万有引力计算公证明

球体间万有引力计算的探究

南京市第12中学杨伟

高中物理中关于万有引力定律是这样叙述的“自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比。”这种表达是很不严密的。因为距离应该是两个点之间的，当物体可视为质点时没有问题，但当物体不能看成质点时就为难了。对此人教版普通高中课程标准实验教科书物理必修2 P70上有这么一段说明：““两个物体间的距离”到底是指物体哪两部分间的距离？对于可以看做质点的物体，当然就是这两个点间的距离。如果是地球，月球等球体，牛顿应用微积分的方法得知，这个距离应该是球心间的距离。”（其中加下划线的三个“间”是本人加上去的）

牛顿是怎样用微积分的方法得知的，我们都不得而知，所有的教参上也都没有提到。我想做一件被大家忽略的事或许会有点意思。于是就有了下文，我用两种方法来证明“对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。”

方法一：微积分方法。这种方法比较复杂，为了简化，我用命题1和命题2做铺垫。

命题1。质量分布均匀的圆环对在其轴线上的质点的万有引力。

设环质量为m 1 ,质点质量为m 2 ,环半径为r , 环中心到质点的距离为x ,把环分成许多小段, 任取一小段可视为质点,其质量为d m ,它对质点的引力为d F ,再把其分解为沿轴和垂直于轴的两个分量d F1和d F2 ,由于质量分布均匀,由

对称性可知环上所有d m 对质点引力的d F2分量的矢量和为零,所以环对质点的引力为: F=

1m dF ?

而d F1=d F cos ?

=()

2121

2222

cos Gm dm Gm dm Gm xdm r x r x

θ=?=

+++ .

所以

()

1213

F m Gm m x

F d r

+? .

命题2: 质量分布均匀的圆面对在其轴线上的一个质点的万有引力.

设圆面质量为M 1 ,质点质量为m 2 ,圆面半径为R, 圆心到质点的距离为x , 在圆面内任取一半径为r 宽为d r 的同心圆环,则由命题1得此圆环对质点m 2的引力为

()

()12212332222222

22r r F M G rd m x

GM m xrd R d r x R r x ππ?? ???==++

()()()()

()12320

0222

22123202221

2122

1212222

2121R

R R R

GM m x r F dF dr R

x r GM m x d x r R

x r GM m x x r R GM m x R x R -==+=++??=

-+???

???

??=-????+??

正题: 质量分布均匀的球体对其外的一个质点的万有引力.

设球的质量为M,质点的质量为m, 球心到质点的距离为L,球半径为r.为了计算球对质点的引力,可以在球中截取

一半径为R 厚度为dx 并且其轴线与球心和质点的连线重合的圆片,设此圆片的中心到质点m 的距离为x. 则由命题2可得该圆片对质点的引力为:

为了计算

()()()

()()()23

12222

132222

22132221322213222243131231223122322L r L r L r L r M G R dx m r x dF R x R GMm x dx r x R R r L x GMm x dF dx r

r L Lx GMm x F dx r r L Lx GMm x dx d r r L Lx ππ+-+-??

? ??? ?????=-????+??

??=-???

+??

=--????

∴=-????-+??

??=-?

???

-+??

=+-+??2L r L r L r

L r

x dx r

+-+-??

??????=??

()

2L r

L r

L Lx +--+?

所以

32222(2).

3r Mm r r G L L

??--=????33GMm F=2r

这说明：对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。

方法二：类比法，为了数学形式的对称，我引入了万有引力场强度和万有引力通量着两个概念，不知是否恰当，请专家指点。

2211.44Qq Mm F r r r r πεπε=

?=?引电库仑定律：万有引力定律:F 1

)4G πε=（令

电场强度：

F E q =

电电。万有引力场强度：

F E m =引

引。

电通量：d E ds Φ=?电万有引力通量：d E d s φ=?引 .

()

()()()()()

()()()()()()()()()()

2211

22212

22221

221

22222212

22111

2232

231

232r L a L b x

dx dx a bx r

L Lx a bx a d a bx b

a bx a bx a a bx d a bx d a bx b

b a bx a

a bx a bx C

b b

a bx bx a C b

r L Lx r L Lx C

L Lx -===+-+??+??=-+??++????=++-

++=+-++=+?-+=--+?--+∴-+?

???

令，则

还原()()1

22223212322.

3L r

L r

L r dx r L Lx r L Lx L r r L ++--??=--+?--??

??=-?

高斯定律：q

E d s ε

??电（q 为闭合面内的总电量）

应用高斯定律，计算均匀带电球体在其外任一点p 的电场强度。设球半径为R,带电量为Q,球心到p 点的距离为r. 过p 点作与带电球同心的球面S,因为电荷分布均匀

由对称性可知S 面上各点的场强大小相等设为E ，方向沿径向，通过S 的电通量为：24s

E d s E r πΦ=?=???

电

由高斯定律得：

444Q

E r r r

πε

πεπε?=电Q 即 E=

Q E =

r 其中r 为径向单位矢量。

由于数学表达式完全对称，因此，同理可得，质量分布均匀的球体在其外任一点的万有引力场强度为：。

E r r

πε=

引 M 为球的质量, r 为球心到所取点的距离.

因为 14G πε

所以 2

E G

r r =引。

又因为质点的引入不会影响球体的质量分布，故在所取点上放入一质量为m 的质点时，球对该质点的万有引力为：

2.Mm

F E m G

r r

=?=引引（其中的r 为沿球心和质点的连线向内的单位矢量）。

这也证明了：对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。

参考：1、高中物理教材。

2、清华大学教材《大学物理学》第三册〈〈电磁学〉〉张三慧主编

3、〈〈电磁学〉〉梁灿彬秦光戎

梁竹健编

万有引力与航天单元测试题一、选择题 1．关于日心说被人们接受的原因是( ) A．太阳总是从东面升起，从西面落下 B．若以地球为中心来研究的运动有很多无法解决的问题 C．若以太阳为中心许多问题都可以解决，对行星的描述也变得简单 D．地球是围绕太阳运转的 2．有关开普勒关于行星运动的描述，下列说法中正确的是( ) A．所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 B．所有的行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上 C．所有的行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 D．不同的行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的 3．关于万有引力定律的适用范围，下列说法中正确的是( ) A．只适用于天体，不适用于地面物体 B．只适用于球形物体，不适用于其他形状的物体 C．只适用于质点，不适用于实际物体D．适用于自然界中任意两个物体之间 4．已知万有引力常量G，要计算地球的质量还需要知道某些数据，现在给出下列各组数据,可以计算出地球质量的是( ) A．地球公转的周期及半径B．月球绕地球运行的周期和运行的半径 C．人造卫星绕地球运行的周期和速率D．地球半径和同步卫星离地面的高度 5．人造地球卫星由于受大气阻力，轨道半径逐渐变小，则线速度和周期变化情况是( ) A．速度减小，周期增大，动能减小B．速度减小，周期减小，动能减小 C．速度增大，周期增大，动能增大D．速度增大，周期减小，动能增大 6．一个行星，其半径比地球的半径大2倍，质量是地球的25倍，则它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的( ) A．6倍B．4倍C．25/9倍D．12倍 7．假如一个做圆周运动的人造卫星的轨道半径增大到原来的2倍仍做圆周运动，则( )

【1】天体的质量与密度的估算下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r 根据万有引力定律：r T 4m r Mm G 2 22π=……①得：23 2G T r 4M π=……②可见A 正确而T r 2v π= ……由②③知C 正确对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3 R 4M 3 π= ρ ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π = ρ 可见D 错误球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力由2 R Mm G mg =得：G g R M 2= 可见B 正确【2】普通卫星的运动问题我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。问：哪颗卫星的向心加速度大？哪颗卫星的线速度大？若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少？解析：由开普勒第三定律T 2∝r 3知：“风云二号”卫星的轨道半径较大又根据牛顿万有引力定律r v m ma r Mm G 2 2==得： 2r M G a =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， r GM v =，可见“风云一号”卫星的线速度大， “风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。【探讨评价】由万有引力定律得：2 M a G r =，v = ω= 2T π = 【3】同步卫星的运动下列关于地球同步卫星的说法中正确的是： A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h C 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上 D 、不同通讯卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。

M N 万有引力基础练习 1.对某行星的一颗卫星进行观测，运行的轨迹是半径为r 的圆周，周期为T 。求：（1）该行星的质量。（2）测得行星的半径为卫星轨道半径的十分之一，则此行星的表面重力加速度有多大？ 2、宇航员到达某行星表面后，用长为L 的细线拴一小球，让球在竖直面内做圆周运动。他测得当球通过最高点的速度为v 0时，绳中张力刚好为零。设行星的半径为R 、引力常量为G ，求：（1）该行星表面的重力加速度大小；（2）该行星的质量；（3）在该行星表面发射卫星所需要的最小速度。 3．一颗人造卫星的质量为m ，离地面的高度为h ，卫星做匀速圆周运动，已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，求：（1）卫星受到的向心力的大小（2）卫星的速率（3）卫星环绕地球运行的周期 4.2007年10月24日，中国首颗探月卫星“嫦娥一号”从西昌卫星发射中心发射升空，11月26日，中国第一幅月图完美亮相，中国首次月球探测工程取得圆满成功．我国将在2017年前后发射一颗返回式月球软着陆器，进行首次月球样品自动取样并安全返回地球。假设探月宇航员站在月球表面一斜坡上的M 点，并沿水平方向以初速度v 0抛出一个质量为m 的小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点N ，斜面的倾角为，已知月球半径为R ，月球的质量分布均匀，万有引力常量为G ，求：（1）月球表面的重力加速度/g ；（2）人造卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度．

5、我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。设卫星距月球表面的高度为h ，做匀速圆周运动的周期为T 。已知月球半径为R ，引力常量为G ，球的体积公式343 V R π=。求：（1）月球的质量M ；（2）月球表面的重力加速度g 月；（3）月球的密度ρ。 6、我国通信卫星的研制始于70年代331卫星通信工程的实施，到1984年4月，我国第一颗同步通信卫星发射成功并投入使用，标志着我国通信卫星从研制转入实用阶段．现正在逐步建立同步卫星与“伽利略计划”等中低轨道卫星等构成的卫星通信系统．（1）若已知地球的平均半径为R 0，自转周期为T 0，地表的重力加速度为g ，试求同步卫星的轨道半径R ；（2）有一颗与上述同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步轨道半径R 的四分之一，试求该卫星的周期T 是多少？（计算结果只能用题中已知物理量的字母表示） 7、据中国月球探测计划的有关负责人披露,未来几年如果顺利实现把宇航员送入太空的目标，中国可望在2010年以前完成首次月球探测.一位勤于思考的同学为探月宇航员设计了如下实验:在距月球表面高h 处以初速度v0水平抛出一个物体,然后测量该平抛物体的水平位移为x ，通过查阅资料知道月球的半径为R,引力常量为G ，若物体只受月球引力的作用,请你求出： (1)月球表面的重力加速度; (2)月球的质量; (3)环绕月球表面运动的宇宙飞船的速率是多少?

第4章曲线运动万有引力与航天一、选择题(本大题共15小题) 1．一个物体受到恒定的合力作用而做曲线运动，则下列说法正确的是 A．物体的速率可能不变 B．物体一定做匀变速曲线运动，且速率一定增大 C．物体可能做匀速圆周运动 D．物体受到的合力与速度的夹角一定越来越小，但总不可能为零 2．一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y方向上的分运动速度随时间变化的规律如图1所示．关于物体的运动，下列说法正确的是图1 A．物体做曲线运动 B．物体做直线运动 C．物体运动的初速度大小是50 m/s D．物体运动的初速度大小是10 m/s 3．小船过河时，船头偏向上游与水流方向成α角，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸．现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是 A．增大α角，增大船速v B．减小α角，增大船速v C．减小α角，保持船速v不变 D．增大α角，保持船速v不变 4．(2011·上海市闸北调研)质量为2 kg的质点在x－y平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图2所示，下列说法正确的是

图2 A ．质点的初速度为5 m/s B ．质点所受的合外力为3 N C ．质点初速度的方向与合外力方向垂直 D ．2 s 末质点速度大小为6 m/s 5．如图3所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦转动，相互之间不打滑，其半径分别为r 1、r 2、r 3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为图3 A.r 1ω1r 3 B.r 3ω1 r 1 C. r 3ω1r 2 D.r 1ω1 r 2 6．如图4所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O.现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F 表示球到达最高点时杆对小球的作用力．则F 图4 A ．一定是拉力 B ．一定是推力 C ．一定等于0 D ．可能是拉力，可能是推力，也可能等于0

万有引力定律种典型题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

万有引力定律12种典型题【案例1】下列哪一组数据能够估算出地球的质量（） A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。设地球的质量为M，卫星的质量为m，卫星的运行周期为T，轨道半径为r 根据万有引力定律：【探讨评价】根据牛顿定律，只能求出中心天体的质量，不能解决环绕天体的质量；能够根据已知条件和已知的常量，运用物理规律估算物理量，这也是高考对学生的要求。总之，牛顿万有引力定律是解决天体运动问题的关键。【案例2】普通卫星的运动问题我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12h，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24h。问：哪颗卫星的向心加速度大哪颗卫星的线速度大若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少？解析：本题主要考察普通卫星的运动特点及其规律由开普勒第三定律T2∝r3知：“风云二号”卫星的轨道半径较大 ⑴所有运动学量量都是r的函数。我们应该建立函数的思想。⑵运动学量v、a、ω、f随着r的增加而减小，只有T随着r的增加而增加。⑶任何卫星的环绕速度不大于7.9km/s，运动周期不小于85min。⑷学会总结规律，灵活运用规律解题也是一种重要的学习方法。【案例3】同步卫星的运动下列关于地球同步卫星的说法中正确的是： A、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h C、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上 D、不同通讯卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。解析：本题考察地球同步卫星的特点及其规律。同步卫星运动的周期与地球自转周期相同，T=24h，角速度ω一定

五、万有引力 1、开普勒三定律： ⑴开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上 ⑵开普勒第二定律（面积定律）：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积 ⑶开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等对T 1、T 2表示两个行星的公转周期，R 1、R 2表示两行星椭圆轨道的半长轴，则周期定律可表示为32 312221R R T T = 或k T R =3 3，比值k 是与行星无关而只与太阳有关的恒量【注意】：⑴开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此时k T R =33 ‘ ，比值k ’ 是由行星的质量所决定的另一恒量。 ⑵行星的轨道都跟圆近似，因此计算时可以认为行星是做匀速圆周运动 ⑶开普勒定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，它们每一条都是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的。例题：飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T ，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切，如图所示，如果地球半径为R 0，求飞船由A 点到B 点所需要的时间。解析：依开普勒第三定律知，飞船绕地球做圆周（半长轴和半短轴相等的特殊椭圆）运动时，其轨道半径的三次方跟周期的平方的比值，等于飞船绕地球沿椭圆轨道运动时，其半长轴的三次方跟周期平方和比值，飞船椭圆轨道的半长轴为 2 R R +，设飞船沿椭圆轨道运动的周期一、知识网络二、画龙点睛概念

《万有引力与航天》测试题一、选择题（每小题4分，全对得4分，部分对的得2分，有错的得0分，共48分。） 1.第一次通过实验比较准确的测出引力常量的科学家是（） A ．牛顿 B ．伽利略 C ．胡克 D ．卡文迪许 2.如图1所示a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是（） A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度； B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度； C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等候同一轨道上的c ； D ．a 卫星由于某种原因，轨道半径变小，其线速度将变大 3.宇宙飞船为了要与“和平号“轨道空间站对接，应该：（） A.在离地球较低的轨道上加速 B.在离地球较高的轨道上加速 C.在与空间站同一高度轨道上加速 D.不论什么轨道，只要加速就行 4、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图2所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：（） A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。 B ．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。 C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的速度大于它在轨道2 上经过Q 点时的速度。 D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3 b a c 地球图1

上经过P 点时的加速度 5、宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的空间站中会处于完全失重中，下列说法中正确的是（） A.宇航员仍受重力的作用 B.宇航员受力平衡 C.宇航员受的重力正好充当向心力 D.宇航员不受任何作用力 6.某星球质量为地球质量的9倍，半径为地球半径的一半，在该星球表面从某一高度以10 m/s 的初速度竖直向上抛出一物体，从抛出到落回原地需要的时间为（g 地=10 m/s 2 ）（） A ．1s B ． 91s C ．18 1 s D ． 36 1 s 7.假如地球自转速度增大，关于物体重力，下列说法正确的是（） A 放在赤道地面上的万有引力不变 B 放在两极地面上的物体的重力不变 C 放在赤道地面上物体的重力减小 D 放在两极地面上的物体的重力增加 8、设想把质量为m 的物体放在地球的中心，地球的质量为M ，半径为R ，则物体与地球间的万有引力是（） A.零 B.无穷大 C.2 GMm R D.无法确定 9.对于质量m 1和质量为m 2的两个物体间的万有引力的表达式12 2m m F G r ，下列说法正确的是（）和m 2所受引力总是大小相等的 B 当两物体间的距离r 趋于零时，万有引力无穷大 C.当有第三个物体m 3放入之间时，m 1和m 2间的万有引力将增大 D.所受的引力性质可能相同，也可能不同 10地球赤道上的重力加速度为g ，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a ，要使赤道上物体“飘” 起来，则地球的转速应为原来转速的（）

万有引力定律·典型例题解析【例1】设地球的质量为M ，地球半径为R ，月球绕地球运转的轨道半径为r ，试证在地球引力的作用下： (1)g (2)(3)r 60R 地面上物体的重力加速度＝；月球绕地球运转的加速度＝；已知＝，利用前两问的结果求的值； GM R GM r g 22αα (4)已知r ＝3.8×108m ，月球绕地球运转的周期T ＝27.3d ，计算月球绕地球运转时的向心加速度a ； (5)已知地球表面重力加速度g ＝9.80m/s 2，利用第(4)问的计算结果，求的值．α g 解析： (1)略；(2)略； (3)2.77×10-4； (4)2.70×10-3m/s 2 (5)2.75×10-4 点拨：①利用万有引力等于重力的关系，即＝．②利用万有引力等于向心力的关系，即＝．③利用重力等于向心力 G Mm r mg G Mm r m 2 2α 的关系，即mg ＝ma ．以上三个关系式中的a 是向心加速度，根据题目的条件可以用、ω或来表示．v r r T 2224r 2 π 【例】月球质量是地球质量的，月球半径是地球半径的，在21811 38. 距月球表面14m 高处，有一质量m ＝60kg 的物体自由下落． (1)它落到月球表面需用多少时间？ (2)它在月球上的“重力”和质量跟在地球上是否相同(已知地球表面重力

加速度g 地＝9.8m/s 2)？解析：(1)4s (2)588N 点拨：(1)物体在月球上的“重力”等于月球对物体的万有引力，设 mg G M m R mg G M m R 22月月月地地地＝．同理，物体在地球上的“重力”等于地球对物体的万有引力，设＝．以上两式相除得＝，根据＝可得物体落到月球表面需用时间为＝＝×＝．月月g 1.75m /s S gt t 4s 2 2 12 2214 175S g . (2)在月球上和地球上，物体的质量都是60kg ．物体在月球上的“重力”和在地球上的重力分别为G 月＝mg 月＝60×1.75N ＝105N ，G 地＝mg 地＝60×9.8N ＝588N ．跟踪反馈 1．如图43－1所示，两球的半径分别为r 1和r 2，均小于r ，两球质量分布均匀，大小分别为m 1、m 2，则两球间的万有引力大小为： [ ] A ．Gm 1m 2/r 2 B ．Gm 1m 2/r 12 C ．Gm 1m 2/(r 1＋r 2)2 D ．Gm 1m 2/(r 1＋r 2＋r)2

均匀球体对质点的万有引力的计算及应用湖州中学竺斌牛顿从开普勒定律出发，研究了许多不同物体间遵循同样规律的引力之后，进一步把这个规律推广到自然界中任意两个物体之间，于1687年正式发表了万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。即： 2 r Mm G F =引 ① 这里的两个物体指的是质点。万有引力定律只给出了两个质点间的引力。而对于一般不能看成质点的物体间的万有引力，需将物体分成许多小部分，使每一部分都可视为质点，根据①式求出物体1各小部分与物体2各小部分之间的引力，每个物体所受的引力就等于其各部分所受引力的矢量和。但是，若物体为球体，且密度均匀分布，他们之间的引力仍然可以用上式计算，其中r 表示两球球心的距离，引力沿两球球心的连线。这一点在高中教材、教学参考书都没有给出证明，只是用简单的几句话带过。我用两种方法来证明“对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。”并计算均匀球壳对其内部质点的引力和均匀球对其内部的引力，仅供大家参考。一、有关引力的计算 1．用微积分法。 )1(．质点与均匀球体间的万有引力。若质点质量为m ，与球心的距离为R 。设球的半径为a ，密度为v ρ，质量为33 4 a M v πρ?=。建立如图所示的坐标系。根据对称性可知，球对质点的引力必沿z 方向，x ，y 方向上合力为0。球上取一微元，坐标为（r, θ，φ）,其体积为 ?θθd d r d r s i n 2。对质点的万有引力。 ?θ?? ρd drd rR R r r m G dF v cos 2sin 2 22-+= （R ＞a ）在z 方向上的分力为： ?θ???ραd drd rR R r r R r m G dF dF v z 2 32 2 2) cos 2(sin )cos (cos -+-=?= O φ (r,θ,φ) ·

第五讲万有引力定律重点归纳讲练知识梳理考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律（1）第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。（2）第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。（3）第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式： k T a =23 。其中k 值与太阳有关，与行星无关。（4）推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星旋转时，k T a =2 3 ，但k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。（5）中学阶段对天体运动的处理办法： ①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③k T R =2 3 ，R ——轨道半径。 2. 万有引力定律（1）内容：万有引力F 与m 1m 2成正比，与r 2 成反比。（2）公式：2 21r m m G F =，G 叫万有引力常量，2211 /10 67.6kg m N G ??=-。（3）适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r 指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。（4）两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。 3. 万有引力与重力的关系 (1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转所需的向心力f ，如图所示。 ①在赤道上，F=F 向+mg ，即R m R Mm G mg 22 ω-=； ②在两极F=mg ，即mg R Mm G =2 ；故纬度越大，重力加速度越大。由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。 (2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上，2 2 R GM g mg R Mm G =?=；在地球表面高度为h 处： 22)()(h R GM g mg h R Mm G h h +=?=+，所以g h R R g h 2 2 ) (+=，随高度的增加，重力加速度减小。考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度 1．T 、r 法：2 3 2224)2(GT r M T mr r Mm G ππ=?=，再根据3 23 33,34R GT r V M R V πρρπ=?== ，当r=R 时，2 3GT πρ= 2．g 、R 法：G g R M mg R Mm G 22 = ?=，再根据GR g V M R V πρρπ43,3 43=?== 3．v 、r 法：G rv M r v m r Mm G 2 22 =?=

计算题三大块：【平抛】简单的考：直接地考你两图像（位移、速度）八方程一推论（位移角和速度角），所以要基础很扎实啊不要算错数，这种分很好拿。再难一点：变化就很多了。小难题难小题“子子孙孙无穷匮也”。举个例子，有这样的题（数据记不太清了，你就看个大概意思吧）：一物体从斜面顶端平抛，问你小球飞行过程中什么时候离斜面最远。这时就需要你变换一下常规题的思维，常规来说平抛运动在水平和竖直方向分解，这道题则要从垂直斜面和与斜面平行方向分解。然后可以发现离斜面最远的临界条件是——垂直斜面速度分量为0（合速度方向与斜面平行）。【圆周运动】 ①水平面：常和静摩擦力联系判断临界条件。我们上学期期末考试就是，一个水平的转盘上面有一个和转盘一块儿转的物体，和转盘不发生滑动，知道最大静摩擦力，问你最大速度之类的。（记不太清了= =） ②竖直面：明确绳球模型和杆球模型的临界条件（区别是：杆球模型中杆不仅可以提供拉力，还可以提供支持力），知道这些个临界条件咋算的。绳球——临界条件v=√gR。v>=√gR，能做完整圆周运动，v<√gR则不行杆球——临界条件有二，v=0和v=√gR。v<0，不能做完整圆周运动 ③记得复习圆周运动在生活中的实例，找出对应模型（比如拱形桥、管轨道就可以看作竖直面内的杆球模型、汽车拐弯或转盘上物体可以简化成水平面内由摩擦力提供向心力的类型、火车拐弯是水平面内由支持力和重力合力提供向心力的类型等等）。【天体】很简单的，但肯定还是会考。两种类型： ①天体：向心力由万有引力提供。明确F万=GMm/R^2=ma=mV^2/R=mw^2R=m4π^2/T^2R。明确黄金代换GM=gR^2。注意如果是高轨卫星，高H，则不能生搬硬套，GM=g'(R+H)^2才对。g'为所处高度的重力加速度。 ②坐地赤道和坐地两极：记得考虑物体所受支持力。赤道：F万-N=ma 两极：F万-N=0 （其中N=mg）【总结】计算题别怵。审好题，步骤写清楚，受力分析运动分析公式它要啥咱有啥，就算那数不对，咱分儿也不会低。没思路的时候，想想做常规题是怎么想的，物理模型都有些啥，常规思路和模型们会指导你步入正轨的-V- 实验题：【平抛】温习一遍实验原理步骤（可作参考），讲课的时候你做了笔记的话更好。思考一下可以拔高的地方：求初速度、误差分析、频闪照片等。特别强调一下求初速度+坐标纸的类型。题目可能是给一张带坐标的频闪照片，你可以知道等时间间隔拍出来的A、B、C三点的坐标，让你求初速度。这种题要特别注意：它给你的坐标原点，不一定是平抛运动开始的点（即不一定Vy=0），所以不能代入h=1/2gt^2计算。用万能的百搭的△h=gt^2才对。【万有引力和航天】这能出啥？囧呀囧。真要复习，可以去瞄一眼“月地检验”，思想是假想研究对象来解决

《万有引力与航天》单元测试一、选择题 1.星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为第二宇宙速度.星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系就是v 2＝2v 1、已知某星球的半径为r ,它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g 的1 6 ,不计其她星球的影响,则该星球的第二宇宙速度为( ) A 、gr B 、 16 gr C 、 1 3 gr D 、13gr 解析:由题意v 1＝g ′r ＝ 1 6 gr ,v 2＝2v 1＝ 1 3 gr ,所以C 项正确. 答案:C 2.太阳能电池就是将太阳能通过特殊的半导体材料转化为电能,在能量的利用中,它有许多优点,但也存在着一些问题,如受到季节、昼夜及阴晴等气象条件的限制.为了能尽量地解决这些问题,可设想把太阳能电池送到太空中并通过一定的方式让地面上的固定接收站接收电能,太阳能电池应该置于( ) A.地球的同步卫星轨道 B.地球大气层上的任一处 C.地球与月亮的引力平衡点 D.地球与太阳的引力平衡点解析:太阳能电池必须与地面固定接收站相对静止,即与地球的自转同步.

答案:A 3.据媒体报道,“嫦娥”一号卫星绕月工作轨道为圆轨道,轨道距月球表面的高度为200 km,运行周期为127 min 、若要求出月球的质量,除上述信息外,只需要再知道( ) A.引力常量与“嫦娥”一号的质量 B.引力常量与月球对“嫦娥”一号的吸引力 C.引力常量与地球表面的重力加速度 D.引力常量与月球表面的重力加速度解析:对“嫦娥”一号有G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h ),月球的质量为M ＝4π2GT 2(R ＋h )3,在月球表面g ＝G M R 2,故选项D 正确. 答案:D 4.地球同步卫星轨道半径约为地球半径的6、6倍,设月球密度与地球相同,则绕月心在月球表面附近做圆周运动的探月探测器的运行周期约为( ) A.1 h B.1、4 h C.6、6 h D.24 h 解析:因月球密度与地球的相同,根据ρ＝m 4πR 3/3,可知m 地m 月＝R 3 地R 3月 ,又 Gm 地m 卫 (6、6R 地)2＝m 卫4π2T 2卫×6、6R 地,Gm 月m 探R 2 月＝m 探4π2 T 2探R 月,已知T 卫＝24 h,联立解得T 探≈1、4 h 、答案:B 5、

1．天体运动的分析方法 2．中心天体质量和密度的估算 (1)已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R G Mm R 2＝mg ???? 天体质量：M ＝ gR 2G 天体密度：ρ＝3g 4πGR (2)已知卫星绕天体做圆周运动的周期T 和轨道半径r ????? ①G Mm r 2＝m 4π2T 2r ?M ＝4π2r 3GT 2 ②ρ＝M 43πR 3 ＝3πr 3 GT 2R 3 ③卫星在天体表面附近飞行时，r ＝R ，则ρ＝3πGT 2 1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( ) A ．太阳位于木星运行轨道的中心 B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析：由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B 错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C 正确；对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D 错误．答案：C 2．(2016·郑州二检) 据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空

后，先在近地轨道上以线速度v 环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度v ′在火星表面附近环绕飞行．若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7，设火星与地球表面重力加速度分别为g ′和g ，下列结论正确的是( ) A ．g ′∶g ＝4∶1 B ．g ′∶g ＝10∶7 C ．v ′∶v ＝ 528 D ．v ′∶v ＝ 514 解析：在天体表面附近，重力与万有引力近似相等，由G Mm R 2＝mg ，M ＝ρ43 πR 3 ，解两式得g ＝4 3G πρR ，所以g ′∶g ＝5∶14，A 、B 项错；探测器在天体表面飞行时，万有引力充当向心力，由G Mm R 2＝m v 2R ，M ＝ρ4 3πR 3，解两式得v ＝2R G πρ 3 ，所以v ′∶v ＝528 ，C 项正确，D 项错．答案：C 3.嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日1点30分在西昌卫星发射中心发射，将实现“落月”的新阶段．若已知引力常量G ，月球绕地球做圆周运动的半径r 1、周期T 1，“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动的环月轨道(见图)半径r 2、周期T 2，不计其他天体的影响，则根据题目条件可以( ) A ．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量 B ．求出地球与月球之间的万有引力 C ．求出地球的密度 D.r 13T 12＝r 23T 2 2 解析：绕地球转动的月球受力为GMM ′r 12＝M ′r 14π2 T 1 2得T 1＝ 4π2r 13 GM ＝4π2r 13 Gρ43 πr 3.由于不知道地球半径r ，无法求出地球密度，C 错误；对“嫦娥三号”而言，GM ′m r 22＝mr 24π2 T 22， T 2＝ 4π2r 23 GM ′ ，已知“嫦娥三号”的周期和半径，可求出月球质量M ′，但是所有的卫星

1．（11分）试将一天的时间记为T ，地球半径记为R ，地球表面重力加速度为g ．（结果可保留根式）（1）试求地球同步卫星P 的轨道半径R P ；（2）若已知一卫星Q 位于赤道上空且卫星Q 运动方向与地球自转方向相反，赤道上一城市A 的人平均每三天观测到卫星Q 四次掠过他的上空，试求Q 的轨道半径R Q 2．寻找地外文明与地球外的生存环境一直是科学家们不断努力的目标。如图所示是我国的“探月工程”向月球发射一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”过程简图．月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．现设想你是宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器： A ．计时表一只， B ．弹簧秤一把， C ．已知质量为m 的物体一个， D ．天平一台(附砝码一盒)．在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，你已测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N 圈所用的时间为T ．为了能测算出月球的半径和质量，飞船的登月舱在月球上着陆后，你遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量．（已知万有引力常量为G ），求：（1）说明你给机器人发的指令,如何让它进行第二次测量的（2）试推导用上述测量的物理量表示的月球半径和质量的表达式． (3)若已知地月地月，g g R R 6 141==，则可以推知近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的多少倍中段轨道修正发射进入奔月轨道进入月球轨道制动开始

3．未来“嫦娥五号”落月后，轨道飞行器将作为中继卫星在绕月轨道上做圆周运动，如图所示．设卫星距离月球表面高为h，绕行周期为T，已知月球绕地球公转的周期为T 0，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球半径为r，万有引力常量为G．试分别求出：（1）地球的质量和月球的质量；（2）中继卫星向地球发送的信号到达地球，最少需要多长时间（已知光速为c，且h≤r≤R） 4．由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式:三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形边长为a。求：（1）A星体所受合力大小F A；（2）B星体所受合力大小F B；（3）C星体的轨道半径R C；（4）三星体做圆周运动的周期T。 5．2005年10月12日9时，“神舟”六号飞船一飞冲天，一举成功，再次把中国人“巡天遥看一天河”的陆地梦想变成“手可摘星辰，揽明月”的太空现实，“神舟”六号飞船点火发射时，飞船处于一个加速过程，在加速

万有引力练习题 (基础篇) 1、万有引力常量的单位是（） 2、关于万有引力的说法，正确的是（） A.万有引力只是宇宙中各天体之间的作用力 B.万有引力是宇宙中具有质量的物体间普遍存在的相互作用力 C.地球上的物体以及地球附近的物体除受到地球对它的万有引力外还受到重力作用 3 4 5 6 7 8 A. 已知地球绕太阳匀速圆周运动的周期T及地球离太阳的距离r B. 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v C. 若不考虑地球自转，已知地球的半径R及地球表面的重力加速度g D. 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和周期T 9、下列时间中，万有引力起着决定作用的是（） A. 月亮总是在不停地绕地球转动 B.地球周围包围着稠密的大气层，它们不会散发到太空中去 C.上百万个恒星聚在一起形成银河系里的星球状星团

D.把许多碎铅块压紧，就称为一整块铅 10、假设地球吸引月球的万有引力在某一瞬时突然消失，则月球将（） A.落到地球表面 B.沿月亮轨道的切线方向飞出 C.静止在地球上空某一点不动 D.沿地球和月亮的连线远离地球飞出 11、关于重力和万有引力的关系，下列认识错误的是（） A. 地面附近物体所受的重力就是万有引力 B. 重力是由于地面附近的物体受到地球的吸引而产生的 C. 在不太精确的计算中，可以认为物体的重力等于万有引力倍 C. 离地面高度2R处为 D. 离地面高度处为4mg 19、下列关于开普勒行星运动定律和万有引力的说法中正确的是（） A. 开普勒第一定律指出所有行星围绕太阳运动的轨道时椭圆轨道 B. 由开普勒第二定律可以得出行星离太阳越近，运动的速度越小 C. 开普勒第三定律中的常数k对所有的天体都是同一个数值 D. 地球对月球的引力与树上的苹果所受的重力是同一性质的力 20、已知万有引力恒量，在以下各组数据中，根据哪几组可以测定地球质量（）

《万有引力与航天》知识点回顾 1．“地心说”和“日心说”的发展过程：“地心说“代表—托勒密； “日心说”代表—哥白尼 2．开普勒行星运动定律 (1)开普勒第一定律(轨道定律) 行星运动的轨道不是正圆，行星与太阳的距离一直在变。有时远离太阳，有时靠近太阳。它的速度的大小、方向时刻在改变。示意图如下：所有的行星围绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，这就是开普勒第一定律。 (2)开普勒第二定律（面积定律）— 对于任意一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。根据开普勒第二定律可得，行星在远日点的速率较小，在近日点的速率较大。 (3)开普勒第三定律（周期定律）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，这是开普勒第三定律。每个行星的椭圆轨道只有一个，但是它们运动的轨道的半长轴的三次方与公转周期的平方的比值是相等的。我们用R 表示椭圆的半长轴，T 代表公转周期，表达式可为k T R =23 显然k 是一个与行星本身无关的量，只与中心体有关。开普勒第三定律对所有行星都适用。对于同一颗行星的卫星，也符合这个运动规律。 3、万有引力定律（2）定律的内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。（3）定律的公式：如果用m 1和m 2表示两个物体的质量，用r 表示它们的距离，那么万有引力定律可以用下面的公式来表示221r m m G F = （4）说明： ①万有引力定律的适用条件：万有引力定律中的物体是对质点而言，不能随意应用于一般物体。对于相距很远因而可以看作质点的物体，公式中的r 就是指两个质点间的距离；对均匀的球体，可以看成是质量集中于球心上的质点，这是一种等效的简化处理方法。思考：在公式中，当r →0时，F →∞是否有意义？ ②．万有引力的普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力。 ③．万有引力的相互性：两物体间相互作用的引力，是一对作用力和反作用力。引力的方向在两质点的连线上。 ④．G 为引力常量，适用于任何两个物体，在数值上等于两个质量都是1kg 的物体相距1m 时的相互作用力，其数值与单位制有关。在SI 制中，G ＝6.67×10－11N ·m 2/kg 2，这个引力常量的出现要比万有引力定律晚一百多年哪！是英国的物理学家卡文迪许测出来的。在运用万有引力定律计算时，公式中各量的单位须统一使用国际单位制。 ⑤．行星绕太阳的运动所需的向心力就是太阳对行星的引力，卫星绕行星运动所需的向心力就是行星对卫星的引力。 4、万有引力理论的成就（1）计算天体的质量： ① 在地球表面或附近的物体重力近似的等于万有引（该r 为地球的半径）： G gr M mg r Mm G 2 2=∴=

最新高考物理万有引力与航天真题汇编(含答案) 一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天 1．2018年是中国航天里程碑式的高速发展年，是属于中国航天的“超级2018”．例如，我国将进行北斗组网卫星的高密度发射，全年发射18颗北斗三号卫星，为“一带一路”沿线及周边国家提供服务．北斗三号卫星导航系统由静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．图为其中一颗静止轨道卫星绕地球飞行的示意图．已知该卫星做匀速圆周运动的周期为T ，地球质量为M 、半径为R ，引力常量为G ．（1）求静止轨道卫星的角速度ω；（2）求静止轨道卫星距离地面的高度h 1；（3）北斗系统中的倾斜同步卫星，其运转轨道面与地球赤道面有一定夹角，它的周期也是T ，距离地面的高度为h 2．视地球为质量分布均匀的正球体，请比较h 1和h 2的大小，并说出你的理由．【答案】（1）2π=T ω；（2）2 3124GMT h R π （3）h 1= h 2 【解析】【分析】（1）根据角速度与周期的关系可以求出静止轨道的角速度；（2）根据万有引力提供向心力可以求出静止轨道到地面的高度；（3）根据万有引力提供向心力可以求出倾斜轨道到地面的高度；【详解】（1）根据角速度和周期之间的关系可知：静止轨道卫星的角速度2π=T ω （2）静止轨道卫星做圆周运动，由牛顿运动定律有：2 1 212π=()()()Mm G m R h R h T ++ 解得：2 312 =4π GMT h R

（3）如图所示，同步卫星的运转轨道面与地球赤道共面，倾斜同步轨道卫星的运转轨道面与地球赤道面有夹角，但是都绕地球做圆周运动，轨道的圆心均为地心．由于它的周期也是T ，根据牛顿运动定律，2 2 222=()()()Mm G m R h R h T π++ 解得：2 322 4GMT h R π 因此h 1= h 2．故本题答案是：（1）2π=T ω；（2）2312=4GMT h R π （3）h 1= h 2 【点睛】对于围绕中心天体做圆周运动的卫星来说，都借助于万有引力提供向心力即可求出要求的物理量． 2．宇航员在某星球表面以初速度v 0竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为h .已知该星球的半径为R ，且物体只受该星球的引力作用.求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)从这个星球上发射卫星的第一宇宙速度. 【答案】(1)2 02v h (2) 2v R h 【解析】本题考查竖直上抛运动和星球第一宇宙速度的计算． (1) 设该星球表面的重力加速度为g ′，物体做竖直上抛运动，则2 02v g h =' 解得，该星球表面的重力加速度20 2v g h '= (2) 卫星贴近星球表面运行，则2 v mg m R '= 解得：星球上发射卫星的第一宇宙速度2R v g R v h = =' 3．宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点，沿水平方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡另一点Q 上，斜坡的倾角α，已知该星球的半径为R ，引力

【1】天体的质量与密度的估算 1.下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r 根据万有引力定律：r T 4m r Mm G 222π=……①得：232G T r 4M π=……②可见A 正确而T r 2v π=……由②③知C 正确对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3 R 4M 3 π=ρ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π=ρ 可见D 错误球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力由2R Mm G mg =得：G g R M 2=可见B 正确【2】普通卫星的运动问题我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。问：哪颗卫星的向心加速度大？哪颗卫星的线速度大？若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上

空的时间应该是多少？解析：由开普勒第三定律T 2∝r 3知：“风云二号”卫星的轨道半径较大又根据牛顿万有引力定律r v m ma r Mm G 2 2==得： 2r M G a =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， r GM v =，可见“风云一号”卫星的线速度大， “风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。【探讨评价】由万有引力定律得：2M a G r =，v =，ω=， 2T = 【3】同步卫星的运动下列关于地球同步卫星的说法中正确的是： A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h C 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上 D 、不同通讯卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。解析：同步卫星运动的周期与地球自转周期相同，T=24h ，角速度ω一定根据万有引力定律r T 4m r mM G 222π=得知通讯卫星的运行轨道是一定的，离开地面的高度也是一定的。地球对卫星的引力提供了卫星做圆周运动的向心力，因此同步卫星只能以地心为为圆心做圆周运动，它只能与赤道同平面且