正态分布原理

正态分布 （一）正态分布 正态分布的概率密度

如果连续型随机变量 的概率密度为

，

(4.29)

其中

，

，则称随机变量 服从参数为 ， 的正态分布，记作

。

正态分布的数学期望和方差

正态分布的图形有如下性质：

1.它是一条以直线

为对称轴的钟形曲线；

2.它以横轴为渐近线，并且在

处有拐点；

3.它在

处取得最大值，最大值为：

由此可见，标准差越大 ，的图形就越平缓，标准差越小，

的图形就越陡峭。

正态分布的分布函数

， (4.30)

（二）标准正态分布

标准正态分布的概率密度

参数

，

的正态分布，称为标准正态分布，记为

。标准正态

分布的概率密度通常用

表示，

，(4.31)

的图形如图４.12所示，它是一条以纵轴为对称轴的钟形曲线。

图4.12 标准正态分布概率密度函数

标准正态分布的分布函数

标准正态分布的分布函数通常用表示，

，(4.32)

图4.13 标准正态分布函数

标准正态分布函数表

对于非负的实数，可由标准正态分布函数表，直接查出的数值。对于负的实数，根据标准正态分布的对称性，可由下式

(4.33)

计算出数值。

标准正态分布分位数

设随机变量服从标准正态分布，对于给定的概率水平，满足等式

（4.34）

的正数，称为标准正态分布的水平的双侧分位数；满足等式

（4.35）的正数，称为标准正态分布的水平的上侧分位数。

图4.14 正态分布双侧分位数

例4.21假设，求下列概率：

1.；

2.；

3.；

4.。

解

1.

2.

3.

4.

（三）正态分布与标准正态分布的关系

如果，则

于是，在正态分布与标准正态分布的概率密度和、分布函数

和之间存在下列关系式：

1.

（4.36）

2.

(4.37)

3.（

4.38）

这就是说，计算任一正态分布随机变量的概率都能通过标准正态分布来实现。

例4.22设，求下列概率：

1.

2.

解因为，所以。

1.

2.

例4.23设，求下列概率：

1.

2.

3.

解

1.

2.

3.

从上面的结果可以看出，事件的概率很小，因此的取值几乎

全部落在区间内，超出这个范围的可能性还不到。这就是在产品质量控制中有重要应用的准则。

（四）正态分布的应用

正态分布在概率论和统计学的研究及应用中具有极其重要的作用，它在各种概率分布中居首要地位，是抽样和抽样分布的理论基础。这是因为：

1.客观世界的许多现象都可以利用正态分布来近似地描述其统计规律性。例如，人的身高和体重，电子产品的使用寿命，原材料的物理特性，各种各样的测量误差…… 都可以看作是具有“两头小，中间大”分布特征的随机变量。具有这种特征的随机变量，一般可以认为是近似服从正态分布的。

2.正态分布是许多重要分布的极限分布。例如可以用正态分布来近似二项分布。

3.正态分布在统计推断中有重要的应用。例如分布，分布和分布都是服从正态分布的随机变量的函数。

二项分布的正态近似

德莫佛—拉普拉斯定理设随机变量服从参数为，的二项分布，

那么，当充分大时，近似服从参数为，的正态分布

。也就是说，当充分大时，近似服从标准正态分布。

在实际应用中，除要求比较大外，还要求，和

。

例4.24假设产品的优质品率为30 %。试求在1000件产品中，优质品件数在280件和350件之间的概率。

解设表示在1000件产品中优质品的件数，则服从参数为，

的二项分布。根据德莫佛–拉普拉斯定理，近似服从参数为

，的正态分布，于是有