有限元法基本原理
有限元法基本原理
有限元法是解决偏微分方程数值分析问题的重要方法，它根据力
学原理将构件表示成一系列有限个拉普拉斯单元，采用有限个有限量
节点在某种元素的基质上建立的模型来近似求解构件的本构关系。它
将复杂的本构关系准确地还原为有限数量的有限单元，以此分析不同
物理状态下物体受力和变形机制，可用于弹性、非线性动力学分析及
多物理场耦合场景等复杂问题的分析。
有限元法由三部分组成：网格划分、体积单元的本构建立及节点
的采样，它将整个物体划分成几种封闭的体积单元，选取合适的节点
对每一种单元进行采样，并为各种单元类型形成有适用的本构关系方程，以串联每个构件的局部分析结果。
首先，在网格划分方面，有限元法可以通过不同的体积单元划分、节点采样及本构关系来处理复杂的问题，如曲面、孔洞等，形成封闭
的有限元网格，随后，对复杂的本构关系准确地还原为有限个有限单元，即针对每一种单元类型的形变量，采取合适的节点、布点一系列
的坐标。
最后，有限元法利用耦合方程作为求解强度和变形问题的基础，
在此基础上，有限元法可以应用于多物理场、非线性动力学分析及其
他复杂的物理状态场景。另外，它还可以帮助测量构件受力和变形机制，使得构件能正确适应环境变化。由于有限元法处理方法较为简单，而且力学原理深入，因此，它已在工程计算中得到广泛的应用，有效
提高了模型的准确性和精确度，为进一步探索物理现象带来了巨大的
方便。
工程有限元法的基本原理
工程有限元法的基本原理 有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，用于求解工程结构的力学问题。它将连续介质的力学问题离散化成有限个简单的几何单元，通过数值方法来近似描述其物理行为，然后利用数值计算的手段求解得到结构的应力、应变、位移等结果。有限元法基于以下几个基本原理。 第一个基本原理是连续介质力学原理。根据连续介质力学原理，工程结构的行为可以通过各个位置上的应力、应变之间的关系来描述。有限元法将结构划分为有限个单元，每个单元内的应力、应变满足线性关系，在整个结构内满足刚体平衡和位移连续性条件。 第二个基本原理是虚功原理。根据虚功原理，结构在平衡状态下任意位移的虚功等于系统外力对应的虚功。在有限元法中，通过引入虚位移，可以将结构力学问题转化为解决某虚位移下的能量平衡问题。对于每个单元来说，其虚功相互之和等于外力对应的虚功。 第三个基本原理是有限元离散化原理。有限元法将结构离散化为有限个几何形状简单的单元，如三角形、四边形单元。每个单元内的位移场可以用简单的插值函数表示。然后将整个结构的位移场表示为各个单元位移场的线性组合。利用这种离散化的表示方法，可以通过求解一个线性代数方程组来获得结构的位移、应力等结果。
第四个基本原理是有限元单元刚度矩阵推导原理。在有限元法中，每个单元都有其特定的刚度矩阵，该刚度矩阵与单元内力学性能和几何形状有关。通过对单元的单元刚度矩阵的推导，可以获得整个结构的刚度矩阵。然后通过组装所有单元的刚度矩阵，得到整个结构的刚度矩阵。 第五个基本原理是有限元方程求解原理。通过将结构的位移场表达为有限元插值函数的线性组合，结构的位移、应力、应变等物理量可以表示为有限元插值函数的线性组合。将虚功原理应用到每个单元上，可以得到有限元法的强格式线性方程组。然后通过求解这个线性方程组，可以获得结构的位移、应力、应变等结果。 在实际应用中，有限元法通过划分结构为有限单元网格，将复杂的结构计算问题转化为简单的局部计算问题。通过选择合适的单元类型和网格密度，可以在一定误差范围内获得准确的结构应力、位移等结果。有限元法已广泛应用于各个领域，如结构力学、流体力学、热传导等问题的数值计算和优化设计。
有限元法基本原理与应用
有限元法基本原理与应用 有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中的结构分析、流体力学、热传导等问题的数值模拟。它的基本原理是将连续的物理问题转化为离散的有限元组装问题，通过对离散的有限元进行数值计算，得到问题的近似解。 有限元法的基本原理可以简要概括为以下几个步骤： 1.建立问题的数学模型：将实际问题抽象为一个数学模型，例如线性弹性力学、热传导方程等。模型包括物理量的表达式、边界条件和初始条件等。 2.离散化：将连续的物理问题离散化为一系列有限元。有限元是由一些简单的几何形状（如三角形、四边形）组成的子区域，称为单元。整个问题区域被划分为许多单元。 3.处理边界条件：在模型中，边界条件是非常重要的，它们描述了问题在边界上的行为。有限元法通过施加适当的边界条件来模拟实际问题的边界行为。 4.建立单元模型：针对每个单元，建立其适当的数学模型。常用的有线弹性力学的单元模型有三角形和四边形元素、梁单元、壳单元等。 5.组装方程：通过将所有单元的方程组合在一起，形成整个问题的方程组。这个方程组通常是一个矩阵方程，可以通过求解该方程组来得到问题的数值解。 6.求解方程：有限元法适用于大规模、复杂的问题，可以通过迭代的方式求解。常用的求解方法有直接法、迭代法、预处理共轭梯度法等。
7.后处理：对求解结果进行后处理，包括分析和可视化。这些结果可以用来评估结构的安全性、优化设计等。 有限元法的应用非常广泛，涵盖了许多工程领域。它可以用于结构分析，例如建筑物、桥梁、飞机等的强度和刚度分析、应变和位移分析等。在流体力学中，有限元法可以用于模拟空气动力学、水动力学等。在热传导问题中，有限元法可以用于计算物体在不同温度条件下的热传导情况。 有限元法的优点在于可以处理较为复杂的几何形状和边界条件，能够提供准确的数值结果。它还具有良好的可扩展性，可以适应不同规模和复杂度的问题。同时，有限元法还可以与其他数值方法相结合，如有限差分法和有限体积法，以提高数值计算的精度和效率。 总结起来，有限元法是一种非常重要的工程分析方法，通过将连续的物理问题离散化为有限元的问题，通过数值计算求解得到问题的近似解。它的应用范围广泛，可以用于结构分析、流体力学、热传导等领域。有限元法的研究和应用将有助于解决各种工程问题，提高工程设计和分析的效率和精度。
有限元分析的基本原理
有限元分析的基本原理 有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）是一种工程分 析方法，它通过将复杂的结构分割成有限数量的简单单元，然后利 用数学方法对每个单元进行分析，最终得出整个结构的行为。有限 元分析方法在工程领域得到了广泛的应用，可以用于求解结构的应力、挠度、热传导、流体流动等问题，是一种非常有效的分析工具。 有限元分析的基本原理可以归纳为以下几点： 1. 离散化，有限元分析将连续的结构离散化为有限数量的单元，这些单元可以是三角形、四边形、四面体、六面体等形状。每个单 元都有自己的节点和自由度，通过对单元的组合，可以得到整个结 构的离散模型。 2. 建立方程，对于每个单元，可以建立其位移与受力之间的关系，这通常可以通过弹性力学理论得到。然后将所有单元的位移-受 力关系组合成整个结构的方程，这个方程描述了整个结构的行为。 3. 求解方程，得到整个结构的方程之后，可以通过数值方法对 其进行求解，得到结构在给定载荷下的响应，包括位移、应力、应
变等信息。 4. 后处理，最后，对求解得到的结果进行后处理，可以得到结构的各种性能指标，比如最大应力、挠度、疲劳寿命等。这些指标可以帮助工程师评估结构的安全性和可靠性。 有限元分析的基本原理非常简单，但在实际应用中却有着复杂的数学和计算机实现。通过有限元分析，工程师可以更好地理解结构的行为，设计更安全、更经济的产品。有限元分析方法的发展也为工程领域的发展提供了强大的支持，可以预测结构在各种复杂载荷下的响应，为工程设计提供了重要的参考依据。 总的来说，有限元分析是一种非常重要的工程分析方法，它的基本原理是将复杂的结构离散化，建立数学模型，通过数值方法求解得到结构的响应。有限元分析方法的发展为工程领域的发展做出了重要贡献，相信在未来的发展中，它将发挥更加重要的作用。
有限元法的基本原理
第二章有限单元法的基本原理 作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。 从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。 通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。4）有限元的收敛性和误差估计。 由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。 §2.1 弹性力学基本方程 有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。2-1-1、平衡方程 对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程
有限元的原理
有限元的原理 有限元分析是一种工程数值分析方法，它利用数学原理和计算机技术，对工程 结构的力学行为进行模拟和分析。有限元分析的原理是将复杂的结构分割成许多小的单元，通过对每个单元的力学行为进行精确描述，最终得到整个结构的力学响应。本文将从有限元分析的基本原理、步骤和应用进行介绍。 有限元分析的基本原理是离散化方法，它将一个连续的结构分解成有限个单元，每个单元都是一个简单的几何形状，如三角形、四边形等。然后对每个单元进行力学建模，建立单元的位移场和应力场的数学模型。通过组合所有单元的数学模型，得到整个结构的位移场和应力场的近似解。有限元分析的基本原理是基于弹性力学理论，它假设结构在受力作用下是弹性变形，即满足胡克定律。有限元分析的数学模型通常是一个大型的代数方程组，通过求解这个方程组，得到结构的位移场和应力场。 有限元分析的步骤包括建立有限元模型、施加边界条件、求解代数方程组和后 处理结果。首先，需要对结构进行几何建模，将结构分解成有限个单元，并确定每个单元的材料性质和几何尺寸。然后，需要施加边界条件，即给定结构的约束条件和外载荷。接下来，需要将结构的力学行为建立成代数方程组，通常采用有限元法中的单元法则和变分原理。最后，通过求解代数方程组，得到结构的位移场和应力场，并进行后处理，如应力分布、位移云图等。 有限元分析在工程领域有着广泛的应用，如结构分析、热传导分析、流体力学 分析等。在结构分析中，有限元分析可以用于预测结构的强度、刚度和稳定性，为结构设计提供理论依据。在热传导分析中，有限元分析可以用于预测结构的温度分布和热传导性能，为热工设计提供支持。在流体力学分析中，有限元分析可以用于模拟流体在结构内部的流动行为，为流体工程设计提供参考。 总之，有限元分析是一种强大的工程数值分析方法，它通过离散化方法和数学 建模，对工程结构的力学行为进行模拟和分析。有限元分析的原理是基于弹性力学
有限元法的理论基础
有限元法的理论基础 有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。 1.虚位移原理 虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。 虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。 2.最小势能原理 最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。最小势能原理仅适用于弹性力学问题。 有限元法求解问题的基本步骤 弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。 2.2.1问题的分类 求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。 2.2.2建模 在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。因此，我们可以忽略几何不规则性，把一些载荷看做是集中载荷，并把某些支撑看做是固定的。材料可以理想化为线弹性和各向同性的。根据问题的维数、载荷以及理论化的边界条件，我们能够决定采用梁理论、板弯曲理论、平面弹性理论或者一些其他分析理论描述结构性能。在求解中运用分析理论简化问题，建立问题的模型。 2.2.3连续体离散化 连续体离散化，习惯上称为有限元网络划分，即将连续体划分为有限个具有规则形状的单元的集合，两相邻单元之间只通过若干点相互连接，每个连接点称为节点。单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形的需要和计算精度而定，如二维连续体的单元可为三角形、四边形，三维连续体的单元可以是四面体、长方体和六面体等。为合理有效地表示连续体，需要适当选择单元的类型、数目、大小和排列方式。 离散化的模型与原来模型区别在于，单元之间只通过节点相互连接、相互作用，而无其他连接。因此这种连接要满足变形协调条件。离散化是将一个无限多自由度的连续体转化为一个有限多自由度的离散体过程，因此必然引起误差。主要有两类：建模误差和离散化误差。建模误差可以通过改善模型来减少，离散化误差可通过增加单元数目来减少。因此当单元数
有限元的基本原理
有限元的基本原理 有限元分析（Finite Element Analysis）是一种数值计算方法，用 于求解连续体力学问题。其基本原理是将复杂的物理问题离散化为简单的 有限节点和单元，通过求解节点上的未知位移，进而得到整个结构体的应力、应变和位移等结果。有限元分析广泛应用于航空航天、汽车制造、土 木工程、机械设计等领域。 有限元分析的基本原理可以概括为如下几个步骤： 1.建立几何模型：首先根据实际情况建立物体的几何形状，并转化为 一系列离散的节点和单元。节点是模型中的离散点，单元是相邻节点之间 的连接关系。 2.确定边界条件：为了得到唯一的解，需要对模型的边界施加边界条件。边界条件包括位移边界条件、力边界条件和约束边界条件等。位移边 界条件指定一些节点的位移固定，力边界条件指定一些节点的外力值，约 束边界条件指定一些节点或单元之间的约束关系。 3.划分单元：将模型离散化为多个单元。常见的单元类型包括线单元、平面单元和体单元等。划分的单元越多，模型的精度就越高，但计算量也 会增加。 4.建立单元刚度矩阵：对于每个单元，根据其几何特性和材料性质， 通过数学推导建立相应的刚度矩阵。刚度矩阵描述了单元内部的应力与应 变之间的关系。 5.装配全局刚度矩阵：将所有单元的刚度矩阵通过节点关系进行装配，得到整个结构体的全局刚度矩阵。全局刚度矩阵描述了整个结构体的力学 行为。
6.施加边界条件：根据第二步中确定的边界条件，将全局刚度矩阵进行修正，得到修正后的全局刚度矩阵。 7.求解方程：通过求解修正后的全局刚度矩阵与节点位移之间的平衡方程，得到节点的未知位移。 8.计算结果：通过节点位移可以计算出各个节点处的应力、应变和位移等结果。这些结果可以评估结构体的稳定性和安全性。 需要注意的是，有限元分析是一种近似计算方法，其结果受到多种因素的影响，如网格划分的精度、单元类型的选择、边界条件的设定等。因此，合理的模型建立和边界条件确定对于有限元分析的准确性和可靠性至关重要。 总之，有限元分析的基本原理是将复杂的连续问题离散化为简单的节点和单元，通过求解节点上的未知位移来得到结构体的力学行为。它是一种广泛应用的数值计算方法，为工程领域中的结构设计和分析提供了强大的工具。
有限元法的基本原理
第二章有限元法的基本原理 有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。 2.1等效积分形式与加权余量法 加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。 2.1.1 微分方程的等效积分形式 工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组 12()()()0A A A ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ u u u （在Ω内） （2-1） 域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。同时未知函数u 还应满足边界条件 12()()()0B B B ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ u u u （在Γ内） （2-2） 要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。所以在以上两式中采用了矩阵形式。 以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下： ()()()0A k k q x x y y φφφ∂∂∂∂=++=∂∂∂∂ （在Ω内） （2-3）
0()0q B k q n φφφφφ⎧-=Γ⎪=⎨∂-=Γ⎪∂⎩（在上）（在上） （2-4） 这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k 是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度/K μ）；φ和q 是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n 是有关边界Γ的外法线方向；q 是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。 在上述问题中，若k 和q 只是空间位置的函数时，问题是线性的。若k 和q 是φ及其导数的函数时，问题则是非线性的。 由于微分方程组（2-1）在域Ω中每一点都必须为零，因此就有 1122()(()())0u d v A u v A u d ΩΩ Ω≡++Ω≡⎰ ⎰T V A （2-5） 其中 12v V v ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ （2-6） 其中V 是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。 式（2-5）是与微分方程组（2-1）完全等效的积分形式。我们可以说，若积分方程对于任意的V 都能成立，则微分方程（2-1）必然在域内任一点都得到满足。同理，假如边界条件（2-2）亦同时在边界上每一点都得到满足，对于一组任意函数，下式应当成立 1122()(()())0u d v B u v B u d ΓΓΓ≡++Γ≡⎰⎰VB 因此积分形式 ()()0u d u d ΓΓ Ω+Γ=⎰⎰T T V A V B 对于所有的V 和V 都成立是等效于满足微分方程（2-1）和边界条件（2-2）。我们把（2-7）式称为微分方程的等效积分形式。 2.1.2等效积分的“弱”形式 在一般情况下，对（2-7）式进行分部积分得到另一种形式： ()()()()0T T v d v d ΩΓ Ω+Γ=⎰⎰C D u E F u （2-8） 其中C ，D ，E ，F 是微分算子，它们中所包含的导数的阶数较（2-7）式的低，这样对函数u 只需要求较低阶的连续性就可以了。在（2-8）式中降低连续性要求是以提高V 和V 的连续性要求为代价的，由于原来对V 和V （在（2-7）式中）并无连续性要求，但是适当提高对其连续性的要求并不困难，因为它们是可以选择的已知函数。这种降低对函数u 连续性要求的作法在近似计算中，尤其是在有限单元法中是十分重要的。（2-8）式称为微分方程