大物习题解答-大学物理习题答案(许瑞珍_贾谊明)-第7章 稳恒磁场

第七章 稳 恒 磁 场

7－1 两根无限长直导线相互垂直地放置在两正交平面内，分别通有电流I 1=2A ，I 2=3A ，如图所示。求点M 1和M 2处的磁感应强度。图中AM 1＝AM 2=lcm ，AB=2cm.。

解：无限长电流的磁感应强度为d

I

B πμ=

20，两无限长 电流在点M 1和M 2处的磁感应强度相互垂直，合磁感 应强度为

)3

(1023

2

22

1201

I I I B M +?πμ=-T 551047.414102--?+?＝ )(10

22

2212

02

I I I B M +?πμ=-T 551021.794102--?+?＝ 7－2一无限长的载流导线中部被弯成圆弧形，圆弧半径R=3cm ，导线中的电流I=2A ， 如图所示，求圆弧中心O 点的磁感应强度。

解：两半无限长电流在O 点产生的磁感应强度 方向相同，叠加为

?πμ?

=方向 4201R

I

B O 3/4圆电流在O 点产生的磁感应强度为

?μ?=

方向 24302R

I B O O 点的合磁感应强度为

??=?????π=π

μ=

+=-方向 T 101.80.43 10322104 ) 1

- 43( 25-2

7

-021R I B B B O O O 7－3图中三棱柱面高h ＝1.0m ，底面各边长分别为ab=0.6m ，bc=0.4m ，ac=0.3m ，沿ad 边有直长导线，导线申通有电流I=4A 。求通过cbef 面的磁通量。

解：通过cbef 面的磁通量应与通过gbje 面的磁通量相当 ag=ac=0.3m ，有 hdx x 2I d 6.03.00

?

?

πμ=?φS

S B ＝

0.3

0.6ln

20πμ=

Ih Wb 1054.5n2 21

104 7--7

?=π??π=l

习题 7－1图

I

O

R

习题 7－2图

a b

c f

e

d 习题 7－3图

g j

7－4两根平行直长导线载有电流I 1=I 2=20A 。试求（1）两导线所在平面内与两导线等距的一点A 处的磁感应强度；（2）通过图中矩形面积的磁通量。图中r 1=r 3=10cm ，r 2=20cm ，l =25cm 。

解：（1）两半无限长电流在中点A 点产生的磁感应强度方向相同，叠加为

??=??π??π=??πμ?=--方向 T 104 10

2020104 1020225-2

-720I B A （2）??φS

S B d ＝ldx x x I ?-+πμ=30

100)401

1(2

30

10

040ln

2-x x

Il πμ=n3 22102520104 2-7l ??π????π=- Wb 102.2-6?=

7－5 两个半径为R 的线圈共轴放置，相距为l ，通有相同大小、方向的电流I ，如图所

示，o 点是两环心o 1、o 2的中点，求在两环心o 1、o 2连线上离o 点距离为x 的P 点的磁感应强度。

解：已知圆电流在轴线上产生的磁感应强度为

2

3222

0)(2R z IR B +μ=

，两圆电流在P 点产生的 磁感应强度方向相同，所以在P 点的磁感应强度为

2

3222

0])2

[(2R x l

IR B P ++μ=

3222

0])2

[(2R x l

IR +-μ+

磁感应强度的方向沿z 轴负方向。

7－6一根导线作成正n 边形，其外接圆半径为R ，导线中通有电流I 。求证：（1）在外接圆中心处的磁感应强度大小为n

tg R nI B π

πμ20=

；（2）当n →∞ 时，B 的值化简为圆电流的结果。

证：（1）如图取任一边分析，这一边就是有限长的电流， 有限长的电流产生的磁感应强度为

)cos (cos 4210θ-θπμ=

d

I

B 与图中各量对应，上式为

)]2cos()2[cos(cos

40n

n n

R I

B π

-π-π+πππμ=

I 1

习题 7－5图

z

习题 7－6图

n

tg R nI π

πμ=

20，得证。 （2）当n →∞ 时，n tg R nI B n ππμ=∞→2lim

0n

ntg R I n π

πμ=∞→lim 20

πππ

πμ=

∞

→n

n R I

n sin

lim 20R I 20μ= 这值正是圆电流的结果。 7－7如图所示，两根导线沿半径方向引到铜圆环上A 、B 两点，并在很远处与电源相连。已知圆环的粗细均匀，求圆环中心处的磁感应强度。 解：O 处在两直线电流的延长线上，故两直 电流在O 处产生的磁感应强度为0。

I 1与I 2为并联电流，其在O 处产生的磁感 应强度分别为

?πμ= 411

01方向l I B

?π

μ= 42201方向l I

B

因为并联电流电压相同有：2211l I l I =，所以Bo=0

7－8一均匀带电的半圆形弧线，半径为R ，所带电量为Q ，以匀角速度ω绕轴OO /转动，如图所示，求O 点处的磁感应强度。

解：此题可利用运动电荷产生的磁场计算，

也可利用圆电流产生的磁场计算。以下根据圆

电流在轴线产生的磁感应强度来计算的。

如图电荷dq 旋转在O 处产生的磁感应强度为

3202R dIr dB μ=3

202)sin (2R

R Rd θπωθλμ= ?πθθπλωμ=

020sin 4d B 240ππλωμ=80λωμ= R

Q

πωμ=

80 方向沿轴线向上。

7－9一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如 图所示，其上均匀绕有N 匝线圈，线圈中通有电 流I ，试求（1）环内离轴线为r 远处的磁感应强度； （2）通过螺线管截面的磁通量。 解：（1）根据安培环路定理

NI d 0

μ

=??l B L

习题 7－9图

习题 7－7图

I 1

l 1

I 2 l 2

ω R

习题 7－8图

r dq

θ

O

)2

2( 221200d

r d r NI B NI r B <<πμ=

→μ=π （2）hdr r

2NI

d 2

01

2

2

?

?πμ=

?φd S

d S B ＝210d d n 2l NIh πμ 7－10一对同轴的无限长空心导体直圆筒，内、外筒半径分别为R 1和R 2（筒壁厚度可以

忽略），电流I 沿内筒流出去，沿外筒流回，如图所示。（1）计算两圆筒间的磁感应强度。（2）求通过长度为l 的一段截面（图中画斜线部分）的磁通量。 解：（1）由安培环路定理可分析仅在两筒间有磁场，为

I d 0

μ=??l B L

)( 222100R r R r

I

B I r B <<πμ=

→μ=π ldr r

2I

d 2

1

0?

?πμ=?φR S

R S B ＝120R R n 2l Il πμ

7－11磁感应强度B=5×10-4T 的均匀磁场垂直于电场强度E ＝10V/m 的均匀电场，一束

电子以速度v 进入该电磁场，v 垂直于B 和E 。求（1）当两种场同时作用时，要使电子束不偏转，电子的速度v ；（2）只有磁场存在时电子的轨道半径R 。

解：（1）当两种场同时作用时，要使电子束不偏转，电子所受的电场力与磁场力相同

即s m B E v evB eE /100.210

5104

4?=?==

→=- （2）m eB mv R R v m evB 4

41943121028.210

5106.1102101.9----?=??????==→= 7－12一根导体棒质量m=0.20kg ，横放在相距0.30m 的两根水平导线上，并载有50A

的电流，方向如图所示，棒与导线之间的静摩擦系数是0.60，若要使此棒沿导线滑动，至少要加多大的磁场？磁场方向应如何？ 解：（1）要此棒沿导线滑动，磁场对它的作用力至少 与摩擦力相等，即mg IBl μ=

T Il mg B 21084.73

.0508

.92.06.0-?=???=μ=

磁感应强度的方向如图所示，向下。 7－13质谱仪的构造原理如图所示，离子源S 产生质量为M 、电荷为q 的离子，离子产生出来时速度很小，可以看作是静止的；离子飞出S 后经过电压V 加速，进入磁感应强度为B 的均匀磁场，沿着半个圆周运动，达到记录底片上的P 点，可测得P 点的位置到入口处的距离为x ，试证明这离子的质量为

2

28x V

qB M =

习题 7－10图

习题 7－12图

v B

证：依题意有22

1

Mv qV =

（1） 粒子所受的洛仑兹力是粒子作圆周运动的向心力有

2

2

x v M qvB = （2） 联立（1）（2）式消去v ，就可得到

2

2

8x V

qB M =

7－14在磁感应强度为B 的水平均匀磁场中，一段长为l 、质量为m 的载流直导线沿竖直方向自由滑落，其所载电流为I ，滑动中导线恒与磁场正交，如图所示。设t=0时导线处于静止状态，求任意时刻导线下落的速度。

解：依题意有

dt dv m

IlB mg =- 分离变量积分为

dt m

IlB g dv t

v

??

-

=0

)( 解得任意时刻导线下落的速度为

t m

IlB

g v )(-=

7－15一半径为R 的无限长半圆柱面形导体，与轴线上的长直导线载有等值反向的电流I ，如图所示。试求轴线上长直导线单位长度所受的磁力。

解：此电流结构俯视如图，圆柱面上的电流 与轴线电流反向，反向电流电流相斥，如图，对 称分析可知，合力沿x 轴正向，有

θππμ==Rd R I

R I BldI dF 20θπμ=d R I 2202

=θ=?sin dF F θθπμ?π

d R

I 022

0sin 2 R

I 220πμ= 7－16半径为R 的圆形线圈载有电流I 2，无限长载有电流I 1的直导线沿线圈直径方向放置，求圆形线圈所受到的磁力。

解：此电流结构如图，对称分析可知，合力

沿x 轴负向，有

r I dl I dF πμ=2102θθπμ=Rd R I I cos 2210θθ

πμ=d I

I cos 2210

习题 7－14图

习题 7－13图

习题 7－15图

x dF

dF

θ

dF dF

B ? B ? I 2

I 1

θ 习题 7－16图

o

r

=θ=?cos dF F θθθπμ=?

π

d I I cos cos 220

210?

π

θπ

μ=20

2

102d I

I 210I I μ=

7－17一圆形线圈，其直径为0.08m ，共有12匝，载有电流5A ，线圈放在一磁感应强

度为0.60T 的均匀磁场中。（1）求线圈所受的最大磁力矩；（2）如果磁力矩等于最大磁力矩的一半，线圈处于什么位置？

解：B m M ?=

（1）axm M =B r IN INSB mB 2

π==m N ?=?????=-18.06.0)104(14.31252

2

（2）M =0302

1

sin 2sin =θ→=θ=→=

θaxm M mB 7－18有一磁电式电流计，它的矩形线圈长11mm ，宽10mm ，由1500匝表面绝缘的细

导线绕成，如图所示。当线圈偏转θ角时，线圈游丝产生的钮力矩M=C θ，扭转系数C ＝22×10-8N·m/（0），若电表指针的最大偏转角为900，相应的满度电流为50μA ，求线圈所在处的磁感应强度。

解：因为0

90sin INSB M axm =

依题意有0

09090sin C C INSB M axm =θ==

即T INS C B 24.010

1011150010501022906

68

0=??????==--- 7－19一半径为R 的薄圆盘，放在磁感应强度为B 的均匀磁场中，B 的方向与盘面平

行，如图所示，圆盘表面的电荷面密度为σ，若圆盘以角速度ω绕其轴线转动，试求作用在圆盘上的磁力矩。

解：圆盘上任一薄层电荷运转时产生的电流为dI ，其对应的磁矩为

rdr r rdr

r dI dm σω=ππ

ωπσ=π=2

222 整个圆盘的磁矩为

4

4

R rdr dm m R

σωπ=σω==?

?

作用在圆盘上的磁力矩为B m M ?=

=

==mB mB M 0

90sin B R 4

4

σωπ,方向垂直纸面向里。 7－20长为l =1.0m 的导线作成一闭合回路，通有电流I=2A ，放入磁感应强度B=0.1T 的均匀磁场中，回路平面与磁场B 的方向成450角，求载流回路所受的磁力矩。（1）若回路为正方形；（2）若回路为圆形。 解：（1）回路为正方形有m l l 25.014=→=

m N ISB M ??=?

??==-3201084.82

2

1.025.0245sin

习题 7－18图

习题 7－19图

dI

dm

（2）回路为圆形有m r r π

=

→=π2112 m N ISB M ??=????

?

??π?π?==-22

01013.1221.01245sin

7－21 如图所示，半径为R 的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单

层线圈覆盖住半个球面，设线圈的总匝效为N ，通过线圈的电流为I 。求球心处O 的磁感应强度。

解：依题意，球上沿圆周单位长度的线圈匝数为

R N π2

1

球上任一薄层电流为：θ

==IRd IdN dI R N π2

1θπ

=

d IN

2 一薄层圆电流在球心处O 的磁感应强度为

3

2

02R dIr dB μ=

θθπμ=

d R R

IN 2

23

0sin θθπμ=d R IN 20sin 整个半球电流在球心处O 的磁感应强度?

πθθπμ=20

20

sin d R

IN

B 40ππμ=

R IN R

IN

40μ=

方向如图向右。

7－22 如图所示，在磁感强度为B 的均匀磁场中，有一半径为R 的半球面，B 与半球面的轴线夹角为α，求通过该半球面的磁通量。 解：据高斯定理

S B S

d ?????+?=圆平面

半球

d d S S S B S B ＝0

α?-??

?cos B ππd d 2

圆平面

半球

＝－＝S S S B S

B 7－23 已知l0mm 2裸铜线允许通过50A 电流而不致导线过热，电流在导线横截面上均

匀分布。求（1）导线内、外磁感强度的分布；（2）导线表面的磁感强度。 解：（1）由安培环路定理

I d 0

μ=??l B L

)0( 2I B2π22

02

20

R r R

Ir B r R ≤<πμ=→ππμ= （2）同理有

)( 2B2π200R r r

I

B I >πμ=

→μ=

e n

习题 7－22图

2R

习题 7－21图

θ I

B

r

习题 7－23图

r ＝R 时,T R I B 34

70106.514

.31010250

1042---?=??

π??π=πμ=

7－24 有一同轴电缆，其尺寸如图所示。两导体中的电流均为I ，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感强度：（1）rR 3；面出B －r 曲线。

解：由安培环路定理

I d 0

μ=??l B L

（1）)( 2I 212

102

20R r R Ir B r R πr B <=→=πμππμ （2）)( 222100R r R r

I

B I πr B <<=

→=

πμμ （3） ])

()

([22

2232

220R R R r I I πr B ---=ππμ 2

2

232

2302R R r R r I B --πμ=→)( 32R r R << （4）)( 0023R r B πr B >=→=

7－25 如图所示，一半径为R 的无限长载流直导体圆柱，其中电流I 沿轴向流过，并均匀分布在横截面上，现在导体上有一半径为R / 的圆柱型空腔，其轴与直导体的轴平行，两轴相距为d ，试用安培环路定理求空腔中心的磁感应强度。你能证明空腔中的磁场是均匀磁场吗？

解：利用补缺法，其电流密度的大小为)

(22R R I

j '-π=

，对空腔内任意点，设大圆柱电流产生的磁场为B 1，小圆柱电流产生的磁场为B 2，由安培环路定理

I d 0

μ=??l B L

，有

2

21

10121011r j B r j r B μ=

→πμ=π，写成矢量形式为 11012r j B ?μ=

，同理有22022

r j B ?μ

=。因为j 1=-j 2=j ， 所以)(221021r r j B B B -?μ=

+=0002

'?μ

=r j 上式说明空腔内任意点的磁场是匀强的，磁感应强度的大小为)

(2220R R Id

B '-πμ=

习题 7－24图

习题 7－25图

0 B

R 1 R 2

R 3

习题 7－25图

7－26在一个显像管的电子束中，电子有1.2×104eV 的能量。这个显像管安放的位置使电子水平地由南向北运动，地球磁场的垂直分量B ⊥=5.0×10-5 T ，并且方向向下。试求（1）电子束偏转方向；（2）电子束在显像管内通过20cm 到达屏面时光点的偏转间距。

解：依题意有m

eV

v mv eV 2212

=→=

，如图电子的回旋半径为 e

Vm

B eB mv R 21

==

m 71.610

6.1101.9102.12105.5119

31

45

=??????=

--- m h R R d 322221098.22.071.671.6-?=--=--=

7－27 通有电流I=50A 的无限长直导线，放在如图所示弧形线圈的oz 轴上，线圈中的电流I=20A ，线圈高h=7R/3，求作用在线圈上的力。

解：依题意线圈可分为两半圆弧和两长为7R/3的直电流，由安培力公式分析可知，两半圆弧电流不受磁场力，只要讨论两长为7R/3的直电流受的磁场力即可。轴线上的长直电流在两长为7R/3的直电流处产生的磁感应强度为

21

0R

I B πμ=

可判断出两长为7R/3的直电流所受的磁场力方向相同， 所以作用在线圈上的力为

R

I R I F πμ??

?=23721

02 N 471033.9220

10437502--?=π

??π???=

力的方向沿x 轴负向

7－28利用霍尔元件可以测量磁场的磁感应强度，设一霍尔元件用金属材料制成，其厚度为0.l5mm ，载流子数密度为l024/m 3，将霍尔元件放入待测磁场中，测得霍尔电压为42μV ，测得电流为l0mA 。求此时待测磁场的磁感应强度。

解：依题意有

T I nedV B 1.0101010421015.0106.1103

4

31924=???????==----

7－29载流子浓度是半导体材料的重要参数，工艺上通过控制三价或五价掺杂原子的浓

度，来控制P 型或n 型半导体的载流子浓度。利用霍尔效应可以测量载流子的浓度和类型。如图所示一块半导体材料样品，均匀磁场垂直于样品表面，样品中通过的电流为I ，现测得霍尔电压为U H 。证明样品载流子浓度为：

习题 7－27图

R

?B θ

R

h

习题 7－26图

d

H

edU IB

n =

证：设稳定后横向电场为E ，此时载流子受力平衡，即

vB E qvB qE =→=

霍尔电压为 vBb Eb U H == （1） 导体的截面积S=bd ，流经此截面的电流为

nebd

I

v nevbd jbd I =

→==代入（1）式得 ned

IB

U H =

，所以可得H edU IB n =。证明完毕

7－30变电站将电压500kV 的直流电，通过两条截面不计的平行输电线输向远方。巳知

两输电导线间单位长度的电容为3×10-11F/m ，若导线间的静电力与安培力正好抵消。求（1）通过输电线的电流；（2）输送的功率。

解：如图，由安培力公式分析可知两反向的直电流间存在相互排斥的安培力。反向电流的导体可当作带等量异号的电荷的导体，它们之间存在相互吸引的静电力，依题意有F 静＝F 安。

（1）两单位长度的两导线间的静电力和安培力分别为

d

V C d F 02

20222πε=

πελ=静 d

I

IB F πμ=

=22

0安 由＝d V C 0222πεd I πμ220可得 A CVc CV I 383110

0105.410310500103?=?????==με=

-

（2）输出功率为

W IV P 9331025.210500105.4?=???==

习题 7－29图

I

d

习题 7－30图