新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题归类总结

勾股定理典型例题归类总结

题型一：直接考查勾股定理

例１.在ABC ?中，90C ∠=?．

⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长

跟踪练习：

1.在ABC ?中，90C ∠=?.

（1）若a=5,b=12,则c= ;

（2）若a:b=3:4,c=15,则a= ,b= .

（3）若∠A=30°，BC=2,则AB= ，AC= .

2. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 分别对的边为a ，b ，c ，则下列结论正确的是( )

A 、

B 、

C 、

D 、

3.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为( )

A 、2、4、6

B 、4、6、8

C 、6、8、10

D 、3、4、5

4.等腰直角三角形的直角边为2，则斜边的长为（）

A 、

B 、

C 、1

D 、2

5.已知等边三角形的边长为2cm ，则等边三角形的面积为（）

A 、

B 、

C 、1

D 、

6.已知直角三角形的两边为2和3，则第三边的长为___________.

7.如图，∠ACB=∠ABD=90°，AC=2，BC=1，，则BD=___________.

8.已知△ABC 中，AB=AC=10，BD 是AC 边上的高线，CD=2，那么BD 等于（）

A 、4

B 、6

C 、8

D 、

9.已知Rt △ABC 的周长为，其中斜边

，求这个三角形的面积。 10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.

(1)如图，以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？并说明理由。

（2）如图，以Rt △ABC 的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？

（3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面

题型二：利用勾股定理测量长度

例1. 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

跟踪练习：

1.如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.

2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）

A 、12米

B 、13米

C 、14米

D 、15米

3.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）

A 、8米

B 、10米

C 、12米

D 、14米

题型三：勾股定理和逆定理并用——

例3. 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4

那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？

注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。

1.如图，正方形ABCD中，E为BC边的中点，F点CD边上一点，且DF=3CF，求证：∠AEF=90°

题型四：利用勾股定理求线段长度——

例1. 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

跟踪练习：

1.如图，将一个有45度角的三角板顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，求三角板的最大边AB的长.

2.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D为AC的中点，DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，（1）求证：BE=CF;（2）若AE=3，CF=1，求EF的长.

3.如图，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上的一点.若AD=1，BD=3，求CD的长.

题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——

例1. 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？

跟踪练习：

1.如图，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断△ABC的形状，并说明理由.（1）求证：∠ABD=90°;（2）求的值

2.下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（）

A、9，12，15

B、7,24,25

C、

D、，，

3.在△ABC中，下列说法①∠B=∠C-∠A；②；③∠A:∠B:∠C=3：4：5；④a:b:c=5:4:3；

⑤：：=1:2:3，其中能判断△ABC为直角三角形的条件有（）

A、2个

B、3个

C、4个

D、5个

4.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个是直角？

（1）a=26，b=10，c=24;（2）a=5，b=7，c=9;（3）a=2，，

A、2个

B、3个

C、4个

D、5个

5.已知△ABC的三边长为a、b、c，且满足，则此时三角形一定是（）

A、等腰三角形

B、直角三角形

C、等腰直角三角形

D、锐角三角形

A、锐角三角形

B、钝角三角形

C、等腰三角形

D、直角三角形

7.如图，正方形网格中的△ABC是（）

A、直角三角形

B、锐角三角形

C、钝角三角形

D、锐角三角形或钝角三角形

8.已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（）

A、如果∠C-∠B=∠A,那么∠C=90°

B、如果∠C=90°，那么

C、如果（a+b）（a-b）=，那么∠A=90°

D、如果∠A=30°，那么AC=2BC

9.已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a+b=3，ab=1，，求的值，试判断△ABC的形状，

并说明理由

10.观察下列各式：，，，……，根据其中规律，写出下一个式子为_____________

11.已知，m＞n，m、n为正整数，以，2mn，为边的三角形是___三角形.

12.一个直角三角形的三边分别为n+1，n-1，8，其中n+1是最大边，当n为多少时，三角形为直角三角形？题型六：旋转问题：

例题6. 如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=求△ABC的边长.

跟踪练习

1.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°，试探究

222

、、间的关系，并说明理由.

BE CF EF

题型七：关于翻折问题

恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.

跟踪练习

1.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.

(一)折叠直角三角形

1.如图，在△ABC中，∠A = 90°，点D为AB上一点，沿CD折叠△ABC，点A恰好落在BC边上的'A处，AB=4，AC=3，求BD的长。

2. 如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5．将△ABC折叠使C与A重合，折痕为DE，求BE的长．

（二）折叠长方形

上的点E处，求CF的长。

2. 如图，长方形ABCD中，AD=8cm，AB=4cm，沿EF折叠，使点D与点B重合，点C与C'重合. （1）求DE的长;（2）求折痕EF的长.

3. （2013?常德）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边CD落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为（）

4. 如图，长方形ABCD中，AB=6，AD=8，沿BD折叠使A到A′处DA′交BC于F点. （1）求证：FB=FE （2）求证：CA′∥BD

（3）求△DBF的面积

7. 如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G,G

为BC的中点，连结AG、CF. （1）求证：AG∥CF;（2）求的值.

题型八：关于勾股定理在实际中的应用：

例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

例2.一辆装满货物高为1.8米，宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利通过吗？

跟踪练习：

1.某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向

移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。

厂的厂门?

3.有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）

4.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

题型九：关于最短性问题

例1、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）

例2.

跟踪练习：

1.如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬

2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？

3.一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm ，6cm ，12cm,一只蚂蚁想从盒底的A

点爬到盒顶的B 点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？

4.如图将一根13.5厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中，能全部放进去吗？

题型十：勾股定理与特殊角

（一）直接运用30°或45

°的直角三角形

如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，AD 是△ABC 的角平分线，若AC=AD 的长。

2.如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，C D ⊥AB 于D ，∠A= 30°，CD=2，求AB 的长。

3.如图，在△ABC 中，A D ⊥BC 于D ，∠B= 60°，∠,C= 45°，AC=2，求BD 的长。

（二）作垂线构造30°或45°的直角三角形

（1）将105°转化为45°和60°

1.如图，在△ABC 中，∠B= 45°，∠A=105°，AC=2，求BC 的长。

2.如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C= 45°，∠ADB=∠ABC=105°,⑴若AD=2,求AB 的长；⑵若

AB+CD=，求AB 的长。

（2）将75°转化为30°和45°

A B D

题型十一：运用勾股定理列方程

（一）直接用勾股定理列方程

1. 如图，在△ABC 中，∠C= 90°，AD 平分∠CAB 交CB 于D ，CD=3,BD=5，求AD 的长。

2. 如图，在△ABC 中，A D ⊥BC 于D ，且∠CAD=2∠BAD,若BD=3，CD=8，求AB 的长。

(二)巧用“连环勾”列方程 1. 如图，在△ABC 中，AB=5，BC=7，AC=24,求ABC S .

2. 如图，在△ABC 中，∠ACB= 90°，C D ⊥AB 于D ，AC=3，BC=4，求AD 的长。

4.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=3，BD=4，求AD的长

题型十二：勾股定理与分类讨论

（一）锐角与钝角不明时需分类讨论

1.在△ABC中，AB=AC=5，，求BC的长

2. 在△ABC中，AB=15，AC=13，AD为△ABC的高，且AD=12，求△ABC的面积。

（二）腰和底不明时需分类讨论

3.如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为射线AC上一点，且△ABD是等腰三角形，求△ABD的周长.

（三）直角边和斜边不明时需分类讨论

1.已知直角三角形两边分别为2和3，则第三边的长为_____________

2.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB为边向外作等腰直角三角形ABD，求CD的长

3.如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写出落在x轴上的顶点坐标.

题型十三：或问题的证明

1.如图1，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为AB的中点，M、N分别为AC、BC上一点，且DM⊥DN. （1）求证：CM+CN=BD

（2）如图2，若M、N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系式。

2.已知∠BCD=α，∠BAD=β，CB=CD. （1）如图1，若α=β=90°，求证：AB+AD=AC；（2）如图2，若α=β=90°，求证：AB-AD=AC；（3）如图3，若α=120°，β=60°，求证：AB=AD=AC；（4）如图3，若α=β=120°，求证：AB-AD=AC；

题型十四：问题的证明

1.如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，M、N分别为AC、BD的中点，连MN、ON.求证：MN= ON.

2.已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，AE=CF，连DE、EF. （1）如图1，若E、F

分别在AB、AC上，求证：EF=DE；（2）如图2，若E、F分别在BA、AC的延长线上，则(1)中的结论是否仍成立？请说明理由．

3.如图，△ABD中，O为AB的中点，C为DO延长线上一点，∠ACO=135°，∠ODB=45°探究OD、OC、AC之间相等的数量关系．

4.如图，△ABD是等腰直角△，∠BAD=90°，BC∥AD，BC=2AB，CE平分∠BCD，交AB于E，交BD 于H．求证：

（1）DC=DA；（2）BE=DH

题型十五：勾股定理（逆定理）与网格画图

1.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为．

2.如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个三角形，使它的三边长分别是3,2，，且三角形的三个顶点都在格点上．

3.如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个边长为的正方形，且正方形的四个顶点在格点上．

4.在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3个．

5.如图，在4个均匀由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个三角形中，与众不同的是__________中的三角形，图4中最长边上的高为_____________

6.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：

（1）画一条线段MN，使MN=；（2）画△ABC，三边长分别为3，，2。

7.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在格点上．

（1）图1中以AB为腰的等腰三角形有___________个，画出其中的一个，并直接写出其底边长．

（2）图2中，以AB为底边的等腰三角形有___________个，画出其中的一个，并直接写出其底边上的高．题型十六：利用勾股定理逆定理证垂直

2.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，，CD=5，AD=4，求.

3.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AB=5,AC=13,AD=6，求BC的长.

4.已知△ABC中，CA=CB, ∠ACB=α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连AD．

（1）如图1，当α=60°，PA= 10，PB=6，PC=8时，求∠BPC的度数

（2）如图2，当α=90°，PA=3，PB=1，PC=2时，求∠BPC的度数

题型十七：勾股定理综合纯几何问题

1.已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，∠EDF= 90°，DE交射线AC于E，DF交射线CB 于F．

（1）如图1，当AC=BC时，、、之间的数量关系为__________（直接写出结果）；（2）如图2，当AC≠BC时，试确定、、之间的数量关系，并加以证明；

（3）如图3，当AC≠BC时，(2)中结论是否仍成立？

2.已知△OMN为等腰直角△，∠MON=90°，点B为NM延长线上一点，OC⊥OB，且OC=OB.

（1）如图1，连CN，求证：CN=BM;

（2）如图2，作∠BOC的平分线交MN于A，求证：

勾股定理题型归纳

勾股定理复习小结一、二. 1、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c ）（2）验证2 c 与2 2b a +是否具有相等关系（3）若2 c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠2 2b a + 则△ABC 不是直角三角形。 3、勾股数满足2 2 b a +=2 c 的三个正整数，称为勾股数如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 勾股定理培优经典题型归纳题型一：利用勾股定理解决实际问题训练1、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？训练2、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

题型二、与勾股定理有关的图形问题训练3．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2，则正方形的边长是____ _____．题型三、关于翻折问题训练4、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG. 训练5、如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F.若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积. 训练6、如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长． G A B F E D C B A

工作总结人教版八年级下册数学工作总结工作总结

八年级下数学教学工作总结本学期来，我担任八（2）班的数学教学，在教学期间认真备课、上课、听课、评课，及时批改作业、讲评作业，做好课后辅导工作，广泛涉猎各种知识，不断提高自己的业务水平，充实自己的头脑，严格要求学生，尊重学生，使学生学有所得，不断提高，并顺利完成教育教学任务。一、坚持认真备课，备课中我不仅备学生而且备教材备教法，根据教材内容及学生的实际，设计课的类型，拟定采用的教学方法，并对教学过程的程序及时间安排都作了详细的记录，认真写好教案。每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，并制作各种利于吸引学生注意力的有趣教具，课后及时对该课作出总结，写好教学反思。二、努力增强我的上课技能，提高教学质量，使讲解清晰化，条理化，准确化，情感化，生动化，做到线索清晰，层次分明，言简意赅，深入浅出。在课堂上特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生的主作用，让学生学得容易，学得轻松，学得愉快；注意精讲精练，在课堂上老师讲得尽量少，学生动口动手动脑尽量多；同时在每一堂课上都充分考虑每一个层次的学生学习需求和学习能力，让各个层次的学生都得到提高。现在学生普遍反映喜欢上数学课，就连以前极讨厌数学的学生都乐于上课了。三、与同事交流，虚心请教其他老师。在教学上，有疑必问。在各个章节的学习上都积极征求其他老师的意见，学习他们的方法，同

时，多听老师的课，做到边听边讲，学习别人的优点，克服自己的不足，并常常邀请其他老师来听课，征求他们的意见，改进工作。四、完善批改作业：布置作业做到精读精练。有针对性，有层次性。为了做到这点，我常常上网、书店等地去搜集资料，对各种辅助资料进行筛选，力求每一次练习都起到最大的效果。同时对学生的作业批改及时、认真，分析并记录学生的作业情况，将他们在作业过程出现的问题作出分类总结，进行透切的评讲，并针对有关情况及时改进教学方法，做到有的放矢。五、做好课后辅导工作，注意分层教学。在课后，为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生的需求，避免了一刀切的弊端，同时加大了后进生的辅导力度。对后进生的辅导，并不限于学习知识性的辅导，更重要的是学习思想的辅导，要提高后进生的成绩，首先要解决他们心结，让他们意识到学习的重要性和必要性，使之对学习萌发兴趣。要通过各种途径激发他们的求知欲和上进心，让他们意识到学习并不是一项任务，也不是一件痛苦的事情。而是充满乐趣的。从而自觉的把身心投放到学习中去。这样，后进生的转化，就由原来的简单粗暴、强制学习转化到自觉的求知上来。使学习成为他们自我意识力度一部分。在此基础上，再教给他们学习的方法，提高他们的技能。并认真细致地做好查漏补缺工作。后进生通常存在很多知识断层，这些都是后进生转化过程中的拌脚石，在做好后进生的转化工作时，要特别注意给他们补课，把他们以前学习的知识断层补充完整，这样，他们就会学得轻松，进步也快，兴趣和求知欲也会随

第18章[1].勾股定理知识点与常见题型总结

第18章勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：， 4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD 22 1 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为2 2 1422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=

方法三：1()()2 S a b a b = +?+梯形，2 112S 222ADE ABE S S ab c ??=+=? + 梯形，化简得证 a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在A B C ?中，90C ∠=? ，则c = b = ，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2 2 2 2 ,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求

勾股定理常见题型

专题一：勾股定理与面积知识点精讲：类型一“勾股树”及其拓展类型求面积典型例题： 1．如图（16），大正方形的面积可以表示为，又可以表示为，由此可得等量关系______________________,整理后可得：___________． 2．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为( ) 3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是() A．9 B．36 C．27 D．34 4．如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝________． 5．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝() A．25 B．31 C．32 D．40 6．如图，已知在Rt ABC △中，? = ∠90 ACB，4 AB=，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为1S，2S，则 12 S S +的值等于________ 7．如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是________．8．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为( ) A．2 B．4 C．8 D．16 a a a a b b b b c c c c 图(16) 8 6 C B A

初二下学期数学期末工作总结

初二下学期数学期末工作总结一、课程标准走进我的心，进入课堂我们怎样教数学，《国家数学课程标准》对数学的教学内容，教学方式，教学评估教育价值观等多方面都提出了许多新的要求。无疑我们每位数学教师身置其中去迎接这种挑战，是我们每位教师必须重新思考的问题。鲜明的理念，全新的框架，明晰的目标，有效的学习对新课程标准的基本理念，设计思路，课程目标，内容标准及课程实施建议有更深的了解。二、课堂教学，师生之间学生之间交往互动，共同发展。本学期本人是课堂教学的实践者，为保证新课程标准的落实，本人把课堂教学作为有利于学生主动探索的数学学习环境，把学生在获得知识和技能的同时，在情感、态度价值观等方面都能够充分发展作为教学改革的基本指导思想，把数学教学看成是师生之间学生之间交往互动，共同发展的过程，组织了“自主——创新”的教学模式。在有限的时间吃透教材，积极利用各种教学资源，创造性地使用教材，反复听评，从研、讲、听、评中推敲完善出精彩的案例。突出过程性，注重学习结果，更注重学习过程以及学生在学习过程中的感受和体验。这说明：设计学生主动探究的过程是探究性学习的新的空间、载体和途径。

努力处理好数学教学与现实生活的联系，努力处理好应用意识与解决问题的重要性，重视培养学生应用数学的意识和能力。重视培养学生的探究意识和创新能力。常思考，常研究，常总结，以科研促课改，以创新求发展，进一步转变教育观念，坚持“以人为本，促进学生全面发展，打好基础，培养学生创新能力”，以“自主——创新”课堂教学模式的研究与运用为重点，努力实现教学高质量，课堂高效率。三、创新评价，激励促进学生全面发展。我们把评价作为全面考察学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生全面发展的手段，也作为教师反思和改进教学的有力手段。对学生的学习评价，既关注学生知识与技能的理解和掌握，更关注他们情感与态度的形成和发展;既关注学生数学学习的结果，更关注他们在学习过程中的变化和发展。抓基础知识的掌握，抓课堂作业的堂堂清，采用定性与定量相结合，定量采用等级制，定性采用评语的形式，更多地关注学生已经掌握了什么，获得了那些进步，具备了什么能力。使评价结果有利于树立学生学习数学的自信心，提高学生学习数学的兴趣，促进学生的发展。本学期本人在作业评价方面做了一些尝试，做法是日评、周评、月评一条龙，老师评、学生评、小组评，一条龙，

勾股定理全章知识点归纳总结

全国中考信息资源门户网站 https://www.360docs.net/doc/f11854339.html, 勾股定理全章知识点归纳总结一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在A B C ?中，90C ∠=? ，则22 c a b = +， 2 2 b c a = -，22 a c b = -）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2

全国中考信息资源门户网站 https://www.360docs.net/doc/f11854339.html, 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ? +=正方形正方形ABCD ，22 14()2 ab b a c ? +-=，化简可证． c b a H G F E D C B A