双曲线方程及性质的应用
双曲线方程及性质的应用
(45分钟70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(优质试题·天津高二检测)双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦
距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选A.由题意知:a=2,a+b=c,又c2=a2+b2,且焦点在y轴上,选A.
2.(优质试题·德化高二检测)直线y=k(x+)与双曲线-y2=1有且只有一个公共点,则k的不同取值有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选 D.由已知可得,双曲线的渐近线方程为y=±x,顶点(±2,0),而直线恒过(-,0),故有两条与渐近线平行,有两条切线,共4条直线与双曲线有一个交点.
【补偿训练】(优质试题·天水高二检测)已知双曲线方程为x2-=1,过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点,则共有L ( ) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
【解析】选B.因为双曲线方程为x2-=1,所以P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近
线平行的直线,所以符合要求的共有3条.
【拓展延伸】数形结合思想在研究直线与双曲线问题中的应用
①直线过定点时,根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.
②直线斜率一定时,通过平行移动直线,比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.
3.(优质试题·全国甲卷)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( )
A.2
B.
C.
D.
【解析】选A.圆心到渐近线bx±ay=0距离为=,
所以=?c=2a?e=2.
4.(优质试题·唐山高二检测)已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在该双曲线上,则·= ( )
A.-12
B.-2
C.0
D.4
【解析】选C.由已知得,b2=2,c=2,点P为(,±1),左、右焦点坐标分别为(-2,0),(2,0),结合向量的乘法,易知选C.
5.如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等差数列,则离心率e等于( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为2b=a+c,
所以4b2=a2+2ac+c2,
4(c2-a2)=a2+2ac+c2,
所以3e2-2e-5=0,所以e=.
6.已知曲线-=1与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且·=0(O
为原点),则-的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.
【解析】选B.将y=1-x代入-=1,
得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=.
因为·=x1x2+y1y2
=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1,
所以-+1=0,
即2a+2ab-2a+a-b=0,
即b-a=2ab,
所以-=2.
7.(2015·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆+y2=3相切,则双曲线的方程为( )
A.-=1
B.-=1
C.-y2=1
D.x2-=1
【解析】选D.由双曲线的渐近线bx-ay=0与圆(x-2)2+y2=3相切可知
=,又因为c==2,所以有a=1,b=,故双曲线的方程为x2-=1.
8.(优质试题·全国乙卷)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C 上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3).则△APF的面积为( )
A. B. C. D.
【解析】选D.由c2=a2+b2=4得c=2,所以F(2,0),将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以PF=3,又A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e∈[,2],在两条渐近线构成的角中,设以实轴为角平分线的角为θ,则θ的取值范围是________.
【解析】因为e2===1+,
e∈[,2],
所以2≤1+≤4,
所以1≤≤,
即1≤tan≤,
所以≤≤,
≤θ≤.
答案:
10.(2016·北京高考)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC 的边长为2,则a=__________.
【解析】因为正方形OABC的边长为2,所以B(2,0),渐近线为y=±x.所以c=2,a=b.又因为a2+b2=c2,所以a=b=2.
答案:2
【补偿训练】过双曲线-=1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为,这样的直线的条数为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】选D.依题意可得右焦点F(5,0),
所以垂直x轴,过点F的直线是x=5.
代入-=1,求得y=±,
所以此时弦长=+=.
不是垂直x轴的,如果直线与双曲线有两个交点,则弦长一定比它长,所以这里只有一条,
因为两个顶点距离=4,即左右两支上的点最短是4,所以如果是交于两支的话,弦长不可能为,所以只有1条.
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(优质试题·北京高二检测)已知椭圆和双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,它们有共同的焦点F1(-5,0),F2(5,0),并且它们的离心率e可以使方程2x2+4(2e-1)x+4e2-1=0有相等的实根,求椭圆和双曲线的方程.
【解析】因为方程2x2+4(2e-1)x+4e2-1=0有相等的实根,
所以Δ=[4(2e-1)]2-4×2×(4e2-1)=0,
所以e1=,e2=.
所以双曲线中:c=5,e=,a=,b2=,
双曲线方程为-=1.
椭圆中:c=5,e=,a=10,b2=a2-c2=75,
椭圆方程为+=1.
12.(优质试题·黄石高二检测)已知双曲线3x2-y2=3,直线l过右焦点F2,且倾斜角为45°,与双曲线交于A,B两点,试问A,B两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦AB的长.
【解题指南】联立方程后根据两根的符号确定两个交点的位置. 【解析】因为a=1,b=,c=2,
又直线l过点F2(2,0),且斜率k=tan 45°=1,
所以l的方程为y=x-2,
§2.2.3直线的参数方程及应用(第2课时)1
§2.2.3直线的参数方程及应用（第2课时） 【学习目标】 1. 掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2. 利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 【学习重点】 1. 直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2. 利用直线的参数方程解决有关数学问题； 【学习难点】 1. 直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2. 利用直线的参数方程解决有关数学问题； 【学习过程】 一、学前准备： 1、若由a b →→ 与共线，则存在实数λ，使得 ， 2、设e → 为a → 方向上的 ，则a → =︱a → ︱e → ； 3、经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2 π αα≠ 的直线的普通方程为 。 二、新课导学 ◆探究新知（预习教材P 35～P 39，找出疑惑之处） 1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点M 的坐标,x y 与点0M 的坐标00,x y 和倾斜角α 联系起来呢？由于倾斜角可以与方向联系，M 与0M 可以用距离或线段0M M 数量的大小联系，这种“方向”“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程。 如图，在直线上任取一点(,)M x y ，则0MM = ， 而直线l 的单位方向向量e → =（ ， ）,因为0MM e → ，所以存在实数t R ∈， 使得0MM = ，即有()()00,cos ,sin x x y y t αα--=，因此，经过点 00(,)M x y ，倾斜角为()2 π αα≠ 的直线的参数方程的标准式为： ???= = y x 2.方程中参数t 的几何意义是什么？ 直线上任意动点到定点P 0的距离________||0=P P 3. 直线参数方程的一般式： （1）过点P 0(00,y x )，斜率为a b k = 的直线，记直线倾斜角α，则=αtan ，直线参数方程的一般式是 ? ? ?+=+ =t y y t x x （）（）00 （t 为参数），直线上任意动点到定点P 0的距离||________||0t P P =, （2）直线参数方程的一般式是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数）， 直线上任意两点A,B 对应参数分别为21,t t ，则它们到P 0的 距离分别为： |t -t |________|B P -A P ||AB ||,|________|||,|________||21002010====弦长t B P t A P ||________||________||________||||212100t t t t B P A P =?=? （3）中点公式：)M(),,(),,(20201010则中点bt y at x B bt y at x A ++++ |2 |________||2 10t t M P += 二、直线参数方程的应用 题组一。.求直线的参数方程的标准式及t 的几何意义的应用 例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t ∣的几何意义.
双直线二次曲线系方程的几个应用实例
双直线二次曲线系方程的几个应用实例 具体可以参考中等数学2009年第8期文章《二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程》，华东师大《奥数教程》高二分册，本文为原创，如有雷同，纯属巧合！ 大家都知道解析几何里有一个重要的工具：曲线系。灵活用好曲线系，可以一定程度上减少计算量，甚至收获意想不到的效果。不管是参加高考还是联赛，都有必要了解一下设曲线系一些基本思路。 一、首先要了解的是二次曲线的三条线： 1、过曲线上一点与曲线相切的直线，称为切线。 2、过曲线外一点引两条切线，得到两个切点，这两个切点连成的直线，称为切点弦。 3、过曲线内一点任作两条弦，与曲线有四个相异的交点，与两条弦相异的两组点连成的两条直线的交点的轨迹。（特别地，当这两条弦重合时，即过该点作一条弦与曲线交于两点时，对应的交点为过这两点的切线的交点，称为虚切线。） 二、二次曲线一般形式为02 2=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (A 和C 不同时为0)。 注：上述二次曲线方程可以表示：圆，椭圆，抛物线，双曲线（圆锥曲线）；两条相交直线；两条平行直线（可以通过因式分解得到）；一条直线（直线一般式方程平方即可得到）；一个点（例如点圆，在圆的方程中令r 为0即可）。 三、贯穿本文的一个基本原理是： 过二次曲线f(x,y)和g(x,y)的交点的二次曲线系，可以记为：λf(x,y)+μg(x,y)=0. 目录 第一题：2008全国高中数学联赛一试解析几何题 第二题：2010全国高中数学联赛A 卷一试解析几何题 第三题：比较常见的高考解析几何题 第四题：2012版天利38套，太原市高三模拟考试（一） 第五题：2012版天利38套，太原市高三年级调研考试 第六题：2010全国高中数学联赛B 卷一试解析几何题
直线的参数方程圆锥曲线的参数方程及其应用等高中数学
直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用 一. 教学内容： 直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用，极坐标系，曲线的极坐标方程及其应用。 ［基本知识点］ （1）直线的参数方程 <1>标准形式： :),y ,x (M 000准形式为的直线的参数方程的标且倾角为过点α )t (sin t y y cos t x x 00为参数???+=+=αα <2>一般形式 )1b a 't ('bt y y 'at x x 2200≠+???+=+=为参数且 （2）参数t 的几何意义及其应用 标准形式： )y ,x (M t ,)t (sin t y y cos t x x 00000的几何意义是表示定点中为参数???+=+=αα 的数量的有向线段到直线上动点M M y)(x,M 0 :t,M M 0故即= <1>直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1,t 2，则弦长|AB|=|t 1-t 2| <2>定点M 0是弦M 1、M 2的中点?t 1+t 2=0
<3>设弦M 1，M 2中点为M ；则点M 相应的参数 2t t t 2 1M += （3）圆锥曲线的参数方程 <1>)(sin r y cos r x r y x 222为参数的参数方程为圆ααα???===+ 轴正方向的旋转角 的几何意义动半径对于其中x α <2> 其几何意义为离心为参数的参数方程为椭圆,(sin b y cos a x 1b y a x 2222 ααα???===+ 角）。 <3>)(btg y asec x 为参数双曲线的参数方程为ααα???== <4>抛物线y 2=2px 的参数方程为 )(t pt 2y pt 2x 2 为参数?????== （4）极坐标系的基本概念。 在平面内任取一个定点O ，叫做极点，引一条射线O x ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），对于平面内任一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做点M 的极坐标系，这样建立的坐标叫做极坐标系。 （5）极坐标与直角坐标的互化 <1>互化条件： 极点与直角坐标系原点重合； 极轴与直角坐标系O x 轴重合； 两坐标系中的长度单位统一。 <2>互化公式
双曲线的标准方程及其性质
双曲线的标准方程及其性质 一、双曲线的定义 1、已知双曲线22 1916 x y -=上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为__________________. 2、若双曲线22 221x y a b -=的两个焦点为F 1、F 2，12F F ＝10，P 为双曲线上一点，122PF PF =，12PF PF ⊥，求此双曲线的方程. 3、在相距1400m 的A ，B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340m/s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？ 4、已知双曲线16x 2-9y 2=144，（1）设P 为双曲线上一点，且|PF 1|?|PF 2|=32，求12F PF S ?； （2）设P 为双曲线上一点，且∠ F 1PF 2=120?，求12F PF S ?. 二、双曲线的标准方程 1、已知3,4a c ==的双曲线的标准方程是__________________. 2、已知双曲线方程为22 1205 x y -=，它的焦距是__________________. 3、设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线22 19 y x m -=的一个焦点，则m =__________________. 4、若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13 322 =+--k y k x 表示双曲线”的( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件. 5、双曲线22 2x y k -=的焦距是6，则实数k 的值是__________________. 三、双曲线的性质 1、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是__________________. 2、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m =__________________. 3、若双曲线的渐近线方程为 ,它的一个焦点是,则双曲线的标准方程是__________________. (3,0)5:4221mx y +=
直线的参数方程及其应用举例
直线的参数方程及应用 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α αsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ x x
高中数学运用曲线系解曲线方程问题专题辅导
高中数学运用曲线系解曲线方程问题 在《解析几何》中，有关求曲线方程的问题，大都采用待定系数法求解，而采取这种方法有时未知数多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，有没有一些更简便的方法解决这些问题呢？本文就此谈谈曲线系方程的应用。 引入：高中《数学》第二册（上）P 88第4题是：如果两条曲线方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P （x 0，y 0），求证：方程f 1(x ，y)＋λf 2（x ，y ）＝0的曲线也经过点P （λ是任意常数）。由此结论可得出：经过两曲线f 1(x ，y)＝0和f 2（x ，y ）＝0交点的曲线系方程为：f 1（x ，y ）＋λf 2（x ，y ）＝0。利用此结论可得出相关曲线系方程。 一. 直线系 概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。它的方程称直线系方程。几种常见的直线系方程： （1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数） （2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数） （3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数） （4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数） （5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程： A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数） 【例1】已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线L 的方程。 解：设直线L 的方程为 2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0。 ∴（λ＋2）x ＋(λ－3)＋2λ－3＝0。 ∵L 与直线3x ＋y －1＝0平行， ∴ 1 321332--λ≠-λ=+λ。 解得：λ＝211。 所以直线L 的方程为：15x ＋5y ＋16＝0 【例2】求证：m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过一定点P ，并求P 点坐标。 分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解：由原方程得 m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，① 即? ??-==???=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4） 注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。 二. 圆系 概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。 几种常见的圆系方程： （1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。
曲线系方程及应用
曲线系方程及应用 曲线系方程 １．直线系：0),(),(21=+y x f y x f μλ； ２．圆系?????=+++-+-=+0)()()(0),(),(202021C By Ax y y x x y x f y x f λμλ：与直线切于一点的圆系 相交圆系： ３．二元二次曲线C ：022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示的曲线的类型： ???????抛物线型 双曲线型椭圆型 ４．圆锥曲线系 定理一：给定五点，其中三点在直线l 上，另外两点不在l 上，则经过这五点的二次曲线是唯一的，并且是退化的二次曲线（即两条直线）． 定理二：给定五个点，其中任何三点都不共线，则过此五点有且仅有一条二次曲线． 推论一：若圆锥曲线0),(:0),(:2211==y x f C y x f C 与有四个不同交点，则过两 曲线交点的曲线方程为：0),(),(21=+y x f y x f μλ． 推论二：若直线0),(0),(22221111=++==++=C y B x A y x l C y B x A y x l 及与圆 锥曲线C ：0),(=y x f 有四个不同交点，则过这四个交点的曲线系方程 为：0),(),(),(21=+y x l y x l y x f μλ． 推论三：若四直线及与及0),(:0),(:0),(:332211===y x l l y x l l y x l l 0),(:44=y x l l 有四个不同的交点，则过这四个交点的曲线方程为： 0),(),(),(),(4321=+y x l y x l y x l y x l μλ． 推论四：),3,2,1(P )3,2,1(141i P P i P i P i i ===+为不共线三点，直线的方程为：
《双曲线方程及性质的应用》课时提升作业
《双曲线方程及性质的应用》课时提升作业 双曲线方程及性质的应用 (30分钟50分) 一、选择题(每小题3分,共18分) 1.(2020·重庆高二检测)已知双曲线x2-y2=2,过定点P(2,0)作直线l与双曲线有且只有一个交点,则如此的直线l的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.因为点P(2,0)在双曲线含焦点的区域内,故只有当直线l与渐近线平行时才会与双曲线只有一个交点,故如此的直线只有两条. 【变式训练】过双曲线x2-=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=16,如此的直线有( ) A.一条 B.两条 C.三条 D.四条 【解析】选C.过右焦点且垂直于x轴的弦长为16,因为|AB|=16,因此当l与双曲线的两交点都在右支上时只有一条.又因为实轴长为2,16>2,因此当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条. 2.(2020·长春高二检测)已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F 的直线l与E相交于A,B两点,且AB中点为N(-12,-15),则E的方程为( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 【解析】选B.由已知条件易得直线l的斜率k==1,设双曲线方程为
-=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,两式相减并结合x1+x2=-24,y1+y2=-30得=,从而=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,因此E的方程为-=1. 【拓展延伸】解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法 (1)根与系数的关系法:联立直线方程和双曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,可求斜率k=.这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法.求弦中点轨迹问题,此方法依旧有效. 3.(2020·郑州高二检测)双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2⊥x轴,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 【解题指南】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标,通过解直角三角形列出三参数a,b,c的关系,求出离心率的值. 【解析】选B.将x=c代入双曲线的方程得y=,即M,在△MF1F2中, tan30°=,即=,解得e==. 4.F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,过右焦点F2作倾斜角为的弦AB,则△F1AB 的面积为( )
双曲线的定义、方程和性质(精)
双曲线的定义、方程和性质 执教：钱如平班级：高二(3) 地点：本教室时间：2000．4．6 一、学习目标： 掌握双曲线的定义、方程和性质，注意与椭圆的区别和联系。 二、知识要点： 1．定义 （1）第一定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。 说明： ①||PF1|-|PF2||=2a（2a<|F1F2|）是双曲线； 若2a=|F1F2|，轨迹是以F1、F2为端点的射线；2a>|F1F2|时无轨迹。 ②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a； 若M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，这是与椭圆不同的地方。 （2）第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线L的距离之比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。 3．几个概念 （1）等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x，离心率为2。
（2） 共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴 双曲线，例：12222=-b y a x 的共轴双曲线是122 22-=-b y a x 。 ① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共 轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。 三、 解题方法指导： 例1．设双曲线方程为12 22 =-y x ，则中心坐标为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 ，渐近线方程 ，对称轴方程为 ，实轴方程为 ，共轴双曲线方程为 。 解：中心（0，0），焦点坐标（±3 ，0），顶点坐标（±2 ，0），实轴长为22，虚轴 长为2，离心率为 26，准线方程为332±=x ，准线间距离为3 3 4，渐近线方程为x y 2 2 ± =，对称轴方程x=0，y=0，实轴方程y=0， （22≤≤-x ），共轴双曲线1222-=-y x ，即12 22 =-x y 。 说明：根据双曲线的方程熟练地写出其性质，是学习双曲线基本要求，也是一项重要基本功，对知识要点中的性质部分要熟记。 例2．设曲线C 的方程为Ax 2+By 2=|（A·B ≠0），则 ① C 表示椭圆的充要条件是 ②C 表示焦点在X 轴上的椭圆的充要条件是 ③C 表示焦点在Y 轴上的椭圆的充要条件是 ④C 表示双曲线的充要条件是 ⑤C 表示焦点在X 轴上的双曲线的充要条件是 ⑥C 表示焦点在Y 轴上的双曲线的充要条件是 ⑦C 表示圆的充要条件是 解：C 的方程可化为)0(1112 2≠=+AB B y A x 则①C 表示椭圆的充要条件是B 1 A 1 ,0B 1 ,0A 1 ≠>>，即B A ,0B ,0A ≠>>， ②B ＞A ＞0， ③A ＞B ＞0， ④AB ＜0， ⑤A ＞0，B ＜0， ⑥A ＜0，B ＞0， ⑦A ＝B ＞0，
双曲线的性质及应用
双曲线的性质及应用 教学目标 (一)知识教学点 使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征． (二)能力训练点 在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力． (三)学科渗透点 使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题． 教学重点：双曲线的几何性质及初步运用． (解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明．) 教学难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证． (解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．) 教学疑点：双曲线的渐近线的证明． (解决办法：通过详细讲解．) 活动设计 提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结． 教学过程 (一)复习提问引入新课 1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的．
2．双曲线的两种标准方程是什么？ 再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标 下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质． (二)类比联想得出性质(性质1～3) 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发、订正并板书)．<见下页> (三)问题之中导出渐近线(性质4) 在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计 仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想． 接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？ 下面，我们来证明它：
双曲线方程及性质的应用
双曲线方程及性质的应用 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(2012·湖南高考)已知双曲线C:错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( ) A.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 B.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 C.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 D.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 2.(2013·昆明高二检测)过双曲线x2-错误!未找到引用源。=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=16,这样的直线有( ) A.一条 B.两条 C.三条 D.四条 3.(2013·大理高二检测)若点O和点F1(-2,0)分别是双曲线错误!未找到引用源。-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的一点,并且P点与右焦点F2的连线垂直x轴,则线段OP的长为( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 4.(2013·聊城高二检测)双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 5.已知点M(1,4),双曲线错误!未找到引用源。-y2=1的左顶点为A,若双曲线一
条渐近线与直线AM平行,则实数a等于( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.已知双曲线a n-1y2-a n x2=a n-1a n的焦点在y轴上,一条渐近线方程为y=错误!未找到引用源。x,其中{a n}是以4为首项的正项数列,则数列{a n}的通项公式是. 7.双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项,则P点到左焦点的距离为. 8.(2013·吉林高二检测)已知双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为 y=±错误!未找到引用源。x,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.(2013·洛阳高二检测)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B,求实数k的取值范围. 10.已知双曲线C1:x2-错误!未找到引用源。=1. (1)求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P(4,错误!未找到引用源。)的双曲线C2的标准方程. (2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点.当错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=3时,求实数m的值. 11.(能力挑战题)已知双曲线C:错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±错误!未找到引用源。x,O为坐标原点,点M(错
曲线系理论及其应用
第21讲:曲线系理论及其应用 173 第21讲:曲线系理论及其应用 在一个关于x,y 的二元方程中,如果它含有一个不定的常数,赋于这个常数一些不同的值,可以得到一系列具有某种共同性质的曲线(包括直线),它们的全体组成的集合叫做具有某种共同性质曲线系. 利用曲线系解题,体现了参数变换的数学观点、整体处理的解题策略,以及“基本量”和“待定系数”的解题方法.这种观点、策略、方法的三位一体,能使解题水平更高、思维更活.下面介绍几类重要的曲线系. 定理1:过曲线C 1:f 1(x,y)=0与C 2:f 2(x,y)=0的交点的曲线系方程为:f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0. 定理2:设二次曲线C:ax 2 +cy 2 +dx+ey+f=0与直线mx+ny+p=0有两个不同的交点,则过这两点的圆系方程为:(ax 2 +cy 2 +dx+ey+ f)+λ(mx+ny+p)(mx-ny+t)=0,这里λ= 2 2n m a c +-,t 为任意实数. 定理3:过圆M:x 2 +y 2 +2dx+2ey+f=0外一点P(x 0,y 0)作圆M 的两条切线PA 、PB,切点分别为A 、B,则双切线PA 与PB 构成的曲线方程为:(x 02 +y 02 +2dx 0+2ey 0+f)(x 2 +y 2 +2dx+2ey+f)-[x 0x+y 0y+d(x+x 0)+e(y+y 0)+f]2 =0,即包含切线PA:a 1x+b 1y+c=0与PB: a 2x+b 2y+c 2=0的方程. 定理4:设二次曲线C:ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0与直线l 1:m 1x+n 1y+p 1=0,l 2:m 2x+n 2y+p 2=0都有公共点,则过这些公共点的二次曲 线系方程为:(ax 2+bxy+cy 2 +dx+ey+f)+λ(m 1x+n 1y+p 1)(m 2x+n 2y+p 2)=0. 例1:过曲线交点的直线系. [始源问题]:(2011年北大等十三校联考(北约)自主招生数学试题)求过抛物线y=2x 2-2x-1,y=-5x 2+2x+3两交点的直线方 程. [解析]:由过抛物线y=2x 2-2x-1,y=-5x 2+2x+3两交点的曲线系:(2x 2-2x-1-y)+λ(-5x 2+2x+3-y)=0,即(2-5λ)x 2+2(λ- 1)x-(λ+1)y+3λ-1=0;令2-5λ=0?λ=5 2?曲线系:6x+7y-1=0?过抛物线y=2x 2-2x-1,y=-5x 2 +2x+3两交点的直线方程:6x+7y-1=0. [原创问题]:已知抛物线C 1:y=2x 2+3x-3,C 2:y=-5x 2+tx+4 21-t. (Ⅰ)求证:过抛物线C 1与C 2两交点的直线l 过定点A; (Ⅱ)过点A 作斜率互为相反数的两直线与椭圆C: 42x +3 2 y =1分别交于异于点A 的点M 、N,求证:直线MN 的斜率为定值. [解析]:(Ⅰ)由y=2x 2+3x-3?5y=10x 2+15x-15…①;由y=-5x 2+tx+4 21-t ?2y=-10x 2+2tx+2 21-2t …②;由①+②得:7y=15x +2tx- 29-2t ?2(x-1)t=7y-15x+29?直线l 过定点A(1,2 3 ); (Ⅱ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线MN:y=kx+t;由???=++=12 432 2y x t kx y ?(3+4k 2)x 2+8ktx+4t 2 -12=0?x 1+x 2=-2438k kt +,x 1x 2=2243124k t +-; 由k AM +k AN =0? 123 11-- x y + 12322--x y =0?12311--+x t kx +12322--+x t kx =0?2kx 1x 2+(t-23-k)(x 1+x 2)-(2t-3)=0?2 2 43)3(8k t k +--(t-23-k)
双曲线的定义及其基本性质
双曲线的定义及其基本性质 一、双曲线的定义： （1）到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜ 2 1F F ）的点的轨迹。两定点叫双曲线的焦点。 a PF PF 221=-＜2 1F F （2）动点P 到定点F 的距离与到一条定直线的距离之比是常数e （e ＞1）时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。 二、双曲线的方程： 双曲线标准方程的两种形式： ① 12 222=-b y a x ，2 2b a c +=，焦点是 F 1(-c,0),F 2(c,0) 12222=-b x a y , 22b a c +=， 焦点是F 1(0, -c),F 2(0, c) 三、双曲线的性质： （1）焦距F 1F 2=2c,实轴长A 1A 2=2a,虚轴长2b,且a 2+b 2=c 2 （2）双曲线的离心率为e= a c ，e>1恒成立。 （3）焦点到渐近线的距离：虚半轴长b ，通径长EF ＝ a b 2 2 （4）有两条准线，c a x l 21:- =c a x l 2 2:= 四、双曲线的渐近线： （1）若双曲线为12222=-b y a x ?渐近线方程为x a b y ±=， （2）若已知某双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，则可设此双曲线为λ=-22 22b y a x ， （3）特别地当a=b 时?2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y =±x ，此时双曲线为等轴双曲线 五、共轭双曲线： 双曲线A 的实轴为双曲线B 的虚轴，双曲线A 的虚轴为双曲线B 的实轴，即11 122=+B A e e 。 K 2 O F 1 F 2 x y O F 1F 2 x y
直线的参数方程及其应用(不错哦,放心用)
直线的参数方程及应用 目标点击： 1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化； 3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 基础知识点击： 1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ? ??+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α x
高中数学双曲线的标准方程及其几何性质
双曲线的标准方程及其几何性质 一、双曲线的标准方程及其几何性质. 1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线。两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示。 (1)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线. (3)若2a =2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线. (4)若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程：22 a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线； 22a y -2 2b x =1(a ＞0,b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线. 判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2 、y 2 的分母的大小，而是x 2 、y 2 的系数 的符号，焦点在系数正的那条轴上. 4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。 （1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式?，则有：?>?0直线与双曲线相交于两个点；?=?0直线与双曲线相交于一个点；?
(3)直线l 被双曲线截得的弦长2 212))(1(x x k AB -+=或2 212 ))(11(y y k -+ ，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标，且 212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出． 二、例题选讲 例1、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距 离为2，则双曲线方程为 ( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 2＝2 C ．x 2－y 2＝ 2 D ．x 2－y 2＝1 2 解析：由题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2 a 2＝1(a >0)，则c ＝2a ，渐近线y ＝x ， ∴ |2a | 2 ＝2，∴a 2＝2.∴双曲线方程为x 2－y 2＝2. 答案：B 例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程． (1)过点)2,3(-P ，离心率2 5= e ． (2)1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，双曲线离心率为2且 ?=∠6021PF F ，31221=?F PF S ． 解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下． 如双曲线的实轴在x 轴上，设122 22=-b y a x 为所求． 由25=e ，得4522=a c ． ① 由点)2,3(-P 在双曲线上，得 12 922 =-b a ．②， 又222c b a =+，由①、②得12=a ，4 1 2= b ． ③ 若双曲线的实轴在y 轴上，设12222=-b y a x 为所求． 同理有4522=a c ，19 222=-b a ， 222c b a =+．解之，得2 17 2- =b （不合，舍去）． ∴双曲线的实轴只能在x 轴上，所求双曲线方程为142 2 =-y x ． (2)设双曲线方程为12222=-b y a x ，因c F F 221=，而2==a c e ，由双曲线的定义，得
双曲线标准方程及性质(有答案)
双曲线标准方程及性质 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 2、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 渐近线方程 3、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 第1课时 双曲线及其标准方程 一、选择题 1．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点， 且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长是( ) A ．4a B ．4a －m C ．4a ＋2m D ．4a －2m 2．设θ∈(3π4，π)，则关于x 、y 的方程x 2sin θ－y 2 cos θ＝1 所表示的曲线是( ) A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆
3．(2010·安徽理，5)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.??? ? 22，0 B.?? ??52，0 C.??? ?62，0 D ．(3，0) 4．k >9是方程x 29－k ＋y 2 k －4＝1表示双曲线的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 5．已知双曲线x 225－y 2 9＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距 离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( ) A.2 3 B ．1 C ．2 D ．4 6．已知双曲线x 2－ y 22 ＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.43 B.53 C.233 D. 3 7．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线 8．以椭圆x 23＋y 2 4＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( ) A.x 23 －y 2 ＝1 B ．y 2－ x 23＝1 C.x 23－y 2 4 ＝1 D.y 23－x 2 4 ＝1 9．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( ) A.x 24 －y 2 ＝1 B ．x 2－ y 24＝1 C.x 22－y 2 3 ＝1 D.x 23－y 2 2 ＝1 10．已知双曲线x 29－y 2 16＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上一点P 使∠F 1PF 2＝90°，则 △F 1PF 2的面积是( ) A ．12 B ．16 C ．24 D ．32 二、填空题 11．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，则a ＋b ＝________. 12．已知圆(x ＋4)2＋y 2＝25的圆心为M 1，圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为M 2，动圆与这两圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为____________． 13．若双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 2a ＋y 2 b ＝1(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两曲线的交 点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．
曲线系方程的共交点在解题中的应用
曲线系方程的共交点在解题中的应用 共交点的曲线系：设两已知曲线S 1：0)y ,x (f =，S 2：0)y ,x (g =，（因为方程组???==0 )y ,x (g 0)y ,x (f 的公共解肯定满足方程0)y ,x (g )y ,x (f =λ+，其中λ为任意常数，所以此方程对应的曲线肯定过S 1和S 2的交点。）因此可设过两曲线S 1、S 2的交点的曲线系方程是：0)y ,x (g )y ,x (f =λ+，但曲线系中不包括S 2。这种共交点的曲线系方程也具有广泛的应用，我们常见的求轨迹问题是一个定位描述的问题，只要给多一个条件，就可以确定其轨迹方程。本文尝试利用共交点的曲线系方程解题方面作一些探讨。 一、共交点曲线系方程的一般性运用 例1：求经过两圆0y x 2y 3x 3:C 0y x 3y x :C 222221=+++=-++和的交点及点P （1，1）的圆的方程。 分析：因为C 1、C 2是圆的方程，所以C 1+λC 2=0是过两圆交点的圆系方程。代入交点的坐标，解出λ即可。 例2：求经过两条曲线0y x 3y x 22=-++和0y x 2y 3x 322=+++的交点的直线方程。 分析：此题可先求出两个交点再求直线方程，但计算量较大。若从曲线与方程的关系这一角度出发，只要理解了曲线上点的坐标与方程的解之间的关系，利用共交点的曲线系方程解题，可避免大量的计算。 二、共交点曲线系方程的灵活性运用 从曲线系方程0)y ,x (g )y ,x (f =λ+结构看，若0)y ,x (g )y ,x (f =λ+为圆系方程，不要求f （x ，y ）=0与g （x ，y ）=0都是圆的方程，只要其中有一个是圆的方程，它就是圆系方程，因此可延展到直线与圆相交的情形。 从运动的角度看：㈠直线也可以看成圆，因为直线可理解为半径趋于正无穷大的圆；㈡点也可以看成圆，因为点可理解为半径为零的圆，即点圆；㈢因为圆系方程可延展到直线与圆相交的情形，因此圆上的切点也可理解为圆的相交直线