圆系方程中圆的存在性_性质及应用
圆的参数方程及应用
对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说,圆的方程还有另外一种表达 形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数) ,在解决有些问题时,合理的选择圆方程的表达形式,能给解决问题带来方便,本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例1 已知点(x ,y )在圆221x y +=上,求2223x xy y ++的最大值和最小值。 【解】圆2 2 1x y +=的参数方程为:cos sin x y θθ=??=? 。 则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++? 2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-,则38k πθπ=+(k ∈Z )时,2223x xy y ++的最大值为:22+;8 k π θπ=-(k ∈Z ) 时,2223x xy y ++的最小值为22-。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题,可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。 二、求轨迹 例2 在圆224x y +=上有定点A (2,0),及两个动点B 、C ,且A 、B 、C 按逆时针方向排列, ∠BAC=3π ,求△ABC 的重心G (x ,y )的轨迹 方程。 【解】由∠BAC= 3 π,得∠BOC=23π,设∠ABO=θ(403π θ<<),则B(2cos θ,2sin θ),C(2cos(θ+23π),2sin(θ+23 π )),由重心坐标公式并化简,得: 22cos()333 2sin()33x y πθπθ? =++??? ?=+?? ,由5333πππθ<+<,知0≤x <1, C x y O A B 图1
圆系方程及其应用.doc
直线系、圆系方程1、过定点直线系方程在解题中的应用 过定点(x,y0 )的直线系方程:A(x x0) B( y y0) 0(A,B 不同时为0). 例 1 求过点P( 1,4) 圆(x 2)2 ( y 3)2 1的切线的方程. 分析:本题是过定点直线方程问题,可用定点直线系法. 解析:设所求直线的方程为A(x 1) B(y 4) 0(其中A,B不全为零), 则整理有Ax By A 4B 0, ∵直线l 与圆相切,∴圆心 C (2,3) 到直线l 的距离等于半径1,故2A 3B A 4B 2 2 A B 1 , 整理,得A(4 A 3B) 0,即A 0 (这时 B 0 ),或 3 A B 0. 4 故所求直线l 的方程为y 4 或3x 4y13 0 . 点评:对求过定点(x,y0 )的直线方程问题,常用过定点直线法,即设直线方程为: A(x x0) B(y y0) 0,0 注意的此方程表示的是过点P(x,y ) 的所有直线(即直线系),应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素 0 0 的限制,在实际解答问题时可以避免分类讨论,有效地防止解题出现漏解或错解的现象. 练习:过点P( 1,4) 作圆 2 2 (x 2) (y 3) 1的切线l ,求切线l 的方程. 解:设所求直线l 的方程为A(x 1) B(y 4) 0 (其中A,B不全为零), 则整理有Ax By A 4B 0, ∵直线l 与圆相切,∴圆心 C (2,3) 到直线l 的距离等于半径1,故2A 3B A 4B 2 2 A B 1, 整理,得A(4 A 3B) 0,即A 0 (这时 B 0 ),或 3 0 A B . 4 故所求直线l 的方程为y 4 或3x 4y13 0 . 2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用 过直线l :A1x B1 y C1 0(A1, B1 不同时为0)与m:A2 x B2 y C2 0(A2, B2 不同时为0)交点的直线 系方程为:A x B y C A x B y C (R ,为参数). 1 1 1 ( 2 2 2 ) 0 例2 求过直线:x 2y 1 0与直线:2x y 1 0 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分析:本题是过两直线交点的直线系问题,可用过交点直线系求解. 解析:设所求直线方程为:x 2y 1 (2 x y 1) 0 ,
椭圆的标准方程与性质
椭圆的标准方程与性质 教学目标: 1了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点: 在高考中所占分数:13分 考查出题方式:解答题的形式,而且考查方式很固定,涉及到的知识点有:求曲线方程,弦长,面积,对称关系,范围问题,存在性问题。 涉及到的基础知识 1.引入椭圆的定义 在平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|=2c)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数: 有以下3种情况 (1)若a>c,则集合P为椭圆; (2)若a=c,则集合P为线段; (3)若a 标准方程x2 a2 +\f(y2,b2)=1 (a>b>0) \f(y2,a2)+错误!=1 (a>b>0) 图形 性质范围 -a≤x≤a -b≤y≤b -b≤x≤b -a≤y≤a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b 焦距|F1F2|=2c 离心率e=错误!∈(0,1) a,b,c的关系c2=a2-b2题型总结 类型一椭圆的定义及其应用 例1:如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆? B.双曲线 C.抛物线 D.圆 【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道 结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知,CD是线段MF的垂直平分线.,(定值),又显然,根 据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的 练习1:已知F1,F2是椭圆C: 22 22 1 x y a b +=(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C 上的一点,且 错误! 1⊥2 PF,若△PF1F2的面积为9,则b=________. 【解析】由题意的面积∴故答案为: 【答案】3 练习2:已知F1,F2是椭圆错误!+错误!=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为() A.6?B.5 C.4 D.3 椭圆的参数方程及其应用 大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度,如果适当地引进一点简单的参数方程知识,可以起到拓宽视野,简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用,希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的: 椭圆1b )y y (a )x x (2 2 0220=-+-的参数方程是???α +=α+=sin b y y cos a x x 00(α是参数,0b 0a >>,)。 特别地,以点(00y x ,)为圆心,半径是r 的椭圆的参数方程是? ??α+=α +=sin r y y cos r x x 00(α是参数,r>0)。 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 y x 2 2(20π <α<), 22b a 4+, 例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动,点B (0,9)、点M 在线段AB 上,且2 1MB AM =,试求动点M 的轨迹方程。 解:由题意知B (0,9),设A (ααsin 6cos 12,),并且设M (x ,y )。 则,α=+ ?+α=++=cos 82110 21cos 12211x 21x x B A 3sin 42 119 21sin 6211y 21y y B A +α=+ ?+α=++=, 动点M 的轨迹的参数方程是? ??+α=α =3sin 4y cos 8x (α是参数), 消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。 三、求函数的最值 例3 设点P (x ,y )在椭圆19y 16x 2 2=+,试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。 解:点P (x ,y )在椭圆19 y 16x 2 2=+上,设点P (ααsin 3cos 4,)(α是参数且)20[π∈α,), 则55 53arcsin sin 534|5sin 4cos 3|d 22-??? ? ? +α= +-α+α=。 当5 3 arcsin 2-π=α时,距离d 有最小值0,此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切;当5 3arcsin 23-π=α时,距离d 有最大值2。 P , π),A (a ,0)。 解得1cos =α(舍去),或2 22 b a b cos -=α。 因为1cos 1<α<-,所以1b a b 1222<-<-。可转化为1e e 112 2<-<-,解得21e 2 > ,于是1e 22<<。故离心率e 的取值范围是? ?? ? ??122,。 [截距法]解线性规划问题 由于线性规划的目标函数:z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =- +,则z b 为直线y a b x z b =-+的纵截距,那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论: (1)当b >0时,直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时,便是z 取得最大值的点;反之,使纵截距取得最小值的点,就是z 取得最小值的点。 (2)当b <0时,与b >0时情形正好相反,直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时,是z 取得最小值的点;使纵截距取得最小值的点,便是z 取得最大值的点。 高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一:巧用圆系求圆的过程 在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种: ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交 点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆,直接应用该圆系方程,必须检验圆是否满足题意,谨防漏解。 当时,得到两圆公共弦所在直线方程 例1:已知圆与直线相交于两点,为坐标原点,若,求实数的值。 分析:此题最易想到设出,由得到,利用设而不求的思想,联立方程,由根与系数关系得出关于的方程,最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系,不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点,选取过直线与圆交点的圆系方程,可极大地简化运算过程。 解:过直线与圆的交点的圆系方程为: ,即 ………………….① 依题意,在以为直径的圆上,则圆心()显然在直线上,则,解之可得 又满足方程①,则故 例2:求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解:圆和的公共弦方程为 ,即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ,即 依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心必在公共弦所在直线上。即,则 代回圆系方程得所求圆方程 例3:求证:m 为任意实数时,直线(m -1)x +(2m -1)y =m -5恒过一定点P ,并求P 点坐标。 分析:不论m 为何实数时,直线恒过定点,因此,这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解:由原方程得 m(x +2y -1)-(x +y -5)=0,① 即???-==?? ?=-+=-+4y 9 x 0 5y x 01y 2x 解得, ∴直线过定点P (9,-4) 注:方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例4已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=25,直线l :(2m +1)x +(m +1)y -7m -4=0(m ∈R ). (1)证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得. (1)证明:l 的方程(x +y -4)+m (2x +y -7)=0. 2x +y -7=0, x =3, x +y -4=0, y =1, 即l 恒过定点A (3,1). ∵圆心C (1,2),|AC |=5<5(半径), ∴点A 在圆C 内,从而直线l 恒与圆C 相交于两点. (2)解:弦长最小时,l ⊥AC ,由k AC =- 2 1 , ∴l 的方程为2x -y -5=0. 评述:若定点A 在圆外,要使直线与圆相交则需要什么条件呢? 思考讨论 类型二:直线与圆的位置关系 例5、若直线m x y +=与曲线2 4x y -=有且只有一个公共点,求实数m 的取值范围. 解:∵曲线24x y -= 表示半圆)0(422≥=+y y x ,∴利用数形结合法,可得实数m 的取值范 围是22<≤-m 或22=m . 变式练习:1.若直线y=x+k 与曲线x= 2 1y -恰有一个公共点,则k 的取值范围是___________. 解析:利用数形结合. 答案:-1<k ≤1或k=-2 例6 圆9)3()3(2 2=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个? 分析:借助图形直观求解.或先求出直线1l 、2l 的方程,从代数计算中寻找解答. 解法一:圆9)3()3(2 2 =-+-y x 的圆心为)3,3(1O ,半径3=r . 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324 311 34332 2 <=+-?+?= d . 如图,在圆心1O 同侧,与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点,这两个交点符合题意. 又123=-=-d r . ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. ∴符合题意的点共有3个. 解法二:符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ,且与之距离为1的直线和圆的交点.设 所求直线为043=++m y x ,则14 3112 2 =++= m d , ∴511±=+m ,即6-=m ,或16-=m ,也即 06431=-+y x l :,或016432=-+y x l :. 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O : 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ,则 34 36 34332 2 1=+-?+?= d ,14 316 34332 2 2=+-?+?= d . ∴1l 与1O 相切,与圆1O 有一个公共点;2l 与圆1O 相交,与圆1O 有两个公共点.即符合题意的点共3个. 说明:对于本题,若不留心,则易发生以下误解: ∵m ∈R ,∴ 得椭圆的参数方程及其应用
高中数学圆的方程含圆系典型题型归纳总结
圆与方程及应用(1)