不定积分教案
第五章不定积分教学安排说明
章节题目：5.1 不定积分的概念
5.2 不定积分的性质
5.3 换元积分法
5.4 分部积分法
学时分配：共6学时。
5.1 不定积分的概念1学时
5.2 不定积分的性质1学时
5.3 换元积分法2学时
5.4 分部积分法2学时
本章教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法，熟练地利用换元积分法与分部积分法求不定积分。
课堂教学方案（一）
课程名称：5.1 不定积分的概念；5.2 不定积分的性质
授课时数：2学时
授课类型:理论课
教学方法与手段：讲授法
教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式，了解不定积分的基本运算法则，能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分
教学重点、难点：教学重点：原函数和不定积分的概念,不定积分的性质及几何意义，不定积分的基本公式；教学难点：不定积分的概念及几何意义和用不定积分的性质求不定积分。
教学内容
5.1 不定积分的概念
1.原函数与不定积分
在微分学中，我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题。但是，在科学、
技术和经济的许多问题中，常常还需要解决相反的问题，也就是要由一个函数的已知导数（或微分），求出这个函数。这种由函数的已知导数（或微分）去求原来的函数的运算，称为不定积分，这是积分学的基本问题之一。
定义1 如果函数)(x f 与)(x F 为定义在某同一区间内的函数,并且处处都有 )()('x f x F =或d ()()d F x f x x =, 则称)(x F 是)(x f 的一个．．
原函数. 根据导数公式或微分公式,我们很容易得出一些简单函数的原函数.如 x x cos )(sin ='， 故x sin 是x cos 的一个原函数； x x cos )1(sin ='+， 故1sin +x 也是x cos 的一个原函数；
x x 2)(2='， 故2x 是x 2的一个原函数； x x 2)2(2='+， 故2x 也是x 2的一个原函数.
．．．．．．
由此可见,一个函数的原函数并不是唯一的.对此有以下两点需要说明： 第一，若在某区间内)(x F 为)(x f 的一个原函数，即)()(x f x F =',则对任意常数C , 由于)())((x f C x F ='+,所以函数C x F +)(都是)(x f 的原函数.这说明如果函数)(x f 有原函数,那么它就有无限多个原函数.
第二，若在某区间内)(x F 为)(x f 的一个原函数，那么，)(x f 的其它原函数和
)(x F 有什么关系？
设()x Φ是)(x f 在同一区间上的另一个原函数，即()()x f x 'Φ=，于是有
[()()]()()0,x F x x F x '''Φ-=Φ-=
由于导数恒为零的函数必为常数，因此
11()()()x F x C C Φ-=为某个常数，
即1()().x F x C Φ=+这说明)(x f 的任意两个原函数之间只差一个常数.
因此,如果)(x F 是)(x f 的一个原函数,则)(x f 的全体原函数可以表示为
C x F +)( (其中C 为任意常数).
为了更方便地表述一个函数的全体原函数,我们引入下面不定积分的概念. 2.不定积分的概念
定义2 函数)(x f 在某区间内的全体原函数称为)(x f 在该区间内的不定积分,记为
()d f x x ，
其中记号?称为积分号,)(x f 称为被积函数,()d f x x 称为被积表达式,x 称为积分
变量.即 ()d ()f x x F x C =+?.
这说明,要计算函数的不定积分,只需求出它的一个原函数,再加上任意常数
C 就可以了.
例1 求x x f 2)(=的不定积分.
解：因为x x 2)(2=',所以2()d 2d .f x x x x x C ==+?? 例2 求x e x f =)(的不定积分.
解：因为x x e e =')(,所以()d d .x x f x x e x e C ==+?? 3.不定积分学的几何意义
不定积分的几何意义:若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则称)(x F y =的图象为
)(x f 的一条积分曲线.于是,)(x f 的不定积分在几何上表示)(x f 的某一条积分曲
线沿纵轴方向任意平移所得一组积分曲线组成的曲线族.若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线,则这些切线互相平行(如图４-1),任意两条曲线的纵坐
标之间相差一个常数.给定一个初始条件,就可以确定一个常数C 的值，因而就确定了一个原函数，于是就确定了一条积分曲线．
例3设曲线通过点)2,1(,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程．
解：设所求的曲线方程为)(x f y =,按题设，曲线上任一点),(y x 处的切线斜率为
,2d d x x
y
= 说明)(x f y =是x 2的一个原函数.因为x 2的全体原函数为
C x x x +=?
2
d 2， 所以曲线方程为C x x f y +==2)(,又由于曲线过点)2,1(,故2)1(=f , ,21=+C 解得1=C ,于是所求曲线为 2()1y f x x ==+.
例4 一物体作直线运动，速度为时，物体所经过的当s t s m t t v 1,/12)(2=+=路程为3m ，求物体的运动方程。
解：设物体的运动方程为).(t s s =依题意有,12)()(2+=='t t v t s 所以
C t t dx t t s ++=
+=?3
232)12()( 将方程为因此，所求物体的运动代入上式，得,3
4
3,1===C s t
3
4
32)(3++=t t t s
一般，若)(x F 是函数)(x f 的原函数，那么)(x F y =所表示的曲线称为)(x f 的一条积分曲线。不定积分?dx x f )(在几何上表示由积分曲线)(x F y =沿y 轴方向上下平移而得到的一族曲线，称为积分曲线族。这就是不定积分的几何意义。 课堂练习：填空
（ 4x ='）
（ x 2csc ='） （ x e x
+='2
）
小结：本节讲述了原函数的概念，不定积分的概念，性质及几何意义。 4.基本积分表及常用的积分公式
第一节我们知道积分与微分互为逆运算，因此由第二章的导数的基本公式可以相应地写出不定积分的基本公式。列表如下：
（1）?+=C kx x k d (k 是常数)； （2）C x u x x u u ++=
+?1
1
1d )1(-≠μ； （3）C x x x
+=?ln d 1
；
（4）C a a
x a x
x +=?ln 1d )1,0(-≠>a a ；
（5）C e x e x x +=?d ； （6）C x x x ?+-=cos d sin ； （7）C x x x ?+=sin d cos ；
（8）C x x x x x ?
?+==tan d sec d cos 12
2； （9）C x x x x x
??+-==cot d csc d sin 1
22；
（10）C x x x
+=-?arcsin d 112
；
（11）C x x x +=+?
arctan d 11
2
； （12）C x x x x +=?sec d tan sec ； （13）C x x x x +-=?csc d cot csc ；
以上13个基本积分公式是求不定积分的基础,若能熟记,则对不定积分的运算会起到关键性的作用.
以上11个公式是求不定积分的基础，必须熟记。
例5求下列不定积分：（1）dx x ? （2）dx x
?21
（3） dx e x x ??2 解：(1) C x C x dx x dx x +=++==+??23
1
212
1
321
121
(2) C x C x dx x dx x
+-=++-==+--??
112111
222 (3) C e C e e dx e dx e x
x x x
x
x
++?=+=
=???2
ln 122ln )2()2(2 5.2 不定积分的性质
根据不定积分的定义，可以得到其如下性质：
性质1 两个函数之和(差)的不定积分等于这两个函数的不定积分之和(差),即
???±=±x x g x x f x x g x f d )(d )(d )]()([.
证明：根据导数的运算法则，
),()(])([])([]d )()([x g x f dx x g dx x f x x g dx x f ±='±'='±????
因此??±x x g x x f d )(d )(是)()(x g x f ±的原函数,而且上式含有不定积分记号,因此已经含有任意常数,故上式即为)()(x g x f ±的不定积分.证毕.
类似可证明如下性质.
性质2 不为零的常数因子可以移到积分号前
??=x x f a x x af d )(d )( )0(≠a
例1 求不定积分.d )sin 2(?-x x e x
解：(2sin )d d 2sin d 2cos x x x e x x e x x x e x C -=-=++???. 例2 求dx x x )4cos 32(+-?
解：dx x x )4cos 32(+-?=???+-dx xdx dx x 4cos 32=
C x x x
++-4sin 322
ln 1
例3 求不定积分2
d x x
x
.
解：51532
2
22
2d d 53312
x x x x C x C C x x x x -+--==+=-+=+-+?.
例4 求不定积分2(2)d x x x +?.
解：2
2
3
21(2)d 2d d ln 23
x x
x
x x x x x x C +=+=
++???. 注意：在分项积分后，每个不定积分的结果都应有一个积分常数，但任意常数的和仍是常数，因此最后结果只要写一个任意常数即可。
例5 求dx x
x ?-2
)1( 解：C x x x dx x x dx x x x dx x x ++-=+-=+-=-???ln 22
1
)12(12)1222（ 例6求dx x ?2tan 解：C x x dx x dx x +-=-=??tan )1(sec tan 22
上面例题都是属于基本积分法的应用，就是利用基本积分公式和积分运算法则直接求不定积分.但有时并不是被积函数直接就符合基本积分公式，需要对被积函数作适当的恒等变换. 如用代数运算或三角关系等对被积函数进行变形，是变形后的被积函数能直接使用基本公式和运算法则求出不定积分. 例7求dx x
?2cos 2
解：C dx x x dx x dx x dx x ++=+=+=???)sin (2
1
)cos 1(212cos 12cos 2
例8 求不定积分sin 2d cos x
x x
?.
解：sin 22sin cos d d 2sin d 2cos cos cos x x x
x x x x x C x x
===-+???. 例9求不定积分3d x x e x ?.
解：33d (3)d 1ln 3
x x
x
x
x
e e x e x C ==
++??. 例10 求不定积分4
2
d 1x x x +?. 解：由于 42
22
1d 111x x x x x
=-+++，所以 42
221d (1)d 11x x x x x x =-+++??3arctan 3x x x C =-++．
小结：本节讲述了不定积分的基本公式和基本运算法则，以及利用直接积分法求
函数的积分方法。
作业：P151 1；3（1）（4）（6）（7）（10）（11）
课 堂 教 学 方 案（二）
课程名称：5.3换元积分法 授课时数：2学时 授课类型:理论课 教学方法与手段：讲授法
教学目的与要求：掌握第一类换元积分法和第二类换元积分法求不定积分的基本方法和步骤；强调第二类换元积分法与第一类换元积分法之间的区别；了解第二类换元积分法适用的函数类型
教学重点、难点：教学重点：第一类换元积分法和第二类换元积分法；教学难点：第一类换元积分法中中间变量)(x u ?=的选取，灵活地运用微分公式凑微分;)()(dx x x d du ??'==第二类换元积分法中适当选取单调连续函数)(t x ψ=，
将积分?dx x f )(化为积分?'dt t t f )()([ψψ，求出结果。
教学内容
5.3 换元积分法
有时仅仅依靠不定积分的性质和基本积分表来计算不定积分是非常有限的,因
此有必要讨论求不定积分的一种重要方法,其实质是把复合函数的求导法则反过来用于求不定积分,也就是利用变量代换来求不定积分,这种方法称为换元积分法.按照换元方式的不同,通常把换元法分为两类.
1．不定积分的第一类换元法(凑微分法)
例1 求不定积分1
d .21
x x +?
分析 基本积分公式表中没有与该积分一致的公式,因此该积分不能直接由积
分公式与不定积分的性质求得.但注意到1
21
+x 是复合函数,且d(21)2d x x +=,于
是可做如下的变换和计算:
解 11111
d 2d d(21),21221221
x x x x x x =?=++++???
11
d 2u u =? (令12+=x u ), ,||ln 21
C u += C x ++=|12|ln 2
1
(将12+=x u 回代), 由1
21)|12|ln 21(+='++x C x ,验证上述积分结果正确.
一般地，对于积分()d f ax b x +?，总可以作变换u ax b =+，把它化为
1
()d ()d()f ax b x f ax b ax b a +=++??
1
()d u ax b f u u a =+??=?
??.
一般地,有:
定理1 若()d ()f x x F x C =+?且)(x u ?=可导,则
()d ()f u x F u C =+?．
定理1表明,在基本积分公式中,将x 换成任一可导函数)(x u ?=后公式仍然成立,从而扩充了基本积分公式的使用范围.定理中的结论可表示为
[()]d ()[()],f x x F x C ???=+?
即 [()]()d [()]f x x x F x C ???'=+?． 由此得到如下求不定积分的步骤,即
[()]()d [()]d[()]f x x x f x x ????'=??（凑微分）
()d f u u =? （令)(x u ?=）
C u F +=)( （积分公式） C x F +=)]([? （将)(x u ?=回代）.
上述方法称为第一类换元法或凑微分法.
注意：如果中间换了元，积分完了后，一定要回代，即将积分后的函数中的变量u 换成)(x ?；如果熟练过后，可以不要换元这步，就将)(x ?当作一个变量来积分即可，最后也不需要回代了。 例2 求不定积分10(21)d x x +?. 解：利用凑微分方法1
d d()x ax b a
=
+,此时,1,2==b a 101010
11(21)(21)(21)d (21)d(21)22x dx x x x x x '+=++=++???
（凑微分） 101
d 2
u u =? (换元,令12+=x u ) 111211
u C =+ C x ++=
11)12(22
1
(将12+=x u 回代). 例3 求?+dx x 8)13( 解：dx x dx x 3)13(3
1)13(8
8?+=+??
8
811(31)31)(31)(31)33x x dx x d x '=
+?+=++??（
899
111(31)32727
u du u C x C =
=+=++? 例4求?dx xe x 2
解：)(21)(212212
22222
x d e dx x e xdx e dx xe x x x x ????='?=?=
=C e x +22
1 例5求?
dx x
x
2ln 解：C x x xd dx x x +==??322ln 31)(ln ln ln 例6 求不定积分1
d (12ln )
x x x +?.
解：111d d (12ln )12ln x x x x x x =?++?
?1
d(ln )12ln x x
=+?
11
d(12ln )212ln x x =
++? (凑微分公式)
11
d 2u u =? (令x u ln 21+=) C x C u ++=+=|ln 21|ln 2
1
||ln 21 (将x u ln 21+=回代). 注: 一般情形有1
(ln )d (ln )d(ln )f x x f x x x
=．
当运算熟练后,可以不把换元和回代过程写出来,而是直接计算下去.
例7 求不定积分2
d 1x
x x
+?． 解：依据不定积分的第一类换元法，有2211
d d()d(1+)22
x x x x ==，所以
2222212d 1d(1+)ln (1+)
d 121212x x x x x x C x x x ===++++???．
例8 求不定积分22
1
d x a x
-?
. 解：2211111d 1d d ()d 222x x
x x a x a a x a x a a x a a x
=-=+-+-+-???? 11
ln ln 22a x a x C a a
=
+--+1ln 2a x C a a x +=
+-
例9 求?
≠-)0a 1
22（dx a x
解：dx a x a x a dx a x )11(2112
2??+--=-=])
()([21??++---a x a x d a x a x d a =
C a x a x a
++-ln _(ln 21
=C a x a x a ++-ln
21 例10 求?
>-)0a 1
2
2（dx x
a
解：C a x a
x
a x d a
x
a dx dx x
a +=-=-=-?
?
?
arcsin )(1)
()(112
2
2
2
例11 求?
≠+)0a 1
2
2（dx x a
解：C a x a a
x a x d a a x dx a dx x a +=+=+=+???arctan 1)(1)
(1)(11122222
例12 求不定积分tan d x x ?.解：sin d cos tan d d ln cos cos cos x x
x x x x C x x ==-=-+???
同理cot d ln sin x x x C =+? 例13 求不定积分sin 2d x x ?. 解：方法一 11
sin 2d sin 2d(2)cos 222
x x x x x C =
=-+??； 方法二 2sin 2d 2sin cos d 2sin d(sin )(sin )x x x x x x x x C ===+???； 方法三 2sin 2d 2sin cos d 2cos d(cos )(cos )x x x x x x x x C ==-=-+???.
在此例中三种方法得到的结果并不一样,这说明不定积分的结果不是唯一的,采用不同的方法,可以出现不同形式的结果.但不同形式的结果,他们之间只相差一个常数.
例14 求不定积分sec d x x ?. 解：221cos dsin sec d d d cos cos 1sin x x x x x x x x
x ===-??
?? 11sin 1sin ln
ln 21sin cos x x
C C x x
--=+=++ln sec tan x x C =++. 同理 csc d ln csc cot x x x x C =-+? 例15 求不定积分sin cos d x e x x ?．
解：依据不定积分的第一类换元法，有cos d d(sin )x x x =，即
sin sin sin cos d d(sin )x
x x e
x x e x e C ==+??．
例16求不定积分2
2
arctan d 1x x x +?
()． 解：凑微分
2
1
d d(arctan )1x x x
=+，有 223
2arctan 1d arctan d(arctan )(arctan )13
x x x x x x ==+??()()． 第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法,不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循,只能具体问题具体分析.要掌握好这种方法,需要熟记一些函数的微分公式,并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形.
下面是部分经常使用凑微分法的积分类型及其凑微分的方法: （1）1
()d ()d()f ax b x f ax b ax b a +=++??；
（2）1
(ln )d (ln )d(ln )f x x f x x x =??；
（3）()d ()d()x x x x f e e x f e e =??； （4）(sin )cos d (sin )d(sin )f x x x f x x =
??；
（5）(cos )sin d (cos )d(cos )f x x x f x x =-??；
（6）2
(tan )sec d (tan )d(tan )f x x x f x x =??； （7）2
(cot )csc d (cot )d(cot )f x x x f x x =-??；
（8）2
(arcsin (arcsin )d(arcsin )1f x x f x x x
=-??；
（9）2
1
(arctan )d (arctan )d(arctan )1f x x f x x x
=+??； （10）()1
d d(())ln |()|()()
f x x f x f x C f x f x '==+?
?． 2．第二类换元积分法
第一类换元积分法是先凑微分,再用新变量u 代替()x ?,但是有些不定积分需要作相反方式的换元,即令()x t ?=,把t 作为新的积分变量,从而简化积分计算,最后再将1()t x ?-=回代.
例17 求不定积分d 3
x x -． 解：令),0(3>-=t x t 即 32+=t x ，此时d 2d x t t =，于是
232
3d 2d 2(3)d 2(3),33
t t x t x t x t C t x +==+=++-??
再将 3-=x t 回代,整理后得1
22
d (6)(3)33
x x x C x =+-+-．
一般地,
定理2（第二类换元积分法） 设函数)(x f 在某区间I 上连续,又()x t ?=在t 对应的区间上的导数()t ?'连续,且()0t ?'≠，则有换元公式
1()
()d [[()]()d ]
t x f x x f t t t ???-='=??，
其中1()t x ?-=是()x t ?=的反函数.
对于被积函数中含有n b ax +的不定积分,可令t b ax n =+,即作变换
)(1b t a x n -=
, ),0(≠a dt t a n
dx n 1-=,以简化计算. 例18 求?
+dx x
11
解：令于是则.2,,2tdt dx t x t x ===
dt t
dt t t t tdt t dx x
)11
1(211221111???
?+-=+-+=?+=+
=C x x C t t ++-=++-)]1ln([2)1ln (2 例19 求不定积分d x x x
+． 解32311
,,d 3d ,33
x t x t x t t +
==-=则 4
3
343
13
31d 3d 34
43x x t t t C x C ??
+==+=++ ???
?． 例20 求不定积分31d 1x
x x
++．
解：令61x t +=,则651,d 6d x t x t t =-=，于是有
2353522
311d 6d 6(1)d 6(),351x t t t x t t t t t C t x ++==+=+++??
再将61x t +=回代,得
35
6116d 21(1)5
1x x x x C x ++=+++． 如果被积函数中含有二次根式22x a -,22x a +,22a x -,)0(>a 时,通常采用三角函数换元的方法去掉根号:含22x a -时,设t a x sin =;含22x a +时,设
t a x tan =;含22a x -时,设t a x sec =.
例21 求不定积分2
2
d x a x
-.
解：令t a x sin =,)2
2
(π
π
<
<-t ,d cos d x a t t =,于是
2
2
2
2
2
d cos d d .sin x t t t t C a x
a a t
===+--?
再由t a x sin =,得a x
t arcsin =,将其回代上式,得, 22
d arcsin .x x C a a x =+- 例22 求?
>-)0a 12
2
（dx a
x
解：令.tan sec ,tan )1(sec ),2
0(sec 2222tdt t a dx t a t a a x t t a x ==-=-<
<=则π
于是12
2tan sec ln sec tan tan sec 1C t t tdx dt t a t t a dx a x ++===-??
?
，根据a
x
t =sec 知
a
a x t 2
2tan -=
，因此 12
22
2ln 1
C a
a x a x
dx a x +-+
=-?
=122ln )ln(C a x a x +-+- =C x a x ++-)ln(22（其中C=a C ln 1-）
例23 求不定积分2
d 94
x x -．
解：221d d 34
94
9x x x x =
--
，令22
sec (0),d sec tan d 323x t t x t t t π=<<=,
则有
122111d d sec d ln |sec tan |333
494
9
x x t t t t C x x =
=
=++--
?
? 12|1sec sec |ln 3
1
C t t +-+=， 再将x
t 32
arccos =回代,得到
21
2133
d ln |()132294
x x x C x =-+-
21
ln |3943
x x C =-+， 其中2ln 3
1
1-=C C ．
例24 求不定积分2
2
d (0)x a x a
>+．
解：令2tan (),d sec d 2
2
x a t t x a t t π
π
=-
<<
=，则有
2022sec d d sec d ln sec tan sec a t x t t t t t C a t x a ===+++?? 201tan tan t t C =++
22
0ln()x x a C a
+=+
+ 22ln()x x a C =++
其中 0ln C C a =-.
综上所述，当被积函数含有形如2222a x x a ±-或的根式时，可作如上三种变换，上述三种变换称为三角代换。有些函数即可用第一类换元法又可用第二类换元积分法来积分。
上面的三个例子中，最后的回代过程可借助直角三角形的边角关系进行。如当被积函数中含22x a -时,设t a x sin =,可作辅助直角三角形如图,易得
2
22
2tan ,cos x a x t a
x a t -=-=
等其它三角函数值；当含有含22x a +时,设
t a x tan =,可作辅助直角三角形如图4-3；当含有22a x -时,设t a x sec =,可作辅助直角三角形如图4-4,
利用直角三角形的边角关系,即可找出积分结果中新变量t 的三角函数还原为原积分变量x 的关系式
下面再列出部分初等函数的不定积分，以补充基本积分公式表： （1）tan d ln |cos |x x x C =-+?； （2）cot d ln |sin |x x x C =-+?； （3）sec d ln |sec tan |x x x x C =-++?； （4）csc d ln |csc cot |x x x x C =--+?；
图5-1
（5）2211d arcsin (0)x
x C a a x a a =+≠+?
； （6）2211d ln ||(0)2a x
x C a a x a a x
+=+≠--?；
（7）2
2
arcsin
(0)x
x C a a
a x =+>-；
（8）222
2
ln |(0)x x x a C
a x a
=+±+>±；
（9）22
22
2()d arcsin (0)22
a x x a x x a x C a a -=+
->?．
有些函数即可用第一类换元法又可用第二类换元积分法来积分。 例25 求 ?
-dx x x 3
解1: 用第一类换元法，得 )3()3
33(3
3
33
--+-=-+-=-??
?
x d x x dx x x dx x x
=C x x C x x +-+-=
+-+-36)3(3
2
)3(6)3(32321
23
解2:用第二类换元法。令tdt dx t x t x 2,3,32=+==-则 C t t dt t tdt t t dx x x
++=+=?+=-???
)33(2)3(223332
2
=C x x +-+-36)3(3
2
3 课堂练习
?+
3
1x
dx
?
-dx x
x 2
29 ?
-dx x x 42 ?+x
x dx
1 小结：本节分别讲述了用第一类、第二类换元积分法求函数的积分
作业：
P189 3 (2)(3)(6)(7)(8)(9)(10)(15)(17)(20) 4 (1)(4)(5)(6)
课 堂 教 学 方 案（三）
课程名称：5.4 分部积分法 授课时数：2学时 授课类型:理论课 教学方法与手段：讲授法
教学目的与要求：掌握分部积分法的步骤和积分法适用的函数类型。
教学重点、难点：教学重点：分部积分法公式的使用，正确地选取函数
)()(x v v x u u ==，求出不定积分；教学难点：用分部积分法时，掌握对不同的函数
积分怎样选择)()(x v v x u u ==， 的原则，使不定积分容易求出。 教学内容
5.4 分部积分法
前面介绍的换元积分法虽然可以解决很多的积分计算问题，但有些积分，如
d ,sin d x
xe x x x x ??等等,利用换元法求解还是无法完成的.本节我们介绍另一种基
本积分方法—分部积分法.
设)(),(x v v x u u ==具有连续导数，则由函数求导法则得：v u v u uv '+'=')(, 移项得: v u uv v u '-'=')(,
所以有 d d ,u v uv v u =-??（1） 或者 d d .uv x uv u v x ''=-?? （2）
式（1）或式（2）称为分部积分公式．
《定积分》教学设计与反思
《定积分》教学设计与反思 学习目标 1、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分． 2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法． 教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分． 教学难点：了解微积分基本定理的含义． 一、自主学习： 1．定积分的定义：， 2．定积分记号： 思想与步骤 几何意义． 3．用微积分基本定理求定积分 二、新知探究 新知1：微积分基本定理： 背景：我们讲过用定积分定义计算定积分,但如果要计算，其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 探究问题1：变速直线运动中位置函数S(t)与速度函数v(t)之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位移为S(t),速度为v(t)（）， 则物体在时间间隔内经过的位移记为，则 一方面：用速度函数v(t)在时间间隔求积分，可把位移= 另一方面：通过位移函数S（t）在的图像看这段位移还可以表示为 探究问题2： 位移函数S(t)与某一时刻速度函数v(t)之间的关系式为 上述两个方面中所得的位移可表达为 上面的过程给了我们启示 上式给我们的启示：我们找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。 定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。 例1．计算下列定积分： 新知2：用定积分几何意义求下列各式定积分： 若求 新知3：用定积分求平面图形的面积 1、计算函数在区间的积分 2、计算函数在区间的积分 3、求与在区间围成的图形的面积 通过此题的计算你发现了什么？ 教学反思 本课的教学设计，是在新课程标准理念指导下，根据本班学生实际情况进行设计的。从实施情况来看，整堂课学生情绪高涨、兴趣盎然。在教学中，教师一改往日应用题教学的枯燥、抽象之面貌，而是借用学生已有的知识经验和生活实际，有效地理解了微积分的基本定理，具体反思如下： 1、改变定理的表述形式，丰富信息的呈现方式。 根据高中学生的认知特点，我在教学过程中，出示例题、习题时，呈现形式力求多样、新颖，让学生多种感官一起参与，以吸引学生的注意力，培养对数学的兴趣。本课的教学中，我大胆地改变了教材中实例分析顺序，重组和创设了这样一个情境，从而引入速度关于时间的定积分背景，即切合学生的生活实际，又让学生发现了定理的实际意义，理解了定理的本质，激发了学生学习的兴趣。并更好地为下一环节的自主探索、主动发展作好充分的准备。 2、突出数学应用价值，培养学生的应用意识和创新能力 《数学课程标准》中指出，要让学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。”本课的设计充分体现了这一理念，例题中涉及路程和速度，让学生感受到数学与生活的密切联系，通过自己的探究，运用数学的思维方式解决问题，又能运用掌握的知识去研究解决生活的其它数学问题，，培养了学生的应用意识。
高等数学第四章 不定积分教案
第四章 不定积分 知识结构图： ???????? ???????????????????????分部积分法第二换元积分法 第一换元积分法直接积分法求不定积分基本公式性质 几何意义定义不定积分原函数 教学目的要求： 1．理解原函数与不定积分的概念，理解两者的关系，理解不定积分与导数的关系；掌握不 定积分的几何意义与基本性质。 2．理解与掌握积分的基本公式，掌握不定积分的基本运算，会熟练地用直接积分法、第一 类换元积分法、第二换元积分法（代数换元）、分部积分法求不定积分。 3．了解不定积分在经济问题中的应用。 教学重点： 1．原函数与不定积分的概念 2．不定积分的性质与基本积分公式 3．直接积分法 4．换元积分法 5．分部积分法 教学难点： 1．不定积分的几何意义 2．凑微分法、分部积分法求不定积分 第一节 不定积分的概念与基本公式 【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。直接积分法求函数的不定积分。 【教学目的】理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的几何意义；理解并掌握不定积分的基本性质；熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。 【教学重点】1．原函的概念；2.不定积分的概念；3.不定积分的几何意义；4.不定积分的基本性质；5.不定积分的基本公式；6.直接积分法计算不定积分。 【教学难点】1．理解不定积分的几何意义；2．记忆不定积分公式。 【教学时数】2学时 【教学进程】
一、原函数与不定积分的概念 (一)原函数的概念 前面我们所学的知识是：已知一个函数，求这个函数的导数；在现实生活中往往有：已知一个函数的导数，求原来这个函数的问题， 如：①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为x k 2=,求此曲线的方程。 ②已知某产品的边际成本MC ，要求该产品总成本的变化规律()C C q =． １．原函数定义 定义4．1 设)(x f 是定义在区间I 内的已知函数．如果存在可导函数)(x F ，使对于任意的I x ∈，都有 )()(x f x F ='或dx x f x dF )()(= 则称函数)(x F 是函数)(x f 的一个原函数。 例1 指出下列函数的原函数: ①x x f cos )(= ②23)(x x f = ③x a x f =)( ④x x f 1)(= 教师将举例分析：如(cos )sin x x '-=，则cos x -是sin x 在R 上的一个原函数。 2()2x x '=，则 2x 是2x 的一个原函数。 教师再问：（1）是否所有的函数都有原函数？什么样的函数才有原函数存在呢？在此， 我们不作讨论．我们只给出一个重要的结论． 结论：如果函数()f x 在某区间上连续，则其原函数一定存在 （2）25x +是不是2 x 在R 上的一个原函数呢？学生回答：是 （3）提出一个函数若存在原函数，则有几个呢？引入 2.原函数个数 定理4．1 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C +也是()f x 的原函数，且()f x 的所有原函数都具有()F x C +的形式（C 为任意常数）． (二)不定积分的概念 教师指出：在以上的分析中我们看到一个函数()f x 有原函数存在，则有无数多个，它们都可以表示为()F x C +的形式，我们把它叫做()f x 的不定积分。 １．不定积分定义 定义4．2 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数，则称()f x 的全体原函数()F x C +（C 为任意常数）为()f x 的不定积分，记作 C x F dx x f +=?)()(
定积分教学设计
定积分的简单应用 一、教学目标 1、 知识与技能目标： （1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题； （2）学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、 过程与方法目标： 通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、 情感态度与价值观目标： 通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。 二、 教学重点与难点 1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2、难点：将实际问题化归为定积分的问题，正确计算。 三、教学过程 （一）创设问题情境： 复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 引入：．计算 dx x ? --2 2 2 4 2．计算 ?-22 sin π πdx x 思考：用定积分表示阴影部分面积 选择X 为积分变量，曲边梯形面积为 （二）研究开发新结论 1计算由抛物线2 y x =在[]0,1上与X 轴在第一象限围成图形的面积S. 2计算由抛物线2 y x =在[]0,1上与X 轴在第一象限围成的图形的面积S. 总结解题步骤：1找到图形----画图得到曲边形. 2曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线. dx x f dx x f s b a b a ??-=)()(21
3定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 4计算定积分. （三）巩固应用结论 例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积. 分析：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得 到。 解：2 01y x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、 （1，1），面积 S=1 20 x dx = -? ? ，所以 ?1 20S =x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象； 2.求交点； 3.用定积分表示所求的面积； 4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =- ，曲线y =x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =- 与曲线y =的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点． 解：作出直线4y x =-，曲线y = 的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积． 解方程组4 y y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线y =8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 28 4 4 [(4)]x dx = +--? ? ? -1
《高等数学》不定积分课后习题详解Word版
不定积分内容概要
课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解：53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? （ ） ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ??
★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。
定积分的应用教案
第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).
§6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上. (4)计算积分 31]3132[)(10323102=-=-=?x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,2 1)(2+==y y y y 右左??. (4)计算积分 ?--+=422)2 14(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+b y a x 所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ?=a ydx S 04. 椭圆的参数方程为: x =a cos t , y =b sin t , 于是 ?=a ydx S 04?=0 )cos (sin 4πt a td b
不定积分例题及答案 理工类 吴赣昌
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
定积分的概念教案知识讲解
定积分的概念教案
人教A版必修一教材 教材内容分析微积分的出现和发展，极大的推动了数学的发展，同时也推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。本节课是定积分概念的第一节课，教材借助求曲边梯形的面积和物理中变速直线运动的路程，通过直观具体的实例引入到定积分的学习中，为定积分概念构建认知基础，为理解定积分概念及几何意义起到了铺垫作用，同时也为今后进一步学习微积分打下基础。 学生情况分析 本节课的教学对象是本校实验班学生，学生思维比较活跃，理解能力、运算能力和学习交流能力较强。学生前面已经学习了导数，并利用导数研究函数的单调性、极值及生活中的优化问题等，渗透了微分思想。从学生的思维特点看，比较容易把刘徽的“割圆术”与本节课知识联系到一起，能够初步了解到“以直代曲”和“无限逼近”的重要数学思想，但是在具体的“以直代曲”过程中，如何选择适当的直边图形来代替曲边梯形会有一些困难。在对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值及在对定积分定义的归纳中符号的理解上也会有一些困难。 教学目标 1．从物理问题情境中了解定积分概念的实际背景，初步掌握求曲边梯形的面积的方法和步骤：分割、近似代替、求和、取极限； 2．经历求曲变梯形面积的过程，借助几何直观体会“以直代曲”和“逼近”的思想，学习归纳、类比的推理方式，体验从特殊到一般、从具体到抽象、化归与转化的数学思想； 3．认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点,感受数学的简单、简洁之美． 教学重点直观体会定积分的基本思想方法：“以直代曲”、“无限逼近”的思想； 初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤——“四步曲”（即：分割、近似代替、求和、取 极限） 教学难点对“以直代曲”、“逼近” 思想的形成过程的理解． 教学方式教师适时引导和学生自主探究发现相结合． 辅助工具投影展台，几何画板． 教学过程 引入新课问题：汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为 S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为()2 v t t=（单 位：km/h），那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km）是多少？ 创设情境，引入 这节课所要研究的 问题. 类比探究，形成方法如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线() y f x =的一 段，我们把由直线,(),0 x a x b a b y ==≠=和曲线() y f x =所围 成的图形称为曲边梯形． 如何计算这个曲边梯形的面积？ （1）温故知新，铺垫思想 问题1：我们在以前的学习经历中有没有用直边 图形的面积计算曲边图形面积这样的例子？ 问题2：在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆的面积？为什么 要逐次加倍正多边形的边数？ （2）类比迁移，分组探究 问题3：能不能类比割圆术的思想和操作方法把曲边梯形的面积问题 转化为直边图形的面积问题？ 学生活动：学生进行分组讨论、探究。 （3）汇报比较，形成方法 学生需要用原有的 知识与经验去同化 或顺应当前要学习 的新知识，所以问 题1引导学生回忆 割圆术的作法，通 过问题2引导学生 思考割圆术中的思 想方法----“以直代 曲”，和“无限逼 近”。 通过问题3激 发学生探索的愿 望，明确解决问题 的方向。
微积分基本定理 教案
微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基 本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤： 2、合作探究： ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？ 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?？ 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差
[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]
高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:
樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分
分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__
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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx
§1.5.3定积分的概念教案
1.5.3定积分的概念 教学目标 能用定积分的定义求简单的定积分； 理解掌握定积分的几何意义； 重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、 定积分的几何意义 难点 定积分的概念、定积分的几何意义 复习： 1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 新课讲授 1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?=）， 在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式： 1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-= ?= ∑ ∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数 S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为： ()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分()b a f x dx ?是一个常数，即n S 无限趋近的常数S
（n →+∞时）称为()b a f x dx ? ，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑ ； ④取极限：() 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑ ? （3）曲边图形面积：()b a S f x dx =?；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =?； 变力做功 ()b a W F r dr = ? 2．定积分的几何意义 如果在区间[,]a b 上函数连 续且恒有 ()0 f x ≥，那么定积分 ()b a f x dx ? 表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线() y f x = 所围成的 曲边梯形的面积。 例1．计算定积分2 1 (1)x dx +? 分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为5 2 。 即：2 1 5(1)2 x dx += ? 思考：若改为计算定积分 22 (1)x dx -+? 呢？ 改变了积分上、下限，被积函数在 [2,2]-上出现了负值如何解决呢？ （后面解决的问题） 练习 计算下列定积分 1．50(24)x dx -? 解：5 0(24)945x dx -=-=? 2．1 1x dx -? 解：11 111111122 x dx -= ??+ ??=?
(完整版)定积分典型例题精讲
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．
微积分教学大纲
《微积分》教学大纲 课程代码： 名称：微积分学 授课专业：工业设计专业 学时数：100 一、课程的目的和要求 学生能够通过本课程的学习，获得一元函数微积分学、多元函数微分学方面比较系统的知识。同时，这些知识的掌握也会给后续课程的学习打下基础。 更重要的是，在教学过程中使学生加深高等数学的辩证统一思想的理解，并利用这一思想解决一些实际问题。通过这门课程的学习，提高学生的空间想象能力、逻辑思维和创造性思维能力，全面提高学生的数学素质。 二、课程教学内容 第一部分函数 主要内容：函数的概念与性质，复合函数、初等函数的概念。 要求： 1、理解函数的概念，能列出简单实际问题中的函数关系。 2、理解函数的单调性、周期性、有界性和奇偶性； 3、理解反函数和复合函数的概念； 4、理解初等函数的概念和性质。 重点：函数的的概念与性质。 难点：列出问题中的函数关系，反函数和复合函数的概念。 第二部分极限与连续 主要内容：极限的概念，极限四则运算，无穷小、无穷大的概念，函数连续的概念。 要求： 1、了解数列极限、函数极限的概念(对极限的精确定义、证明不作要求)； 2、掌握极限四则运算法则，会用两个重要极限求极限； 3、理解解无穷小与无穷大、高阶无穷小、同阶无穷小和等价无穷小的概念； 4、理解函数在一点连续和在一区间连续概念，了解函数间断的概念； 5、了解初等函数的连续性，了解在闭区间上连续函数的性质. 重点：极限的四则运算法则。 难点：极限的概念，连续的概念。 第三部分导数与微分 主要内容：导数和微分的概念，导数和微分的运算。 要求： 1、理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，了解函数的可导与连续之间的关系； 2、熟练掌握导数和微分的运算法则、导数的基本公式，了解高阶导数概念，能熟练求初等函数的一阶、二阶导数（n>2阶导数不作要求）； 3、掌握复合函数和隐函数的求导法； 4、会求曲线的切线与法线方程，了解微分在近似计算中的应用。
定积分教案教学提纲
《数学分析》 之九 第九章定积分（14+4学时） 教学大纲 教学要求： 1．理解Riemann定积分的定义及其几何意义 2．了解上和与下和及其有关性质 3．理解函数可积的充要条件，了解Riemann可积函数类 4．熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式 5．了解积分第一中值定理 6．掌握变上限积分及其性质 7．熟练掌握Newton-Leibniz公式，定积分换元法，分部积分法 教学内容： 问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程），定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元法及分部法。 第页
此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第页
=i 1 。 则称函数)(x f 在[b a .]上可积或黎曼可积。数J 称为函数)(x f 在[b a .]上 的定积分或黎曼积分，记作： ?=b a dx x f J )( 其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，[b a .]称为积分区间，dx x f )(称为被积式，b a ,分别称为积分的下限和上限。 定积分的几何意义； 连续函数定积分存在（见定理9.3） 三、举例: 例1 已知函数 在区间 上可积 .用定义求积分 . 解 取 等分区间 作为分法 n b x T i = ?, 取 .= . 由函数)(x f 在区间],0[b 上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 . 例2 已知函数2 11 )(x x f += 在区间]1,0[上可积 ,用定义求积分 . 解 分法与介点集选法如例1 , 有 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分
不定积分换元法例题1
__________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+? 【注】(cos )'sin ,(cos )sin ,sin (cos )x x d x xdx xdx d x =-=-=-?? 3（2）cos cos cot sin sin sin sin xdx x xdx dx d x x x x = ==? ??? sin ln |si ln |sin |n |sin x x d C x C x ==+=+? 【注】(sin )'cos ,(sin )cos ,cos (sin )x x d x xdx xdx d x ==?=? 4（1） 1()11d dx a x a x a d x x a x =?=?++++??? ln |1(|)ln ||d C a x a x a x a x C ++=?=+=+++? 【注】()'1,(),()a x d a x dx dx d a x +=+==+?? 4（2） 1()11d dx x a x x x d a a x a =?=?----??? ln |1(|)ln ||d C x a x a x a x a C --=?=+=--+? 【注】()'1,(),()x a d x a dx dx d x a -=-==-?? 4（3） 22221111111212x a a x a dx dx x a x a dx dx a a a x dx x ??- ?--+??? =-+?==- ? -?? ?????
微积分基本定理教案
1.6微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理 的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤： 2、合作探究： ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？ 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?？ 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 设()()F x f x '=则在[,]a b 上，⊿y=()()F b F a - 将[,]a b 分成n 等份，在第i 个区间[x i-1,x i ]上，记⊿yi=F(x i )-F(x i-1),则 ⊿y=∑⊿y i 如下图，因为⊿h i =f(x i-1) ⊿x 而⊿y i ≈⊿h i 所以 ⊿y ≈∑⊿h i =∑f(x i-1) ⊿x 故
定积分,不定积分…微积分的区别
定积分,不定积分…微积分的区别 不定积分 设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分。 记作∫f(x)dx。 其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。 由定义可知： 求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分。 也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数. 定积分 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。 实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是无穷无尽的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C 代替，这就称为不定积分。 而相对于不定积分，就是定积分。
所谓定积分，其形式为∫f(x) dx (上限a写在∫上面，下限b写在∫下面)。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。 定积分的正式名称是黎曼积分，详见黎曼积分。用自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线和x轴把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。 我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分写成积分的形式呢？ 定积分与积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 若F'(x)=f(x) 那么∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b) 但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。虽然这种写法是可以的，但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了： Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt 牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法） 一、 方法简介 设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=?)()(，如果U 是中间变量，)(x u ?=，且设)(x ?可微，那么根据复合函数微分法，有 dx x x f x dF )(')]([)]([???= 从而根据不定积分的定义得 ) (] )([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ????=??=+=. 则有定理： 设)(u f 具有原函数，)(x u ?=可导，则有换元公式 ) (] )([)(')]([x u du u f dx x x f ???=??= 由此定理可见，虽然?dx x x f )(')]([??是一个整体的记号，但如用导数记号 dx dy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('?可以方便地应用到被积表达式中。 几大类常见的凑微分形式： ○1??++=+)()(1 )(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○ 2??=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，??-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，?? =x d x f x dx x f tan )(tan cos ) (tan 2，x d x f x dx x f cot )(cot sin )(cot 2??-=； ○3??=x d x f dx x x f ln )(ln 1 )(ln ，??=x x x x de e f dx e e f )()(； ○ 4n n n n x d x f n dx x x f ??=-)(1)(1)0(≠n ，??-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，? ?=)()(2) (x d x f x dx x f ； ○ 5??=-x d x f x dx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2 ；