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基本图形三

要点：如图1，在①OC平分∠AOB，②DE//OB,③OD=DE三者中，任知两者，可推得第三者

图1

应用：（1）如图2，△ABC的两条内角平分线交于O，过O作AB的平行线交AC于点F,交BC于点E.探究AF、EF、BE间的数量关系

（2）如图3，△ABC的两条外角平分线交于O，过O作AB的平行线交直线AC于点F,交直线BC于点E. 探究AF、EF、BE间的数量关系

A

E

图2 图3

拓展：（3）如图4，△ABC的一条内角平分线和一条外角平分线交于点O，过O 作AB的平行线交直线AC于点F, 交直线BC于点E. 探究AF、EF、BE间的数量关系,写出你的猜想并证明.

A

图4

变形：在（3）的条件下，若AO⊥BC于点G,如图5，找出图中的等腰直角三角形

A

图5

训练：

1、如图6，∠AOB =30°，P为OC上任意一点，PD//OA交于OB于D，PE⊥OA于E，若PD+OD=4，则PE的长度为___________

图6

2、指出图形7-10中的等腰三角形

（l）如图7，OC平分∠A OB，C D∥OB.

（2）如图8，OC平分∠AOB，OC∥BD.

（3）如图9，AD平分∠BAC，C E∥AD.

（4）如图10，AD平分∠BAC，G E∥AD.

（5）如图11，已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF∥BC，说明EF=BE+CF；（6）如图12，已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE∥AB ，DF∥AC 说明△DEF 的周长为BC；

（7）如图13，已知BD平分∠ABC，CD平分△ABC的一个外角，DE∥BC ，说明EF=BE–CF；

（8）如图14，已知AB平分∠DAE，AC平分∠DAF，BC∥EF，说明

AD=

2

1

BC.

基本形四

要点：角平分线加垂直、、对角互补的四边形角平分线

要求：证明并熟记基本图形

OA、OC分别是∠BAC、∠BCA的角平分线，

则：∠AOC=90°+

1

2

∠B．

BP、CP分别是∠ABC、∠ACD的角平分线，

则：∠P=

1

2

∠A．