2021届高考数学苏教版一轮总复习9 对数与对数函数
课时作业9 对数与对数函数
一、选择题
1．log 29·log 34等于( D )
A.14
B.1
2 C ．2 D ．4 解析：方法1：原式＝lg9lg2·lg4lg3＝2lg3·2lg2
lg2·lg3＝4. 方法2：原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.
2．已知函数f (x )＝?????
log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，
则f (f (1))＋f ? ?
???log 312
的值是( A ) A ．5 B ．3 C ．－1
D.7
2
解析：由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，
所以f (f (1))＋f ?
?
?
??log 312＝5.
3．(2020·新乡一模)若log 2(log 3a )＝log 3(log 4b )＝log 4(log 2c )＝1，则a ，b ，c 的大小关系是( D )
A ．a >b >c
B ．b >a >c
C ．a >c >b
D ．b >c >a
解析：由log 2(log 3a )＝1，可得log 3a ＝2，故a ＝32＝9；由log 3(log 4b )＝1，可得log 4b ＝3，故b ＝43＝64；由log 4(log 2c )＝1，可得log 2c ＝4，
故c ＝24＝16.∴b >c >a .故选D.
4．(2020·郑州模拟)设a ＝log 50.5，b ＝log 20.3，c ＝log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是( B )
A ．b B ．b C ．c D ．a 解析：a ＝log 50.5>log 50.2＝－1，b ＝log 20.3 log 50.5＝lg0.5lg5＝lg2－lg5＝lg2lg0.2.∵－1 lg0.3 lg0.2，即c 5．(2020·长春模拟)已知对数函数f (x )＝log a x 是增函数，则函数f (|x |＋1)的图象大致是( B ) 解析：由函数f (x )＝log a x 是增函数知，a >1. f (|x |＋1)＝lo g a (|x |＋1)＝????? log a (x ＋1)，x ≥0，log a [－(x －1)]，x <0. 由对数函数图象知选B. 6．(2020·广州调研)已知实数a ＝2ln2，b ＝2＋2ln2，c ＝(ln2)2，则a ，b ，c 的大小关系是( B ) A ．c B ．c C ．b D ．a 解析：因为0 7．(2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1 E 2 ，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( A ) A ．1010.1 B ．10.1 C ．lg10.1 D ．10－10.1 解析：由题意可设太阳的星等为m 2，太阳的亮度为E 2，天狼星的星等为m 1，天狼星的亮度为E 1，则由m 2－m 1＝52lg E 1 E 2，得－26.7＋ 1.45＝52lg E 1E 2，52lg E 1E 2＝－25.25，∴lg E 1E 2＝－10.1，lg E 2E 1＝10.1，E 2 E 1＝1010.1 .故选A. 8．(2020·陕西榆林一模)函数f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，若对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0，则( B ) A ．f (a )＋f (b )≤0 B ．f (a )＋f (b )≥0 C ．f (a )－f (b )≤0 D ．f (a )－f (b )≥0 解析：本题考查对数式的运算性质以及函数单调性的应用．令g (x )＝log 2(x ＋1＋x 2)，则g (－x )＝log 2(1＋(－x )2－x )＝log 2(1＋x 2－x )＝log 2 1 1＋x 2 ＋x ＝－g (x )．又g (x )＝log 2(x ＋1＋x 2)在R 上单调递增，则函数f (x )为奇函数，且在R 上单调递增．因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，则f (a )≥f (－b )＝－f (b )，即f (a )＋f (b )≥0.故选B. 二、填空题 9．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1.则a ＝－7. 解析：由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7. 10．方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为 解析：∵log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)，∴log 2(x 2－1)＝2， ∴x 2－1＝4，∴x ＝±5.经检验x ＝－5是增根，舍去．∴方程的解为x ＝ 5. 11．已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝4，b ＝2. 解析：令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0 2，得t ＋1t ＝52，解得t ＝12或t ＝2(舍去)，即log a b ＝1 2，∴b ＝a ，又a b ＝b a ，∴a a ＝(a )a ，即a a ＝a a 2，即 a ＝a 2，解得a ＝4，∴b ＝2. 12．若函数f (x )＝log a ? ?? ??x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间? ?? ?? 12，＋∞内恒有 f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 解析：令M ＝x 2 ＋3 2x ，当x ∈? ?? ??12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝? ?? ??x ＋342－9 16，因此M 的单调递增区间为? ?? ??－34，＋∞.又x 2 ＋32x >0，所以x >0或x <－32，所 以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 三、解答题 13．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间??? ? ??0，32上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，且a ≠1)， ∴a ＝2.由????? 1＋x >0， 3－x >0， 得－1 ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数； 当x∈(1,3)时，f(x)是减函数， 故函数f(x)在 ? ? ? ? ? ? 0， 3 2上的最大值是f(1)＝log24＝2. 14．(2020·长沙模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝log1 2 x. (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(x2－1)>－2. 解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log1 2 (－x)． 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)． 所以x<0时，f(x)＝log1 2 (－x)， 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝ ?? ? ??log12x，x>0， 0，x＝0， log1 2 (－x)，x<0. (2)因为f(4)＝log1 2 4＝－2，f(x)是偶函数， 所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)． 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以0<|x2－1|<4，解得－5 而x2－1＝0时，f(0)＝0>－2，所以x＝1或x＝－1. 所以－5 所以不等式的解集为{x|－5 15．(2020·南昌模拟)已知a＝ 2 5ln 5 2，b＝ lne e(e是自然对数的底数)， c ＝ln2 2，则a ，b ，c 的大小关系是( A ) A ．c B ．a C ．b D ．c 解析：由题意，构造函数f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.令f ′(x )＝0，可得x ＝e.当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，e)上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )在(e ，＋∞)上单调递减．因为0<2<5 2 16．(2020·湖南株洲质检)若均不为1的实数a ，b 满足a >b >0，且ab >1，则( B ) A ．log a 3>log b 3 B ．3a ＋3b >6 C ．3ab ＋1>3a ＋b D ．a b >b a 解析：本题考查对数函数单调性的应用．当a ＝9，b ＝3时，log a 3 >6，故选B. 17．(2020·兰州诊断)已知函数f (x )＝x 2＋ln(|x |＋1)，若对于x ∈[1,2]，f (ax 2) A ．－34 B ．－3 C ．a <34 D ．a <3 解析：易知f (x )＝x 2＋ln(|x |＋1)是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，故原问题等价于|ax 2 |<3对x ∈[1,2]恒成立，即|a |<3 x 2对x ∈[1,2]恒成立，所以|a |<34，解得－34 4，故选A. 快乐分享，知识无界！感谢您的下载! 由Ruize收集整理！ 专练9 对数与对数函数 命题范围：对数的意义与运算；对数函数的定义、图象与性质． [基础强化] 一、选择题 1．lg 52＋2lg 2－? ?? ??12－1＝( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3 2．函数y ＝log 1 2(3x －2)的定义域是( ) A ．[1，＋∞] B.? ?? ??23，＋∞ C.??????23，1 D.? ?? ??23，1 3．函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的单调递增区间是( ) A ．(－∞，0) B ．(1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，1) 4．若函数f (x )＝(m －2)x a 是幂函数，则函数g (x )＝log a (x ＋m )(a >0且a ≠1)的图象过点( ) A ．(－2,0) B ．(2,0) C ．(－3,0) D ．(3,0) 5．[2020·全国卷Ⅲ]已知55<84,134<85，设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A ．a b ，则( ) A ．ln(a －b )>0 B ．3a <3b C ．a 3－b 3>0 D ．|a |>|b | 7．已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减 C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称 8．[2020·益阳一中测试]若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( ) 9．若函数f (x )＝????? log a x ，x >3，－2x ＋8，x ≤3存在最小值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(1，3] D.? ????0，33 二、填空题 10．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. 11．函数f (x )＝? ?? ??13x －log 2(x ＋4)在区间[－2,2]上的最大值为________． 12．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________． [能力提升] 13．[2020·全国卷Ⅰ]若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b 则( ) A ．a >2b B ．a <2b C ．a >b 2 D ．a 0且m ≠1) 在[2,3]上单调递增，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1,36] B ．[36，＋∞) C ．(1,16]∪[36，＋∞) D ．(1,16] 15．[2020·荆州一中测试]若函数f (x )＝ 对数与对数函数同步练习 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=g 的两根是,αβ，则αβg 的值是（ ） A 、lg5lg 7g B 、lg35 C 、35 D 、35 1 5、已知732log [log (log )]0x =，那么1 2 x -等于（ ） A 、1 3 B C D 6、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 7、函数(21)log x y -= ） A 、()2,11,3??+∞ ???U B 、()1,11,2?? +∞ ???U C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2??+∞ ??? 8、函数212 log (617)y x x =-+的值域是（ ） A 、R B 、[)8,+∞ C 、(),3-∞- D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ） A 、 1 m n >> B 、1n m >> C 、01n m <<< D 、01m n <<< 对数函数图像和性质及经典例题 第一部分：回顾基础知识点 对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 对数函数的图象和性质 ○ 1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象； （1） x y 2log = （2） x y 2 1log = （3） x y 3log = （4） x y 3 1log = ○ 2 对数函数的性质如下： 图象特征 函数性质 1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点（1，1） 11=α 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a 0log ,10>< 第二部分：对数函数图像及性质应用 例1．如图，A ，B ，C 为函数x y 2 1log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1). (1)设?ABC 的面积为S 。求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值 . 解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C . )44 1(log )2(4log 2 3223 1t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5, [)∞++=.541在v v 上是减函数，且1 对数与对数函数试题 一.选择题 1.函数y= 的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 2、下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx 的定义域和值域相同的是 A. y=x B. y=lgx C. y=2x D. y x = 3、已知03.1()2a =，20.3b -=， 12log 2c =，则,,a b c 的大小关系是 （） A ．a b c >> B ．a c b >> C.c b a >> D ．b a c >> 4、对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数，例如 [2]=2；[1.2]=2；[2.2-]=3-,这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么]64[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++Λ的值为() A ．21 B ．76 C ．264 D ．642 5、已知{}a b 2,3,4,5,6,7,8,9∈、，则log a b 的不同取值个数为（ ） A. 53 B. 56 C. 55 D. 57 6、若， ，则（ ） A. B. C. D. 7、函数 的图像大致是（ ） A. B. C. D. 8、函数()2log (2)a f x x =+-(01)a a >≠且的图像必经过点（） A ．(0,1)B ．(2,1)C ．(3,1)D ．(3,2) 9、三个数03770.30.3.，，，㏑，从小到大排列（） A.0.37.73.0㏑0.3 B.0.37，㏑0.3,0.37 C.7,0.3 0.3, 70.3,，㏑ D.70.3ln 3,0.3,7 10、当01a <<时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（） A ． B ． C.D ． 11、设函数f(x)定义在实数集上,f(2x)=f(x)－,且当x ≥1时,f(x)=lnx ,则有（） A ．11f() 第6讲对数与对数函数 一、选择题 1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的() A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0； 当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1. 答案 A 2.(2017·石家庄模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是() A.a＝b 解析 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝? ? ? ??13x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.故选B. 答案 B 4.已知函数f (x )＝???log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0， 则f (f (1))＋f ? ????log 312的值是( ) A.5 B.3 C.－1 D.7 2 解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2， f ? ? ? ??log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3， 所以f (f (1))＋f ? ? ? ??log 312＝5. 答案 A 5.(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A.(a －1)(b －1)<0 B.(a －1)(a －b )>0 C.(b －1)(b －a )<0 D.(b －1)(b －a )>0 解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1. 高考数学第一轮复习9对数与对数函数 9. 对数与对数函数 班级 姓名 一、选择题 1．记6log ,7.0,67.067.0===c b a ，则c b a 、、的大小关系是 （ ） （A ）a c b << （B ）c a b << （C ）b a c << （D ）a b c << 2．函数)1ln(1--=x y 的定义域为 （ ） （A ）)1,(e +-∞ （B ）(]e +1,1 （C ）)1,(-∞ （D ）（1，11） 3．当0-=a a ax x x f a 在区间)0,2 1(-内单调递增，则a 的取值范围 是 （ ） （A ）)1,41[ （B ） )1,4 3[ （C ）),49(+∞ （D ）)49,1( 二、填空题 6．（1）计算3log 22450lg 2lg 5lg +?+= ． （2）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则=m （)3010.02lg ≈ 7．函数x x f )21()(=，则函数y =f -1(2x -x 2)的单调递增区间为 ． 8．设方程3lg =+x x 的根为,α[]α表示不超过α的最大整数，则[]α的值为 ． 9．设函数)1lg()(2 --+=a ax x x f 给出下列命题：①)(x f 有最小值 ;②当0=a 时，)(x f 的值域为R; ③当0>a 时， )(x f 在区间[)+∞,2上有反函数 ； ④若)(x f 在区间[)+∞,2上单调递增，则实数a 的取值范围为4-≥a ．其中正确命题的序号是 ． 三、解答题 10．已知函数)32(log )(221++-=x x x f ． （1）求)(x f 的单调区间；（2）求)(x f 的值域． 课时跟踪检测(十)对数与对数函数[高考基础题型得分练] 1．[2018·四川泸州一诊]2lg 2－lg 1 25的值为() A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：2lg 2－lg 1 25 ＝lg ? ? ? ? ? 22÷ 1 25 ＝lg 100＝2.故选B. 2．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝() A．log2x B.1 2x C．log1 2 x D．2x－2答案：A 解析：由题意知f(x)＝log a x， ∵f(2)＝1，∴log a2＝1，∴a＝2， ∴f(x)＝log2x. 3．[2018·河北衡水中学调研卷]若0 A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 答案：B 解析：由已知得b ＝5a ，b ＝10c,5d ＝10， ∴5a ＝10c,5d ＝10， 同时取以10为底的对数可得， a lg 5＝c ，d lg 5＝1，∴c a ＝1 d ，即a ＝cd . 5．[2018·福建朋口中学高三上期末]已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[2，＋∞) 答案：B 解析：因为f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，所以f (0)>f (1)， 即log a 2>log a (2－a )，所以?? ? a >1，0<2－a <2， 所以10， 3－x ＋1，x ≤0， 则f (f (1)) ＋f ? ? ? ??log 312的值是( ) A ．5 B ．3 C ．－1 D.7 2 答案：A 解析：由题意可知f (1)＝log 21＝0， 第6讲对数与对数函数 [基础题组练] 1．(2019·惠州模拟)若函数f(x)＝a x－2，g(x)＝log a|x|，其中a＞0，且a≠1，f(2)·g(2)＜0，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象是( ) 解析：选A.由题意知f(x)＝a x－2是指数型函数，g(x)＝log a|x|是对数型函数，且是一个偶函数，由f(2)g(2)＜0，可得g(2)＜0，故log a2＜0，故0＜a＜1，由此可以确定C、D 两选项不正确，且f(x)＝a x－2是一个减函数，由此可知B选项不正确，A选项正确，故选A. 2．(2019·河南新乡一模)若log2(log3a)＝log3(log4b)＝log4(log2c)＝1，则a，b，c的大小关系是( ) A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．b>c>a 解析：选D.由log2(log3a)＝1，可得log3a＝2，lg a＝2lg 3，故a＝32＝9； 由log3(log4b)＝1，可得log4b＝3，lg b＝3lg 4，故b＝43＝64； 由log4(log2c)＝1，可得log2c＝4，lg c＝4lg 2，故c＝24＝16. 所以b>c>a.故选D. 3．设函数f(x)＝log a|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( ) A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1) 必修1专题复习——对数与对数函数 1．23log 9log 4?=（ ） A ．14 B ．12 C ．2 D ．4 2．计算()()516log 4log 25?= （ ） A ．2 B ．1 C ． 12 D ．14 3．已知222125log 5,log 7,log 7a b ===则 （ ） A ．3 a b - B ．3a b - C ．3a b D ．3a b 4．552log 10log 0.25+=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 5．已知3 1ln 4,log ,12 ===-x y z ，则（ ） A.< 第6讲 对数与对数函数 1．对数 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( ) (3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 13 3x 都是对数函数．( ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a ，1)，????1 a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1] 解析：选B .因为y ＝x ln(1－x )，所以? ????x ≥0， 1－x >0，解得0≤x <1. 函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2) 解析：选D.设t ＝x 2－4，因为y ＝log 12 t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)． lg 5 2 ＋2lg 2－????12－1＝________． 解析：lg 52＋2lg 2－????12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2 ＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－1 (教材习题改编)函数y ＝log a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1) 对数式的化简与求值 [典例引领] 计算下列各式： 9对数与对数函数 - 2 - 2004－2005学年度上学期 高中学生学科素质训练 高一数学同步测试（9）—对数与对数函数 一、选择题： 1．3 log 9log 2 8的值是 （ ） A ．3 2 B ．1 C ．2 3 D ．2 2．若log 2)] (log [log log )](log [log log )](log [log 55 1533 1322 1 z y x ===0，则x 、 y 、z 的大小关系是 （ ） A ．z ＜x ＜y B ．x ＜y ＜z C ．y ＜z ＜x D ．z ＜y ＜x 3．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于 （ ） A.23 B.4 5 C.0 D.2 1 4．已知lg2=a ，lg3=b ，则15 lg 12 lg 等于 - 3 - （ ） A ．b a b a +++12 B ．b a b a +++12 C ．b a b a +-+12 D ．b a b a +-+12 5．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则y x 的值为 （ ） A ．1 B ．4 C ．1 或4 D ．4 或 6.函数y = ) 12(log 2 1-x 的定义域为 （ ） A ．(2 1，＋∞) B ．［1，＋∞) C ．( 2 1，1] D ．(－∞，1) 7．已知函数y =log 2 1 (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．a ＞ 1 B ．0≤a ＜ 1 C ．0＜a ＜1 D ．0≤a ≤1 8.已知f (e x )=x ，则f (5)等于 （ ） 第八节 对数与对数函数 [知识能否忆起] 1．对数的概念 (1)对数的定义： 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．当a ＝10时叫常用对数．记作x ＝lg_N ，当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln_N . (2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)： ①log a 1＝0. ②log a a ＝1. ③对数恒等式：a log a N ＝N . ④换底公式：log a b ＝log c b log c a . 推广log a b ＝1 log b a ，log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . (3)对数的运算法则： 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log am M n ＝n m log a M . 2．对数函数的概念 (1)把y ＝log a x (a >0，a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)是指数函数y ＝a x 的反函数，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象关于y ＝x 对称． 3．对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0 当x >1时，y >0当0 对数运算和对数函数 对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数。③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>。 常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 对数函数及其性质 类型一、对数公式的应用 1计算下列对数 =-3log 6log 22 =?3 1log 12 log 2 22 2 =+2lg 5lg =61000lg =+64log 128log 22 =?)24(log 432 =++)2log 2)(log 3log 3(log 9384 =++3log 23log 2242 =?16log 27log 32 =+-2log 90log 5log 333 =++c b a 842log log log =+++200 199lg 43lg 32lg Λ =++32log 8log 8log 842 =+25.0log 10log 255 =-64log 325log 225 =)))65536(log (log (log log 2222 2 解对数的值： 18lg 7lg 37lg 214lg -+- 0 =-+-1)21 (2lg 225lg -1 1 3 341log 2log 8?? -? ??? 的值0 提示：对数公式的运算 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 （1）加法：log log log ()a a a M N MN += （2）减法：log log log a a a M M N N -= （3）数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ （4）log a N a N = （5）log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ （6）换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 （7）1log log =?a b b a （8）a b b a log 1log = 类型二、求下列函数的定义域问题 1函数)13lg(13)(2 ++-= x x x x f 的定义域是)1,31 (- 2设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为 ()()4,11,4Y -- 3 函数()f x = ]1,0()0,1(Y - ） 提示：（1）分式函数，分母不为0，如0,1 ≠= x x y 。 （2） 二次根式函数，被开方数大于等于0，0,≥= x x y 。 （3）对数函数，真数大于0，0,log >=x x y a 。 类型三、对数函数中的单调性问题 对数与对数函数专题 1.对数的概念 如果a x＝N（a>0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 . 2.对数的性质、换底公式与运算性质 （1）对数的性质：① a logaN＝N；②log a a b＝b（a>0，且a≠1）. （2）对数的运算法则 如果a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a（MN）＝ log a M＋log a N；②log a N M＝log a M－ log a N；③log a M n＝n log a M（n∈ R）； n n ④ log a m M n＝m log a M（m，n∈ R，且m≠0）. log a N （3）换底公式： log b N＝log a b（a，b均大于零且不等于 1）. 3.对数函数及其性质 （1）概念：函数y＝log a x（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0 ，＋∞ ）. （2）对数函数的图象与性质 4.反函数 指数函数y＝a x（a>0，且a≠1）与对数函数y＝log a x（a>0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称 . 1. 换底公式的两个重要结论 1 n n （1）log a b ＝ ； （2）log a m b n ＝ log a b . a log b a a m a 其中 a >0，且 a ≠1， b >0，且 b ≠1， m ， n ∈R. 2. 在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大 . 1 3. 对数函数 y ＝ log a x （ a >0，且 a ≠1）的图象过定点 （1 ， 0） ，且过点 （a ，1）， ，－ 1 ，函数图象只在第 a 、四象限 疑误辨析】 1. 判断下列结论正误 （在括号内打“√”或“×”） 2 （1）log 2x ＝ 2log 2x .（ ） （2） 函数 y ＝log 2（ x ＋1）是对数函数 .（ ） 1＋ x （3） 函数 y ＝ln 与 y ＝ ln （1 ＋x ） －ln （1 －x ）的定义域相同 .（ ） 1－ x （4） 当 x >1 时，若 log a x >log b x ，则 a 0，且 a ≠1）的图象如图，则下 列结论成立的是 （ ） 1 c ＝log 13， A. a >b >c B. a >c >b C. c >b >a D. c >a >b 3.（ 必修 1P74A7改编 ） 函数 l og 2 （2 x －1） 的 定义域是 对数及对数函数 一、教学目标 掌握对数及对数函数的概念，掌握对数函数的性质并且能灵活运用，熟悉判断函数的单调性奇偶性，值域等，并且掌握部分含参问题的解决方法。 二、教学重难点 重点：对数中的计算以及对数函数的大小比较、函数的性质运用，含参问题，对数的综合运用 难点：对数函数的值域、单调性问题，利用函数的性质求参数取值范围 三、知识点梳理 1、对数：定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，lo g a N 是对数式。） 由于N a b =>0故lo g a N 中N 必须大于0。当N 为零或负数时对数不存在。 2、对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零，底数的对数等于1，即01log ,1log ==a a a ③常用对数和自然对数：对数)1,0(log ≠>a a N a 的底数 （1）a=10时，叫做常用对数，记作N lg （2）a=e 时，叫做自然对数，记作N ln ，其中e 为无理数，e ≈2.71828 3、对数的运算法则： ①()() l o g l o g l o g a a a M N M N M N R =+∈+ ， ②( ) l o g l o g l o g a a a M N M N M N R =-∈+ ， ③()() l o g l o g a n a N n N N R =∈+ b a b a =log ④( ) l o g l o g a n a N n NNR =∈+ 1 ⑤N a N a =log 4、对数换底公式： b N b N N a a b lg lg log log log == （)21828.2(log lg ==e N N e 其中称为N 的自然对数 由换底公式推出一些常用的结论： （1）l o g l o g l o g l o g a b a b b a b a ==1 1或· （2）log log a m a n b m n b = （3）l o g l o g a n a n b b = （4）lo g a m n a m = 高一数学同步测试（9）—对数与对数函数 一、选择题： 1． 3 log 9 log 28的值是 （ ） A ． 32 B ．1 C ．2 3 D ．2 2．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55 1533 1322 1z y x ===0，则x 、y 、z 的大小 关系是 （ ） A ．z ＜x ＜y B ．x ＜y ＜z C ．y ＜z ＜x D ．z ＜y ＜x 3．已知x =2+1,则lo g 4(x 3 －x －6)等于 （ ） A. 2 3 B. 45 C.0 D. 2 1 4．已知lg2=a ，lg3=b ，则 15 lg 12 lg 等于 （ ） A ． b a b a +++12 B ． b a b a +++12 C ． b a b a +-+12 D ．b a b a +-+12 5．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则y x 的值为 （ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4 或 6.函数y =)12(log 2 1-x 的定义域为 （ ） A ．( 2 1 ，＋∞) B ．［1，＋∞) C ．( 2 1 ，1] D ．(－∞，1) 7．已知函数y =log 2 1 (ax 2 ＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．a ＞ 1 B ．0≤a ＜ 1 C ．0＜a ＜1 D ．0≤a ≤1 8.已知f (e x )=x ，则f (5)等于 （ ） A ．e 5 B ．5 e C ．ln5 D ．log 5e 9．若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是 （ ） 10．若2 2log ()y x ax a =---在区间(,1-∞-上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[22]- B ．)22?-? C ．( 22?-? D ．() 22- 11．设集合B A x x B x x A ?>=>-=则|},0log |{},01|{22 等于 （ ） A ．}1|{>x x B ．}0|{>x x C ．}1|{- 高考数学专题：对数与对数函数 最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1 2的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数. 知 识 梳 理 1.对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1) (2)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log a m M n ＝n m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 ●高考明方向 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3.知道对数函数是一类重要的函数模型． 4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，且a≠1)． ★备考知考情 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点. 一、知识梳理《名师一号》P27 注意： 知识点一对数及对数的运算性质 1.对数的概念 一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”． 注意：(补充)关注定义---指对互化的依据 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a(MN)＝log a M＋log a N； ②log a M N＝log a M－log a N； ③log a M n＝nlog a M(n∈R)； ④log a m M n＝n m log a M. (2)对数的性质 ①a logaN ＝N ；②log a a N ＝N (a>0，且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d. 注意：(补充)特殊结论:log 10, log 1a a a == 知识点二 对数函数的图象与性质 1.对数函数的图象与性质（注意定义域!） 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数， 它们的图象关于直线y ＝x 对称． (补充) 设y ＝f(x)存在反函数，并记作y ＝f －1(x)， 1) 函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f －1(x)的图象 关于直线y x =对称．专练9 对数与对数函数
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