动员赛跑过程中如何安排各阶段的速度才能取得最好的成绩，进行了详细的研究和分析，并对T.B.Keller提出的模型进行了改进。

首先我们对美国著名数学家凯勒(T．B．Keller)提出的赛跑最优速度模型进行学习和分析，指出模型存在的缺陷和问题产生的原因。在短跑过程中要以运动员的最大冲力跑完全程，然而运动员本身能提供的最大冲力并不能保持恒定，受到冲力限制系数的约束，因此在我们改进后的模型中将其考虑在内进行理论推导。在长跑过程中既需要有氧呼吸功能，又需要无氧呼吸功能，而且在加速跑过程中运动员始终保持最大冲力加速多久不能确定，且在加速跑过程中不减速，与实际情况不符；而且由于海拔不同而使运动员在赛跑过程中氧摄入量的差异，从

而导致单位时间提供的能量不同。鉴于原始模型的缺陷，我们改变了模型整体的推理方法并设计了新的基于参数实时采集的速度最优模型，在短跑过程中将最大冲力恒定值替换为与事件有关的函数，并且将单位时间内提供的能量设定为海拔高度的一次函数，并根据前人的研究成果确定该函数。

在长跑过程中为了避免传统模型出现的弊端，我们对一些实际中长跑训练进行了调查、分析和研究，保留了传统理论的方程结构和参数拟合方法，以此为基础提出了新的长跑最优理论模型，将长跑分为：起步、加速跑、途中跑、冲刺跑四个阶段，并且通过Matlab在计算机上进行最小二乘拟合，模拟仿真，分析仿真结果以优化推理方法，最终得到了预期的理论结果，并验证了模型的可靠性。

关键字：短跑、中长跑、最小二乘拟合、海拔高度

一、问题重述与提出：

赛跑运动员在参加赛跑时，要根据自己的生理状况对赛程中各阶段的速度做出最恰当的安排，以期获得最好的成绩。

赛跑运动员应该根据不同长度的比赛采用不同形式的功能方式，在比赛过程中由于海拔、阻力等因素的影响，比赛过程中的速度也会不同，如何合理的根据不同情况，采取不同的方式赛跑才能取得最好的成绩。

根据如下因素建立合理的数学模型，推导出速度安排的合理方案：

1、运动员的生理参数（包括脉搏、体温等与长跑有关的生理指标）；

2、赛跑运动员赛跑适时速度；

3、当前环境参数（包括温度、风速、海拔等诸多影响速度的因素）；

4、运动员不同程度赛跑的供能方式（包括有氧呼吸、无氧呼吸等）；

根据以上方四方面内容，再结合实际训练结果，设计合理的模型。

二、问题分析：

长跑归根结底是一个体能消耗的问题，当专业运动员竞技水平达到一定程度后，选手之问的体能总量差距已经不是很明显了，于是如何控制节奏以自身习惯合理分配体能，以最短的时间完成比赛就变成了长跑运动员取得优异成绩的关键所在。这和以专家提出的：“掌握比赛，控制节奏”的战术思想是相一致的，经

过上述分析，在最优速度运动模型的设计中考虑以下3点：

1)运动员在每一时刻体能的变化由两部分组成：糖的无氧酵解产生的能量和运动员在运动过程中所消耗的能量，其中认为运动员自身产生的能量在整个运动过程变化不是非常明显可认为是定值。

f ，即运动员所受的外力与加速度成正比。

2)根据牛顿第二定律：ma

运动员在运动时受到自身向前的冲力f和阻力'f共同作用，形成运动员向前的动力正比于加速度。其中：阻力又可以分为体内生成的阻力和体外由于自然原因形成的阻力(如：风阻)，这些阻力都与速度v成正比。

3)分析运动员单位时间消耗的能量可知，消耗能量的大小和运动的速度有关，另一方面还与速度的变化有关——通俗点讲就是跑的越快，耗能越大；跑速变化越频繁，耗能也越大。而且可以根据实际训练经验和已知的数据计算出两者各自对于体能消耗的“边际贡献”各为多少，给两者设定不同的权数，结合体内单位时间生产的能量即可列出体能变化方程。

依据以上思路，长跑运动的最优速度模型拟解决的问题即可转化为：“如何合理分配每一时段消耗的体能，使得完成规定赛跑路程所用时间最短，比赛成绩越好”。而每一时段体能的变化又与当时的跑速及跑速变化情况有很大关系，运动员在不同的比赛中对于速度变化曲线的要求也是不相同的，当实际速度与理想速度之间存在速度差时采取什么方式加速(减速)，能够以更合理的体能消耗方式完成比赛就成为重点研究的对象。使运动员在顺利完成比赛的前提下，以最优的体能消耗和最好的成绩完成比赛，就是该模型需解决的问题。

三、模型假设：

根据对传统模型的分析得知，长跑运动是一项集力学，生物学，空气动力学，机械学等多方面知识的综合运动，最优速度模型也是物理、生物、数学、计算机等多学科的有机结合，而不是仅通过数学模型就可以完全描述的。但传统模型却试图通过纯粹的数学推导来描述这一整个运动过程，最终因为运用泛函求极值这样复杂的数学方法使得实现性降低，同时由于无法顾及事物的多方面造成过于理论化的数学模型脱离实际，与实际情况严重不符。考虑到这些情况，我们对模型进行了一些有效的假设，通过假设使模型关注于解决对实际比赛更有意义的问

题，这样对模型的推导和实际的应用将有所帮助。

假设1：跑步过程中的外部因素对速度的影响与当前速度v 成正比，比例系数为

γ1

。由于其中风力w 为最主要影响因素，则可以根据实测风力修正系数

γ1

；

假设2：赛跑过程中的内部因素产生阻力r 对速度的影响与速度v 成正比，

比例系数为u 1。由于其中以体温K 为主要衡量指标，可以通过体温变化修正系数u 1；

假设3：赛跑前运动员的体能总值0E 为恒定值，赛跑时体内单位时间内生成的能量σ为海拔高度h 的函数，0σ为处于海平面时体内单位时间内生成的能量，并且研究表明，每上升1000米最大摄氧量下降约6%，即01000

%

6)(σσ+-

=h h 。由于运动员初始能量和单位时间产生的能量所处的数量级与模型的正确与否关系不大，模型的精确性主要依靠体能模型中对于不同体能消耗原因的“边际贡献”定义合适的权值；

假设4：根据具体训练目标和训练计划，事先确定此次训练的成绩，即确定目标时间c T 。由于不同的训练目标对于运动员的要求不相同，即使相同训练目标对于比赛的不同时期也不尽相同。速度最优模型中的“最优”一定基于某一个特定的比赛目标，放置比赛不顾而空谈最优速度，只会使模型脱离实际而无法实际应用；

假设5：根据经验，事先确定加速跑阶段的运动员跑步冲力f

范围，通过终

端监测运动员速度变化，和阻力参数的变化得出实时冲力

)(t f ，假设运动员在起跑后的一段时间内以接近最大冲力F 进行加速跑，当冲力f

下降到预期值并

达到一定速度之后过渡进入途中跑阶段；

假设6：根据教练员实际经验结合运动员具体情况，事先确定进入冲刺跑阶段所需要剩余的能量b E 。和计划冲刺时所剩余的距离b D 。或者冲刺开始时刻

b T 。同样道理，冲刺跑阶段运动员将在何时加速，以何种加速度进行加速是应

该事先有所准备，依据当时的体能情况和对手情况分别对待，一味将最后的冲刺阶段引入模型效果往往适得其反；

假设7：由于以上参数因人而异，特别是与运动员的体重有关，为了消除这个因素的影响，我们对运动员进行单位建模，即以下设运动员质量1=m 。

四、符号约定：

γ1：外部阻力系数；

μ1：内部阻力系数；

0E ： 体能总和；

h ： 海拔高度；

0σ：处于海平面时体内单位时间内生成的能量；

)(h σ：不同海拔高度单位时间生成的能量； C T ：目标时间；

f ：加速阶段跑步冲力；

()t f ：实时冲力；

F ：最大冲力； 0E ：赛跑前体能总量；

b E ：冲刺跑阶段所需要剩余的能量； b D ：计划冲刺时所剩余的距离； b T ： 冲刺开始时刻；

()t E ：储存于体内的能量； k ：冲力限制系数；

()t v ：速度函数；

21,K K ：带量纲比例系数；

S V ：途中跑过程中理想速度。

五、模型建立与求解： <一>、短跑模型

当赛程较短时运动员可以用每一时刻的最大冲力)(t f 跑完全程，这必然会取得最佳成绩。至于多长的赛程才能用这种方法跑，应以储存于体内的能量)(t E 不小于零为标准，由参数0.,,,E F σγμ决定。

假设运动员克服生理限制后能发挥的最大冲力)(t f 满足k

t f t f 1)()(-=

，其中，k 是冲力限制系数，F f =)0(为初始时的最大冲力；

因此通过解该微分方程组可以得到，

k

t Fe

t f -=)( (1)

又由于短跑时持续时间较短，运动员体内温度变化可以忽略不计，因此短跑时的内部阻力可以近似看作零，只有外部阻力的作用。则由Newton 第二定律得，

???

?

??

?≤≤===+-F t f v Fe t f v

t v

k t

)(00)0()()(γ

求解得，

)()(γ

γ

γt

k

t e

e

k kF

t v -

-

--= (2)

再考虑运动员体内能量)(E t 的变化，其变化率为单位时间提供的能量)(h σ与消耗的能量)()(t v t f 之差，即：

??

?

??≥=-=0)()0()()()()(E 0t E E E t v t f h t σ

再联合（1）（2）解得，

0)(2

22

2222

2)1()1(22)()(E e k k F e

k k F t h t E t k t k

t +-----+=+--

γ

γ

γγ

γσ

(3)

设当c t t =时，0)(E =t ，则在这种情况下运动员所能跑的最远距离为

??

-

-

--==c c

t t t

k

t c dt e e k kF

dt t v D 0

)()(γγ

γ 计算得， kF ke

e k kF

D k

t t c c c

γγγ

γγ

+--=

-

-

)( (4)

根据某届奥运会男子百米决赛前六名在比赛中到达距离s 与所用时间t （详表见附录一），运用Matlab 软件的最小二乘拟合（代码见附录二）求出参数F k ,,γ：

=γ 1.845；

=k 43.4； =F 7.32；

由于赛跑前运动员的体能总值0E 和处于海平面单位时间体能恢复值0σ的大小对最终建模的结果影响不大，可以根据传统模型所描述的设定关于体能的两 个值： 0E =3000kg

J

0σ=41.1877kg

J

将以上参数代入（3）式，令0)(E =t ，针对不同比赛地点可直接将其海拔高度h 代入求解，在这里我们不妨取h =0，运用Matlab 工具求解此非线性方程（代码见附录三）得：

=c t 22.8568

再将其代入（4）式可以求得：

=c D 215.26m

即在海平面上，当赛跑距离小于215.26m 时，用每一时刻的最大冲力跑完全程是可行的，并且能够取得最佳成绩。而当赛跑距离大于215.26m 时，则需要将其看作中长跑进行进一步的研究。

<二>、中长跑模型

1、修正后的速度模型建立：

针对传统模型体能变化的不合理之处，保留传统模型中的方程结构和模型中一些初始参数拟合方法，重新评估体能模型并做出修正，新的模型推导如下： 由积分学理论知，比赛距离： ?

=T

dt t v D

)( (5)

现在问题归结为，当D 和T 已知的情况下，如何分配不同时刻的)(t v ，使得公式(5)成立，模型以运动员速度与体能变化率的影响因素为基础展开讨论。

1)速度)(t v 的变化情况受赛跑时运动员自身的冲力f

和来自体内和体外阻

力γ、μ的影响，设运动员的冲力为)(t f ，由牛顿第二定律f ma =

++μγ，

即得：

)()(??

???==++00v t f v

v dt dv γμ………………………………（6） 其中：μ

1和

γ1

为内部、外部阻力系数；

式中()t f 是由运动员自身控制的，运动员可以通过速度的变化调整冲力()t f ，但是

()t f 受到运动员自身所能发挥的最大冲力F

的限制，即有，

F t f ≤)(。

2)体能()t E

的变化率为单位时间体内恢复能量)(h σ与消耗能量之差，单位

时间消耗体能取决于：冲力与速度的乘积

fv ，

和运动员的速度变化有关dt dv ，假设带量纲比例系数分别为1K 和2K ，可得：

()()???

????>=--=00)(0

2

1

t E E

E dt

dv K fv K h dt dE

σ (7)

速度模型的建立和传统模型相似，借鉴了传统模型中运用牛顿第二定律的思路，建立速度变化和体能变化两个方程，但与其他研究不同的地方在于：速度模型中引入外部阻力参数和海拔高度的影响，并且通过实现外部环境参数采集的方法将外部阻力参数应用到模型中。体能模型增加速度变化大小对体能消耗的影响，并增加两个量纲权值系数以表述不同因素对体能消耗的影响。 2、最优速度模型的推导：

根据中长跑的特点将整个比赛过程分为加速跑，途中跑和冲刺跑三个阶段：加速跑和冲刺跑阶段视具体情况采用不同的加速度，途中跑阶段占整个赛程的绝大部分，理论上应以匀速跑为主，但根据实际训练情况来看：运动员在整个途中跑阶段速度不是一成不变的，会根据当时所处的赛程和实际情况速度上存在变化，示意图如下：

图（1）中长跑比赛三个阶段

实际上途中跑阶段是整个长跑比赛中的关键，运动员将会把大部分精力投入到这一占整个长跑过程90％以上的赛程中，这一阶段对运动员体能、心理、技战术等多方面的要求都比较高，运动辅助训练器将把主要精力放在途中跑阶段，试图通过合理的速度建议让运动员在该阶段的成绩有所提高，能在途中跑阶段合理分配体力，牵制对手，为最后的冲刺跑打下坚实基础，下面根据各个阶段对模

型进行分析。 3、加速跑阶段：

加速跑阶段是指时间为a T t

≤≤0的阶段，运动员在加速跑阶段应该迅速加

速，抢占有利位置顺利过渡到途中跑阶段。为了计算得方便我们根据Keller 模型中所述，运动员在前291m 内可以认为以最大冲力F 加速跑，代入（6）可得：

()??

???==++00v F

v

v dt dv γμ (8)

解此微分方程可得)(t V 的变化函数为：

()()(

)t e F t v γμγ

μμγ111+--+= a

T

t ≤≤0 (9)

根据公式解出的该阶段速度变化情况，可以为何时过渡到途中跑阶段提供参考，在实际应用时可以根据测速器测出的运动员当前速度与该计算值进行比较，并参考事先拟定的训练计划，确定何时过渡到途中跑阶段，开始提供速度建议。 4、冲刺跑阶段：

依据假设(6)，设定如下参数：

1)冲刺阶段初始时刻运动员所需剩余的体能b E ； 2)进入冲刺阶段时所剩余的冲刺距离b D ； 3)冲刺阶段拟需要的冲刺时间b i

T T -；

运动员应该在此阶段结束后将所有体能消耗至最小值，全力进行冲刺，在教练期望时间内冲刺跑完整个赛程。 5、途中跑过程：

该模型最重要的是最佳的速度建议，这里设为s V ，公式形如：

()()???

???

?>>--=000

21t E E E dt

dv

K fV K dt dE s σ (10)

式中s V 即为模型所求的建议速度值。已知离散函数中差分的方法表示微分求导，将公式（8）中的加速度用当前时刻的速度和前一采样点的速度差来表示，公式可变为： ()γ

μ

i

i

i i i

V V V V f +

+

-=-1

由于长跑中速度变化不遵循单一连续函数所以，模型将整个途中跑阶段的速度抽样成为离散函数，记每个采样点代表一个时刻运动员的速度i V ，根据实时测速与计算可获得当前速度i V 、i E 巨以及一些辅助参数μ和γ。根据对途中跑阶段的分析，已经确定途中跑末端的体能值b E 和时间b T ，则在时间段i T 至b T 过程中，体能由i E 下降到b E 。由实际经验可得途中跑阶段需要运动员状态稳定，体能的理想变化率应为恒定值（即体能均匀消耗），每一时刻产生的体能和消耗的体能

差值应控制在一定范围内，易得理想体能变化率为b

i b

i t t E E dt dE --='。 由于体能变化率一定时间内持续稳定，将理想体能变化率代入体能变化方程（7）得:

b i b

i i i s i i i i i i t t E E dt dE V V K V V u V V V K h --==--???? ?

?++----')(1211γσ）

（

(11)

可以解出速度s V 为：

??????

++- ?

?????-----=--γμσi i i i i i b i b i i s V V V V K V V K t t E E h V )()(1112

(12)

式中的s V 为理想速度，因为速度是不可能无限增加，势必会受到体能和冲力的约束。该速度的实际意义在于：如果运动员以s V 的速度进行整个长跑过程，所产生的体能扣除由于速度变化和运动冲力消耗的体能，可以使得运动员在剩余的途中跑阶段的总体体能消耗更加均匀，速度变化更加吻合理想的曲线，最终使得整个比赛过程达到预定目标。

为了求出理想速度s V ，可以通过模拟测试，记录下)T (a i i t ≥=时刻的速度i

V 以及1-i V ，并且将)T (a i i t ≥=代入(3) 式求出i E ，然后通过最小二乘拟合出参数

γ

μ1

1,

,21+K K （代码见附录四、附录五），数值如下：

=1K 1.648； =2K 2.817；

=+γ

μ1

10.5087；

现在利用)(t v 在a T 时刻的连续性，由（9）（12）式得到a T 。

综上所述，在中长跑过程中，在时间小于a T 时，运动员可以按照最大的冲力比赛，到达a T 时，就将速度调整为s V ，直至剩余距离为教练赛前安排的b D 时，进行最后的冲刺，这样在理论上就可以取得最佳的成绩。

六、模型推广：

通过前面的数学模型理论推导，结合人体生理上的其他因素，可在Windows 平台上模拟运行，能在中长跑训练科学化的运动辅助训练器上起到一定的作用。通过训练器配置的生理传感器和GPS 测速系统在运动员训练过程中对运动员的当前速度、生理参数和外界环境因素进行数据采集、处理，经过运算最终给出佩带者当前运动理想速度建议。对于赛跑运动员平时锻炼起到科学训练的作用。 此外，本模型还可进一步改进，用于游泳、皮划艇等比赛项目的速度安排，使运动员取得最好的成绩。

七、附录

附录一：

某届奥运会男子百米决赛前六名在比赛中到达距离s与所用时间t

s（m）0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

t（s）0 0.955 2.435 3.435 4.335 5.230 6.085 6.945 7.815 8.690 9.575

附录二：

M-file：

function f=curvefun1(x,tdata)

f=(x(1)*x(2)*x(3))./(x(2)-x(1))*(x(1)*exp(-(tdata./x(1)))-x(2)*exp(-( tdata./x(2))))

命令代码：

tdata=[0 0.955 2.435 3.345 4.355 5.230 6.085 6.945 7.815 8.690 9.575]; cdata=[0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 ];

x0=[1.5 40 7.0];

x=lsqcurvefit('curvefun1',x0,tdata,cdata);f=curvefun1(x,tdata)

附录三：

M-file：

function ft=funt(t)

ft=2.2405*2.71828.^(-0.046.*t)-182.7*2.71828.^(-0.565.*t)+41.1877.*t-942.2;

命令代码：

>> z=fzero('funt',27.63)

附录四：

编写程序定义数据，其中自变量x与应变两y分别代表拟合参数的时间t和距离S：

％[xydata．M]

function Ix，y]=xyda

％xydata．M;

x=[6．32 7．49 11．27 23．21];

y=[50 60 100 200];

附录五：

编写最小二乘拟合函数

％[para．In]

％para．m

[x，y]=xydata；

a0=[1 11；

options．TolX=O．01；

options．Display=‘off’；

a=fminsearch(’twoexps’，a0,options，x，y)；

课程设计综合成绩评定表课程名称数学建模课程设计报告

设计题目赛跑的速度

指导教师评语

指导教师签字：

年月日

设计报告成绩综合评定

项目等级

1、计算和绘图能力

2、综合运用专业知识能力

3、运用计算机能力和外语能力

4、查阅资料、运用工具书的能力

5、独立完成设计能力

6、书写情况（文字能力、整洁度）

7、表述能力（逻辑性、条理性）

学生姓名学生班级平时考核成绩设计考核成绩综合成绩

指导教师签名：教研室主任签名：

年月日

课程设计总结

分工

设计流程：

程序设计：

程序调试和修改：

资料查找和排版：

心得体会

*** ：这次程序设计，刚开始的时候，大家都有点混乱，都不知道该干什么，或者说我们的分工不明确，都还有点小矛盾呢。后面，大家还是齐心协力，把事情做好了。各自负责各自的事情。我们不仅问同学，上网查资料，还去了图书馆查了资料的。虽然过程波折，但是看到成果，我们还是挺开心的。过程中，我忽视了一个小问题，差点造成很大的问题，幸好及时发现。在学习那方面我又学到了好多，比以前对数学建模进一步的了解。相信这些品质，对我以后的生活会有很大的帮助。

***：通过这次的程序设计我才真正体会到数学建模是一个经历观察、思考、归类、抽象与总结的过程，也是一个信息捕捉、筛选、整理的过程，更是一个思想与方法的产生与选择的过程。它给学生再现了一种“微型科研”的过程。数学建模教学有利于激发学生学习数学的兴趣，丰富学生数学探索的情感体验；有利于学生自觉检验、巩固所学的数学知识，促进知识的深化、发展；有利于学生体会和感悟数学思想方法。很开心又能和大家合作做东西，学到了很多。以后也该多

做做这种团队合作的事情，很能激发大家的激情和进取心。

***：这次课程设计结束后，自己的建模、编程、查找信息的能力都有所提高。虽然其间有很多的迷茫，但是最后在队友的积极配合下都一一克服，这是很值得欣慰的。通过此次课程设计，我们学会了合理分工，相互协作，是可遇而不可求的。

***：这次的数学建模的学习让我学到了很多，其中所涉及的问题是全新的，解题的思路没有固定，鼓励创新。也没有标准的答案，

这种探索式的解题经历，给我未来的学习带来很大启发。实际问题的问题解决过程中，艰辛是不言而喻的，但是当把问题解决后的快乐却是花多少钱都买不到得。这个过程真的犹如化蛹成蝶，我感觉自己突然升华到了人生的另外一个境界。