人教A版数学选修2-1同步作业：单元卷2

第二章 章末测试卷

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．椭圆3x 2＋4y 2＝12的两个焦点之间的距离为( ) A ．12 B ．4 C ．3 D ．2

答案 D

解析 原式?x 24＋y 2

3

＝1，∴c ＝1，∴2c ＝2.

2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．－14

D.14

答案 C

3．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M(2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4 D ．2 5

答案 B

解析 依题意，设抛物线方程是y 2＝2px(p>0)，则有2＋p

2＝3，得p ＝2，故抛物线方程是

y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，|OM|＝22＋8＝2 3.故选B.

4．已知方程x 2k ＋1＋y 2

3－k ＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( )

A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)

B ．(1，3)

C ．(1，＋∞)

D ．(－∞，3)

答案 B

5．已知双曲线x 2a 2－y 2

＝1(a>0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方

程为( ) A ．y ＝±3

5x

B ．y ＝±5

3x

C ．y ＝±3

4

x

D ．y ＝±4

3

x

答案 D

解析 依题意可得a ＋c ＝2b ＝2，① 又c 2－a 2＝b 2＝1，②

由①②可解得a ＝34，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±4

3

x.故选D.

6．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±1

2x ，则此双曲线的离心率为

( ) A.52

B. 5

C.52 D ．5

答案 B

解析 由已知可设双曲线方程为y 2a 2－x 2

b 2＝1(a>0，b>0)．

∴±a b ＝±1

2，∴b ＝2a ，∴b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2.

∴c 2＝5a 2，∴

c 2a 2＝5，∴e ＝c

a

＝ 5. 7．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为1

2，则此椭

圆的方程为( ) A.x 212＋y 2

16＝1 B.x 216＋y 2

12＝1 C.x 248＋y 2

64＝1 D.x 264＋y 2

48

＝1 答案 B

8．设F 1，F 2为双曲线x 2－4y 2＝4a(a>0)的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足PF 1→·PF 2→

＝0，|PF 1→|·|PF 2→

|＝2，则a 的值为( ) A ．2 B.52 C ．1 D. 5

答案 C

9．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，定点A 的坐标为(7

2，

4)，则|PA|＋|PM|的最小值是( ) A.112

B ．4

C.92 D ．5

答案 C

10．椭圆x 24＋y 2

＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点

为P ，则P 到F 2的距离为( ) A.32

B. 3

C.72

D. 4

答案 C

11．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( ) A ．(32，54)

B ．(1，1)

C ．(32，94)

D ．(2，4)

答案 B

12．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且

点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13

2，则椭圆离心率的取值范围是( )

A ．(14，9

4)

B ．(2

3，1)

C ．(12，23)

D ．(0，1

2

)

答案 C

解析 由题意：B(c ，b 2

a )，∴k ＝

b 2a

c ＋a ＝a －c a ＝1－e ，

∴13<1－e<12，∴12

3

.故选C. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，若椭圆上一点P 满足|PF 1|＋|PF 2|

＝4，则椭圆的离心率e ＝________． 答案 12

解析 由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2a ＝4，解得a ＝2.又c ＝1，所以e ＝c a ＝1

2.

14．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，

则|PF 1|＋|PF 2|的值为________． 答案 2 3

解析 由双曲线的方程可知a ＝1，c ＝2，

∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，∴|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4. ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c)2＝8，

∴2|PF 1||PF 2|＝4，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝8＋4＝12，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.

15．过抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF||FB|＝________．

答案 13

解析 由题意可得焦点F(0，p 2)，故直线AB 的方程为y ＝33x ＋p

2，与x 2＝2py 联立得A ，B

两点的横坐标为x A ＝－33p ，x B ＝3p ，故A(－33p ，16p)，B(3p ，32p)，所以|AF|＝2

3

p ，|BF|＝2p ，所以|AF||BF|＝1

3

.

16．(2018·浙江)已知点P(0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m(m>1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →

，则当m

＝________时，点B 横坐标的绝对值最大． 答案 5

解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由AP →＝2PB →

，得?

????－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3

－2y 2

.因为点A ，B 在椭圆上，所以???

4x 22

4

＋（3－2y 2）2＝m ，x

22

4＋y

2

2＝m ，

得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－1

4(m －5)2＋4≤4，

所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2.

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(10分)如右图所示，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的2

3

，求椭圆的离心率．

解析 方法一：根据题图设焦点坐标为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 是椭圆上一点，依题意设M 点坐标为(c ，2

3b)．

在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，

即4c 2＋4

9b 2＝|MF 1|2.

而|MF 1|＋|MF 2|＝

4c 2＋49b 2＋2

3

b ＝2a ，

整理，得3c 2＝3a 2－2ab. 又

c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49

.

所以

e 2＝

c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53

. 方法二：设M(c ，23b)，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝5

3.

18．(12分)已知Q 点是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ，b>0)上异于两顶点的一动点，F 1，F 2是双曲线的

左、右焦点．从F 2向∠F 1QF 2的平分线作垂线F 2P ，垂足为P ，求P 点的轨迹方程． 解析 如图所示，连接OP ，则由角平分线的性质，知|AQ|＝|F 2Q|. 由三角形中位线性质，知|OP|＝1

2|F 1A|.

∴|OP|＝12(|QF 1|－|QA|)＝1

2

(|QF 1|－|QF 2|)．

若点Q 在双曲线的左支上时，应为|OP|＝1

2(|QF 2|－|QF 1|)，

即|OP|＝1

2×2a ＝a ，∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(y ≠0)．

19．(12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点． (1)若|AB|＝10，求m 的值； (2)若OA ⊥OB ，求m 的值． 解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，

(1)由?????y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2

＝0，∴?????Δ＝（2m －8）2－4m 2>0，x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2.

由|AB|＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10. 得m ＝716，∵m<2，∴m ＝716.

(2)∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. ∴x 1x 2＋(x 1＋m)(x 2＋m)＝0. ∴2x 1x 2＋m(x 1＋x 2)＋m 2＝0. ∴2m 2＋m(8－2m)＋m 2＝0. ∴m 2＋8m ＝0，m ＝0或m ＝－8. 经检验m ＝－8.

20．(12分)设点P(x ，y)(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 中的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M(0，12)的距离比点P 到x 轴的距离大1

2.

(1)求点P 的轨迹方程；

(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB|＝26，求k 的值． 解析 (1)过P 作x 轴的垂线且垂足为N ，

由题意可知|PM|－|PN|＝1

2，而y ≥0，所以|PN|＝y ，

所以

x 2＋（y －12）2＝y ＋1

2

，

化简得x 2＝2y(y ≥0)为所求的方程．

(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立????

?y ＝kx ＋1，x 2＝2y ，

得x 2－2kx －2＝0，

所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2，

|AB|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·4k 2＋8 ＝26， 所以k 4＋3k 2－4＝0，而k 2≥0， 所以k 2＝1，所以k ＝±1.

21．(12分)(2019·课标全国Ⅰ，文)已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB|＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x ＋2＝0相切．

(1)若A 在直线x ＋y ＝0上，求⊙M 的半径；

(2)是否存在定点P ，使得当A 运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．

解析 (1)∵⊙M 过点A ，B ，∴圆心在AB 的中垂线上，即直线y ＝x 上，设圆的方程为(x －a)2＋(y －a)2＝r 2，又|AB|＝4，根据|AO|2＋|MO|2＝r 2，得4＋2a 2＝r 2.

∵⊙M 与直线x ＋2＝0相切，∴|a ＋2|＝r ，联解方程得a ＝0，r ＝2或a ＝4，r ＝6.∴圆M 的半径为2或6.

(2)设M 的坐标为(x ，y)，根据条件|AO|2＋|MO|2＝r 2＝|x ＋2|2，即4＋x 2＋y 2＝|x ＋2|2，化得y 2＝4x ，即M 的轨迹是以(1，0)为焦点，以x ＝－1为准线的抛物线，∴存在定点P(1，0)，使|MA|－|MP|＝(x ＋2)－(x ＋1)＝1.

22．(12分)如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)，A ，B 分别为其长、短轴的一个端点，F 1，

F 2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且AB →

与OM →

是共线向量．

(1)求椭圆的离心率e ；

(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围． 解析 (1)∵F 1(－c ，0)，∴x M ＝－c ，y m ＝b 2a ，∴k OM ＝－b 2

ac .

由题意知k AB ＝－b a ，∵OM →与AB →

是共线向量，

∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝22.

(2)设|F 1Q|＝r 1，|F 2Q|＝r 2，∠F 1QF 2＝θ， 则r 1＋r 2＝2a.又|F 1F 2|＝2c ，∴由余弦定理，

得cosθ＝r 12＋r 22－4c 22r 1r 2＝（r 1＋r 2）2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2

（r 1＋r 22）

2

－1＝0，当且仅当r 1＝

r 2时等号成立，∴cos θ≥0，∴θ∈(0，π

2

]．

1．若点O 和点F(－2，0)分别为双曲线x 2a 2－y 2

＝1(a>0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支

上的任意一点，则OP →·FP →

的取值范围为( ) A ．[3－23，＋∞) B ．[3＋23，＋∞) C ．[7

4，＋∞)

D ．(7

4

，＋∞)

答案 B

解析 因为F(－2，0)，所以c ＝2，所以a 2＝c 2－b 2＝3，所以a ＝3， 设P(x ，y)，则x ≥3，

所以OP →＝(x ，y)，FP →

＝(x ＋2，y)，

所以OP →·FP →＝x(x ＋2)＋y 2 ＝x 2＋2x ＋y 2 ＝x 2

＋2x ＋x 23－1 ＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，

因为函数y ＝4

3x 2＋2x －1在[3，＋∞)上单调递增，

所以当x ＝3时，y min ＝3＋23，

故OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．故选B.

2.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线

D ．圆

答案 A

解析 由条件知|PM|＝|PF|，∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝r>|OF|， ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆．

3．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m>n>0)和双曲线x 2a －y 2

b ＝1(a>b>0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两

条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( ) A ．m －a B.1

2(m －a) C ．m 2－a 2 D.m － a

答案 A

解析 取P 在双曲线的右支上，则???|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，

|PF 1|－|PF 2|＝2a ，

解得|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m － a. ∴|PF 1|·|PF 2|＝(m ＋a)(m －a)＝m －a.

4．已知抛物线y ＝2x 2上的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－1

2，

那么m 的值等于( ) A.32 B.5

2 C ．2 D ．3

答案 A

解析 因为点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 12，y 2＝2x 22，两式相减，得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1

＝－1，所以x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝1

2，设线段AB 的中点为

M(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－1

4，y 0＝y 1＋y 22＝2x 12＋2x 222＝54.因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，

所以54＝－14＋m ，解得m ＝3

2

.

5．一动点到直线y ＝1的距离比到点(0，－3)的距离小2, 则这个动点的轨迹方程为______． 答案 x 2＝－12y

解析 由题意知，动点到直线y ＝3的距离等于它到点(0，－3)的距离，所以动点的轨迹是抛物线，方程为x 2＝－12y.

6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>b ，b>0)的两条渐近线方程为y ＝±3

3x ，若顶点到渐近线的距离

为1，则双曲线方程为________．

答案 x 24－3y 2

4

＝1

7．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为3π

4的直线交抛物线于P ，Q 两点，O 为坐标原点，

则△POQ 的面积等于________． 答案 2 2

8．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A(－1，0)，B(1，0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________． 答案 x 24＋y 2

3

＝1(y ≠0)

解析 设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA|＋|FB|，

∴|FA|＋|FB|＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)． 9．已知抛物线y 2＝－4x 的焦点为F ，其准线与x 轴交于点M ，过M 作斜率为k 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中点为P ，AB 的垂直平分线与x 轴交于E(x 0，0)． (1)求k 的取值范围； (2)求证：x 0<－3.

解析 (1)由y 2＝－4x ，可得准线x ＝1，从而M(1，0)．

设l 的方程为y ＝k(x －1)，联立????

?y ＝k （x －1），y 2＝－4x ，

得k 2x 2－2(k 2－2)x ＋k 2＝0.

∵A ，B 存在，∴Δ＝4(k 2－2)2－4k 4>0，∴－1

(2)证明：设P(x 3，y 3)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，可得 x 3＝x 1＋x 22＝k 2－2k 2，y 3＝k(x 1＋x 22－1)＝－2k k 2＝－2

k .

即直线PE 的方程为y ＋2k ＝－1

k (x －k 2－2k 2)．

令y ＝0，x 0＝－2

k 2－1.

∵k 2∈(0，1)，∴x 0<－3.

9．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，离心率为3

3，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆

截得的线段长为43

3.

(1)求椭圆的方程；

(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．

解析 (1)设F(－c ，0)，由c a ＝3

3

，知a ＝3c.

过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有（－c ）2a 2

＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b

3. 于是26b 3＝43

3，解得b ＝ 2.

又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 2

2

＝1.

(2)设点C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，由F(－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k(x ＋1)，由方程组????

?y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22＝1，

消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.

因为A(－3，0)，B(3，0)，

所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x

1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2

＝6＋

2k 2＋12

2＋3k 2

.

由已知得6＋2k 2＋12

2＋3k 2

＝8，解得k ＝±2.

10．已知抛物线C 的顶点在原点O ，焦点与椭圆x 225＋y 2

9＝1的右焦点重合．

(1)求抛物线C 的方程；

(2)在抛物线C 的对称轴上是否存在定点M ，使过点M 的动直线与抛物线C 相交于P ，Q 两点时，有∠POQ ＝π

2.若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由．

解析 (1)椭圆x 225＋y 2

9＝1的右焦点为(4，0)，

所以抛物线C 的方程为y 2＝16x.

(2)设点M(a ，0)(a ≠0)满足题设，当PQ 的斜率存在时，PQ 的方程为y ＝k(x －a)，

则联立?????y 2＝16x ，

y ＝k （x －a ），

?k 2x 2－2(ak 2＋8)x ＋a 2k 2＝0，

则x 1＋x 2＝2（ak 2＋8）k 2

，x 1x 2＝a 2.

设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则由∠POQ ＝π

2，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.

从而x 1x 2＋k 2(x 1－a)(x 2－a)＝0?a 2－16a ＝0?a ＝16，

若PQ 的方程为x ＝a ，代入抛物线方程得y ＝±4a ， 当∠POQ ＝π

2时，a ＝4a ，即a ＝16，

所以存在满足条件的点M(16，0)．

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