算法实验报告 -- 分治法

金砖问题研究探讨

组员：胡昌腾、刘全成、马起、卢东平、马悦

问题描述：

有一个老板有一袋金块。每个月将有两名雇员会因其优异的表现分别被奖励一个金块。按规矩，排名第一的雇员将得到袋中最重的金块，排名第二的雇员将得到袋中最轻的金块。根据这种方式，除非有新的金块加入袋中，否则第一名雇员所得到的金块总是比第二名雇员所得到的金块重。如果有新的金块周期性的加入袋中，则每个月都必须找出最轻和最重的金块。假设有一台比较重量的仪器，我们希望用最少的比较次数找出最轻和最重的金块

算法思想：

分而治之方法与软件设计的模块化方法非常相似。为了解决一个大的问题，可以：1) 把它分成两个或多个更小的问题；2) 分别解决每个小问题；3) 把各小问题的解答组合起来，即可得到原问题的解答。小问题通常与原问题相似，可以递归地使用分而治之策略来解决。

问题分析:

一般思路：假设袋中有n 个金块。可以用函数M a x（程序1 - 3 1）通过n-1次比较找到最重的金块。找到最重的金块后，可以从余下的n-1个金块中用类似的方法通过n-2次比较找出最轻的金块。这的比较的总次数为2n-3。

分治法：当n很小时，比如说，n≤2，识别出最重和最轻的金块，一次比较就足够了。当n 较大时（n＞2），第一步，把这袋金块平分成两个小袋A和B。第二步，分别找出在A和B中最重和最轻的金块。设A中最重和最轻的金块分别为HA 与LA，以此类推，B中最重和最轻的金块分别为HB 和LB。第三步，通过比较HA 和HB，可以找到所有金块中最重的；通过比较LA 和LB，可以找到所有金块中最轻的。在第二步中，若n＞2，则递归地应用分而治之方法

算法实现：

截图：

输入5块金块的重量后：得出的结果为

源代码：

#include using namespace std; int a[5]={10,12,5,9,7};

void maxmin(int i,int j, int &max,int &min )

{

int mid;

int lmax,lmin,rmax,rmin;

if(i==j)

{

max=a[i];

min=a[j];

}

else if(i==j-1)

if(a[i]

{

max=a[j];

min=a[i];

}

else {max=a[i];

min=a[j];}

else{

mid=(i+j)/2;

maxmin(i,mid,lmax,lmin);

maxmin(mid+1,j,rmax,rmin);

if(lmax>rmax)

max=lmax;

else

max=rmax;

if(lmin>rmin)

min=rmin;

else

min=lmin;

}

}

void main()

{ //给数组赋值

int *p=a;

cout<<"*******************************"<

cout<<"***算法分析与设计--分治法***"<

cout<<"*** ---金块问题***"<

cout<<"***组员: 胡昌腾刘全成***"<

cout<<"*** 马起卢东平马悦***"<

cout<<"*** 班级：09级2班***"<

cout<<"*******************************"<

cout<

cout<

cout<

cout<<" 请输入5块金块的重量："<

for(int n=0;n<5;n++)

{

cout<<"请输入第"<

cin>>*(p+n);

}

for(int m=0;m<5;m++)

{

cout<<"第"<

}

int max,min;

maxmin(0,4,max,min);

cout<<"重量最大为"<

cout<<"重量最小为"<

}

复杂性分析

注意到当n为偶数时，在for 循环外部将执行一次比较而在f o r循环内部执行3 ( n / 2 - 1 )次比较，比较的总次数为3 n / 2 - 2。当n 为奇数时，f o r循环外部没有执行比较，而内部执行了3(n-1)/2次比较。

因此无论n 为奇数或偶数，当n>0时，比较的总次数为「3n/2ù-2次。

关键步骤：

程序14-1 找出最小值和最大值的非递归程序

template

bool MinMax(T w[], int n, T& Min, T& Max)

{// 寻找w [ 0 : n - 1 ]中的最小和最大值

// 如果少于一个元素，则返回f a l s e

// 特殊情形：n <= 1

if (n < 1) return false;

if (n == 1) {Min = Max = 0;

return true;}

/ /对Min 和M a x进行初始化

int s; // 循环起点

if (n % 2) {// n 为奇数

Min = Max = 0;

s = 1;}

else {// n为偶数，比较第一对

if (w[0] > w[1]) {

Min = 1;

Max = 0;}

else {Min = 0;

Max = 1;}

s = 2;}

// 比较余下的数对

for (int i = s; i < n; i += 2) {

// 寻找w[i] 和w [ i + 1 ]中的较大者// 然后将较大者与w [ M a x ]进行比较// 将较小者与w [ M i n ]

进行比较

if (w[i] > w[i+1]) {

if (w[i] > w[Max]) Max = i;

if (w[i+1] < w[Min]) Min = i + 1;}

else {

if (w[i+1] > w[Max]) Max = i + 1;

if (w[i] < w[Min]) Min = i;}

}

return true; }