高等电磁理论汇总

高等电磁理论作业

一． 举例说明为什么引入位函数，怎样引入。

问题：有源区非其次矢量波动方程或非其次矢量赫姆赫兹方程中的场源分布形式十分复

杂，直接求比较困难。为了求解有源区场，可仿照经太长引入矢量和标量位函数求解，一下将介绍利用各种位函数求解电磁场的方法，从而得出各种位函数的优缺点及应用条件。

分析：

1.矢量磁位A 和标量电位Φ

在均匀线性各向同性媒质中，如果仅有电型源，由于0=??B

①

引入矢量磁位A 满足A B

??=②

将上式带入法拉第电磁感应定律，得：0)(=??+??t A

E ③

由于标量函数的旋度为零，引入标量位Φ，满足Φ-?=??+t

A E

④

由上式得t

A

E ??-Φ-?= ⑤

由此可见，只要求出辅助位A 和Φ，则可根据以上分析求解出电磁场。

（1）特点：①A 和Φ是不唯一的，均具有任意性，现取另一标量函数U,定义转换关系:

U A A ?+='

⑥ U ?-Φ=Φ'⑦

将上式代入①，④得到：A U A A B

'??=?-'??=?=)(⑧

t

A U A t t U t A E ?'

?-Φ'-?=?-'??-??+Φ'-?=??-Φ-?= )()(⑨

可见，经过变换，场量仍不变，利用规范函数U 的任意性，可以构成无限多个辅

助位A 和Φ，但却仍得到同样的电磁场，也就是说，虽然A 和Φ是不唯一的，均具有任意性，大门由于存在规范不变性，并不影响电磁场的唯一性。同时利用此规范，可灵活的规定A 和Φ之间的关系，以简化辅助位A 和Φ的方程。 矢量磁位A 和标量电位Φ在库仑规范下满足一下关系：

)(222

t J t

A A ?Φ??+Φ'?+-=??-?μεμμε ⑩

②在库仑规范下矢量磁位A 的源始电流密度的无散部分或横向电流：

t J t

A

A μμε-=??-?222（J t 电流密度矢量的无散部分）

（2）优越性：通过在规范条件下，A 和Φ之间的关系：

t A ?Φ?-=??με； J t A A μμε-=??-?222

； t

A E ??-Φ-?=

（3）矢量位分量表示的电磁场

a.条件：对于时谐场；当同时存在电型源和磁型源时，求出矢量电位m

A 忽然矢量磁位

A 后。总电磁场为电型源和磁型源产生的场之和，即： 21()m j E A J A k ωμε=-

????--?? 2

1

()m m j H A A J k

ω

εμ

δ=

??-

????- 对于无源区可得

21m j E A A k ωε=-

????-?? ① 21

m j H A A k

ω

μ

=

??-

???? ② 在球圆坐标系中，如果取.r r A Are rue == 。 0m A =

m

A ，A 带入1，2式中得Hr=0, 11sin H u θθ= ，u H ?θ?=-?，22

22

()()r ru E k ru jk r

ω?=+?，221()

ru E jk r r θθω?=

??，221()

sin ru E jk r r ??ω

?

?=??

如果取

,0m

m r r r A A e e rv A ===代入①，②式。Er=0, 111,sin v v

E E θ?εθ?εθ

??=-

=??，

22

2

2

()

()r ru H j

k ru k r ω?=+?，221()ru H j k r r θω??=??，221()

sin ru H jk r r ???

ω?=??

这是关于人的TE 波，v 满足齐次标量亥姆霍次方程

在直角坐标系取.0.m

z z z A e A A A ==满足：22Z A +k 0z A ?=

如果取.0.m

m m

z z z A e A A A ==满足：22Z A +k 0m m z A ?=

同理可得在圆柱坐标系下，m z z A e A =表示波是关于z 的TM 波，m

z z A e A =表示的波也是关于z 的TE 波。 b.特点和优越性

在无源区，对关于z 的TE 波，在直角坐标系，圆柱坐标系下就可以用一个变量m

A ，Az 来表示，同理可知关于x 的TE ，TM 在两坐标系的情况，y 的TE,TM 在两坐标系的情况。 对于德拜位函数的引用是球坐标系中，也只需要引用一个标量的TE 波引用rv ，r 的TM 波引用ru

通过引用这些标量，就能够简化E 和H 的计算复杂度。在电磁场问题中，有时采用矢量磁位和矢量电位的各一对应分量作为独立标量是十分有利的。

举例：对直角坐标系下取 z z A e A =，0m

A =。我们可以得1z A Hx y

μ?=

?，1z

A Hy x μ?=-?，

0Hz =，22z x A E jk x z ω?=??，22z

y A E jk y z ω?=??，2

222()z z E k A jk z

ω

?=+?。

求复杂的电场问题就可以简化。

对电场和磁场问题直接就与一个z A 有关，z A 通过齐次标量亥姆霍次方程求得。

2.矢量电位m A 及标量磁位mv Φ

（1） 条件：在均匀线性各向同性媒质中，如果仅有磁型源，由0D →

?=引入矢量电位m

A

及标量磁位mv Φ

m D A =-?? ()0m

A H t →

???+=?

由标量函数的梯度的旋度为零，引入标量磁位m

Φ。使得其满足

m A m H t →

?+=-?Φ?

（2） 特点：矢量电位m

A 及标量磁位

m

Φ和矢量电位A 及标量磁位Φ具有对偶性，可

是m A 和m

Φ也具有唯一性。

引入标量函数m

U ,定义变量函数U

'm

m A A U =+?

'm

U

m t

?Φ=Φ-

? ''()m

m

A U A →

Φ=-??-?=-??

''''()()m m

m

m

U A U A H t t t

→

??-??=-??Φ+-=-?Φ-

??? 故：m A 和m

Φ

不具有唯一性。是任意的。但是场量任然是不变的，利用对偶原理：

m m A t με

?Φ?=-? 在0m A ?=的条件下，矢量电位m

A 的源是磁流密度m J →

的无散射部分

222

m m m m

A A J t t εμε→

→??Φ?==-+??? （3） 优越性：在洛伦磁规范条件下：

m m

A t

με→

?Φ?=?? 222

m m m

A A J t μεε→

→??=?=-? 22

2

m

m

m t U

ρμε?Φ?Φ=-?=-? m

A

m H t

→→

?=-?Φ-

? 通过以上4式可以计算H →

的解。

3 赫兹矢量

赫兹矢量特别适合于计算发生极化和磁化时产生的二次场,令

,,,m e m e

m m A A t t εμεμ→

→?∏?∏=Φ=-??∏=Φ=-??∏?? e ∏为电赫兹矢量，m ∏为磁赫兹矢量

22221e

e P

Jdt t εμ

εε

→

→

?∏?∏-=-=-?? 22221m

m

m

M

J dt t εμ

μμ

→

→?∏?∏-=-=-?? 在无源区理想介质中，方程中P →

及时极化强度，M →

就是磁化强度，说明电赫兹矢量e

∏和 磁赫兹矢量m

∏分别是由极化强度和磁化强度产生的场

二.推导等效原理和感应定理公式及应用

等效原理：

（一）．公式推导

等效原理是基于唯一性定理建立的电磁场理论的另一个重要原理，可用下图进行介绍： (1)是原课题，界面S 内有电流，磁流源，这些源在S 面内部和外部产生1

1,E H →→和

2

2,E H →→，

设一个等效课题，在S 面上设有等效电磁流源，满足在S 面外产生与原课题相同的场分布，

而在面内场为0；

(1)

(2)

下面介绍常用的三种等效形式，具体如下图所示

（a ）

(b)

图（a ）为原问题

第一种等效：如图（b ）所示，假设S 内的场为0；S 上有等效电磁源S J →

，S M →

，满足 S J n H →→→=?； S M E n →→→

=?；

由边界连续性条件可知，此等效问题S 外的场切向分量与原问题相同，根据唯一性定理可知此问题与原问题在S 外的场分布式相同的，因为S 内的场为0，因而我们可进一步设S 内填充与S 外相同的均匀介质，这样原问题便等效成S 面上等效电磁源S J →，S M →在均匀介质

中产生场地问题。

第二种等效：如图（c ）所示，假设S 内填充理想导电体，这样S 内场为0;由互易定理可知理想导体面上的电流源不会产生辐射，故我们只需考虑S M →的作用，使其在S 外产生的场与原问题相同，需满足S M E n →→→

=?，由边界连续性条件可知，此等效问题S 外的场切向分量与原问题相同，这样原问题便等效成一理想导电体上等效磁流S M →产生场地问题。

(c) (d)

第三种等效：如图（d ）所示，假设S 内填充理想导磁体，这样S 内场为0;由互易定理可知理想磁体面上的磁流源不会产生辐射，故我们只需考虑S J →

的作用，使其在S 外产生的场与原问题相同，需满足S J n H →→→

=?，由边界连续性条件可知，此等效问题S 外的场切向分量与原问题相同，这样原问题便等效成一理想导磁体上等效磁流S J →产生场地问题。

第一种的解析解：在自由空间中

0H ??=

根据

0A ????=?H A =-???()0E j A ωμ??-=?E j A φωμ-?=- (1)

选择A j ωμφ

??=?2

2A k A J ?

+=，221k J j ??ωε

?+=

??

因为标量亥姆霍兹的标量格林函数为：()4jk r r G r r e r r π'

-''=-

其中r '为源点位置，r 代表场点位置，于是

()()()A r J r G r r dr '''=-? (2)

()A

r j ??ωε

??=

=…… （3） ?也可以通过求解 221k J j ??ωε

?+=

??得到，即

1

()()()r J r G r r d r j ?ωε

'''=-

???…… （4） E 有两种形式，一种是将（2）

，（3）代入（1）中得 22()()1

()[1]E j A j A j A j j A j A j JGd r k

ωμφφφωμωμωμωμ

ωμωμωμε=-???=-

=--+???'=--+

=-+???-? (5)

另一种是将（2），（4）代入（1）中得

2

()1

[()]E j A j A j j J J Gd r k φ

ωμφωμωμ

ωμ?=-?=--+''=-+

???? (6)

从而得到 H J G d r '=-??

?

为了书写简洁，引入记号,L K

21

()[()]L x jk x x Gd r k

''=-+

???? ()K x x Gd r '=-???

则电磁场便可写作

()E zL x =

z =

()H K J = 对于（5），在等效源无需作用的情况下，在某些情况下能化简场得到简洁的表达式，此表达形式一般用于计算远场： 对于（6），对场点作用在格林函数G 中，对源点作用在等效源点，一般用于计算近场。 用相同的方法可以求出等效磁流产生的场：

()E K M =-

1

()H L M z

=

根据线性叠加原理，电磁流共同产生的场便为

()()

1

()()

E Z L J K M H L M K J Z

=-=+ （二）应用举例

介质体的积分方程

如图：S 面为介质体的表面。入射波Ei ，Hi ，可以透过S 面刀达介质体内部。在求介质体外V1去空间一点的电磁场仍可用

1

1

???{}[()]()()]}4i s s s E E E j g n

H n E g n E g ds ?μπ=+=-+-?+???+???? 1???[()()()]4i

s

j g n

E n E g n E g ds E ωμπ

=-?+???+??+? 来求。 即有：V1区：

ds g E n g E n H n H n g j n r E n r E n s i ????+???+?+?-?+?=?])?()?()?()?([?41)(?)(?111111********* ωμπ①

在V2区：入射场就是S 面上源分布的贡献，则V2区空间一点的电磁场为： V2区：

ds g E n g E n H n H n g j n

r E n s ????+???+?+?-?=?])?()?()?()?([?41)(?22222222222222 ωμπ

②

上式中：gi=)2,1(='

-'

-=-i r r r r e g jki i μεωi i k = （i=1，2）

在S 面上场切向分量连续，有：0)(?;0)(?111211=-?=-?H H n E E n ③ 又D 得法向分量连续，即：0)(?2

2111=-?E E n

εε④ 以下是用面积分方程求解S 面上的电磁流密度Js 和Ms 。

由图可知，21?n n

-=；由①②③④式得： ds g g E n g g E n g g H n g j n

r E n s i ?+???-+???-+?-?=?)]()?()()?())(?([?41

)(?22

112121εεωμπ S

)2,1(1μεV

1 i H ,

⑤（①②式相加） 同理，对磁场有：

ds g g H n g g H n g g E n j n

r H n s i ?+???++???++?-?=?)]()?()()?())(?([?41)(?212122

111 εεωμεπ⑥

⑤⑥式左边是V1空间一点（r ）的入射场与n 的叉乘，右边面积分的E,H 是S 面上总电磁场的切向分量，n 是S 面得外法向单位矢量。当场点落在S 面上时，⑤⑥中的面积分φs 改用为主值积分，即：

ds

g g E n g g E n g g H n g j n r E n s i ?+???-+???-+?-?=?)]()?()()?())(?([?41)(?22

112121εεωμπ )(s r ∈

⑦

ds g g H n g g H n g g E n j n

r H n s i ?+???++???++?-?-=?)]()?()()?())(?([?41)(?212122

111 εεωεπ)(s r ∈

⑧

)?(1?H n

j E n ??-=?ωε⑨ )?(1?E n

j H n ??-=?ωε

⑩ 等效电流源，磁流源：H n J S

?=? ⑾ n

E M S ??=

⑿ 将⑨，⑩，⑾，⑿代入⑦,⑧可得介质体适用的积分方程：

ds

g g E n g g E n g g H n g j n r E n s i ?+???-+???-+?-?=?)]()?()()?())(?([?41

)(?22

112121εεωμπ )(s r ∈

ds g g H n g g H n g g E n j n

r H n s i ?+???++???++?-?-=?)]()?()()?())(?([?41)(?212122

111 εεωεπ)(s r ∈

感应原理

感应原理是电磁理论中有关散射场与入射场关系的一个重要的原理。 （一）公式推导：

感应原理提供了一种由已知投射到障碍物上的入射场来求其反射场或散射场的方法。 设i E ，i H 表示无障碍物存在时给定源激发的场，即入射场i E ，i H 表示有障碍物存在时给定的源和障碍物上的感应源激发的总场。如图a 所示，总场与入射场之差：

s i E E E =- ①； s i H H H =- ②

成为障碍物的散射场，散射场是障碍物表面上的感应源辐射的场 对于障碍物之外区域的散射场来说，可将实际的边值问题用在障碍物之反保持散射场。而在障碍物内保持总场这样的边值问题等效。这是为保障两问题在障碍物之外的散射场和障碍物内的总场不变。则在障碍物表面上应有等效源S J ,m

S J 。如图b,利用等效原理，在障碍物表面上的等效源为

()S s n J e H H =?-； m e s

S n J E E =

-?（） 由①②可知：

s i n J H e =?； n m i n J e E =?

两式说明，数值等于入射场切向分量的等效源在障碍内激发总场，在障碍物外激发散射场 当障碍物为理想导体时，得

()0i s n n e E e E E ?=?+=

等效面磁流为：m s i

s n n J E e e E =?=?

因此当障碍物为理想导电体，感应原理中只需考虑等效面磁流。

（二）应用举例

平面波垂直投射到位于x=0平面，边长为a 的矩形导电平板上，此平面波r

jk e

-，应用

感应原理散射场的等效源为E e s J n m

?=，

E e s J n m ?==-=-0;0x E e z

； E e s J n m ?==+=0;0x E e z

n

(a)

S E s J

m S J

(b)

散射场可以看成是由导电板存在时，其左右两侧外表面的面磁流m

J 激发的。为近似计算导电平板左右两侧外表面的面磁流m

J 辐射的场，用无限大的导电平板代替有限大的导电

平板，背向场源一侧的面磁流对后向散射场将无贡献，利用镜像原理，后向散射场可用两倍的面向场源一侧的面磁流计算。

如果导电平板的尺寸远小于波长，感应面磁流源课近似为方向沿z 的磁流元

0222

/2/2

/2

/E a a J d d J l I m

s z y a a a a m s m ===?

?

--

根据对偶原理，由电流元的辐射磁场可得磁流元的辐射电场，也就是导电平板的后向磁场

θλ?sin 20jkr

e r

a jE E --=

三．Stratton-Chu 公式的推导

在电磁场问题中，如果考虑所有的有源区域是均匀的各向同性的线性媒质，时谐电磁场非齐次矢量亥姆霍兹方程

考虑到一般的情况，设区域是由表面S以及外表面S’所围成的，如图所示。下面利用矢量格林定理求解。矢量格林定理为：

式中封闭面的法向指向区域V之外。P和Q为在区域V内具有二阶导数连续，在边界上具有一阶导数连续的任意矢量函数。求解方程（2）时，令P=E，Q=a g，a为任意常矢量，g为自由空间格林函数。为保证Q在区域V内具有二阶导数连续，以取以r’为为球心半径为b的小球面将r’点排除在格林定理考虑体积之外。于是（3）式成为：

利用矢量恒等式式（1），并考虑到在区域V中自由空间格林函数

g满足齐次标量亥姆霍兹方程，上式左侧的被积函数为：

应用矢量恒等式及

上式右侧的第二项

和第三项分别为：

将以上两式代人（4）式，并考虑到，（3）式变为：

V

利用矢量恒等式，上式左边第二项为：

（5）式左侧第三项为：

再对（5）式右侧的被积函数进行变换。第一项为：

第二项为

由于a是任意的常矢量，于是，（5）式成为：

当小球面S的半径趋于零时，可以证明，上式右侧在球面S上的积分趋于–E(r’)。为了习惯起见，交换变量r和r’的位置，上式变为：

对于磁场，类似可以得到：

以上两式称为Stratton-Chu公式。公式表明，观察点的电磁场由两部分积分贡献组成，一部分为观察点所在区域中的源的贡献，观察点所在区域中的源包括电流密度、磁流密度、电荷、磁荷；另一部分为观察点所在区域外的源的贡献，这部分贡献取决于边界电磁场的切向分量

和法向分量。

四．由Stratton-Chu 公式推导电磁场积分方程

对于任意形状物体散射问题的有效解法是建立散射问题的积分方程，然后利用对于积分

方程有效的数值解法，例如矩量法等，求出数值解。在散射问题中，可以取散射体的表面或包围散射体的适当的闭合面作为S 面，而将'

S 面扩展到远处取为半径十分大的球面，并使场源位于'

S 面外。这时由于体积V 内没有体分布的场源，电磁场的积分表达式中的体积分为零，仅有面积分项： ()()()(){}'

'

'

'

'

'

'

n

n

n

s s E r j e H r g e E r g e E r g dS ωμ+??=

-?+???+????? (1)

()()()(){}

'

''''''

n

n n s s

H r j e

E r g e H r g e H r g dS ωε+??=-

?+???+???

?? (2) 式中闭合面的法向单位矢量n e 的正方向指向 V 内。在此散射问题中场源只可能存在于两个区域：一个是'

S 面以外的区域，入射波就是由这个区域中的源产生的；另一个是S 内的区域，这个区域的源产生散射波。在大球面'

S 上，被积函数中的电磁场可表示为入射场与散射场之和，即

,i s

E E E =+ i

s

H H H =+ （3）

下面证明散射场在大球面'S 上的积分贡献为零。当面积分在大球面'S 上进行时，'

r 是端点在很大（趋近于无限大）球面'

S 上的矢径，而r 是端点在有限远处的矢径，因此格林函数近似为

'

'''

'lim ,4r jkr jke r r r e g e g jke g r

π-?→∞=?=- （4） 这样式（1）中在大球面'

S 上后两项可化为

()()()()'

'

s

s

s

s

s

S S

n E g n E g jk n E n n E n g jkgE

jkZn H j gn H ωμ?????+??=??+?==?=???显然有

()()()(){}''

'

'

'

'

'

'

0s

s

s

r s

E r j n H r g n E r g n E r g dS ωμ→∞

??=

-?+???+????

→???? 由此可见，散射场对'S 上的积分没有贡献，对 '

S 上的积分有贡献的只是入射场，于是式（1）可化为

()()()()(){}'

'

'

'

'

'

i n

n

n

s

E r E r j e H r g e E r g e E r g dS ωμ??=+

-?+???+?????（5）

同理 ()()()()(){}

''''''

i

n n n

s

H r H

r j e E r g e H r g e H r g dS ωε??=-?+???+???

??

由式（3），就可以得到散射场的积分表达式

()()()(){}'

'

'

'

'

'

n

n

n

s

E r j e H r g e E r g e E r g dS ωμ??=

-?+???+????? （6）

()()()(){}

'''''

'n n n s

H r j e E r g e H r g e H r g dS ωε??=-?+???+???

?? （7） 可以看出，要求出散射场，必须求出s 面上的电磁场分布。求解S 面上的电磁场分布可

以通过建立在S 面上的电磁场分布的积分方程来解决。 为了建立S 面上电磁场分布的积分方程，须将式（4）、（5）中的场点r 移到S 面上，但这式S 面上的面积分会发生奇异性。因此需要用小球面0S 包围r 点，并将它一起移到S 面上，如图：

由于小球面0S 使S 面上与0S 面相邻接的部分发生弹簧变形，计算S

面上的积分时须将

其分为两部分：与0S 相邻的部分1S 和其余部分2S 。显然对小球面0S 的面积分有：

()()(){}

()'0

'''''

'lim n n n r r

s j e H r g e E r g e E r g dS E r ωμ→??-?+???+?=-???? 如果S 面的切平面在S 面上是处处连续变化的，在'

r r →的极限下，1S 面可以看做是以r 点为中心的小平面，但由于0S 与1S 面的法向相反。所以有

()()(){}

()'1

'''''

'lim n n n r r

s j e H r g e E r g e E r g dS E r ωμ→??-?+???+?=????/2 将无穷小面积1S 中的奇异性分离出去后，S 面得其余部分的积分为主值积分，式（4）就可以写成

()()2i E r E r =+()(){}

''''

'2n n n s

j e Hg e E r g e E r g dS ωμ??-?+???+???

?? （8） 相应的磁场积分式为

()()()()(){}'

'

'

'

'

'

22i n

n

n

s

H r H r j e E r g e H r g e H r g dS ωε??=-?+???+?????

(9)

（

??

表示主值积分）

以上两式分别为电场积分方程（EFIE ）和磁场积分方程（MFIE ）。

参考文献：

[1] 谢处方 吴先良 电磁散射理论与计算.合肥： 安徽大学出版社，2002.10

[2] Roger F.Harrington Field Computation by Moment Methods. The Macmillan Company First Printing, 1968

[3] 傅君眉.冯恩信.高等电磁理论.西安：西安交通大学出版社，2000.12