二次函数左右、上下平移

二次函数的图象和性质(周末作业)

1．在抛物线y ＝－x 2＋1上的一个点是 ( )

A ．(1，0)

B ．(0，0)

C ．(0，－1)

D ．(1，1)

2．抛物线y ＝－6x 2可以看作是由抛物线y ＝－6x 2＋5按下列何种变换得到 ( )

A ．向上平移5个单位

B ．向下平移5个单位

C ．向左平移5个单位

D ．向右平移5个单位

3．将抛物线y ＝2x 2向右平移3个单位得到的抛物线的解析式是 ( )

A ．y ＝2x 2＋3

B ．y ＝2x 2－3

C ．y ＝2(x ＋3)2

D ．y ＝2(x －3)2

4．在同一坐标系中，一次函数y ＝ax ＋1与二次函数y ＝x 2＋a 的图象可能是 ( )

5．二次函数y ＝mx 2＋2m －4的图象的顶点在y 轴的负半轴上，且开口向上，则m 的取值范围为 ( )

A ．m>2

B ．m<2

C ．0

D ．m<0

6．（2012.重庆）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为2

=x 。下列结论中，正确的是 ( ) A ．0abc > B ．0a b += C ．20b c >+ D ．42a c b +<

7．在同一坐标系中，抛物线y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－x 2的共同特点是 ( ) A ．关于y 轴对称，抛物线开口向上

B ．关于y 轴对称，抛物线顶点在原点

C ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小

D ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大

8．下列函数中，y 随x 增大而增大的是 ( )

A ．y ＝－3x

B ．y ＝－x ＋5

C ．y ＝－12x

D ．y ＝12

x 2(x>0) 9．已知二次函数y ＝ax 2的图象开口向上，则直线y ＝ax －1经过的象限是 ( )

A ．第一、二、三象限

B ．第二、三、四象限

C ．第一、二、四象限

D ．第一、三、四象限

10．函数y ＝ax －2与y ＝ax 2在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )

11．在同一坐标系中，图象与y ＝2x 2的图象关于x 轴对称的是 ( )

A ．y ＝12x 2

B ．y ＝－12x 2

C ．y ＝－2x 2

D ．y ＝2x 2

12．（2012．镇江）关于x 的二次函数()()y=x+1x m -，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的取值范围是 ( )

A . m <1-

B . 1

C . 0

D . m >1

13．已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y 轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二次函数的表达式_______．

14．抛物线y ＝－3x 2＋6的顶点坐标为_______，当x ＝_______时，y 有最_______值，最 _______值为_______．

15．将抛物线y ＝－3x 2的图象向左平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为_______．

16．如图，抛物线y ＝ax 2＋c(a<0)交x 轴于点G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ．它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧．BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ．四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为_______．

17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋c(a ≠0)的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值是_______．

18、抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小.

19、将抛物线23

1x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标、 . 20、任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些

抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有相同最低点.其中判断正确的是 .

21、将抛物线122

-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是，当x= 时，该抛物线有最（填大或小）值，是 .

22.已知二次函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，求m 的值。

23、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值.

24、已知函数y ＝12

x 2－2． (1)画出该函数的图象；

(2)设该函数图象的顶点为P ，与x 轴的两交点分别为A 、B ．求△ABP 的面积．

25．已知y ＝(m ＋1)2

m m x +－3m 是二次函数且其图象开口向下．

(1)求m 的值和函数解析式；

(2)x 在何范围内，y 随x 的增大而增大?x 在何范围内，y 随x 的增大而减小？

(3)直线y ＝kx ＋4与此二次函数图象交于点P(2，n)，求k 的值．

26．若二次函数y ＝ax 2＋c 有最大值为4，且该函数的图象经过点(1，3)．

(1)求此二次函数的解析式；

(2)求这个抛物线关于x 轴对称后所得的新函数解析式．

27．已知：函数y＝ax2－2的图象过点M(3，7)．

(1)求该函数表达式；

(2)若平行于x轴的直线分别交函数图象于点A、点B，若以AB为直径的⊙P与x轴相切，求⊙P的半径．

28．(2012.荆州)已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；

（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．

①求k的值；

②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．

参考答案

1．A 2．B3．D 4．C5．C 6．D

7．y＝x2－2（答案不惟一）8．(0，6)0大大 6

9．y＝－3(x＋1)2

10．411．－2

12．(1)函数的图象略；(2)△ABP的面积为4

13．(1)m的值为－2，函数解析式为y＝－x2＋6；(2)当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小(3)k的值为－1

14．(1)y＝－x2＋4；(2)y＝x2－4

15．(1)y＝x2－2；(2)1或2．

16．（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点。

当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，

令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0．

△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。

综上所述，k的取值范围是k≤2。

（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1。

由题意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1（*），

将（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。

又∵x1+x2=

，x1x2=

k+2

，∴2k?

=4?

k+2

，

解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）。∴所求k值为﹣1。

②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣1

）2+

，且﹣1≤x≤1，

由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=1

时，y最大=

。

∴y的最大值为3

，最小值为﹣3。

超经典二次函数图象的平移和对称变换总结

二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变

二次函数平移规律

二次函数平移专项练习题平移规律：针对顶点式抛物线的解析式是“左加右减（括号内），上加下减” 要注意如果知道了顶点坐标在移动时是“左减右加” ｜a ｜的大小决定抛物线开口的大小,｜a ｜越大,抛物线的开口越小. a>0时抛物线开口向上，反之向上 c>0时抛物线交y 轴于正半轴，反之在负半轴 a 、 b 同号时对称轴在y 轴左侧，异号时在右侧抛物线平移时只有二次项系数a 是不变的 1、把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（） A. 2(1)3y x =--+ B. 2(1)3y x =-++ C. 2(1)3y x =--- D. 2(1)3y x =-+- 根据左加右减、上加下减可得：B. 2(1)3y x =-++ 2、将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图像，则a 的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 由：2y x x =+=-（x+ 21）2-41 232y x x =-+=(x-23)2-41 得：a=21-（-2 3）=2 ，所以选B 3、抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为y=x 2 -2x-3，则b 、c 的值为（） A.b=2，c=3 B.b=2，c=0 C.b=-2.，c=-1 D.b=-3，c=2

由y=x 2-2x-3=(x-1)2 -4，再根据左加右减、上加下减可得平移前的解析式为： y=(x+2-1)2-4+3=x 2+2x 所以：b=2 c=0 4、要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须 [ ] A ．向上平移1个单位； B ．向下平移1个单位； C ．向左平移1个单位； D ．向右平移1个单位．根据上加下减可得：B 5、将抛物线y=-3x 2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 [ ] A ．y=-3(x-1)2-2； B ．y=-3(x-1)2+2； C ．y=-3(x+1)2-2； D ．y=-3(x+1)2+2．根据左加右减、上加下减可得：A ．y=-3(x-1)2-2； 6、要从抛物线212y x =-得到21(1)32y x =-+-的图像，则抛物线y=-21x 2必须[ ] A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位； B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位； C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位； D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位．根据左加右减、上加下减可得：B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位

二次函数平移规律

二次函数平移专项练习题平移规律：针对顶点式抛物线的解析式是“左加右减（括号内），上加下减” 要注意如果知道了顶点坐标在移动时是“左减右加” ｜a ｜的大小决定抛物线开口的大小,｜a ｜越大,抛物线的开口越小. a>0时抛物线开口向上，反之向上 c>0时抛物线交y 轴于正半轴，反之在负半轴 a 、 b 同号时对称轴在y 轴左侧，异号时在右侧抛物线平移时只有二次项系数a 是不变的 1、把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（） A. 2(1)3y x =--+ B. 2(1)3y x =-++ C. 2(1)3y x =--- D. 2(1)3y x =-+- 根据左加右减、上加下减可得：B. 2(1)3y x =-++ 2、将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图像，则a 的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 由：2 y x x =+=-（x+21）2-41 232y x x =-+=(x-23)2-4 1 得：a=21-（-23）= 2 ，所以选B 3、抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为y=x 2-2x-3，则b 、c 的值为（） A.b=2，c=3 B.b=2，c=0 C.b=-2.，c=-1 D.b=-3，c=2 由y=x 2-2x-3=(x-1)2 -4，再根据左加右减、上加下减可得平移前的解析式为：

y=(x+2-1)2-4+3=x 2 +2x 所以：b=2 c=0 4、要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须 [ ] A ．向上平移1个单位； B ．向下平移1个单位； C ．向左平移1个单位； D ．向右平移1个单位．根据上加下减可得：B 5、将抛物线y=-3x 2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 [ ] A ．y=-3(x-1)2-2； B ．y=-3(x-1)2+2； C ．y=-3(x+1)2-2； D ．y=-3(x+1)2+2．根据左加右减、上加下减可得：A ．y=-3(x-1)2-2； 6、要从抛物线212y x =-得到21(1)32y x =-+-的图像，则抛物线y=-21x 2必须[ ] A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位； B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位； C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位； D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位．根据左加右减、上加下减可得：B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 7. 把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( ) A. ()522+--=x y B. ()522 ++-=x y C. ()522---=x y D. ()522 -+-=x y 根据左加右减、上加下减可得：A ：()522 +--=x y

二次函数的上下左右移动

二次函数的图像及其性质（五）温故： 1、二次函数y=-3x2+2的图像向下平移两个单位后，它的顶点坐标为，对称轴为，解析式为。 2、抛物线y=-3（x+3）2向右平移5个单位后，它的顶点坐标为，对称轴为，解析式为。 3、抛物线y=ax2+c可以看作由抛物线y=ax2通过向平移得到，抛物线y=a（x+h）2可以看作由抛物线y=ax2通过向平移得到。 4、抛物线上下平移时，图像上每一点的坐标不变；左右平移时，图像上每一点的坐标。知新：观察右边的函数图象，完成下列表格：思考：函数y=2(x-3)2＋3图象与函数y=2(x-3)2图象有什么关系? 函数y＝2(x-3)2＋3的图象可以看成是将函数y=2(x-3)2的图象向平移个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向平移个单位再向平移个单位得到的；对称轴是，顶点坐标是。图中其它图像间通过怎样的平移可以重合呢？

试一试：在下图中的几条抛物线形状相同，试写出各抛物线的解析式：由此可得二次函数y=a(x －h)2＋k 的图象的性质： ⑴a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y 都随x 的增大而减小,在对称轴右侧,y 都随 x 的增大而增大，当x= 时函数有最小值，是；a<0时, 开口向下,在对称轴左侧,y 都随x 的增大而增大,在对称轴右侧,y 都随 x 的增大而减小，当 x= 时函数有最大值，是。 ⑵对称轴是，顶点坐标是； ⑶二次函数y=a(x －h)2＋k 的图象可以看作是把函数y=ax 2的图象先沿x 轴整体平移个单位(当h>0时,向平移;当h<0时,向平移),再沿对称轴整体平移个单位 (当k>0时向平移;当k<0时,向平移)得到的。思考：已知抛物线y=4(x-3)2-16 ⑴写出它的开口方向，对称轴，顶点坐标。 ⑵写出函数的增减性和函数的最值。巩固提高： 1、把抛物线()322++=x y 向左平移5个单位，再向下平移7个单位所得的抛物线解析式是 2.已知s =–(x +1)2 –3，当x 为时，s 取最值为。 3、一个二次函数的图象与抛物线23x y =形状，开口方向相同，且顶点为()1,4，那么这个函数的解析式是小结： 1、一般地，抛物线y ＝a(x －h)2与()k h x a y +-=2的图象特点； 2、二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径． y=-3x 2 y=-3（x+ ）2+ y=-3x 2 + y=-3x 2 - y=-3（x+ ）2 y=-3（x- ）2 y=-3（x+ ）2- y=-3（x- ）2+ y=-3（x- ）2-

二次函数平移专项练习精编版

二次函数平移专题一、填空 1、抛物线2ax y =向左平移5个单位,再向下移动2个单位得到抛物线 2.二次函数1)3(22-+-=x y 由1)1(22+--=x y 向_________平移_________个单位，再向 ____________平移____________个单位得到. 3、抛物线3)2(32-+=x y 可由抛物线2)2(32++=x y 向 _____ 平移 ____ 个单位得到． 4、将抛物线5)3(5 32+-=x y 向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 5、把抛物线2)1(2---=x y 是由抛物线3)2(2-+-=x y 向平移个单位，再向_____平移_______个单位得到。 6、在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为____________ 7、将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是____________ 8、抛物线y ＝x 2－5x+4的图像向右平移三个单位，在向下平移三个单位的解析式 9、将抛物线21(3)22 y x =+-向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线解析式为___ 10．抛物线232 y x =-向左平移1个单位得到抛物线解析式为___________ 22y x =

11、二次函数的草图：开口向_________，顶点坐标是（），对称轴是________,在对称轴的右侧，y 随x 的增大而___________。当x=___________时，函数有最______值，其值为______。与x 轴的交点坐标是__________，与y 轴的交点坐标是_________。它是由函数________向___平移_____个单位得到的。 12、二次函数的草图：开口向____，顶点坐标是（），对称轴是________,在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_________.当x=______时，函数有最______值，其值为______。与x 轴的交点坐标是__________，与y 轴的交点坐标是_____。它是有函数________向___平移_____个单位得到的。 13、二次函数2(1)3y x =-++的草图：开口向___，顶点坐标是（），对称轴是________,在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_________.当x=______时，函数有最______值，其值为______。与x 轴的交点坐标是__________，与y 轴的交点坐标是_____。它是有函数________向___平移_____个单位，再向 ____________平移____________个单位得到. 二、选择 1 .把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（） A. 2(1)3y x =--+ B. 2(1)3y x =-++ C. 2(1)3y x =--- D. 2(1)3y x =-+- 22(1)y x =+221y x =+

二次函数图像的平移

一、抛物线的变化的实质练习（一）平移 1、y=－8x2的顶点坐标为；所以沿y轴向上平移4个单位得y= ，其对称轴为，顶点坐标为。 2、y=7(x－2)2的顶点坐标为；所以将抛物线y=7(x－2)2向左平移2个单位所得的抛物线的顶点是，函数关系式是：。 3、y=－3x2的顶点坐标为；所以将抛物线y=－3x2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线的顶点是，解析式是。（二）旋转 1、y=x2+2x+3的顶点是，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的顶点是，解析式是 2、y=2x2﹣12x+16的顶点是。将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的顶点是，解析式是（三）轴对称 1、将抛物线C：y=x2+3x﹣10，的顶点是；将抛物线C平移到C′．若两条抛物线C，C′关于直线x=1对称，对称后的顶点为；则下列平移方法中正确的是（） A．将抛物线C向右平移个单位B．将抛物线C向右平移3个单位C．将抛物线C向右平移5个单位D．将抛物线C向右平移6个单位二、练习： 1、将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是 1.1将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是 2、把二次函数y=x2的图象沿着x轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到的函数图象的解析式为 2.1在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是 3、抛物线y=﹣6x2可以看作是由抛物线y=﹣6x2+5按下列何种变换得到（）

一元二次函数的平移问题

一元二次函数的平移问题运用二次函数图象的平移变换任意抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0），可以由抛物线y=ax2经过平移得到: ①将y＝ax2向上移动k个单位得： y＝ax2＋k， ②将y＝ax2向左移动h个单位得： y＝a（x＋h）2， ③将y＝ax2先向上移动k（k＞0）个单位，再向右移动h（h＞0）个单位，便得函数 y＝a（x－h）2＋k的图象. 平移顺序:先上下再左右(上加下减,左加右减) 【例1】将二次函数y=-2x2+4x+6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的解析式. 【分析】二次函数图象的平移即每一个点的平移，我们可通过二次函数的特殊点顶点坐标的变化来确定平移后的解析式. 解：配方法得： y=-2（x2-2x）+6 =-2（x2-2x+1-1）+6 =-2（x-1）2+8. 顶点为（1，8），将顶点按要求平移得新抛物线顶点为（0，6）. ∴平移后抛物线解析式为y=-2x2+6. 【小结】平移抛物线只改变了抛物线的位置，而不改变它的形状、大小及开口方向，即a值不变.左右平移时横坐标变化，上下平移时纵坐标变化. 【例2】（2006·泸州）二次函数y＝x2的图象向右平移3个单位，得到新图象的函数表达式是（）. Ａ. y=x2+3Ｂ. y=x2+3 Ｃ. y=（x＋3）2Ｄ. y=（x－3）2

【分析】二次函数y＝x2的顶点坐标为（0，0），顶点按要求平移后变为（3，0），选项中只有 y=（x－3）2的顶点是（3，0）. 解：D. 【例3】（2006·兰州）已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把 x轴、y轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新的坐标系下抛物线的解析式为（）. Ａ. y=2（x-2）2+2 Ｂ. y=2（x+2）2-2 Ｃ. y=2（x-2）2-2 Ｄ. y=2（x+2）2+2 【分析】若抛物线不动，把x、y轴分别向上、向右平移2个单位相当于将该抛物线在原坐标系内向下再向左平移两个单位，由此可得该抛物线在x、y平移后得解析式为y=2（x+2）2-2 . 解：B 【小结】将坐标系平移，实质是将抛物线向相反方向各移动了2个单位，即向下，向左平移2个单位，注意换位思考，逆向思维. 【例4】（2006·杭州）有三个二次函数，甲：y＝x2－1；乙：y＝－x2＋1；丙：y ＝x2＋2x－1.则下列叙述正确的是（）. A.甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合 B.甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合 C.丙的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合 D.甲、乙、丙3个图形经过适当的平行移动后，都可以重合【分析】根据函数解析式画出3个函数的草图发现，甲、乙与乙、丙开口方向均相反，不能够经过平行移动使得图象重合；所以排除A、C、D.函数丙y＝x2＋2x－1可以化成y＝（x＋1）2－2，这样就可以看出甲的图形经过向左移动1个单位，向下移动1个单位与丙重合. 解：B. 二次函数图像平移 1. 抛物线y=-x2+2x-1的开口方向是______，顶点坐标是______．

《探索二次函数图像平移的规律》

《探索二次函数图像平移的规律》发表时间：2012-01-12T08:44:18.537Z 来源：《教育学文摘》2012年01月总第47供稿作者：赵正杰 [导读] 本节是九年级下册（北师大版）第二章的内容，是为学生进行数学兴趣活动而安排的。 ——数学兴趣活动教学设计 ◆赵正杰陕西省洋县湑水初中723300 教材分析：本节是九年级下册（北师大版）第二章的内容，是为学生进行数学兴趣活动而安排的，目的是加强学生的动手操作能力，培养学生探索发现、归纳总结的数学素养，开拓学生的知识视野。学生前面已经学过二次函数图像的画法，它对解决本节课的问题有一定的帮助。虽然这些内容没有在教材中安排，但是它将来与高中数学知识相结合对培养学生数形结合数学思想的形成有很好的促进作用。通过让学生经历动手操作、合作交流、观察归纳的过程，总结出二次函数图像平移时解析式的变化规律，体验数学活动的乐趣与成功的快乐，从而促进学生对二次函数图像平移的理解，激发学生学习数学的兴趣。教学目标： 1.知识与技能目标（1）经历操作、观察、欣赏、合作交流的过程，逐步认识二次函数图像平移的存在与解析式之间的联系。（2）经过操作、交流、探索、观察、归纳的过程，总结出二次函数图像平移过程中二次函数解析式的变化规律。 2.过程与方法目标经历自己操作、探索、观察、归纳、概括等过程，以及同学间的交流与合作，进一步发展同学们的合作意识、空间观念，发现函数 y=a(x+h)2+k的图像在平移过程中k、h的变化规律，从而了解数形结合的数学思想对学习数学的重要性。 3.情感与态度目标（1）通过同学们的亲自操作与实践，感受“生活中处处有数学”，让学生乐学数学，激发他们学习数学的兴趣。（2）通过同学们的操作实践、观察发现、概括归纳，体验数学的内在美，感受成功的快乐，培养学生的创新能力。教学重点与难点：重点：掌握函数y=a(x+h)2+k的图像在平移过程中k、h的变化规律。难点：观察发现、概括归纳函数y=a(x+h)2+k的图像在平移过程中k、h的变化规律。教学方法：采用引导发现法、实验探究法的教学方法，本着启发性、直观性的教学原则，体现以教师为主导、学生为主体的教学思想来完成教学目标。学习方法：实验探究法、观察分析法、合作交流法、归纳总结法。教学准备： 1.课前准备好一张八开的白纸，并在上面画好单位长度为一厘米的直角坐标系（也可直接用相同单位长度的坐标纸）。 2.一段平直的细铁丝（不能太硬）。教学过程：一、创设情境，引入课题首先，请同学们六人一组，共分成八组，每组围成一圈进行活动。提醒大家：前面我们在画二次函数图像时先把二次函数的解析式由一般式y=ax2+bx+c化为配方式y=a(x+h)2+k，这样从对称轴两边依次取值，不但方便好算，而且描点画出的图像在对称轴两边也是一样高的，比较美观。师：请同学们拿出准备好的坐标纸、铅笔、尺子、练习本等（约二分钟）。二、动手操作，课堂探究 1.先记录下这些二次函数的解析式：y=x2+1，y=(x+1)2+1，y=(x+2)2+1，y=(x+3)2+1，y=(x-1)2+1， y=(x-2)2+1,y=(x-3)2+1。 2.观察讨论这些函数解析式都有哪些特征？（约二分钟）生：（1）二次项系数a的值都是1。（2）它们都是配方式。（3）配方后配方式中的k值都是1没变，只是h值发生了变化。老师对同学们的回答表示肯定，也可能回答不全面，也可能有其他回答，老师加以引导。师：请同学们在练习本上依次对以上7个二次函数进行列表。可两名同学分工合作，一名同学完成前4个，另一名同学完成后3个。（要求在对称轴两边各至少取三个值，约八分钟。）师：请同学们按照前面的列表，依次在准备好的坐标纸上描点、连线，并一个一个地画出七个二次函数的图像（两名同学按照前面的分工一起合作完成），再在函数的图像边上标明它的解析式（提醒学生画完一个图像再画第二个，以免发生混淆，约八分钟）。学生完成后，请同学们拿出细铁丝，在其中一个函数的图像上慢慢地弯成抛物线状，然后又移动到其它函数的图像上比一比，再与同组同学的交流一下，共同议一议。师：（1）你发现了什么？（2）想一想，上面的7个二次函数的解析式恢复成一般式后， a、h、k中只有谁没有发生变化？你能用自己的语言把探索出的结论说一下吗？（讨论后再回答）生：我们所画的函数图像都是相同的。生：当解析式变成一般式后，只有二次项系数a=1没有变。所以能够确定，当二次项系数a=1时抛物线的形状是相同的，与h、k的值无关。师：同学们的发现很正确。那么a都是2或a都是3……抛物线的形状又将如何呢（请同学们课后探索。）师：请同学们再把铁丝弯成的抛物线放到函数y=x2+1的图像上，先把抛物线水平向左平移一个单位，观察一下，得到了谁的图像？再

二次函数的平移规律

二次函数的平移规律二次函数的图象和性质是初中数学九年级上的教学内容，教材先研究了最简单的二次函数2ax y =，然后研究了k ax y +=2，2)(h x a y -=，k h x a y +-=2)(，这三个复杂的二次函数的图象及性质，而这三个稍复杂的二次函数的图象均是由2ax y =的图象平移得来的。但是实际教学中发现，图象的平移规律对学生来说始终是一个难点！如何突破这个难点呢？几何画板的演示对于这个问题的解决起了重要的作用！（一）2ax y =与k ax y +=2的图象和性质首先，几何画板展示22x y =，222+=x y ，222-=x y 的图象，目的是让学生先直观的发现三者之间的关系，进行猜想；然后几何画板演示k x y +=22（k 可以任意变化）的图象，让学生更加直观地感受到图像之间存在着上下平移的联系，进而抛出问题：为什么这三个图象之间存在上下平移的联系，目的是引导学生从几何画板的直观猜想到归纳，最后用数学知识去验证猜想和归纳的准确性。即对于一般的点A )2,(2 m m 和B )2,(2k m m +，横坐标不变，纵坐标+k ，根据点的平移规律，相当于点A 向上或下平移了|k|个单位变成了点B ，所以整个图象呈现上下平移的状态！这样就从数和形两方面验证了平移规律“上加下减”，利用平移更好的研究k ax y +=2的性质。（二）2ax y =与2)(h x a y -=图象和性质

首先，几何画板展示22x y =，2)1(2-=x y ，2)1(2+=x y 的图象，目的是让学生先直观的发现三者之间的关系，进行猜想；然后几何画板演示2)(2h x y -=（h 可以任意变化）的图象，让学生更加直观地感受到图像之间存在着左右平移的联系，进而抛出问题：为什么这三个图象之间存在左右平移的联系，目的是引导学生从几何画板的直观猜想到归纳，最后用数学知识去验证猜想和归纳的准确性。即对于一般的点A )2,(2m m 和B )2,(2m h m +，纵坐标不变，横坐标+h ，根据点的平移规律，相当于点A 向右或左平移了|h|个单位变成了点B ，所以整个图象呈现左右平移的状态！这样就从数和形两方面验证了平移规律“左加右减”，利用平移更好的研究2)(h x a y -=的性质。以上就是我们利用几何画板进行直观演示，在演示过程中指导学生进行猜想，进而由猜想进行归纳，再利用数学知识进行验证的一个教学过程！

2018年二次函数的图像平移

? 2018二次函数图像平移知识点1：二次函数图像平移规律和点平移规律抛物线向左平移几个单位，自变量就增加几个单位：抛物线向右平移几个单位，自变量就减少几个单位。抛物线向上平移几个单位，函数值就增加几个单位：抛物线向下平移几个单位，函数值就减少几个单位。点平移规律：一点向左平移，横坐标减少，向右平移，横坐标增加；向上平移，纵坐标增加，向下平移纵坐标减少。 ! 知识点2：已知平移的路径，求平移前或平移后的解析式例1、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 A ．()213y x =--- B ．()2 13y x =-+- C ．()213y x =--+ D ．()213y x =-++ 解：方法1：把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，顶点坐标由（0,0）变为（-1,3） 3)1(y 2++-=∴x 平移后的解析式为 ` 方法2：抛物线向左平移1个单位，自变量增加1，自变量由x 变为x+1, 抛物线向上平移1个单位，函数由–（x+1)2 变为–（x+1)2 –3∴ 平移后的解析式为y=–(x+1)2 –3 练习、直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（） A.(0，0) B.(1，－2) C.(0，－1) D.(－2，1) 解：方法1：自变量），顶点坐标（变为变为1-01212)11(21,122∴--=+--+-=∴++x x y y y x x 方法2：图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，顶点横坐标减1，纵坐标加1，则其顶点由（1，-2）变为（0，-1）c 选∴ 例2、[ 例3、把抛物线c bx ax y ++=2 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是432-+=x x y ，试求b 、c 的值。分析：把抛物线432-+=x x y 沿原路倒回去得到抛物线c bx ax y ++=2

(完整版)二次函数平移专项练习

二次函数平移专题一、填空 1、抛物线2ax y =向左平移5个单位,再向下移动2个单位得到抛物线 2.二次函数1)3(22-+-=x y 由1)1(22+--=x y 向_____平移_______个单位，再向_____平移_______个单位得到。 3、抛物线3)2(32-+=x y 可由抛物线2)2(32++=x y 向平移个单位得到． 4、将抛物线5)3(5 32+-= x y 向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 5、把抛物线2)1(2---=x y 是由抛物线3)2(2-+-=x y 向平移个单位，再向_____平移_______个单位得到。 6、把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2－3x+5，则a+b+c=__________ 7、抛物线y ＝x 2－5x+4的图像向右平移三个单位，在向下平移三个单位的解析式二、选择 1、把二次函数34 12+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式 A.()22412+--=x y B. ()424 12+-=x y C.()42412++-=x y D. 321212 +??? ??-=x y

2、在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 A ．222-=x y B ．222+=x y C ．2)2(2-=x y D ．2)2(2+=x y 3、将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（） A ．22(1)y x =+ B ．22(1)y x =- C ．221y x =+ D ．221y x =- 4、将函数2y x x =+的图象向右平移a (0)a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 A ．2(1)3y x =--- B ．2(1)3y x =-+- C ．2(1)3y x =--+ D ．2(1)3y x =-++ 6、要得到二次函数222y x x =-+-的图象，需将2y x =-的图象（）． A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 7、在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（） A ．22y x x =--+ B ．22y x x =-+- c.22y x x =-++ D ．22y x x =++

二次函数平移问题

二次函数平移问题 Revised by Petrel at 2021

二次函数的平移问题我们从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律. 一.当解析式为一般式y=ax2+bx+c(a≠0)时 1.向上或向下平移时,二次函数解析式的变化规律. 将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c+n 将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c-n 两式比较:可得抛物线向上平移n个单位,常数项上加n，即解析式由 y=ax2+bx+c变为y=ax2+bx+c+n;同理可推出抛物线向下平移n个单位,常数项上减去n，即解析式由y=ax2+bx+c变为y=ax2+bx+c-n 2.向左或向右平移时,解析式的变化规律. 将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为 y=a(x+m)2+b(x+m)+c 将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x- m)2+b(x-m)+c 两式比较,可得出抛物线向左平移m个单位,自变量上减去m，即解析式由 y=ax2+bx+c变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c;同理可推出抛物线向右平移m个单位,自变量上加上m,即解析式由y=ax2+bx+c变为y=a(x-m)2+b(x-m)+c 3. 将抛物线向左平移m个单位长度后,再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c+n 将抛物线向左平移m个单位长度后,再将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c-n 将抛物线向右平移m个单位长度后,再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c+n 将抛物线向右平移m个单位长度后,再将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c-n 二.当解析式为顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0）时 1.向上或向下平移时，解析式的变化规律. 将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k+n 将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k-n 将抛物线向上平移n个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k+n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a(x-h)2+k+n 将抛物线向下平移n个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k-n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a(x-h)2+k-n 比较两个解析式可得出向上平移n个单位，括号外加n，同理可推出向下平移 n个单位括号外减去n.即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a（x+m-h)2+k-n 2.向右或向左平移时，解析式的变化规律. 将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h+m)2+k 将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h-m)2+k

超经典二次函数图象的平移和对称变换总结

超经典二次函数图象的平移和对称变换总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

二次函数图象的几何变换内容基本要求略高要求较高要求二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的图像； 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式； 2.能从函数图像上认识函数的性质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解； 1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2 () y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,) h k，然后做出二次函数2 y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,) h k.具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 2 y ax bx c =++关于x轴对称后，得到的解析式是2 y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y轴对称 2 y ax bx c =++关于y轴对称后，得到的解析式是2 y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2 y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2 y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+-；

二次函数图像平移习题

二次函数图像平移习题 1．要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须 [ ] A ．向上平移1个单位； B ．向下平移1个单位； C ．向左平移1个单位； D ．向右平移1个单位． 2将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图像，则a 的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为223y x x =-+，则b 、c 的值为（） A.b=2，c=3 B.b=2，c=0 C.b=-2.，c=-1 D.b=-3，c=2 4.已知二次函数21(11)y x bx b =-+-≤≤，当b 从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（） A. 先往左上方移动，再往右下方移动 B.先往左下方移动，再往左上方移动 B.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右上方移动 5.把二次函数2 x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( ) A. ()522+--=x y B. ()522++-=x y C. ()522---=x y D. ()522-+-=x y 6．对于抛物线22 (2)34(2)1y x y x =-+=-+与，下列叙述错误的是（） A.开口方向相同 B. 对称轴相同 C. 顶点坐标相同 D. 图象都在x 轴上方 7.已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为。 8．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）（A ）1k >- （B ）1k >- （C ）0k ≠ （D ）10k k >-≠且

二次函数平移问题

二次函数的平移问题我们从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律. 一.当解析式为一般式y=ax2+bx+c(a≠0)时 1.向上或向下平移时,二次函数解析式的变化规律. 将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c+n 将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c-n 两式比较:可得抛物线向上平移n个单位,常数项上加n，即解析式由y=ax2+bx+c 变为y=ax2+bx+c+n;同理可推出抛物线向下平移n个单位,常数项上减去n，即解析式由y=ax2+bx+c变为y=ax2+bx+c-n 2.向左或向右平移时,解析式的变化规律. 将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为 y=a(x+m)2+b(x+m)+c 将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为 y=a(x-m)2+b(x-m)+c 两式比较,可得出抛物线向左平移m个单位,自变量上减去m，即解析式由 y=ax2+bx+c变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c;同理可推出抛物线向右平移m个单位,自变量上加上m,即解析式由y=ax2+bx+c变为y=a(x-m)2+b(x-m)+c 3. 将抛物线向左平移m个单位长度后,再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c+n 将抛物线向左平移m个单位长度后,再将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c-n 将抛物线向右平移m个单位长度后,再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c+n 将抛物线向右平移m个单位长度后,再将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c-n 二.当解析式为顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0）时 1.向上或向下平移时，解析式的变化规律. 将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k+n 将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k-n 将抛物线向上平移n个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k+n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a(x-h)2+k+n 将抛物线向下平移n个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k-n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a(x-h)2+k-n 比较两个解析式可得出向上平移n个单位，括号外加n，同理可推出向下平移n 个单位括号外减去n.即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a（x+m-h)2+k-n 2.向右或向左平移时，解析式的变化规律. 将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h+m)2+k 将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h-m)2+k

二次函数的平移问题

关于二次函数的平移变换问题二次函数的平移大致分为两类，即为上下平移和左右平移。（1）上下平移若原函数为c bx ax y ++=2 ? ??-++=+++=m c bx ax y m m c bx ax y m 22为个单位，则平移后函数向下平移为个单位，则平移后函数向上平移注：①其中m 均为正数，若m 为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。（2）左右平移若原函数为c bx ax y ++=2，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式k h x a y +-=2)(然后再进行相应的变形 ? ??+--=++-=k n h x a y n k n h x a y n 22)()(数为个单位，则平移后的函若向右平移了数为个单位，则平移后的函若向左平移了注：①其中n 均为正数，若n 为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 1. 把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（） A. 2(1)3y x =--+ B. 2(1)3y x =-++ C. 2(1)3y x =--- D. 2(1)3y x =-+- 2.抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则b 、c 的值为（） A . b=2，c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3，c=2 3.将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图像，则a 的值为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知二次函数21(11)y x bx b =-+-≤≤，当b 从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（） A. 先往左上方移动，再往右下方移动 B.先往左下方移动，再往左上方移动 B.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右上方移动 c bx x y ++=2322--=x x y