实数 教学设计

实数（1）教学设计

一、教材分析

从《数学课程标准》看，关于数的内容，第三学段主要学习有理数和实数，它们是“数与代数”领域的重要内容。对于有理数和实数，本套教课书安排3章内容，分别是7年级上册第1章“有理数”，7年级下册第6章“实数”和8年级下册第16章“二次根式”。本章是在有理数的基础上认识实数，对于实数的学习，除本章外，还要在“二次根式”一章中通过研究二次根式的运算，进一步认识实数的运算。

本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算。通过本章的学习，学生对数的认识就由有理数范围扩大到实数范围，本章之前的数学内容都是在有理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题。虽然本章的内容不多，篇幅不大，但在中学数学中占有重要的地位，本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。

二、学情分析

七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根．这些都为本课时学习实数的运算法则、运算率提供了知识基础当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及下节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．

1．教师主观分析、师生访谈、学生作业或试题分析反馈、问卷调查等是比较有效的学习者分析的测量手段。

2．学生认知发展分析：主要分析学生现在的认知基础（包括知识基础和能力基础），要形成本节内容应该要走的认知发展线。

3．学生认知障碍点：学生形成本节课知识时最主要的障碍点。

三、教学目标

知识技能：1.通过对实际问题的探究,使学生认识到数的扩充的必要性.

2.了解无理数和实数的概念.

3．会判断一个数是有理数还是无理数.

数学思考：1.经历从有理数逐步扩充到实数，了解人类对数的认识是不断发展的。

2.从有理数的形式变化和已见过的无理数入手，引入无理数概念。解决问题：1. 通过无理数的引入，使学生对数的认识由有理数扩充到实数．

2.综合以前学过的有理数，进行实数分类练习，掌握实数概念与数轴

的关联。

情感态度：1.从常见数入手，培养学生类比分类能力，并通过数轴体会数形结合思想。

2.通过了解数系扩充，体会数系扩充对人类发展的作用．

3.敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问

题。

四、教学重、难点

重点：1.无理数概念的探索过程.

2.正确理解无理数和实数的概念，实数的分类。

难点：理解无理数的概念和实数与数轴上的点一一对应的关系。

五、教学过程

（一）情境引入

1、请把下列分数写成小数的形式：

45= -53= 427= 4

31= 119= 我们发现：上面的分数都可以写成

或 。

（教师说：反之，任何__有限__小数或_无限循环__小数也都是有理数。对于整数，我们也可以把它看成小数点后是0的小数。）

【设计意图】：请学生计算并从中感知分数化成小数后的形式特点，从而为后续无理数概念的引入形成对比，为无理数的讲解作铺垫。

（二）探究新知

2、观察 2，3-，32，33这些平方根和立方根，它们都是__无限不循环_小数， _无限不循环_小数又叫无理数，

【设计意图】：请学生观察最近遇到的数，并注意这类数的形式特点以及其与“有限小数和无限循环小数”的区别，进而形成无理数的概念则水到渠成。 可再请学生说出几个无理数，如5，

3

π等。 【设计意图】：学生举例加深对无理数的理解。 例1、下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？

3π，7

22，32，?32.0，327-，16，......131331333.0（每相邻两个1之间的3的个数逐次加1），0。

有理数集合 { …}

无理数集合 { …}

【设计意图】：在概念给出之后，通过例题区分有理数和无理数本质区别，从而来划分具体的数，提升学生及时分辨的能力。

追问1：用根号形式表示的数一定是无理数吗？

追问2：“有限循环小数”和“小数部分有规律”是一个意思吗？

【设计意图】：以两个追问进一步加深理解：判断一个数是有理数还是无理数，应该从它们的定义去辨别，而不能从形式上去分辨。

及时跟踪练习1：

1、下列各数π，7

1-，2)5(-，3.14，2，0 中，有理数的个数有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

2、在0，0.1001000100001....,3,38,31-,39-中，无理数分别是 。

（过度结论： __有理数__和_无理数__统称为实数）

【设计意图】：通过练习深化学生对概念的掌握。

（板书：实数分类）

（1）按定义从形式上分：

??????????→?整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数

（2

有不同的分法。进而感受到数从有理数到实数的扩充。

例2、把下列各数分别填在相应的集合中：

π-，-3.1415926，3-，1.732,?3.0,36

25,7,16-

有理数集合 无理数集合

【设计意图】：以例题的方式，学生通过互相的讨论和交流，进一步加深对无理数和实数的理解。

及时跟踪练习2：

3、把下列各数填入相应的集合内：

3.1,0.808008000881501-42

π-?，（每相邻两个之间

的的个数逐次加），，，①整数集合 { …}

②负数集合 { …}

③无理数集合 { …}

④分数集合 { …}

实数

【设计意图】：进一步的练习，从而培养学生独立思考的能力，及对有关概念的辨析能力，初步形成对实数整体性的认识。

追问3：“有小数点的数”一定可以看作“分数”吗？

【设计意图】：用再次追问来澄清实数的分类不能只看表象。

（三）新知再探

探究1：

我们知道：有理数都可以用数轴上的点表示，如图：

12- 0 3.6

【设计意图】：让学生回忆有理数可以用数轴上的点表示，为接下来的无理数也可以用数轴上的点表示埋下伏笔。

若一个直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O ′，点O ′表示的数是多少？

可知：无理数π可以用数轴上的点表示。

【设计意图】：通过周长为π的圆在数轴上的动态滚动演示使学生真真切切的但知道无理数π确实可以用数轴上的点来表示。

探究2：

给学生统一分发一张边长为一个单位长度的正方形纸片，并要求大家用直尺在该纸片上画出长度为2的线段，同时老师在黑板上以同样的单位长度画一个数轴，等学生画好后教师展示学生画图的结果，并用圆规在该数轴上截取2的

可以用数轴上的点表示。

可知：无理数2

（教师说：归纳起来可以发现，每一个有理数都可以用数轴上的点表示；每一个无理数都可以用数轴上的点表示；也就是实数与数轴上的点是一一对应的。）【设计意图】：让学生动手实践，在学生已有认知的基础上参与发现另一个无理数也可以在数轴上表示出来，以这种方式将课本静态的知识点活动化，进而提升学生的数学学习兴趣和积极性，使知识点的呈现更为直观，初步渗透数形结合的思想。

例3、判断：

（1）实数不是有理数就是无理数（）

（2）无限小数都是无理数（）

（3）无理数都是无限小数（）

（4）带根号的数都是无理数（）

（5）所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数（）

【设计意图】：以解决了问题的形式，使学生层层深入地理解数形结合的对应关系，并通过问题的解决心存获得感，增强学生学好数学的信心。

及时跟踪练习3：

5、下列命题错误的是（）

A、有最小的正数

B、没有最大的有理数

C、有绝对值最小的数

D、正分数既是有理数又是实数

6、下列结论正确的是（）

A、无限小数是无理数

B、两个无理数之和一定是无理数

C、无理数都是带根号的数

D、无理数都是无限不循环小数

（四）课堂小结

请学生谈谈：（1）我们学到了什么？

（2）你有什么疑问？

【设计意图】：请学生总结本节课的收获，再一次对本课所学形成一个整体性的认知。

（五）作业布置

教材习题6.3第1、2、6、9题；

【设计意图】：通过作业巩固内化新学知识点。

六、板书设计

6.3 实数

无理数的定义：

实数分类

按定义：

??????????→?整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数

按正负：

例题解析

七、教学反思 由于分类的标准不同，实数分类的方法可以有多种.在这主要介绍了两种分类方法：一种是按有理数和无理数分类；一种是按实数的大小分类.无论采取哪种分类方法，关键是不重不漏。通过教学，向学生渗透对概念进行分类的原则：一是要选定一个属性为标准，选择的标准不同，分类的结果也不同，但每次分类不能同时选用两个以上的不同属性作标准；二是不越级进行分类，就是说分类的结果应该是它的邻近的种类概念，而不能越级，如把实数分为整数、分数和无理数，就是越过了“有理数”这一级，这是不正确的。正确的科学分类经常采用二分法，即在每一次分类时，将被分类的所属概念以某一属性为标准，分成且仅分成互不相容的两个矛盾关系的两种概念，并且逐级地这个分下去。二分法不仅是全面地、系统地掌握要领的重要的分类方法，而且也是系统地分析问题和解决问题的有力方法。

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