利用三边判定三角形相似【公开课教案】

第3课时利用三边判定三角形相似

1.掌握相似三角形的判定定理3；（重点）

2.能熟练运用相似三角形的判定定理

3.（难点）

一、情景导入

如图，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？

可否用类似于判定三角形全等的SSS 方法，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？

二、合作探究

探究点一：三边成比例的两个三角形相似

已知△ABC的三边长分别为1，2，5，△DEF的三边长分别为10，2，2，试判断△ABC与△DEF是否相似.

解析：因为已知两个三角形的三边长，所以可以考虑根据三边之间的比例关系来判定两个三角形是否相似.

解：因为1

＝

2＝

，

所以△ABC与△DEF相似.

方法总结：已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.

探究点二：

相似三角形的判定定理3的应用

如图所示，在△ABC中，点D、E 分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15.根据以上条件，你认为∠B＝∠AED吗？并说明理由.

解析：要说明∠B＝∠AED，只需要得到△ABC∽△AED，根据三边成比例的两个三角形相似可证得

△ABC∽△AED.

解：∠B＝∠AED.

理由如下：由题意，得

AB＝AD＋BD＝3＋15＝18，

AC＝AE＋CE＝6＋3＝9，

AD＝

3＝3，

AE＝

6＝3，

DE＝

5＝3，所以

AD＝

AE＝

DE，故△ABC∽△AED，所以∠B＝∠AED.

方法总结：证明两角相等，可通过证明对应的两个三角形相似而得到，给出的已知条件以边为主时，首先考虑使用“

三边成比例”的判定条件.

如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形（阴影部分）

与△ABC相似的是哪一个图形？

解析：图中的三角形均为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边是否对应成比例来判断乙图中的

三角形与△ABC 是否相似.

解：由甲图可知AC ＝12＋12＝2，BC ＝2，AB ＝12＋33＝10.

同理，图①中，三角形的三边长分别为1，5，22；

同理，图②中，三角形的三边长分别为1，2，5；

同理，图③中，三角形的三边长分别为2，5，3；

同理，图④中，三角形的三边长分别为2，5，13.

∵

21＝22＝105

＝2， ∴图②中的三角形与△ABC 相似. 方法总结：（1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判断三边是否成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似.

三、板书设计

相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.

从学生已学的知识入手，通过设置问题，引导学生进行计算、推理和归纳，提高分析问题和解决问题的能力.感受两个三角形相似的判定定理3与全等三角形判定定理（SSS ）的区别与联系，体会事物间一般到特殊、特殊到一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生与他人交流、合作的意识和品质.

27.2.1相似三角形的判定(3)-教学设计

教学时间课题 27.2.1相似三角形的判定（3）课型新授课教学目标知识和能力掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．过程和方法经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．情感态度价值观教学重点三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似” 教学难点三角形相似的判定方法3的运用．教学准备教师多媒体课件学生 “五个一” 课堂教学程序设计设计意图一、课堂引入 1．复习提问：（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD ?AB ，那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由．（3）如（2）题图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果∠ACD= ∠B ，那么△ACD 与△ABC 相似吗？——引出课题．（4）教材P46的探究4 ．二、例题讲解例1（教材P46例2）．分析：要证PA ?PB=PC ?PD ，需要证PB PC PD PA ，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似．证明：略例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长．分析：要求的是线段DF 的长，观察图形，我们发现AB 、 AD 、AE 和DF 这四条线段分别在△ABE 和△AFD 中，因此只

《相似三角形的判定1 2 3》教案

27．2 相似三角形的判定（一）主备：司娟审核：九年级数学备课组一、教学目标（一）通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法。（二）利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力。（三）通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷。二、教学重点难点 [教学重点] 相似三角形判定定理的预备定理的探索 [教学难点] 相似三角形判定定理的预备定理的有关证明三、教学过程（一）复习 1、相似图形指的是什么？ 2、什么叫做相似三角形？（二）引入如图1，△ABC 与△A ’B ’C ’相似. 图1 记作“△ABC ∽△A ’B ’C ’”，读作“△ABC 相似于△A ’B ’C ’”． [注意]：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角．对于△ABC ∽△A ’B ’C ’,根据相似形的定义,应有 ∠A ＝∠A ’， ∠B ＝∠B ’ , ∠C ＝∠C ’, ''B A AB ＝''C B BC ＝' 'A C CA . [问题]：将△ABC 与△A ’B ’C ’相似比记为k 1,△A ’B ’C ’与△ABC 相似比记为k 2,那么k 1 与k 2有什么关系? k 1＝ k 2能成立吗? （三）［探究1］ 1、如图，任意画两条直线l 1、l 2,再画三条与l 1、l 2 相交的平行线l 3、l 4 、l 5.分别度量l 3、l 4 、l 5 在l 1上截得的两条线段AB,BC 和在l 2上截得的两条线段DE,EF 的长度，相等吗？平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的 EF DE BC AB 与

【教案】利用三边关系判定两三角形相似

22.2.4 利用三边关系判定两三角形相似教学目标【知识与技能】理解并掌握相似三角形的判定方法3. 【过程与方法】培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力,感受两个三角形全等的判定方法SSS与三角形相似定理的区别与联系,体验事物间特殊与一般的关系. 【情感、态度与价值观】让学生经历从试验探究到归纳证明的过程,发展学生合理的推理能力. 重点难点【重点】两个三角形相似的判定方法3及其应用. 【难点】探究两个三角形相似的判定方法3的过程. 教学过程一、问题引入 1.全等三角形与相似三角形有怎样的关系? (全等三角形是特殊的相似三角形,相似比k=1) 2.如果要判定△ABC与△A'B'C'相似,是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系? (不需要) 二、新课教授由三角形全等的SSS判定方法,我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么能否判定这两个三角形相似呢? 探究: 任意画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍,度量这两个三角形的对应角,它们相等吗?这两个三角形相似吗?与同学交流一下,看看是否有同样的结论. 师生活动: 教师提出问题,引导学生在稿纸上画图. 学生动手画图、测量,独立研究后再小组讨论. 三角形相似的判定方法3:三边成比例的两个三角形相似. 三、例题讲解

数学【例】如图,方格网的小方格是边长为1的正方形,△ABC 与△A'B'C'的顶点都在格点上,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,为什么? 解:由于△ABC 与△A'B'C'的顶点均在格点上,根据勾股定理,得 AB=2,AC=2,BC=132+=10; A'B'=122+=5,A'C'=132+=10,B'C'=5. ∵51052==''B A AB ,510102==''C A AC ,510=''C B BC , ∴△ABC ∽△A'B'C'. 四、巩固练习 1.根据下列条件,判断△ABC 和△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm, A'B'=20cm,B'C'=16cm,A'C'=32cm. 【答案】相似,三组对应边的比相等. 2.图中的两个三角形是否相似? 【答案】不相似. 3.要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为3、4、5,另一个三角形的一边长为2,它的另外两边长为多少?你有几个答案? 【答案】1.5,2.5或1.2,1.6. 五、课堂小结师:通过本节课的学习,同学们有什么体会与收获?可以与大家分享一下吗?

相似三角形的判定教案

《相似三角形的判定》教案课标要求 1．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 2．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似； 3．了解相似三角形判定定理的证明．教学目标知识与技能： 1．了解相似三角形及相似比的概念； 2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论； 3．掌握相似三角形判定方法：平行线法、三边法、两边夹一角法、两角法； 4．进一步熟悉运用相似三角形的判定方法解决相关问题．过程与方法：类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法．情感、态度与价值观：发展学生的探究能力，渗透类比思想，体会特殊与一般的关系．教学重点掌握相似三角形的概念，能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似．教学难点探究三角形相似的条件，并运用相似三角形的判定定理解决问题．教学流程一、知识迁移类比相似多边形的相关知识回答下面的问题： 1．对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 2．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．师介绍：“相似”用符号“∽”来表示，读作“相似于”，2题可以用符号表示为 ∵△ABC∽△DEF，

∴A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF EF ==．如何判断两个三角形相似呢？反过来 ∵A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF k EF === ∴△ABC∽△DEF．师介绍：△ABC与△DEF的相似比为k，△DEF与△ABC的相似比为1 k ．追问：当k＝1，这两个三角形有怎样的关系？引出课题：如何判断两个三角形相似呢？有没有更简单的方法？回顾学习三角形全等时，我们知道，除了可以验证所有的角和边分别相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？二、探究归纳（一）平行线分线段成比例探究1：如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，l4，l5．分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB ，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度， AB BC 与 DE EF 相等吗？任意平移l5． AB BC 与 DE EF 还相等吗？当l3//l4//l5时，有AB DE BC EF =， BC EF AB DE =， AB DE AC DF =， BC EF AC DF =等．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．迁移：将基本事实应用到三角形中，当DE//BC时，有

相似三角形的判定定理3

第3课时相似三角形的判定定理3 1.掌握相似三角形的判定定理3. 2.了解两个直角三角形相似的判定方法. 3.深化对相似三角形的三个判定方法的理解，并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题. 阅读教材P35-36，自学“例2”与“思考”，理解相似三角形判定定理3及直角三角形相似的判定方法. 自学反馈学生独立完成后集体订正 ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应,那么这两个三角形相似. ②如果两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形. ③要判定两个直角三角形相似，最简单的方法就是再找对应相等，就可以根据相似三角形的判定3，判定这两个直角三角形相似. ④如图所示，已知∠ADE=∠B,则△AED∽.理由是. ⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？要根据已知条件选择适当的方法. 活动1 小组讨论例1 如图，在△ABC中，∠C=60°,BE⊥AC于E,AD⊥BC于D. 求证:△CDE∽△CAB. 证明:∵∠C+∠CAD=90°,∠C+∠CBE=90°, ∴∠CAD=∠CBE. 又∵∠C=∠C,∴△CAD∽△CBE.

∴CA CB = CD CE . 又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CAB. 在寻求不到另一个角相等的情况下，寻求夹相等的角的两边的比相等，是解本类题型的有效方法. 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1.如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点. ①求证:△BCF∽△DCE； ②若BC=5，CF=3，∠BFC=90°，求DG∶GC的值. 求线段的比值一般的方法是寻找两线段所在的三角形相似. 2.如图所示，在⊙O中，AB=AC，则△ABD∽，若AC=12，AE=8，则AD= . 3.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM= 时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似. 要考虑到线段的对应分两种情况. 活动1 小组讨论例2 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a,BC=b,当BD与a,b之间满足怎样的关系时,这两个三角形相似?

《相似三角形的判定——边边边》

相似三角形判定练习题 1．如图1，（1）若OA OB =_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________．（2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD，________与________是对应边．（3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD． 2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______． (1) (2) (3) 3．如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=?∠BAO，?则点C?的坐标为________，?AC=_______．4．已知，如图4，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形． 5．下列各组图形一定相似的是（）． A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 6．如图5，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（）． A．45° B．60° C．75° D．90° (4) (5) (6) 7．如图6，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________．8．如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由． 9．如图，D，E是AB边上的三等分点，F，G是AC边上的三等分点，?写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比．

10．如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在坐标轴上找到点C（1，0）?和点D，使△AOB 与△DOC相似，求出D点的坐标，并说明理由．

《相似三角形的判定(3)》

27.2.1 相似三角形的判定（3）一、教学目标 1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法． 3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点 1．重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似” 2．难点：三角形相似的判定方法3的运用． 3．难点的突破方法（1）在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法．（2）公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的，是判别两个三角形相似的重要依据．（3）如果两个三角形是直角三角形，则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似．三、例题的意图本节课安排了两个例题，例1是教材P35的例2，是一个圆中证相似的题目，这个题目比较简单，可以让学生来分析、让学生说出思维的方法、让学生自己写出证明过程．并让学生掌握遇到等积式，应先将其化为比例式的方法．例2是一个补充的题目，选择这个题目是希望学生通过这个题的学习，掌握利用三角形相似的知识来求线段长的方法，为下节课的学习打基础．四、课堂引入 1．复习提问：（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD?AB，那么△ACD与△ABC 相似吗？说说你的理由．

（3）如（2）题图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果∠ACD=∠B ，那么△ACD 与△ABC 相似吗？——引出课题．五、例题讲解例1（教材P35例2）．证明：略（见教材P35例2）．例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长．分析：要求的是线段DF 的长，观察图形，我们发现AB 、AD 、AE 和DF 这四条线段分别在△ABE 和△AFD 中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF 的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．解：略（DF= 3 10）．六、课堂练习 1．教材P36的练习1、2． 2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ． 3．下列说法是否正确，并说明理由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．七、课后练习 1．已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：FD EF BF AF ．

初三数学-相似三角形的判定知识讲解

初三数学-相似三角形的判定

【本讲教育信息】一. 教学内容：相似三角形的判定二. 重点、难点怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。三. 知识回顾（一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。（二）判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 ③有两个角对应相等的两个三角形相似。 ④三条边对应成比例的两个三角形相似。 ⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。【典型例题】例1. 如图，△ABC中，∠A= 60，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：△ADE∽△ABC。例2. 如图，过△ABC的顶点B和C，分别作AB、AC的垂线BD、CD，使交于点D，过C作CE⊥AD交AB于E，交AD于F 求证：△ACE∽△ABC 例3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB 例4. 如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，且AE：AB=1：4，F为边AD上一点，问：当F在AD上的什么位置时，△AEF∽△CDF。

【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 判断下列各命题的真假（真命题打“T ”，否则打“F ”）（1）若一条直线截三角形的两边所得的三角形与原三角形相似，则这条直线平行于三角形的第三边（）（2）有一个锐角相等的两个等腰三角形必定相似（）（3）三组边分别平行的两个三角形必定相似（）（4）有一个锐角相等的两个直角三角形必定相似（）（5）一个顶角为?40的等腰三角形和一个底角为?70的等腰三角形相似（）（6）四个角对应相等的两个梯形必定相似（）（7）所有的菱形均相似（）（8）所有的正方形均相似（） 2. △ABC 中，∠ACB=?90，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则与△ABC 相似而不全等的三角形的个数是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知△ABC ∽△'''C B A ，相似比为4，△'''C B A ∽△''''''C B A ，相似比为3，试问：△ ''''''C B A 与△ABC 是否相似？若它们相似，则相似比为多少？ 4. 如图，若∠EBC=∠ABD ，∠ECB=∠DAB 求证：△ABC ∽△DBE 。 5. 过△ABC 三条角平分线的交点I ，作AI 的垂线与AB 、AC 分别交于D 、E ，求证：△BID ∽△IEC 。 6. 如图，平行四边形ABCD 中，AD=10，DC=6，E 为AB 中点，F 有BC 上，则BF 长为多少时，使得△DCF ∽△DAE ？

人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定(2)》教案设计

课相似三角形判定（2）教学目标(1)初步掌握两个三角形相似的四个判定方法． (2)能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． (3)在探索三角形相似的判定方法过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．教学重点掌握判定方法，会运用判定方法判定两个三角形相似。教学难点（1）三角形相似的条件归纳、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．教学步骤、内容一.创设情境活动1 教师活动:复习提问： (1) 两个三角形全等有哪些判定方法？SSS SAS ASA AAS (2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？定义、（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。 (3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系？相似比k=1时，两个相似三角形全等活动2 提出探讨问题：1、如图，如果要判定△ABC与△ A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？ 2、可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？ 3、(教材P42页探究2) 任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。教师活动:带领学生画图探究并取k=1.5；学生活动:学生细心观察思考,小组讨论后回答问题教师活动:（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）教师带领学生探求证明方法．（已知、求证、证明） B'C' A' A B C

相似三角形的判定(3)

桐城市吕亭初中教案吕亭初中: 鲍俊

2012年10月25日

（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．课堂教学预设师生互动【活动一】一、情景导入让我们以热烈的掌声欢迎各位老师的光临指导下面将是你们展示自己，积极思考，实现自我价值的时间﹗大家有没有信心﹗ 二、回顾：说出三角形相似的方法。师：复习提问：我们学习过哪些判定三角形相似的方法？生：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。（2）两角对应相等的两个三角形相似（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似【活动二】新课讲授三、思想：数学上有一种思想叫类比思想：在三角形全等判定方法中，除了 ASA AAS SAS 外，还有什么判定方法？还有SSS ，那么三角形相似呢？是不是有相似的结论呢？是否有△ABC ∽△A ’B ’C ’？师：1、提出问题：首先，由三角形全等的SSS 判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？ 2、带领学生画图探究； 3、【归纳】三角形相似的判定方法：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．师：1、提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？ 2、教师带领学生探求证明方法．生：已知:如图在△ABC 和△A ’B ’ C ’中 A ’B ’:AB= A ’C ’ :AC=B ’C ’:BC. 求证:△ABC ∽△A ’B ’C ’ B' C'A' A B C A'B'B'C'A'C'AB BC AC ==

三角形相似的判定教案(共3课时) 人教版

《三角形相似的判定》教案重点、难点分析相似三角形的判定及应用是本节的重点也是难点．它是本章的主要内容之一，是在学完相似三角形的基础上，进一步研究相似三角形的本质，以完成对相似三角形的定义、判定全面研究．相似三角形的判定还是研究相似三角形性质的基础，是今后研究圆中线段关系的工具．它的难度较大，是因为前面所学的知识主要用来证明两条线段相等，两个角相等，两条直线平行、垂直等．借助于图形的直观可以有助于找到全等三角形．但是到了相似形，主要是研究线段之间的比例关系，借助于图形进行观察比较困难，主要是借助于逻辑的体系进行分析、探求，难度较大．释疑解难（1）全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特殊情况，判定两个三角形全等的3个定理和判定两个三角形相似的3个定理之间有内在的联系，不同之处仅在于前者是后者相似比为1的情况．（2）相似三角形的判定定理的选择：①已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2；②已知有二边对应成比例时，可选择判定定理

2与判定定理3；③判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形的方法来判定，如果不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定．（3）相似三角形的判定定理的作用：①可以用来判定两个三角形相似； ②间接证明角相等、线段域比例；③间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件．（4）三角形相似的基本图形：①平行型：如图1，“A”型即公共角对的边平行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似； ②相交线型：如图2，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交．图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相似。

相似三角形的判定练习题(1)

相似三角形判定练习题（1） ◆基础练习 1．（1）已知：在△ABC中，∠A=40°，∠B=75°，图（1）中各三角形中与 △ABC相似的是________．（1）（2）（2）如图2，锐角△ABC的边AB、AC上的高CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形：________________________________（用相似符号连接）．2．（1）具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（）． A.有一个角是40°的两个等腰三角形; B.两个等腰直角三角形; C.有一个角为100°的两个等腰三角形; D.两个等边三角形（2）如图3，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD 于点F，图中的相似三角形有（）． A.1对 B.2对 C.3对 D.4对（3）（4）（3）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD交CB的延长线于点E．?下列结论正确的是（）． A.△AED∽△ACB B.△AEB∽△ACD C.△BAE∽△ACE D.△AEC∽△DAC 3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线．△ABC与 △BDC相似吗？请说明理由． 4．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC． ◆能力提高 5．如图，已知正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的边长比为1：2，?请你利用这两个正方形，通过割补的方法，得到两个相似三角形，且相似比是1：3．要求：（1）借助原图拼图；（2）简要说明方法；

（3）指明相似的两个三角形． 6．如图，已知△ABC 中，∠ACB=900，AC=BC ，点E ，F 在AB 上，∠ECF=45°． ⑴求证:△ACF ∽△BEC ；⑵设△ABC 的面积为S ，求证:AF·BE=2S． 7．如图，O 是△ABC 的内角平分线的交点，过O 作DE ⊥AO 交AB ，AC 于D ，E ．求证:BD·CE=OD·OE．聚焦中考 8.如图，在ABC △中，C ∠9060B D =∠=°，°，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，则BC 的长为（） A ．2 B ．． 45° A E F B C O E D C B A

1.2《怎样判定三角形相似》教案

《怎样判定三角形相似》教案教学目标知识与技能： 1．了解相似三角形及相似比的概念； 2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论； 3．掌握相似三角形判定方法：平行线法、三边法、两边夹一角法、两角法； 4．进一步熟悉运用相似三角形的判定方法解决相关问题．过程与方法：类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法．情感、态度与价值观：发展学生的探究能力，渗透类比思想，体会特殊与一般的关系．教学重点掌握相似三角形的概念，能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似．教学难点探究三角形相似的条件，并运用相似三角形的判定定理解决问题．教学流程一、知识迁移类比相似多边形的相关知识回答下面的问题： 1．对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 2．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．师介绍：“相似”用符号“∽”来表示，读作“相似于”，2题可以用符号表示为 ∵△ABC∽△DEF， ∴A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF EF ==．如何判断两个三角形相似呢？

反过来 ∵A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F ；==AB AC BC DE DF EF ∴△ABC ∽△DEF ．老师问：如何判断两个三角形相似呢？有没有更简单的方法？回顾学习三角形全等时，我们知道，除了可以验证所有的角和边分别相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS ，SAS ，ASA ，AAS ）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？二、探究归纳（一）平行线分线段成比例探究：如图，任意画两条直线l 1，l 2，再画三条与l 1，l 2都相交的平行线l 3，l 4，l 5．分别度量l 3，l 4，l 5在l 1上截得的两条线段AB ，BC 和在l 2上截得的两条线段DE ，EF 的长度，AB BC 与DE EF 相等吗？任意平移l 5．AB BC 与DE EF 还相等吗？当l 3//l 4//l 5时，有AB DE BC EF =，BC EF AB DE =，AB DE AC DF =，BC EF AC DF =等．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．迁移：将基本事实应用到三角形中，当DE //BC 时，有 AD AE BD CE =，BD CE AD AE =，AD AE AB AC =，BD CE AB AC =等．结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比

27.2.3 利用三边判定三角形相似定理同步练习

27.2.3 利用三边判定三角形相似定理基础训练知识点1 用三边对应成比例判定两三角形相似 1.若△ABC和△A'B'C'满足下列条件,其中使△ABC与△A'B'C'相似的是( ) A.AB=2 cm,BC=2 cm,AC=3 cm;A'B'=6 cm,B'C'=4 cm,A'C'=6 cm B.AB=2 cm,BC=3 cm,AC=4 cm;A'B'=3 cm,B'C'=6 cm,A'C'= cm C.AB=10 cm,BC=AC=8 cm;A'B'= cm,B'C'=A'C'= cm D.AB=1 cm,BC= cm,AC=3 cm;A'B'= cm,B'C'=2 cm,A'C'= cm 2.如图,有四个4×4的正方形网格(每个网格中的小正方形边长都是1),每个网格中均有一个“格点三角形”(三角形顶点在小正方形的顶点上),是相似三角形的是( ) A.①③ B.①② C.②③ D.②④ 3.下列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与图中△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )

4.如图所示,在正方形网格上有6个三角形:①△ABC;②△BCD;③△BDE;④△BFG;⑤△FGH;⑥△EFK.②~⑥中与①相似的是( ) A.②③④ B.③④⑤ C.④⑤⑥ D.②③⑥ 知识点2 三边对应成比例定理的应用 5.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm,△DEF的一边长为4 cm,若这两个三角形相似,则△DEF的另两边长可能分别是( ) A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm 6.如图所示,若A,B,C,P,Q,甲,乙,丙,丁都是方格纸中的格点,为使△PQR∽△ABC,则点R应是甲,乙,丙,丁四点中的( )

初中数学《相似三角形》教案

相似三角形一、知识概述 (一)相似三角形 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．温馨提示： ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比．温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．

4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．温馨提示： ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似．判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（2）；

【教案】用三边比例关系判定三角形相似(3)

27.2.4 用三边比例关系判定三角形相似一、教学目标知识与技能掌握两个三角形相似的判定条件（三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．过程与方法会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．情感态度与价值观经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展同学们的探究、交流能力．二、重、难点重点：掌握相似三角形的判定方法，能运用进行证明难点：熟练应用相似三角形的判定定理进行证明三、课堂引入 1．复习引入（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△与△A ′B ′C ′中，如果k A C CA C B BC B A AB =''=''=''．我们就说△与△A ′B ′C ′相似，记作△∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比．反之如果△∽△A ′B ′C ′，则有A C CA C B BC B A AB ''=''=''．（3）问题：如果1，这两个三角形有怎样的关系？ 2．教材中的思考，并引导同学们探索与证明． 3．【归纳】三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．三、例题讲解例1（补充）如图△∽△，∥，∠∠．（1）写出对应边的比例式；（2）若10126．求、的长．

例2（补充）在△中，∥，，1，4，5，求的长．四、课堂练习 1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（）A．两个直角三角形B．两个钝角三角形 C．两个等腰三角形D．两个等边三角形 2．（选择）如图，∥， ∥，则图中相似三角形一共有（） A．1对B．2对C．3对D．4对 3．如图，∥，（1）如果2，3，求的值；（2）如果8，12，15，7，求和的长． 4．如图，在□中，∥，2:3，4，求的长．

《相似三角形的判定》练习题

《相似三角形的判定》练习题相似三角形的判定 1、定义：对应角相等，对应边成比例的三角形相似 2、引理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 3、判定定理1：两角对应相等，两三角形相似 4、判定定理2：两对应边成比例且夹角相等，则两三角形相似 5、判定定理3：三边对应成比例，则两三角形相似 6、直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似一、选择题１、下列各组图形必相似的是（） A 、任意两个等腰三角形 B 、两条边之比为2：3的两个直角三角形 C 、两条边成比例的两个直角三角形 D 、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形２、如图，CD BC OB OA AOD ====∠,900，那么下列结论成立的是（） A 、OA B ?∽OCA ? B 、OAB ?∽ODA ? C 、BAC ?∽BDA ? D 、以上结论都不对３、点P 是ABC ?中AB 边上一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截ABC ?，使得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（） A 、2条 B 、3条 C 、4条 D 、5条４、在直角三角形中，两直角边分别为3、4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比是（） A 、1225 B 、125 C 、45 D 、3 5 ５、ABC ?中，D 是AB 上的一点，在AC 上取一点E ，使得以A 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ?相似，则这样的点的个数最多是（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、无数６、如图，正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，FC=BC 4 1，下面得出的六个结论：（1）ABF ?∽AEF ?；（2）ABF ?∽ECF ?；（3）ABF ?∽ADE ?；（4）AEF ?∽ECF ；（5）AEF ?∽ADE ?；（6）ECF ?∽ADE ?，其中正确的个数是（） A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、5个

沪科版九年级数学上册相似三角形的判定教案

，当它们全等时，才有（双

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△例2、如图，E、F分别是△ABC的边

2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．中，P是BC上的点，且BP＝3 、如图,AB⊥BD,CD 当P点在BD上由，则图中相似三角形的对数有对。

特殊情况：第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似。三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定 SAS SSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例二、重点难点疑点突破 1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法： (1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边； (2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．（3）对应字母要写在对应的位置上，可直接得出对应边，对应角。 2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：（1）平行型：（A 型，X 型）（2）交错型：（3）旋转型：（4）母子三角形： (1)“平行线型”相似三角形，基本图形见前图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路； (2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路； A B C D E A B C D D A B C A B C D E D A B C E

27.2.1相似三角形的判定(第3课时)教学设计

课题：27.2.1相似三角形的判定（第3课时）一、教学目标知识技能 1.会利用判定定理证明简单图形中的两个直角三角形相似，进而得出边角关系. 2.培养推理论证能力，发展空间观念. 过程与方法 1．初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。 2．经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。 3．在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。 4．能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。情感态度价值观 1．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。 2．感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。 3．在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。 4．敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。二、教学重点和难点 1.重点：利用判定定理证明简单图形中的两个直角三角形相似. 2.难点：找相似三角形的对应边. 三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知 1.判断正误：对的画“√”，错的画“×”. (1)两个全等三角形一定相似；（） (2)两个相似三角形一定全等；（） (3)两个等腰三角形一定相似；（） (4)顶角相等的两个等腰三角形一定相似；（） (5)两个直角三角形一定相似；（） (6)有一个锐角对应相等的两个直角三角形一定相似；（）

(7)两个等腰直角三角形一定相似；（） (8)两个等边三角形一定相似 2.填空： (1)如图，BE ∥CD ，则△ ∽△ AB AE BE ( )()()==； (2)如图，AB ∥DE ，则△ ∽△ AB BC CA ( )()()==； (3)如图，∠B=∠ADE ，则△ ∽△ AB BC CA ()()()==. （二）创设情境，导入新课师：们再来做几个题目，先看一道例题. （三）尝试指导，讲授新课（师出示例题）例已知：如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高. 求证：(1)△ACD ∽△CBD ； (2)CD 2=AD ·BD. （先让生尝试，然后师分析证明思路，最后师生共同完成证明过程，证明过程如下）证明：在Rt △ABC 中，∠A=90°-∠B ，在Rt △CBD 中，∠BCD=90°-∠B ， ∴∠A=∠BCD. 而∠ADC=∠CDB=90°， ∴△ACD ∽△CBD. ∴CD AD BD CD =. ∴CD 2=AD ·BD. （列CD AD BD CD =时，要让学生自己找CD ，AD 的对应边，并强调找对应边的方法）（四）试探练习，回授调节 3.已知：如图，在Rt △ABC 中，CD ⊥AB 于D. 求证：(1)△CBD ∽△ABC ； (2)BC 2=AB ·BD. D D C A B C D C A D B