高等数学极限习题500道汇总.

．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim )()(1

1110x x x x x x o o x x

答（）

．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当2

32123211cos )(1)1()(0312--=

-=β-+=α→D C B A a x x ax x x

（）

答阶的是

时，下述无穷小中最高当x x D x C x B x A x sin 11cos 1022----→

[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim n

n n ++∞→ _____________sin 1lim 3202

=--→的值x

x x e x x ．及求证：，，设有数列n n n n n n n n n n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=

≠==lim )(lim lim 2)( 11221

．及，求记：，　．，设n n n n n

n n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=

>>==lim lim 11

2)0(111221 求极限之值．lim ()cos sin x x x x x →+-02

设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x B u x A A v x B u x A →→→=>==00

[] 答（）

．．．．2

ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=

+-→ 答（）

．．．．2

1)21(lim 2sin 0D e C e B A x x x x =

+→ []的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin 1)(0012

----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f x

x x u x x u

_____________6

9lim 223的值等于---→x x x x

．不存在．．．D C B A e e e e x x x x x 123

1234lim =++--∞→ 答：（）

lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-?2361112335

不存在答：（）

____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x

x x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()

x x x x x →+--+03416125

已知：，问？为什么？lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=00

关于极限结论是：

不存在答（）

lim x x e A B C D →+01

5353054

答（）

，则极限式成立的是，设 )(lim .)()(lim .)

()(lim .0)

()(lim .)(lim )(lim )(0

0000

0∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f

是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→=

答（）不存在 2

.2.

..0.1arctan tan lim 0π-π=?→D C B A x

x x

答（） 2

1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A x

x x

答（）

不存在 .2.2.2.3

12lim 2D C B A x x x ±-=++∞→

___________)0(23)(1

=-+=f e x f x

，则设

答（）

不存在 2

...0.1cot arc lim 0ππ=→D C B A x

x lim cos ln ....x a x x a A B C D →--==0100123，则其中答（）π

____________cos 13lim 20的值等于x

x e e x x x ----→ lim (cos ).....x x x

A B C D →-=-0212220

不存在答：（）

设，其中、为常数．问：、各取何值时，；、各取何值时，；、各取何值时，．

f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞

→2555

112031

求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222

222211 求极限．lim ()()x x x →∞++322323

[]

之值．

、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim 2241=--+-+-+→

之值．

，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x d cx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2

)(1223==-++++=→∞→

之值．，，试确定已知b a x x b x b a x 43

13)(lim 1=+-+++→ 为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)

(1lim 0)(lim 00x x x x x x

当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．

x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()()

．用无穷大定义证明：+∞=-+→112lim 1x x x ．用无穷大定义证明：-∞=+

→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明：．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 01x x

＂当时，是无穷小＂是＂＂的：充分但非必要条件

必要但非充分条件

充分必要条件

既非充分条件，亦非必要条件

答（）x x f x A f x A A B C D x x →-=→00

()lim ()()()()() 若，，但．证明：的充分必要条件是．lim ()lim ()()lim ()()

lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-?=00

000000

高等数学函数极限练习题

设 f ( x ) 2 x ，求 f ( x ) 的定义域及值域。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ，求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定义函数 I ( x) 表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，若 f ( x) 表示将 x 之值保留二位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用表示 f ( x) 。 I ( x) 定义函数 I ( x) 表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，若 g ( x) 表示将 x 依 4 舍 5 入法则保留 2 位小数，试用 I ( x) 表示 g ( x) 。在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸 t 份，而销售量为 x 份，试将报摊的利润 y 表示为 x 的函数。定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ，问在 0 ，上 f ( x ) 是否有界？函数 y f ( x ) 的图形是图中所示的折线 O BA ，写出 y f ( x) 的表达式。 x 2 ， 0 x ； x ， x ；设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ，．，． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1，求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ；设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ，．． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ；求 f ( x ) ．设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ；求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0．． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )．设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1

高等数学1.3-函数的极限

第三节函数的极限（一）教学目的：（1）理解函数极限和左、右极限的概念；（2）理解无穷小概念，掌握其性质教学重点：函数极限的概念，无穷小概念教学难点：函数极限的概念的理解与应用教学方法：讲授法教学时数：2课时本节我们将数列极限的概念推广到一元实值函数，然后研究函数极限的性质及其运算法则. 一、函数极限的概念 1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 1）+∞→x 时的极限： +∞→x 读作“x 趋于正无穷大”，表示x 无限增加，0x > ．例：对于x x f 1)(= ，当自变量+∞→x 时，x x f 1 )(=与常数0无限接近．复习数列极限的定义：数列{}n x 以a 为极限即a x n n =∞ →lim ? 0>?ε，N ?，N n >时,ε<-a x n ．令()n f x n =，则()?=∞ →a n f n lim 0>?ε，N ?，当N n >时，()ε<-a n f ．将n 换成连续变量x ，将a 改记为A ，就可以得到x →+∞时，()A x f →的极限的定义及其数学上的精确描述．定义3.1：设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X >时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →+∞时的极限，记作()lim x f x A →+∞ =，或()A x f →，（x →+∞）．几何意义：对任意给定的0ε>，在轴上存在一点X ，使得函数的图象 {(,)|(),(,)}x y y f x x a =∈+∞在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-?+∞A A X 内． 2）x →-∞时的极限： x →-∞读作“x 趋于负无穷大”，表示x 无限增加，0x < ．定义：设函数)(x f 在),(a -∞内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X <-时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →-∞时的极限，记作()lim x f x A →-∞ =

(完整版)高等数学第一章函数与极限试题2

高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则（A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e

5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16．二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____

高等数学极限习题500道

答（）．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当2 32123211cos )(1) 1()(03 1 2 --= -=β-+=α→D C B A a x x ax x x []之值．求)12ln()12ln(lim --+∞ →n n n n _____________sin 1lim 3 2 02 =--→的值x x x e x x 求极限之值．lim ()cos sin x x x x x →+-0212 [] 答（）．．．．2 ln 01)1ln(lim 2 )1(1 1 D C B A x x x ∞= +-→ 答（）．．．．2 1) 21(lim 2sin 0 D e C e B A x x x x = +→ _____________6 9lim 223的值等于---→x x x x ．不存在．．．D C B A e e e e x x x x x 123 1 234lim =++--∞→ 答：（） lim ()()() ....x x x x A B C D →∞-+-=-?236111 2335853 不存在答：（） ____________)61()31()21(lim 15220 10=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x x x e e x -→- ．求极限12 3lim 233 1+--+-→x x x x x x 求之值．lim () x x x x x →+--+034 16125

关于极限结论是：不存在答（） lim x x e A B C D →+0 1535305 4 答（）不存在 2 .2. ..0.1arctan tan lim 0 π-π=?→D C B A x x x 答（） 2 . 1..0.)arctan(lim 2π ∞=∞→D C B A x x x 答（）不存在 .2.2.2.3 1 2lim 2 D C B A x x x ±-= ++∞ → ___________)0(23 )(1 =-+=f e x f x ，则设答（）不存在 2 . ...0.1cot arc lim 0 π π=→D C B A x x ____________cos 13lim 20的值等于x x e e x x x ----→ lim (cos ) .....x x x A B C D →-= -0212220 不存在答：（）

高等数学函数极限练习试题

设x x x f += 12)(，求)(x f 的定义域及值域。，，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。的取整函数，试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=．，；，．，；，　设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ?? [][]设，；，．，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=．，；，．，　；，设000)(00)(2 x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设，，；，．求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1 2002?? []设，；，　．求．f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 ．求．，；，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<=

高等数学极限习题100道

[]A x f A u f u x u x x x u u x x =?=≠?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00试证：，又，且设设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；当时，为无穷大。 f x x x a b x a f x x b f x ()ln ()()= -→→1 设，问：当趋于何值时，为无穷小。f x x x x f x ()tan ()=2 ．该邻域内　的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00 x f x g x A B B x g A x f x x x x >>==→→ 设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。 lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<0 00010201221εδδδε ．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim 0)(lim 0 {}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x + 设　其中、为常数，，求的表达式；确定，之值，使，． f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()lim sin cos() ()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121 1 21 021211π π ．，求，设)(lim )()()()(1)(33)(22x f x f x x x x f x x x n n n n ∞ →=?++?+?+=+-=? 求的表达式．f x x x x x x x x n n ()lim ()()=+++++++?? ????→∞-11122221 求的表达式。f x x x x x x x n n n n ()lim ()()()=+-+-++-???? ? ?→∞1121212222 ．的表达式，其中求01 )1(1)1(lim )(≥+++++=∞ →x x x x x x f n n n ．，其中求数列的极限1)321(lim 12<++++-∞ →q nq q q n n

大学高等数学函数极限和连续

第一章函数、极限和连续 §1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),

则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:

高等数学极限习题100道

设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==00 求极限lim sin sin x x x x →021 []求极限lim cosln()cosln x x x →+∞ +-1 求极限．lim sin x x x →+011 求极限．lim arctan x x x x →∞+2112 求极限lim ()x x x e →∞+11 求极限limarctan arcsin x x x →∞?1 求极限．lim x x x →-+0121 22 )sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限 []A x f A u f u x u x x x u u x x =?=≠?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00试证：，又，且设设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；当时，为无穷大。 f x x x a b x a f x x b f x ()ln ()()= -→→1 设，问：当趋于何值时，为无穷小。f x x x x f x ()tan ()=2 ．该邻域内　的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00 x f x g x A B B x g A x f x x x x >>==→→ 设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<0 00010201221εδδδε ．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim 0)(lim 0 {}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x + 求的表达式f x x x x n n n ()lim =-+→∞+2121

同济大学(高等数学)_第一章_函数极限

第一篇函数、极限与连续第一章函数、极限与连续高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、表示集合，用小写字母a 、b 、c 、表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ?，读作“a 不属于A ”. 一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ. 集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成 A ={1,2,3,4,5}；第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =；（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+ N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+；（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 限是否存在在：（i ）数列{} n x a 的（ii ）x f x ∞ →lim )( (iii) x f x x =→lim )( (iv)单调有界准则（v （vi ）柯西收必要条件是： ε?>?,01.2.洛必达（L ’ x 趋近告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()()(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。

3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； 3211253)! 32(cos )1()!12()1(!5!3sin ++++-++-+-+-=m m m m x m x m x x x x x θ cos=221242)!22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ 1132+-n n n n x x x x 4.5.6.1）设0>>>c b a ， n x =n n ∞ →∞ →a x n n =∞ → （2）求??????++++∞→222)2(1)1(11lim n n n n 解：由n n n n n n n 1 111)2(1)1(1102222 22 =+++<++++< ，以及01 0lim lim ==∞ →∞ →n n n 可知，原式=0 (3)求???? ??++ ++++∞→n n n n n 2 22 1 2 11 1 lim 解：由 n n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++<++++++<=++222222111121111111 , 以及

同济大学(高等数学)_第一章_函数极限

高等数学函数及极限教案

第一章函数与极限教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数一、集合 1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a M. 集合的表示:

列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A ={a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A ={a 1, a 2, ? ? ?, a n }, M ={x | x 具有性质P }. 例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N ={0, 1, 2, ???, n , ???}. N +={1, 2, ?? ?, n , ???}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={???, -n , ???, -2, -1, 0, 1, 2, ???, n , ???}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A , 则必有x ∈B , 则称A 是B 的子集, 记为A ?B (读作A 包含于B )或B ?A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A ?B 且B ?A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B . 若A ?B 且A ≠B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 或x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 且x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B ={x |x ∈A 且x ?B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A ?B =B ?A , A ?B =B ?A ; (2)结合律 (A ?B )?C =A ?(B ?C ), (A ?B )?C =A ?(B ?C ); (3)分配律 (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ), (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ); (4)对偶律 (A ?B )C =A C ?B C , (A ?B )C =A C ?B C .

高等数学极限练习题

1、求函数2 1arcsin )2lg(1-+-=x x y 的定义域。 2、已知函数)(x f 的定义域是)0,(-∞，求函数)(ln x f 的定义域。 3、已知函数)(x f 的定义域是]1,0[，求)2(),2(x f x f +的定义域。 4、设函数)(x f 的定义域是]2,1[，则函数)ln 1(x f -的定义域是什么？ 5、设b ax x x f ++=2)(，其中b a ,为待定常数。 ① 已知0)2()3(==-f f ，求这个函数。 ② 求)()(),1(),(00x f h x f x f x f -+- 6、已知1)1(3-=-x x f ，求)(x f 。 7、设?????>-=<=11 10 11)(x x x x f x e x g =)( 求)]([)],([x f g x g f ，并画出两函数的图像。 8、设函数???>≤=0100)(x x x f ???≥-<-=1111)(x x x x x g 证明：)]([)(1x f g x f =- 9、设函数)(x f y =的图像关于原点对称，且当0x 时)(x f 的表达式。 10、已知)(x f 在]2,2[-上是偶函数，且当]0,2[-∈x 时，x x x f +=22)(，则当]2,0[∈x 求函数 )(x f 的表达式。 11、设函数)(x f 在区间),(a a -上有定义，求证：)()(x f x f -+是偶函数。)()(x f x f --是奇函数。 12、设)(x f 为奇函数，,)1(a f =且)2()()2(f x f x f =-+ ① 试用a 表示)5(),2(f f 。 ② 问a 取何值时，)(x f 以2为周期。

高等数学函数极限

1 第一章函数极限与连续高等数学可以说是变量数学，它的研究对象、研究方法与初等数学相比都有相当大的差异。它主要研究对象是函数，它的主要内容是微积分学，它的主要手段是以极限为工具，并在实数范围内研究函数的变化率及其规律性，从而产生微积分的基本概念及性质。本章主要介绍函数的概念及其基本性质；数列与函数的极限及其基本性质；连续函数的概念及其基本性质，为进一步学好函数的微积分打下一个良好的基础。第一节函数的概念一、几个基本概念 1 常量与变量在日常生活或生产实践中，观察某一个事件的结果往往是用一个量的形式来表现的，在观察的某一个过程中始终保持不变的量称之为常量，经常变化的量称之为变量。通常用小写字母a 、b 、c …… 等表示常量，用小写字母x 、y 、z 、…… 表示变量。例如：圆周率π是永远不变的量，它是一个常量；某商品的价格在一定的时间段内是不变的，所以，在这段时间内它也是常量；又如一天中的气温，工厂在生产过程中的产量都是不断变化的量，这些量都是变量。注意： 1 常量和变量是相对的，它们依赖于所研究的过程和所研究的对象。在不同的过程中常量和变量是可以转化的。如商品的价格，某段时间是常量，另一段时间就有可能是变量了； 2 从几何意义上来表示，常量对应数轴上的定点，变量对应数轴上的动点。 2 集合、区间集合是表示具有同一种属性的全体。例如：某班的全体学生组成一个集合；长虹集团05年度的所有产品组成一个集合；所有正有理数仍组成一个集合等等。有关集合的运算、集合的表示等方面的基本知识，中学数学已有介绍，这里就不一一赘述了下面向读者介绍高等数学中常用的数集及其简明表示符号：开区间：()b a ,={} | b x a x << ；

(完整版)高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以() x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ．错误如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ．错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ．错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

高等数学函数极限与连续习题及答案

高等数学函数极限与连续习题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与 ()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ．错误如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ．错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ．错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点．

高等数学(函数与极限)

目录一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12)

一、函数与极限 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

高等数学极限习题集500道汇总

．求证：存在，且，＝时，设当βα =β+βα+αβ α β=βαα→→→→000 lim lim lim )()(1 1110x x x x x x o o x x 答（）．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当2 32123211cos )(1) 1()(03 1 2--= -=β-+=α→D C B A a x x ax x x （）答阶的是时，下述无穷小中最高当x x D x C x B x A x sin 11cos 1022----→ []之值．求)12ln()12ln(lim --+∞ →n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞ →n n n n ．求极限)1 1ln()21(lim n n n ++∞ → _____________sin 1lim 32 02 =--→的值x x x e x x ．及求证：，，设有数列n n n n n n n n n n a a a y a a a a b b a a a ∞ →+∞ →∞ →++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221 ．及，求记：，　．，设n n n n n n n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-= +=>>==lim lim 112)0(1 1 1 221 求极限之值．lim ()cos sin x x x x x →+-0212 设，；且试证明：． lim ()lim ()lim () () x x x x x x v x B u x A A v x B u x A →→→=>==0 [] 答（）．．．．2 ln 01)1ln(lim 2)1(1 1 D C B A x x x ∞= +-→