自然灾害保险问题的研究

大学生数学建模竞赛

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我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

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日期： 2013年 8月 11 日

自然灾害保险问题的研究

摘要

我国是个农业大国，自然灾害比较频繁，面对自然灾害中的保险问题，我们希望通过建立合理的数学模型促进农业保险各主体间的良性互动，做好农业灾害保险，减少因灾害导致的农户损失，体现政府为保障国家农业生产的发展。本文

主要研究农业灾害保险险种方案的风险及其合理性，进而设计出更实际可行的方案。

针对问题一：基于本问要研究P省现有农业灾害保险险种方案的风险及其合理性的原因，我们采用了农作物灾害模型，在此基础上，评判分析方案的合理性，通过查找相关文献得到农作物生命周期的时间信息，然后结合附件二的天气数据，统计分析得出P省自然灾害发生的总概率，最终得到保险公司的赔款金额，进而得到保险险种方案的合理性。

针对问题二：基于本问要求将不合理的农业灾害保险险种方案进行重新设计并对其可行性作出定量分析的原因，我们采用了一种风险评估体系及评估模型，在此基础上，通过查找相关资料及题目数据，得到保险费率的厘定和保险金的确定，然后运用变异系数法和风险评价法，对农业自然灾害风险作出评估，得出新保险费率降低了保险公司风险，对农民影响不大，且自然灾害风险度越小，对农民和政府越有利，并总结出新的评定标准。

针对问题三：基于本问要根据某省的实际情况设计相应的农业保险险种方案的原因，经过大量调查，山东省自然灾害具有代表性，根据其情况，我们将模型进行推广。在此基础上，我们以玉米为例，首先统计了从1998年到2011年各年的农作物受损概率分布，然后对其进行正态性分布检验，结果吻合度较高，最后按照模型二的处理过程对其进行处理分析，得出山东省的农作物保险险种方案合理，但农民所交保费较多，影响了农民的投保积极性，据此，我们总结设计了新的方案。

关键词：农业保险正态分布保费率厘定变异系数法风险评价法

一、问题重述

根据2013年3月5日《环球时报》转摘美国《商业周报》的相关报道，“在2012年全世界发生的10大自然灾害中，有4场是发生在中国。包括3场严重的夏季洪涝灾和席卷苏鲁冀等沿海地区的台风‘达维’造成的灾害。另外，还有很多地区遭受了严重干旱、冰雹等自然灾害，共造成290亿美元的损失，但通过投保由保险公司赔付的比例仅占总损失的４％左右，这个比例相对美国的自然灾害

保险赔付率相差甚远。”另据报道：“2013年3月20日发生在广东、广西等省部分地区的一场大风和冰雹灾害，造成直接经济损失达13亿多元。”这个事实警示我们，中国需要重视和加强自然灾害保险的研究和实践，特别是针对严重自然灾害的保险体系建设和对策方案的研究，推动由政府主导的自然灾害政策性保险方案的实施。

农业灾害保险是国家政策性保险之一，即政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分，它与现代农业技术、现代农业信息化及市场建设共同构成整个农业现代化体系。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基于投保人、保险公司和政府三方面的利益，按照公平合理的定价原则设计，由保险公司经营的保险产品，三方各承担不同的责任、义务和风险。农业灾害保险分种植业保险和养殖业保险两大类，现有几十个险种，因不同地区的气象条件和作物种类不同，其险种和设置方案都不尽相同。农业灾害保险除遵循保险的共同原理外，有其自身的特点。比如，其损失规律有别于人寿保险和通常的财产保险（如汽车险）等。政府作为投保人和承保人之外的第三方介入以体现对国家安全和救灾的责任。附件1给出了P省种植业现行的部分险种方案，从实际出发，根据查阅和参考附件中的数据资料，通过分析建模，研究解决下面的问题：

问题一

对附件2中的数据做必要的统计分析，研究P省现有农业灾害保险险种方案可能存在的风险，并分析其方案是否存在不合理性。

问题二

针对P省的具体情况，选取其中部分农业灾害保险险种，设计更实际可行的农业灾害保险的险种方案，包括标的、保险金、保费、费率、赔付率、政府补贴率等；并对方案的有效性（即保险公司和投保人的风险大小）及可行性做出定量分析。

问题三

将你们的模型推广应用。根据某省（市、区）的实际情况（或参见附件3），查阅相关资料，提出相应的农业灾害保险的险种方案，并对可能存在的风险做出分析；针对其它方面的自然灾害保险问题进行研究。

二、问题分析

本题是要做农业自然灾害保险的模型，对于自然灾害保险的模型，要考虑的是干旱、洪涝、风雹发生的概率。由于原题中没有明确的衡量标准，即需要做相对多一些的合理假设。通过对给定数据（附件1、2、3）的统计分析，计算出10个地区在10年中自然灾害分别发生在农作物被保险时间范围内的概率，通过建立数学模型来研究P省现有农业灾害保险险种方案可能存在的风险及是否存在不合理性，进而设计更实际可行的农业灾害保险险种方案。

问题一分析：本问要求研究P省现有农业灾害保险险种可能存在的风险及其合理性，根据有关文献资料得到相关农作物的生命周期情况，可以从其中提取此周期的时间信息，然后按照其生长周期及附件二的天气数据得到每个周期发生洪涝、干旱、风雹灾害的概率；根据统计，以小麦品种做讨论，计算出农作物每个

时期灾害事件的发生概率，然后得出P省自然灾害发生的总概率，最终得到保险公司的赔款金额，进而得到保险险种方案是否合理。

问题二分析：本问要求对问题一中所得数据的不合理农业灾害保险险种方案进行重新设计使其更实际可行，在标的、保险金、保费、费率、赔付率、政府补贴率中最重要的是保费率厘定，其次是保费的确定。对保险费率的厘定，我们采用毛利率，其取决于纯利率；对纯利率的厘定，按照标准差原理保证保险公司除去运营费，基本不会赔，对农民影响也不大，对政府而言开销会有所增长，但随着时间将会逐渐降低，幅度不会太大；对保险金的确定依据承保产量水平、标准产量和相应农产品价格确定，在此我们不考虑价格风险；政府补贴率，按照现行标准执行；赔付率可认为与纯利率相等。对于风险的确定，我们采用两种方法，一种是变异系数法，另一种是风险评价法。

问题三分析：本问要求根据某省的实际情况设计农业灾害保险险种方案，经过调查分析，我们知道山东省自然灾害具有代表性，根据其具体情况，以玉米为例，将建立的模型，推广应用到对其玉米生长状况进行分析。首先，通过查找文献，找出山东省玉米生长状况的资料，然后对现有数据进行分析，其方法和模型二相同，最终得出结论。

三、符号说明

四、模型假设

1.农作物受损后不会完全自愈，会影响产量

2.农作物价格不会在短时间内大幅度增加或减少，以保证保险金额不会大幅度

变化

3.不考虑洪涝、干旱、风雹之外的自然灾害对农作物保险的影响

4.假设各种受灾因素之间不互相影响。

五、模型的建立与求解

（一）数据预处理

1.由于同种农作物在不同地区所对应的生长期不同，所以我们选取其中比较普遍的一种作为各农作物生长时期所对应的时间标准(如表1—表3所示)。

2.为了便于数据的集中处理，根据附件二和附件三的相关数据，我们规定了洪涝灾、旱灾、风雹灾对农作物守在情况的影响标准（如表4—表6所示）。

1.农作物灾害模型基本思想

该模型与通常的财产险巨灾模型类似，即考虑了农业灾害形成的机理和过程，估算出不同灾种对不同作物造成的损失。具体包括三个模块：灾害模块、损害模块和损失模块。首先，通过灾害模块对干旱、洪水等自然灾害风险以及价格波动等市场风险进行模拟，转化为庞大的灾害事件群集，并计算出灾害事件发生的概率。然后，通过损害模块将农作物的风险暴露与灾害事件的发生结合起来，计算出农作物遭受灾害的经济损失。最后，结合保险计划和具体条款，包括免赔、限额、再保险安排等，来测算保险损失。

2.农作物灾害模型步骤

Step 1:计算灾害事件发生概率。

通过灾害模块对干旱、洪水等自然灾害风险以及价格波动等市场风险进行模拟，转化为庞大的灾害事件群集，得到某地区近几年的自然灾害对农作物发生次数，并计算出农作物每个时期对应的灾害发生概率。

Step 2:计算农作物发生灾害的概率。

通过损害模块将农作物的风险暴露与灾害事件的发生结合起来，并将农作物每个时期对应的灾害发生概率求和，计算出农作物发生灾害的概率。

Step 3:计算保险公司赔款金额。

通过损失模块将农作物发生灾害的概率与保险问题结合起来，根据保险计划和具体条款，包括免赔、限额、再保险安排等，来计算保险公司赔款金额。

3.农作物灾害模型求解

（1）计算灾害事件发生概率。（以小麦为例）

a.从附件二的A区到J区2002年到2011年洪涝灾、旱灾、风雹灾对小麦的发生次数。（见表7）

表7 灾害对小麦的发生次数

将某省A 区到J 区2002年到2011年洪涝灾、风雹灾针对小麦发生次数()N 除以年数和地区数()1010*得到每个地区每年灾害发生次数，再用这个次数除以每个时期天数()n 得到在每个地区每年发生的概率，再以此概率()P 作为某省在某个季节对应灾害所发生的概率，即

()()n N ZP 1010*=

小麦每个时期对应的灾害发生概率并以此概率作为整个省小麦发生灾害的概率，其结果见表8。

（2）计算农作物发生灾害的概率。

将（1）中计算所得的小麦每个时期对应发生灾害的概率进行求和得到小麦发生灾害的概率，其结果见表9。

根据（2）中结果，计算出保险公司赔款金额。

=

M?

N

K

其中M为赔款金额，N为保险金额，K为风险。

故保险公司赔款金额为1599

?

=

N

M(元)18

=K

.0

?

25

.

311=

0809

>（元）。

利用类似方法计算出玉米和水稻的灾害发生概率分别为0.0719、0.0803，保险公司赔款金额分别为18.0469元、22.3234元。

而对于其他作物不用考虑生长时期，直接计算出其风险。综上所述表格中的数据以及各农作物的生命周期，统计可得各农作物受灾的总概率，同时我们假设其受损率为1，则其风险见表10。

由上表统计分析结果显示，在所计算的风险下，对于每种农作物的赔款金额均大于保险费，保险公司是没有盈利的，对上面所有风险求平均得0.07834，即自然灾害的平均风险为0.07834，因此该P省2012年政策性农业保险统颁条款（种植部分）不合理。

（三）模型二------ 农业灾害保险的险种方案模型

1.相关保险的定义介绍

a.纯保险费：用来作为保险事故发生时的给付进而，它根据损失概率来计算；

b.毛保险费：是附加费用，用来作为业务开支等，附加费用和纯费用的总和称为总保险费；

c.保险费率：是每一单位保额的费用，可以看作是保险价格；

d.相关公式介绍：

保险费=保险费率*保险金额；

附加费率=经营费用和预期利润/纯保险费用总额；

纯费率=保险赔款额/保险金额；

毛费率=纯费率*（1+附加费率）。

2.基本思想

这是一种风险评估体系及评估模型，主要由风险辨识、风险估算和风险评价与对策组成。其中，风险辨识着重阐明致灾因子及其受灾特征。风险估算是风险体系的核心，根据灾害事件的成因，通过建立估算模型，定量估算致灾因子的强度、发生概率及承灾体致灾损失等后果。风险评价与对策是将风险评定危险性、暴露性、脆弱性和防灾减灾能力量化，并设定评定标准。

3.步骤与求解

Step 1:计算农业自然灾害保费率厘定。

保费计算原理是一种依据风险确定保费的规则，为了表示这种依赖关系，记：

()x P ∏=

保险公司是以盈利为目的，则在计算保费率时，我们按照标准差原理，这将保险保证公司基本不会赔钱。

我们规定不同程度的受损率为:

()()07262.0=+=x VAR a x E P

设保险公司收支平衡，有i i Q P =

保险金与农民所交保费之间的关系为：

()01=**-*-i i i i i i M S P M R F

其中i 表示标的（农作物），3,2,1=i 分别代表小麦、玉米、西瓜，i S 表示对应标的i 每亩标的对应的保险金，i F 表示对应标的i 农民每亩所交保费，i M 表示对应标的i 总种植面积，i P 表示对应标的i 的纯费率即赔付率，i R 表示对应标的i 的政府赔付比率。

对P 省小麦，与问题一一致，令07262

.0,8.011==P R ，则可得1F 与1S 关系，如图1所示：

图1 每亩小麦所交保费与保险金的关系

1P 只是纯利率，单保险公司是以盈利为目的，取普通附加费率为0.3，则毛利率(

)0946.03.0111=+*=P Q 在毛利率下可得1F 与1S 关系如图2所示：

图2 每亩小麦保费与标小麦的保险金关系

Step 2：计算农业自然灾害保险金与保费。

假设政府补贴率0.8保持不变，本文不考虑价格的市场风险，保费和赔偿额直接以产量衡量和计算，查资料知小麦年产量在400—800间，我们取中间数600

因此有以下几个等式成立：

CP CM S *=

600*=CS CM

CM P F *=

其中S 为保险金，CM 为承保产量，CP 为相应价格，CS 为承保产量水平，F 为保险费，P 为保险费率。

不考虑小麦价格风险，小麦现价格平均为1.05元/斤，600*1.05=630元。 我们按照标准差原理有纯费率为：

()()x VAR a x E P +=

则承保产量所对应的价格区间，即保险金在（409,567）元之间，

由()01=**-*-i i i i i i M S P M R F 可得：

农民所交保费对应区间为（7.73,10.72）元间，政府所交保费对应区间为（30.92,43.88）元间。根据保费区间，应用者可根据情况具体取值。

Step 3:农业自然灾害风险评估。

本文采用两种方法，一种是变异系数法，另一种是风险评价法。

a. 变异系数法

计算公式如下： ()()x E x VAR BP = 其中BP 为变异系数，()x VAR 为受损率方差，()x E 为受损率期望。 对于一问题，403.0=BP ；

保险金S 在（409,567）区间内，186.0=BP ；

可知新保费率降低保险公司风险，对农民影响不大。

b. 风险评价法

风险是危险性()H ，暴露性()C ，脆弱性()V 和防灾减灾能力()L 相互综合作用的结果。危险性是指造成灾害的自然变异的程度，主要由灾变强度和活动概率决定的；暴露性是指可能受到灾害威胁的农作物规模；脆弱性是指所有财产因为灾害可能造成的损失程度；防灾减灾能力是受灾区预防灾害和从灾害中恢复的程度，自然灾害风险度()LR 是四者综合作用的结果，采取如下定义：

()L V C H LR -***=1 ()()x E x VAR H =

=C K

()x E V =

L 为保险公司的赔付对农民损失的比率，取标准经统计后各取平均值，根据各省受损率统计得：

()%5.1,7.0,25.0,2.0====LR L C x VAR

为计算方便，现统一设一亩地小麦农民可获得630元，对第一步农民所获赔偿为311，计算农民受到灾害的风险度：

457.03111==L

农民所获赔偿区间为（409,567）元间，则2L 在（0.65,0.9）间

0809.00573.00198.00038.0=++=C

计算受损率的方差见表12：

()()()%46.0111=-**=-***=L C x VAR L V C H LR

这个数越小对农民和政府越有利；对LR L ,2在（0.10%，0.37%）间则证明此方案合理性较好。

Step 4：模型结果

该模型通过对小麦保险风险分析与评价，证明新方案合理性。将风险评定危险性，暴露性，脆弱性和防灾减灾能力量化，并设定评定标准，最终得出结论为：

保险金取值区间为（409,567）；赔付率为0.072；保费取值区间为（38.6,54.5）；农民保费区间为（7.7,10.9）；费率为0.094；政府补贴率为0.8等。

（四）模型的推广运用

对于问题三，经过查阅资料，我们将以附件中的山东省为例进行说明。

1.模型步骤

Step 1:计算山东省各年受损概率。

根据题目附件及所查资料所给山东省近几年的自然灾害发生次数，计算出农作物发生灾害的概率。

Step 2:统计分析山东省受损结果分布。

将山东省各年受损概率在matlab中进行正态分布检验，得到其正态分布图像，得出山东省受损率符合正态分布。

Step 3:建立农业灾害保险险种方案模型。

计算农作物受损率的期望、方差，根据它进行保险费率厘定；根据纯费率、毛费率来确定保费区间和政府所交保费区间，并对其进行风险评估，得出该省农业灾害保险险种方案的合理性。

2.模型求解

（1）计算山东省各年受损概率。

由题目附件及所查资料所给山东省近几年的自然灾害发生次数，计算得出农作物发生灾害的概率，其结果见表13。

a.将（1）中的农作物受损概率在matlab中进行正态分布检验，得到其正态分布图像，如图3—图5所示。

Data P r o b a b i l i t y Normal Probability Plot

图3 山东省受灾正态性检验结果

Data P r o b a b i l i t y Normal Probability Plot

图4 山东省成灾正态性检验结果

Data P r o b a b i l i t y Normal Probability Plot

图5 山东省绝收正态性检验结果

由图3—图5统计的正态分布图像得山东省受损率符合正态分布。

b.受损概率分布见图

6

图6 山东省农作物受损概率分布图

（3）建立农业灾害保险险种方案模型。

a.计算农作物受损率的期望和方差，其结果见表14。

保险费率厘定：()()x VAR a x E P +=

代入公式有：纯费率253.0=P ，毛费率()2605.03.01=+*=P Q

保险金与农民所交保费之间的关系为:

()01=**-*-i i i i i i M S P M R F

则农民保费区间为（26,36），保费区间为（409,567），政府所交保费区间为（111,145）。

c. 风险评估。

对山东省风险度评定：

()()()%46.0111=-**=-***=L C x VAR L V C H LR

自然灾害风险度LR 在（0.35%，1.25%）间方案合理，即山东省农作物保险险种方案合理。

(4)模型结果。

通过对该省农作物保险风险分析与评价，证明其方案合理，并求得其保险方案小结。

当政府补贴为80%时，农民保费区间为（26,36），这会影响农民投保积极性，所以我们通过计算将政府补贴率提升为91%，得出其最佳方案为：

政府所交保费区间为（111,145），农民保费区间为（11.4,13.2），保险金取值区间为（409,567），保费取值区间为（38.6,54.5），费率为0.2605，赔付率为0.253。

六、 模型的评价与推广

1.模型优点

（1）在模型一中，计算P 省各农作物所受灾害的概率时严格按照其生长期进行计算，这样提高了我们统计结果的准确度，算出更加准确的风险度，使下文计算更加准确。

（2）在模型二中，进行风险评估时用了变异系数法和分析评价法，对方案进行了严格的评价，确保了方案的可行性。

2.模型缺点

（1）在设计方案时没有考虑保险公司，政府，农民之间的博弈。

（2）在设计保险方案时，对政府补贴没有设计上限，这在实际中是不可能的。

3.模型推广

风险估算技术方法与评估模型的配套使用，取得了主要农业气象灾害影响评估由定性半定量评价向动态量化表达的突破性进展，在农业减灾防灾决策和减灾措施能力评估及其效益优化等方面具有广阔的推广运用前景。

七、参考文献

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[5]阮晓青，周义仓，数学建模引论，北京：高等教育出版社，2005.07

[6]鮑强，中国农业保险研究，浙江大学2012年毕业论文

[7]茆诗松，程依明，濮晓龙，概率论与数理统计教程（第二版）：高等教育出版社

[8]吴岚，王燕，风险理论，中国财经经济出版社

[9]魏宗舒，概率论与数理统计教程，北京：高等教育出版社，2008

[10]张跃华，史清华，顾海英，农业保险需求问题的一个理论研究及实证分析，数量经济技术经济研究，2007