反证法证明韩寒造假

反证法证明韩寒造假
反证法证明韩寒造假

反证法证明韩寒造假

虽然广大网友找到了足以证明少年文学天才韩寒的作品由别人代笔的无数证据,但是韩寒一党至今依然坚称署名韩寒的作品都是韩寒本人亲笔写的。

为了向质疑者证明自己是长篇小说《三重门》的作者,韩寒影印出版了号称是《三重门》手稿的《光明和磊落》一书。该书公开发行以后,网友从中找到了非常多的错误。词语错误如把“曹聚仁”写成“曹聚但”,把“刘邦”写成“刘拜”,把“淮南子”写成“准南子”,把“伦敦”写成“伦郭”,把“古人说了”写成“苦人说了”,把“硬着头皮”写成“破着头发”,把“拍手称快”写成“拍手称慢”,把“四两拨千斤”写成“四两拔干片”,把“直拍脑袋”写成“直拍胸袋”,把“无才之辈”写成“天才之靠”,把“功亏一篑”写成“功号一贯”。除了词语错误,书中还出现了句子重复、串行、遗漏等错误。

因为上述错误,韩寒受到了倒韩派人士的猛烈炮轰。网友把这些错误当作韩寒不是《三重门》作者的证据,我认为是对的。

韩寒一党要为韩寒解套,他们只需要证明:《三重门》的真正作者会犯上面的错误。证明了这一点以后,他们就可以通过演绎推理把倒韩派的质疑推翻。具体地说,就是:《三重门》的真正作者会犯上面的错误,韩寒是《三重门》的真正作者,所以他也会犯上面的错误,韩寒犯下的上述错误是每一个爬格子的人都会犯的极其正常的错误。但是非常可惜,他们无法证明《三重门》的真正作者会犯上面的错误这个命题。他们可以这样说,但是他们没有办法说服全国人民相信他们的话。理由如下。

如果韩寒是《三重门》的真正作者,他就不会把“古人说了”写成“苦人说了”;如果韩寒是《三重门》的真正作者,他就不会把“硬着头皮”写成“破着头发”;如果韩寒是《三重门》的真正作者,他就不会把“拍手称快”写成“拍手称慢”;如果韩寒是《三重门》的真正作者,他就不会把“直拍脑袋”写成“直拍胸袋”。

如果韩寒是《三重门》的真正作者,他就知道出现在书中的“曹聚仁”是谁,就不会把“曹聚仁”写成“曹聚但”;如果韩寒是《三重门》的真正作者,他就知道被他写在书中的妇孺皆知的汉朝开国皇帝“刘邦”,就不会把“刘邦”写成“刘拜”;如果韩寒是《三重门》的真正作者,他就知道出现在书中的“淮南子”是啥意思,就不会把“淮南子”中的“淮”字少写一点写成“准南子”;如果韩寒是《三重门》的真正作者,他就知道数天后即将举办奥运会的城市----英国首都“伦敦”,决不会把“伦敦”写成“伦郭”。

面对韩寒“手稿”中的错误,我的心中疑问不断。如果韩寒是《三重门》的真正作者,他还会在记述故事的时候把句子重复写、写串行、写漏吗?如果韩寒是《三重门》的真正作者,他还会把“四两拨千斤”写成“四两拔干片”吗?“四两拨千斤”是个武侠小说中常用的词语,其中每个字都是小学生应该掌握的常用字,一个五字词写错三个字,天下除了韩大天才,还有谁?如果韩寒是《三重门》的真正作者,他还会把“无才之辈”写成“天才之靠”吗?“无”字写成“天”可以辩解为笔误,“辈”字写成“靠”字,则是任何一个有本事写长篇小说的人都不会犯的错误;如果韩寒是《三重门》的真正作者,他还会把“功亏一篑”写成“功号一贯”吗?一百个人中可能有九十九个人不会写成语“功亏一篑”中的“篑”字,但是百分之九十九的人知道“功亏一篑”这个成语。我敢说,除了韩寒,没有人会把“篑”字写成“贯”字。把“亏”写成“号”字,更是全天下只有韩寒。

一言以蔽之,如果韩寒有本事写作出长篇小说《三重门》,他就不会犯上述错误。因为常识告诉我们,长篇小说《三重门》的真正作者,语文水平是相当了得的。

写到这里,我们就可以用反证法证明,韩寒根本不是《三重门》的真正作者。推理过程如下:假设署名韩寒的《三重门》是韩寒本人亲笔写成,他的“手稿”中就不会出现上面的

错误(证明过程见上文)。而现实情况是他的“手稿”中真实存在众多低级错误。为什么推理得到的结果与实际情况相反呢?因为署名韩寒的《三重门》是韩寒本人亲笔写成这个假设是错误的,正确的是这个假设的反命题----署名韩寒的《三重门》不是韩寒本人亲笔写成的。具体地说,《三重门》是他父亲韩仁均写的。所有说韩寒是《三重门》作者的人都说了假话,犯了欺世盗名罪。韩寒和他父亲,则是造假集团的主犯。

心地善良,秉持与人为善处事原则的我非常不想看到中国最著名的作家,人称当代鲁迅的韩寒是一个人造的偶像。因为这个结果太过于残酷,善良之辈太难接受。但是面对严密的逻辑推理得出的结论,我不得不接受,因为我是一个有服从真理精神的人。

反证法证明题简单

反证法证明题简单 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

反证法证明题 例1.已知A ∠,B ∠,C ∠为ABC ?内角. 求证:A ∠,B ∠,C ∠中至少有一个不小于60o . 证明:假设ABC ?的三个内角A ∠,B ∠,C ∠都小于60o , 即A ∠<60o ,B ∠<60o ,C ∠<60o , 所以O 180A B C ∠+∠+∠<, 与三角形内角和等于180o 矛盾, 所以假设不成立,所求证结论成立. 例2.已知0a ≠,证明x 的方程ax b =有且只有一个根. 证明:由于0a ≠,因此方程ax b =至少有一个根b x a = . 假设方程ax b =至少存在两个根, 不妨设两根分别为12,x x 且12x x ≠, 则12,ax b ax b ==, 所以12ax ax =, 所以12()0a x x -=. 因为12x x ≠,所以120x x -≠, 所以0a =,与已知0a ≠矛盾, 所以假设不成立,所求证结论成立. 例3.已知332,a b +=求证2a b +≤. 证明:假设2a b +>,则有2a b >-, 所以33(2)a b >-即3238126a b b b >-+-,

所以323281266(1)2a b b b b >-+-=-+. 因为26(1)22b -+≥ 所以332a b +>,与已知332a b +=矛盾. 所以假设不成立,所求证结论成立. 例4.设{}n a 是公比为的等比数列,n S 为它的前n 项和. 求证:{}n S 不是等比数列. 证明:假设是{}n S 等比数列,则2213S S S =?, 即222111(1)(1)a q a a q q +=?++. 因为等比数列10a ≠, 所以22(1)1q q q +=++即0q =,与等比数列0q ≠矛盾, 所以假设不成立,所求证结论成立. 例5.是无理数. 是有理数,则存在互为质数的整数m ,n m n =. 所以m =即222m n =, 所以2m 为偶数,所以m 为偶数. 所以设*2()m k k N =∈, 从而有2242k n =即222n k =. 所以2n 也为偶数,所以n 为偶数. 与m ,n 互为质数矛盾. 是无理数成立. 例6.已知直线,a b 和平面,如果,a b αα??,且//a b ,求证//a α。

反证法证明题(简单)(可编辑修改word版)

反证法证明题 例1. 已知∠A ,∠B ,∠C 为?ABC 内角. 求证:∠A ,∠B ,∠C 中至少有一个不小于60o. 证明:假设?ABC 的三个内角∠A ,∠B ,∠C 都小于60o,即∠A <60o,∠B <60o,∠C <60o, 所以∠A +∠B +∠C < 180O, 与三角形内角和等于180o矛盾, 所以假设不成立,所求证结论成立. 例2. 已知a ≠ 0 ,证明x 的方程ax =b 有且只有一个根. 证明:由于a ≠ 0 ,因此方程ax =b 至少有一个根x =b . a 假设方程ax = b 至少存在两个根, 不妨设两根分别为x1 , x2 且x1 ≠x2 , 则ax1=b, ax2=b , 所以ax1=ax2, 所以a(x1-x2 ) = 0 . 因为x1 ≠x2 ,所以x1 -x2 ≠ 0 , 所以a = 0 ,与已知a ≠ 0 矛盾, 所以假设不成立,所求证结论成立. 例3. 已知a3+b3= 2, 求证a +b ≤ 2 . 证明:假设a +b > 2 ,则有a > 2 -b , 所以a3> (2 -b)3即a3> 8 -12b + 6b2-b3, 所以a3> 8 -12b + 6b2-b3= 6(b -1)2+ 2 . 因为6(b -1)2+ 2 ≥ 2 所以a3+b3> 2 ,与已知a3+b3= 2 矛盾. 所以假设不成立,所求证结论成立. 例4. 设{a n}是公比为的等比数列,S n为它的前n 项和. 求证:{S n}不是等比数列. 证明:假设是{S }等比数列,则S 2=S ?S , n 2 1 3

2 2 2 2 1 1 1 即 a 2 (1+ q )2 = a ? a (1+ q + q 2 ) . 因为等比数列 a 1 ≠ 0 , 所以(1+ q )2 = 1+ q + q 2 即 q = 0 ,与等比数列 q ≠ 0 矛盾, 所以假设不成立,所求证结论成立. 例 5. 证明 是无理数. m 证明:假设 是有理数,则存在互为质数的整数 m ,n 使得 = . n 所以 m = 2n 即 m 2 = 2n 2 , 所以 m 2 为偶数,所以m 为偶数. 所以设 m = 2k (k ∈ N *) , 从而有4k 2 = 2n 2 即 n 2 = 2k 2 . 所以n 2 也为偶数,所以 n 为偶数. 与 m ,n 互为质数矛盾. 所以假设不成立,所求证 是无理数成立. 例 6. 已知直线 a , b 和平面,如果 a ? , b ?,且 a / /b ,求证a / /。 证明:因为 a / /b , 所以经过直线 a , b 确定一个平面。 因为 a ? ,而 a ? , 所以 与是两个不同的平面. 因为b ?,且b ? , 所以 = b . 下面用反证法证明直线 a 与平面没有公共点.假设 直线 a 与平面 有公共点 P ,则 P ∈ = b , 即点 P 是直线 a 与 b 的公共点, 这与 a / /b 矛盾.所以 a / /. 例 7.已知 0 < a , b , c < 2,求证:(2 - a )c , (2 - b )a ,(2 - c )b 不可能同时大于 1 证明:假设(2 - a )c , (2 - b )a ,(2 - c )b 都大于 1, 即 (2 - a )c>1, (2 - b )a>1, (2 - c )b>1,

反证法证明题

反证法证明题 例1. 已知A ∠,B ∠,C ∠为ABC ?内角. 求证:A ∠,B ∠,C ∠中至少有一个不小于60o . 证明:假设ABC ?的三个内角A ∠,B ∠,C ∠都小于60o , 即A ∠<60o ,B ∠<60o ,C ∠<60o , 所以O 180A B C ∠+∠+∠<, 与三角形内角和等于180o 矛盾, 所以假设不成立,所求证结论成立. 例2. 已知0a ≠,证明x 的方程ax b =有且只有一个根. 证明:由于0a ≠,因此方程ax b =至少有一个根b x a =. 假设方程ax b =至少存在两个根, 不妨设两根分别为12,x x 且12x x ≠, 则12,ax b ax b ==, 所以12ax ax =, 所以12()0a x x -=. 因为12x x ≠,所以120x x -≠, 所以0a =,与已知0a ≠矛盾, 所以假设不成立,所求证结论成立. 例3. 已知3 3 2,a b +=求证2a b +≤. 证明:假设2a b +>,则有2a b >-, 所以3 3 (2)a b >-即323 8126a b b b >-+-, 所以3 2 3 2 81266(1)2a b b b b >-+-=-+. 因为2 6(1)22b -+≥ 所以332a b +>,与已知33 2a b +=矛盾. 所以假设不成立,所求证结论成立. 例4. 设{}n a 是公比为的等比数列,n S 为它的前n 项和. 求证:{}n S 不是等比数列. 证明:假设是{}n S 等比数列,则2 213S S S =?,

即222 111(1)(1)a q a a q q +=?++. 因为等比数列10a ≠, 所以2 2 (1)1q q q +=++即0q =,与等比数列0q ≠矛盾, 所以假设不成立,所求证结论成立. 例5. 证明2是无理数. 证明:假设2是有理数,则存在互为质数的整数m ,n 使得2m n =. 所以2m n = 即222m n =, 所以2 m 为偶数,所以m 为偶数. 所以设* 2()m k k N =∈, 从而有2 2 42k n =即2 2 2n k =. 所以2 n 也为偶数,所以n 为偶数. 与m ,n 互为质数矛盾. 所以假设不成立,所求证2是无理数成立. 例6. 已知直线,a b 和平面,如果,a b αα??,且//a b ,求证//a α。 证明:因为//a b , 所以经过直线a , b 确定一个平面β。 因为a α?,而a β?, 所以 α与β是两个不同的平面. 因为b α?,且b β?, 所以b αβ=I . 下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点.假 设直线a 与平面α有公共点P ,则P b αβ∈=I , 即点P 是直线 a 与b 的公共点, 这与//a b 矛盾.所以 //a α. 例7.已知0 < a , b , c < 2,求证:(2 a )c , (2 b )a ,(2 c )b 不可能同时大于1 证明:假设(2 a )c , (2 b )a ,(2 c )b 都大于1,

用反证法证明几何问题

65yttrgoi 用反证法证明几何专题 对于一个几何命题,当用直接证法比较困难时,则可采用间接证法,反证法就是一种间接证法,它不是直接去证明命题的结论成立,而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立,它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径,掌握这种方法,对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。 一、反证法的概念: (又称归谬法、背理法)是一种论证方式,不直接从题设推出结论,而是从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明命题成立,这样的证明方法叫做反证法。 二、反证法的基本思路: 首先假设所要证明的结论不成立,然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理,直至得出一个 矛盾的结论来,并据此否定原先的假设,从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾,或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾,还可以是与日常生活中的事实相矛盾,甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾(即自相矛盾)。 三、反证法的一般步骤: (1)假设命题的结论不成立; (2)从这个假设出发,经过推理论证得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。 简而言之就是“反设-归谬-结论”三步曲。 在应用反证法证题时,一定要用到“反设”,否则就不是反证法。用反证法证题时,如果欲证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”;如果结论的方面情况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷举法”。 四、适用范围 “反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”命题和某些逆命题等,一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的命题都可考虑用反证法。 五、反证法在平面几何中的应用 例1.已知:AB 、CD 是⊙O 内非直径的两弦(如图1),求证AB 与CD 不能互相平分。 (1) 证明:假设AB 与CD 互相平分于点M 、则由已知条件AB 、CD 均非⊙O 直径, 可判定M 不是圆心O ,连结OA 、OB 、OM 。 ∵OA =OB ,M 是AB 中点 ∴OM ⊥AB (等腰三角形底边上的中线垂直于底边) 同理可得:OM ⊥CD ,从而过点M 有两条直线AB 、CD 都垂直于OM 这与已知的定理相矛盾。故AB 与CD 不能互相平分。 归缪法 穷举法

用反证法证明是无理数

据说最初发现 p q ,这里p和q是无公约数的正整数 传说毕达哥拉斯太珍惜这个发现,不打算公开这个结果。他的学生之一为了好奇,悄悄走进老师的家里偷文件,这方法才被公开出来。 我们下面介绍五个用反证法证明这结果,大家可以学习这种证明。 p q =,p,q是无公约数的整数。 (1)毕达哥拉斯方法: p q =两边平方得22 2 p q =,所以2p是偶数,因此p也须是偶数(因为奇数2k +1的平方后是4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1仍旧是奇数)。所以我们可以设p是2a的样子,代入上式得(2a)2=2q2,即4a2=2q2两边同时消掉2可得2a2=q2,即q也是偶数。 由于p,q都是偶数,它们有一个公约数2,这和我们最初假设p, q (2)利用整数的个位数性质:我们知道任何整数平方其最后一位数是等于原数最后一位数的平方后的最后一位数。例如(12)2=144,最后一位数4=(2)2。而(17)2=289,(7)2=49,最后一位数是一样。 最后一位数可能出现0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。 因此任何数的平方最后一位数只可能是0,1,4,5,6,9。 因此2q2的最后一位数只可能是0,2或8。 由于p2的最后一位数可能是0,1,4,5,6,9。而且由P2=2q2,故必须有2q2最后一位数是0,因此推到q2的最后一位数是0或5。 可是如果P2的最后一位数是0,而q2的最后一位数是0或5的话,则P的最后一位数是0,q的最后一位数是0或5,这样5就能整除p和q,这和p,q无公约数的假定矛盾。 (3)利用素因子的性质: p q =得22 2 p q =,这里q要大于1,如果是等于1 =p,这是个整数,明显是不合理的。现在我们可以得到2 2 p q p ?? =? ? ?? ,我们知道: (一)任何整数不是素数就是合数。

反证法 教学设计

反证法 【教学目标】 1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法。 2.培养学生用反证法简单推理的技能,从而发展学生的思维能力。 【教学重点】 反证法证题的步骤。 【教学难点】 理解反证法的推理依据及方法。 【教学方法】 讲练结合教学。 【教学过程】 一、提问: 师:通过预习我们知道反证法,什么叫做反证法? 生:从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。 师:本节将进一步研究反证法证题的方法,反证法证题的步骤是什么? 生:共分三步: (1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; (2)从假设出发,经过推理,得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。 师:反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时,如果运用直接证明法比较困难或难以证明时,可运用反证法进行证明。 例如:在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,如果∠C=90°,a、b、c三边有何关系?为什么? 解析:由∠C=90°可知是直角三角形,根据勾股定理可知a2+b2=c2 二、探究 问题:

若将上面的条件改为“在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,∠C≠90°”,请问结论a2+b2≠c2成立吗?请说明理由。 探究: 假设a2+b2=c2,由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形,且∠C=90°,这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立,从而说明原结论a2+b2≠c2成立。 这种证明方法与前面的证明方法不同,它是首先假设结论的反面成立,然后经过正确的;逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论,从而得到原结论的正确。像这样的证明方法叫做反证法。 三、应用新知 例1:在△ABC中,AB≠AC,求证:∠B≠∠C 证明:假设,∠B=∠C,则AB=AC这与已知AB≠AC矛盾。假设不成立。∴∠B≠∠C.小结:反证法的步骤:假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确。 例2:已知:如图有a、b、c三条直线,且a//c,b//C。求证:a//b 证明:假设a与b不平行,则可设它们相交于点A.那么过点A就有两条直线a.b与直线c平行,这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾,假设不成立。∴a//B 小结:根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外,还可以与我们学过的定理、公理矛盾。 例3:求证:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°。 已知:△ABC,求证:△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。 证明:假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°。 则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°。 即∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形的内角和为180度矛盾。假设不成立。 ∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。 三、课堂练习: 课本“练习”。 四、课时小结 本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入,逐步加强和提高。 【作业布置】 课本“习题”1、2题。

用反证法证明施泰纳-莱默斯定理

用反证法证明施泰纳-莱默斯定理① ①本文及本章后面几段阅读资料参考了贺贤孝的《证明的艺术》一书(湖南教育出版社,2000年6月第1版). 我们知道,等腰三角形两个底角的平分线相等.反过来,有两个角的平分线相等的三角形是否为等腰三角形呢?德国柏林的莱默斯(C .L .Lemhus )研究了这个问题,并向著名几何学家施泰纳请教,1840年,施泰纳给出了第一个证明.为此,该定理称为施泰纳-莱默斯定理. 如图1所示,在△ABC 中,BD ,CE 分别是∠ABC ,∠ACB 的平分线,且BD =CE .求证:AB =AC . 如图2所示,施泰纳将△BCD 与△CBE 分别移到△B ′C ′D ′和△B ′C ′E ′的位置,连接D ′E ′.由BD =CE ,得B ′D ′=B ′E ′,故∠1=∠2.假设AB ≠AC ,则AB <AC 或AB >AC . 如果AB <AC ,那么∠ACB <∠ABC . 从而 ∠ACE =21∠ACB <2 1∠ABC =∠ABD . 所以 ∠B ′D ′C ′=∠BDC =∠A +∠ABD >∠A +∠ACE =∠BEC = ∠B ′E ′C ′, 即 ∠B ′D ′C ′>∠B ′E ′C ′. 又 ∠1=∠2, 所以 ∠3>∠4. 所以 C ′E ′>C ′D ′,即BE >CD . 在△BCD 与△CBE 中, BD =CE ,BC =CB ,CD <BE , 故 ∠CBD <∠BCE ,

即 21∠ABC <2 1∠ACB , 于是∠ABC <∠ACB ,AB >AC ,与假设AB <AC 相矛盾,故AB <AC 是不可能的. 同理可证AB >AC 也是不可能的. 从而,AB =AC . 施泰纳的参与引起了各国数学家的兴趣.100多年来,该定理的证明层出不穷.20世纪80年代美国《数学教师》杂志提出征解,结果收到了从美国、加拿大、丹麦、以色列、埃塞俄比亚和罗马尼亚寄来的2 000多封信,共提出80多种证法.不仅如此,人们更深入到它的孪生问题:如果一个三角形的两个角的外角平分线(简称外分角线)相等,那么这个三角形是否为等腰三角形? 利用代数方法,数学家们证明了如下的结论: 两外分角线相等且第三角为该三角形的最大内角或最小内角时,此三角形是等腰三角形.

-反证法教案

§29.2反证法 教学目标: 1、知识与能力:(1)、通过实例,体会反证法的含义 (2)、培养学生用反证法简单推理的技能,从而发展学生的思维能力. 2、过程与方法:(1)、了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题. (2)、使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法. 3、情感、态度、价值观:在观察、操作、推理等探索过程中,体验数学活动充满探索性和创造性. 教学重点: 体会反证法证明命题的思路方法,掌握反证法证题的步骤。 教学难点: 理解反证法的推理依据及方法,用反证法证明简单的命题是教学难点. 教学方法: 讲练结合教学. 教学过程: 提问: 师:通过预习我们知道反证法,什么叫做反证法? 生:从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. 师:本节将进一步研究反证法证题的方法,反证法证题的步骤是什么? 生:共分三步: (1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; (2)从假设出发,经过推理,得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 师:反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时,如果运用直接证明法比较困难或难以证明时,可运用反证法进行证明。 例如:在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,如果∠C=90°,a、b、c三边有何关系?为什么? 解析:由∠C=90°可知是直角三角形,根据勾股定理可知a2 +b2 =c2 二、探究 问题: 若将上面的条件改为“在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,∠C≠90°”,请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗?请说明理由。 探究: 假设a2 +b2 =c2,由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形,且∠C=90°,这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立,从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。 这种证明方法与前面的证明方法不同,它是首先假设结论的反面成立,然后经过正确的;逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论,从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。 三、应用新知 例1:在△ABC中,AB≠AC,求证:∠B ≠∠ C 证明:假设,∠B =∠C 则AB=AC 这与已知AB≠AC矛盾.

谈谈“反证法”证明题中的应用

谈谈“反证法”证明题中的应用 【摘要】在数学问题的证明中,反证法是一种重要的证明方法,用反证法证明命题成立的基本步骤可以简单地概括为“否定-推理-反驳-肯定”。 【关键词】反证法存在性否定性唯一性证明矛盾 在数学问题证明中,反证法是一种重要的证明方法,反证法经常被用来证明存在性、否定性、唯一性等一些不易直接下手的命题。要证命题“若A则B”正确,途径之一是证与其等价的逆否命题正确。即从否定B出发,作出一系列正确、严密、合乎逻辑的推理,最后推出与A矛盾的结论,即原命题得证。用反证法证明命题成立的基本步骤可以简单地概括为“否定-推理-反驳-肯定”四个步骤。 下面通过不同的例题来说明反证法应用。 1 存在性命题 例1:证明任何大于1的整数一定有素因子。 分析:用反证法,首先要找出问题的否定形式,即否命题。本题结论的反面是:至少存在一个大于1的整数没有素因子,我们设法导出矛盾。 证明:假设有一个大于1的整数A没有素因子,则A本身一定不是素数,又A>1,故A为合数,则它一定有一个异于1和A的真因子B,故而A>B>1,且B也不是素数(否则B为A的素因子),同理B又有一个素因子C,满足A>B>C>1,且C亦不为素数,由此我们得到A>B>C>D>…>1,也就是说,在A 和1之间有无穷多个正整数,这当然是不可能的,故而假设不成立,原命题获证。 例2:证明:A,B,C,D,E五数之和等于5,则其中必有一个不小于1。 分析:这个问题看上去很简单,但是要直接证明却不容易。那么应用反证法,就可以轻松获证。 证明:假设A,B,C,D,E都小于1,那么A+B+C+D+EAM,同理,AB>BM,即在△AMB,AB大于其他两边。 由“大边对大角”知, ∠AMB>∠ABM, 同理,∠AMB>∠BAM。 所以

宜用反证法证明的几类命题

宜用反证法证明的几类命题 反证法是证明数学命题的一种重要方法,当直接证明思路受阻,难以成功时,反证法常使人茅塞顿开,柳暗花明.它通常用来证明下列几类命题. 一、否定性命题 问题的结论是以否定形式出现(例如“没有…”,“不是…”,“不存在…”等)的命题,宜用反证法. 例1 求证:3lg 2是无理数. 分析:在实数集内,证它是无理数,即证它不是有理数. 证明:假设3lg 2不是无理数,即为有理数,则设3lg 2= m n (,m n ∈+N ,n m ,互质)从而32=m n 得, m n 32= 上式表明:偶数等于奇数,这与偶数不等于奇数矛盾,于是假设不成立. 故3lg 2是无理数. 例2 证明:一个三角形中不可能有两个直角. 分析:用三角形内角和为0180证一个三角形中不存在两个直角. 证明:假设一个三角形中有两个直角.不妨设∠A=090,∠B=090. ∵∠A+∠B+∠C=090+090+∠C=0180+∠C>0180 这与三角形内角和定理矛盾. ∴ 假设不成立,即原命题成立. 二、“至少”或“至多”类命题 若一个命题的结论是“至少…”或“至多…”,“不都…”则可考虑用反证法. 例3 已知1p 、2p 、1q 、2q ∈R,且1p 2p =2(1q +2q ) 求证:方程2x +1p x +1q =0和2x +2p x +2q =0中,至少有一个方程有实根. 分析:“至少有一个”是“有一个”、 “有两个”,它的反面是“一个都没有”. 证明:假设这两个一元二次方程都没有实根,那么他们的判别式都小于0,即: ?????<

反证法证明题简单

反证法证明题 例1.已知A , B , C为ABC内角. 求证: A , B , C中至少有一个不小于60。. 证明:假设ABC的三个内角A,B,C都小于60。, 即 A 60。, B 60。, C 60。, 所以ABC 180°, 与三角形内角和等于180o矛盾, 所以假设不成立,所求证结论成立. 例2.已知a 0,证明X的方程ax b有且只有一个根. 证明:由于a 0,因此方程ax b至少有一个根x -. a 假设方程ax b至少存在两个根, 不妨设两根分别为捲必且X i X2, 贝卩ax j b, ax2 b, 所以ax i ax?, 所以a(X i X2) 0. 因为x1 x2,所以x1 x2 0 , 所以a 0,与已知a 0矛盾,所以假 设不成立,所求证结论成立. 例3.已知a3b32,求证a b 2. 证明:假设 a b 2,贝卩有a 2 b, 所以a3 (2 b)3即a3 8 12b 6b2 b3 ,

精心整理 所以a3 8 12b 6b2 b3 6(b 1)2 2. 因为6(b 1)2 2 2 所以a3 b3 2,与已知a3 b3 2矛盾. 所以假设不成立,所求证结论成立. 例4?设a n是公比为的等比数列,S n为它的前n项和. 求证:S n不是等比数列. 证明:假设是S n等比数列,则S; S i S3, 即a2(1 q)2 a i a i(1 q q2). 因为等比数列a i 0, 所以(1 q)2 1 q q2即q 0 ,与等比数列q 0矛盾, 所以假设不成立,所求证结论成立. 例5.证明;2是无理数. 证明:假设迈是有理数,则存在互为质数的整数m, n使得V2 —. n 所以m x. 2n 即m2 2n2, 所以m2为偶数,所以m为偶数. 所以设m 2k(k N*), 从而有4k2 2n2即n2 2k2. 所以n2也为偶数,所以n为偶数. 与m,n互为质数矛盾. 所以假设不成立,所求证.2是无理数成立.

利用反证法证明有关异面直线问题

利用反证法证明有关异面直线问题 反证法在立体几何中用得较多,下面用反证法证明有关异面直线问题。 例1 求证:分别和两条异面直线AB 和CD 同时相交的直线AC 、BD 是异面直线。 证明:假设AC 和BD 不是异面直线,则AC 和BD 在同一平面内,设这个平面为α,由AC BD ??αα,,知A B C D 、、、∈α,故AB CD ??αα,。这与AB 和CD 是异面直线矛盾,于是假设不成立,故直线AC 和BD 是异面直线。 例2 已知a 与b 是异面直线,求证过a 且平行于b 的平面只有一个。 证明:如图1,假设过直线a 且平行于直线b 的平面有两个α和β。在直线a 上取点A ,过b 和A 确定一个平面γ,且γ与α,β分别交于过A 点的直线c 、d 。由b//α,知b//c 。同理b//d 。故c//d ,这与c 、d 相交于点A 矛盾。 故假设不成立。从而过a 且平行于b 的平面只有一个。 例3 平面α∩平面β= a ,异面直线b ,c ,分别在α、β内. ⑴求证b ,c 中至少有一条与a 相交. ⑵若a∩b = P ,c∩a = Q ,在β内过P 作异于a 的直线b ',在α内过Q 作异于a 的直线c ',求证:b ',c '为异面直线. 证明:⑴若b 、c 均不与a 相交. ∵ a ?α,b ?α,∴a ∥b , ∵a ?β,c ?β,∴a ∥c , ∴b ∥c ,与题设b ,c 为异面直线矛盾. 即b ,c 中至少有一条与a 相交.

⑵若b ',c '在同一平面γ内,即b '?γ,c '?γ, ∵Q ∈c ',∴Q ∈γ,又Q ?b '( 若Q ∈b ',由P ∈b ',则b '与a 重合,与题设矛盾),过b '及Q 可确定平面(即为β),但b '?γ,c '?γ,及Q ∈γ,从而得β、γ重合,同理、α、γ重合,由此得α、β重合,与题设α∩β= a 矛盾.所以b ',c '不可能在同一平面内,即b ',c '为异面直线. 例4 求证:两条异面直线有且只有一条公垂线. 证明:如图,设a 、b 是异面直线,b ?α,a ∥α,β是 过 a 而与α垂直的平面,AA 1是a 、 b 的公垂线. 假设EF 也是a 、b 的公垂线(显然F 与A 不重合,E 与A 1不重合),则EF ⊥α, 从而EF ?β.由A 、F 都在β内,可得b ?β,这与a 、b 是异面直线矛盾. 所以,两条异面直线有且只有一条公垂线. 例5 如图所示,已知直线a 、b 、c 不共面,它们相交于点P ,A ∈a ,D ∈a ,B ∈b ,E ∈c ,求证:BD 和AE 是异面直线. 证明:设BD 和AE 不是异面直线,则BD 与AE 确定一个平 面β,因此有A ∈β,B ∈β,E ∈β,D ∈β.因为A ∈a ,D ∈a , 所以a ?β. 又因为P ∈a ,所以P ∈β.因P ∈b ,B ∈b ,所以b ?β.因E ∈c , P ∈c ,所以c ?β,这与a 、b 、c 不共面矛盾,从而有BD 和AE 是异面直线. P b E B D A c a α

用反证法证明几何问题

65yttrgoi用反证法证明几何专题 对于一个几何命题,当用直接证法比较困难时,则可采用间接证法,反证法就是一种间接证法,它不是直接去证明命题的结论成立,而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立,它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径,掌握这种方法,对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。 一、反证法的概念: (又称归谬法、背理法)是一种论证方式,不直接从题设推出结论,而是从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明命题成立,这样的证明方法叫做反证法。 二、反证法的基本思路: 首先假设所要证明的结论不成立,然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理,直至得出一个矛盾的结论来,并据此否定原先的假设,从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾,或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾,还可以是与日常生活中的事实相矛盾,甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾(即自相矛盾)。 三、反证法的一般步骤: (1)假设命题的结论不成立; (2)从这个假设出发,经过推理论证得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。 简而言之就是“反设-归谬-结论”三步曲。 在应用反证法证题时,一定要用到“反设”,否则就不是反证法。用反证法证题时,如果欲证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”;如果结论的方面情况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷举法”。 归缪法 穷举法 四、适用范围 “反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”命题和某些逆命题等,一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的命题都可考虑用反证法。 五、反证法在平面几何中的应用 例1.已知:AB、CD是⊙O内非直径的两弦(如图1),求证AB与CD不能互相平分。 (1) 证明:假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径, 可判定M不是圆心O,连结OA、OB、OM。 ∵OA=OB,M是AB中点 ∴OM⊥AB (等腰三角形底边上的中线垂直于底边) 同理可得:OM⊥CD,从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM 这与已知的定理相矛盾。故AB与CD不能互相平分。

相关主题
相关文档
最新文档