浅谈极限的求解方法

共17页第1页

浅谈函数极限求解方法

摘要：极限是数学分析的基础，数学分析的基本概念的表述，都可以用极限来描述.如函数在某点处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分的定义,三重积分的定义,无穷级数的定义都是用极限来定义的.极限是研究数学分析的基本工具.极限是贯穿数学分析的一条主线.学好极限要从以下两个方面着手: 1)是考察所给函数是否存在极限;2）若函数存在极限,则考虑如何计算此极限.本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下,如何去求极限进行综述. 对于简单的极限的计算，利用定义求值或利用极限的四则运算法则求值都是可行的,但是对于一个比较复杂的极限的计算,例如的值时则不能直接采用一般的定义或者定理，即使采用洛必达法则也是比较繁琐的,然而用泰勒展示则计算简单多了,这就说明为一般地解决极限求值问题时,就必须利用有效有针对性的计算方法，对各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手续．传统的极限的计算方法不下十几种,但具体到计算不同特征的极限时,究竟采用哪种方法,很多人总感到无从下手．只有将这些方法进行归纳总结,从而才可以针对不同特征的式子选择适当的计算方法,进而简化计算

Abstract：Limit is the basis of mathematical analysis , the basic concepts of mathematical analysis of expression , can be used to describe the limit as a function definition derivative at some point , the definition of the definite integral , the definition of partial derivative , the definition of double integrals , triple integral definition , infinite series of definitions are used to define the limits of the limit is the basic tool to study the limits of mathematical analysis is a main theme throughout the mathematical analysis to learn the limits from the following two aspects is to investigate the function if there is a limit .If there is a limit function , then consider how to calculate this limit this article is the second question that under the conditions of the existence of the limit , how to find the limits are reviewed for a simple calculation of the limit of the use . define the limits of the evaluation or the use of four evaluation algorithms are feasible, but for a more complicated limit calculations, such asFind in coslimx when exxx values are not directly using the general definition or theorem, even with the Hospital's Rule is more complicated , however, Taylor shows the calculation is much simpler , which is generally described when the limit is evaluated to solve the problem , we must use effective targeted method of calculation for each specific issues but also good at finding and using its features to simplify procedures. The traditional method of calculating the limit of no less than a dozen, but when calculating the limits specific to different characteristics , whether using either method, a lot of people always feel unable to start . These methods will only be summarized, so that we can choose the appropriate method of calculation formulas for different characteristics , and thus simplify the calculation

关键词：极限；极限的定义；极限的性质；罗必达法则；泰勒公式；单调有限法则；积分中值定理；拉格朗日中值定理

Keywords ：Limit; ultimate limits of nature; Luo's Rule; Taylor formula; monotonous limited law; integral mean value theorem; Lagrange mean value theorem

共17页第2页

与一切科学方法一样，极限法也是社会实践的产物。

极限法的思想可以追溯到古代．刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始极限观念的应用．古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于简接证法──归谬法完成有关证明．

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法证明步骤．如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用的概念的方向”．

极限法的进一步发展与微积分的建立紧密联系．16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到很大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景．

极限法的完善与微积分的严格化密切联系．

在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿．这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还不明确．这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”，相互转化的辩证关系．

到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义．其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量．”它接近于极限的正确定义，然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖．事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的．

1 预备知识

极限的求解,是我们学习教学上存在的比较普遍问题,往往学生学习时感到枯燥无味,或视为畏途,于是学生提出这样问题:“我们究竟要知道极限有哪些求解方法，而教师的回答往往是这样:“今后你们学完大学再做总结就会了解这一点,因为它跟高等数学有密切联系.”这种回答不能令人满对于极限的求解不了解或了解的不全面是我们极限思想方法是很多人在学习极限后要面临的问题，下面我就对我总结出的一些极限的求解方法做出说明以及详细的证明透解。

2 极限的十几种求解方法

数学极限是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要解题方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思想方法。有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而是它的近似值，而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串越来越准确的近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，把那个量的准确值确定下来。这就是运用了极限的思想方法。

共17页 第3页

2.1几种关于分式的求极限问题的方法

说明：关于分式的极限的求解方法我一共总结出以下几点

2.1.1．约去零因子求极限

说明 先要明白什么是零因子：在求极限时遇到的、极限值为0、而本身不为零的因子就是零因子。

例如当x →1时，x-1就是一个零因子。

所谓约零因子，则是在一个分式当中实施“约去”。

例1：求极限1

1

lim 41--→x x x

说明：表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。

解：6)1)(1(lim 1

)

1)(1)(1(lim

2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.1.2．分子分母同除求极限

方法说明当x 趋于无穷（可正可负）时，看分子分母x 的最高次的次数 ①分子次数小于分母次数，极限为0

②分子次数等于分母次数，极限为最高次系数的比值。如第一个例子。 ③分子次数大于分母次数，极限不存在 2.

0型 当x 趋于0时看x 的最低次数

①分子次数高于分母次数，极限为0

②分子次数等于分母次数，极限为分子分母最低次系数的比值（如第二个例子） ③分子次数低于分母次数，极限值不存在。

例2：求极限1

3lim 32

3+-∞→x x x x

说明

∞

∞

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 解3131lim 13lim 3

11323=+-=+-∞→∞→x x

x x x x x 注 (1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

共17页 第4页

(2) ????

???=<∞>=++++++----∞→n

m b a n m n m b x b x b a x a x a n n

m m m m n n n n x 0lim 01101

1 2.1.3．分子(母)有理化求极限

说明 对于一个分式来说，若分子是一个无理式组成的代数式，采取一些方法将其化为有理式的过程称为分子有理化分子有理化可以通过统一分子，实现一些在标准形式下不易进行的大小比较，有时也可以大大简化一些乘积运算。 例3：求极限)13(lim 22

+-

++∞

→x x x

说明分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 解 1

3)

13)(13(lim )13(lim 2

2

22222

2

+++++++-+=+-

++∞

→+∞

→x x x x x x x x x x

01

32

lim

2

2=+++=+∞

→x x x

例4：求极限3

sin 1tan 1lim

x

x

x x +-+→ 解 x

x x x

x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim

3030

+-+-=+-+→→ 41

sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11lim

30300

=-=-+++=→→→x x x x x x x

x x x x 注 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键。

2.2用定义求解极限

(1)利用极限的定义求极限。

定义: 设函数)(x f 在［b ，＋∞）上有定义，若存在常数A ，对任给0>ε，存在0>N ,当N x >时，都有ε∈-A x f )(，则称数A 为函数)(x f 当+∞→x 时的极限，记作

A x f n =∞

→)(lim ，或)()(+∞→→x A x f .

共17页 第5页

1 A x f n =∞

→)(lim 的定义: 数列}{n a 本身就是一个定义在自然数集上的函数，即)(n f a n =，

若数列}{n a 的极限是A ，即A n f n =+∞

→)(lim .用N -ε语言叙述就是，任给0>ε，存在N ，

当N x >时，都有

ε<-A n f )(｜.

这里的n 是大于N 的一切自然数，而+∞→x 时)(x f 的极限与+∞→n 时)(x f 的极限不同之处x 取的是实数，n 取的是自然数.因此我们可以仿照数列极限的定义，给出+∞→x 时，函数)(x f 极限的定义.

例 ：设()??

?

??≥-<≤<-+=.2,22,21,,

1,222x x x x x x x x f 用定义法求解()x f 在3,2,1=x 时的极限。

解：（1）1=x 时()x f 的极限

1?x t s δεδε时有：

.4412131312222

22

εδ=<-≤???

? ??-++≤-+=--+x x x x x x x 故(

)

122lim 2

1

=-+-→x x x

所以对1>x 当δεδε+<<=?>?11..,,0x t s 时有： .1εδ=<-x 故()1lim 1

=+→x x

故()1lim 1

=→x f x

注，用极限证明定义时，只需证明存在N(或δ),故求解的关键在于不等式的建立。在求解的

过程中往往采取放大，缩小等技巧，但不能把含有n 的因子移到不等式的另一边在放大，而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大，有时还需要加一些限制条件，限制条件必须和所求的N （或δ）一致，最后结合在一起考虑。

2.3 利用极限的运算法则求极限

共17页 第6页

定理1 如果B x g A x f o

o

x x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么

B A x g x f o

x x +=+→)]()([lim

B A x g x f o

x x ?=?→)]()([lim

)0()()(lim

≠=→B B

A

x g x f o

x x 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0。. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，

)(lim )]([lim x f C x Cf o

o

x x x x →→=

n

x x n x x x f x f o

o

)](lim [)]([lim →→=

这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.

注1 对于和差积商形式的函数求极限，可以采用极限运算法则，使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简，变换的方法通常有分式的通分，约分，分解因式，分子分母有理化，三角函数的恒等变化，拆项消去法，比较最高次幂法等。

注2 运用极限法则时必须注意只有各项极限都存在（对商还有分母极限不为零）时才能适用。

2.4利用单调有限法则求极限

定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限。 方法 利用“单调有界函数必有极限”处理

（1）由)(1-=n n x f x 先判断数列}{n x 单调，即判断1--n n x x 的正、负或判断1

-n n

x x 比1大还是小。

（2）假设}{n x 的极限存在，并估算极限a ，计算a x n -判断数列}{n x 有界。 （3）求数列}{n x 的极限a 。 例1 求极限61=

x ，662+=x ，6663++=x ，…….16-+=n n x x

解：因为2

1212116666-------+++-=

+-+=

-n n n n n n n n x x x x x x x x

由于1--n n x x 和21---n n x x 同号，依次类推可知1--n n x x 和12x x -同号，故

共17页 第7页

01>--n n x x ，即1->n n x x ，数列单调增加

又因为 3

63363111++-=

-+=

----n n n n x x x x

依次类推知3-n x 和31-x 同号，即3n x ，故数列}{n x 单调有界必有极限 设a x n n =∞

→lim ，则由16-+=

n n x x 知a a +=6得3=a ，即3lim =∞

→n n x

注意：这里为什么用n x 和3比较大小判断数列有界呢？因为我们首先假设数列有极限时，算出它的极限为3，然后用n x 和3比较。

例2 证明数列x n =的n 重根式的极限存在

分析 显然x n+1 >x n 故数列{x n }单调增加，下面我们证{x n }有界。由于数列由递推关系 x n+1 =x +3 给出，解题时通常先估计出它的上下界，再利用数学归纳法证明。下届显然 是x 1，取上界时考虑单调递增数列的极限是他的最小上届，可先假设极限存在且设x n 的极限再由 x n+1 =x +3 易得x n+12=x n +3，对其两边求极限，就能解答处要证明的问提解得 A<3，显然所有大于的实数都是{x n }的上界，为便于计算，取{x n }的上界为3，然后利用数学归纳法证明。

注 （1）显然数列单调递增；

利用单调准则证明极限存在，主要针对递推数列，必须验证数列两个方面的性质：单调性和有界性。解题的难点在于判断单调性，一般通过数学归纳法，减法，除法比较前后项来证 明上述要证明的定理问题。

2.5 利用夹逼准则求极限问题 定理 例 :求∑=∞

→n

k n k n f 1

),(lim

解：如果0),(lim =∞

→k n f n ，0),(lim =∞

→k n g n ，且1)

,()

,(lim

=∞

→k n g k n f n ，则

∑∑=∞

→=∞

→=n

k n n k n k n g k n f 1

1

),(lim ),(lim

注 1 夹逼法则多适用于所考虑的函数比较容易放的或缩小，而且，放大和缩小的函数是

共17页 第8页

容易求得相同的极限，基本思想是把要求解得极限转化为求放大或缩小的函数的数列的极限。这样就能证出上述要证明的问题。

注2 利用夹逼法则求极限含有两个问题需要注意，不能乱用。

2.6利用两个重要极限求极限解

1 “∞

1”型 （公式e x e x

x o x x

x =+=+→∞→1

)1(lim ,)11(lim 的利用）

分析：①判断是否是“∞

1”型

②转换成x

x

)11(+的形式 ③则x x g x

x f lim )]

([lim )

(=[x x

)11(+]a x x e e x

==)(lim )(??

2 1sin lim

0=→x

x

x 型

例 求极限x

x x x ??

? ??-++∞→11lim 。

说明：第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X

1

+

，最后凑指数部分。 解：22

21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x

x x x =????

????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→

2.7 利用无穷小的性质和等价无穷小代换求极限 性质1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量； 性质2 有限个无穷小量的乘积为无穷小量； 性质3 常数和无穷小量的乘积为无穷小量。 说明：

(1)常见等价无穷小有：

当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x

-,

()abx ax x x b

~11,2

1~

cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．； (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．

。 利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．

考研数学每年必考有关求极限的问题，利用等价无穷小代换求极限一般可以简化计算，

共17页 第9页

但我们一定要明确，在求极限时，什么时候能用等价无穷小代换，什么时候不能用等价无穷小代换，这也是部分学员，尤其基础比较薄弱的学员开始复习的时候比较容易犯错的地方。 下面通过给出几个例子来进行讲述，注意错误的解法，谨防自己犯同样的错误。

例1：求极限0ln(1)

lim

1cos x x x x →+=-

解 002

ln(1)lim lim 211cos 2

x x x x x x

x x →→+?==-.

例2：求极限x

x

x x 30tan sin lim -→

解：x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 22

2102030-=-==-=-=→→→x

x x x x x x x x x 注1 对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用无穷小替换。

注2 常用等价代换公式求得要证明的上述问题。

2.8利用罗必达法则求极限问题

说明 下面主要讲解两种类型不定式的极限求解 1

型不定式方式求极限 定理 洛必达法则1：若函数f (x)与g(x)满足下列条件： 1）在a 的某去心邻域()a U O

可导，且g '(x)≠0； （2）lim x a

→ f (x)=0与lim x a

→g (x)=0；

（3）()

()

''

lim x a f x l g x →=, 则()

()

lim x a f x g x →=()()''

lim x a f x l g x →= 洛必达法则2：若函数f (x)与g(x)满足下列条件： （1）?A>0，在(),A -∞-与(),A +∞可导，且g '(x)≠0； （2）lim x a

→ f (x)=0与lim x a

→g (x)=0；

（3）()()''

lim x a f x l g x →= 则()

()

lim x a f x g x →=()()''

lim x a f x l g x →=

共17页 第10页

2

∞

∞

型不定式方式求极限 说明 这种形式的求解极限的方法很常用并且当不能化出这种格式是可以转换称这种格式然后再厉这种形式的求解方法求解。

定理 洛必达法则3：若函数f (x)与g(x)满足下列条件： (1) 在a 的某去心邻域()a U O

可导，且g '(x)≠0；

（1）lim x a

→ f (x)= ∞与lim x a

→g (x)= ∞；

（3）()

()

''

lim x a f x l g x →=, 则()

()

lim x a f x g x →=()()''

lim x a f x l g x →=()()''lim x a f x l g x →= 例1：设()f x 在0x =点二阶可导，且1cos 1)

(lim

0=-→x

x f x ，求)0(),0(/f f 和''(0)f 的值

分析：因为()f x 在0x =点二阶可导，故)(),(/

x f x f 连续，由于1cos 1)(lim

0=-→x

x f x 且0)cos 1(lim 0

=-→x x ，故0)(lim 0

=→x f x ，即0)0(=f

用罗比达法则1sin )

(lim

/0=→x

x f x ，所以0)0(/=f 1)0(sin 0)0()(lim sin )(lim ////0/0==?--=→→f x

x x f x f x x f x x

求极限220)sin 1ln(2cos ln lim x

x x x +-→ 说明

∞∞或0

型的极限,可通过罗必塔法则来求。 解：220)

sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→ 3sin 112cos 222sin lim

20-=??

?

??+--=→x x x x x 注 罗必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的，在同一运算过程中可连

续使用直到求出所求的极限，但是对于其他的不定式的极限无法判断他们的极限状态，则罗必达法则不用够适用于那些极限求解的问题，但是只需要经过一些简单的变换，他们一般可

共17页 第11页

以化为

00型或∞

∞

型的极限来求出要求的极限问题。

2.9 利用导数的定义求极限

定义 假设在f 的某一点x 0的某个邻域内有定义，若极限存在，则称函数f 的某一点x 0处可导，并称该极限为函数f 的某一点x 0 的导数，记作

如何巧用导数的定义式求极限：导数是微分学的基本概念之一,它反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度.由于一般函数的导数问题利用导数基本公式及其运算法则等进行计算,要比利用导数定义计算更加方便,所以,导数定义式在解题中的作用常常被人们所忽视.而在教学中,由于时间限制老师也无法对运用导数定义式求极限这一问题讲行深入展开.波里亚在怎样解题一书中指出!回顾定义是一项重要的智力活动,面对一个数学问题,如果我们只知道概念的定义,别无其他,我们就不得不回到定义.?本文对导数的定义式进行剖析,结合例题对如何利用导数的定义式求极限加以说明,以引起人们对导数定义的进一步理解和重视 例 ：设)(x f 连续，A a x b x f a

x =--→)(lim ，求a

x b

x f a x --→sin )(sin lim

解：因为()lim

x a

f x b

A x a

→-=-且0)(lim =-→a x a x ，所以b x f a x =→)(lim

而)(x f 连续，故)()(lim a f x f a

x =→即b a f =)(

)(cos 2)

()(sin 2)()(cos

2lim

sin )(sin lim

a f A a

x a f x f a f x f a

x b

x f a x a x =--?+=--→→

9

2.10 利用拉格朗日中值定理求极限（或柯西中值定理求极限） 定理 若函数)(x f 在区间[]b a ,满足以下条件：

共17页 第12页

)(x f 在()b a ,上可导，[]b a ,上连续是拉格朗日中值定理成立的充分条件。

说明 拉格朗日中值定理在在极限中运用非常广泛，是应用数学研究函数极限的

求解方式的有力工具，拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，有着广泛的应用，如求极限等，它在很多题型中都起到了化繁为简的作用。下面通过举例说明拉格朗日中值定理在求极限时的一些方法。

例1 求极限0lim sin x sinx x e e x x

→--.[3]

解：函数t

f e =在[],sin x x 或[]sin ,x x 上运用拉格朗日中值定理得

sin x sinx

e e e x x

ξ-=-（ξ介于x 与sin x 之间）

当0x →时，sin 0x →，由介值定理可知0ξ→ 则

原式=00

lim

lim 1sin x sinx

e e e x x ξξξ→→-==- 解题思路：由这sin x sinx e e x x --一形式联想到拉格朗日中值定理的一般形式()()

f b f a b a

--，从而

构造函数f ，在运用拉格朗日中值定理求极限。

例2 设''()f x 连续，''()0f a ≠，有公式

()()'()f a x f a xf a x θ+=++ （0<θ<1） (1) 试求0x →时θ的极限

解：对函数'()f x 在[,]a a x θ+或[,]a x a θ+上运用拉格朗日中值定理得

1'()'()''()f a x f a xf a x θθθθ+=++ （0<θ1<1）

将此式代入式（1）得

2

()()'()''()f a x f a xf a x f a x θθ+=+++

将()f a x +按泰勒公式展开得

共17页 第13页

2

21()()'()''()2

f a x f a xf a x f a x θ+=++

+ 由上述两式，得

121

''()''()2

f a x f a x θθθθ+=

+ 所以

20

01

''()''()1

lim lim

2''()2''()2x x f a x f a f a x f a θθθθ→→+===+

2.11 利用积分中值定理求极限

定理 若函数在闭区间上连续,，则在积分区间上至少存在一个点，使下式成立

其中，a 、b 、满足：

例1．（05数2—12）已知函数)(x f 在[]1,0上连续，在()1,0内可导，且0)0(=f ，1)1(=f ，证明：（I ）存在()1,0∈ξ，使()ξξ-=1f ；（II ）存在两个不同的点()1,0,∈μη，使得

()()1=''μηf f .

证明：（I ）设x x f x F +-=1)()(，因为)(x F 在[]1,0连续，且1)0(-=F ，1)1(=F ，即

0)1()0(

(II)根据（I ）的结果，在[]ξ,0上用Lagrange 中值定理：()()()

ξ

ξ

ξ

ξη-=

-=

'10f f f .

[]1,ξ上，用Lagrange 中值定理可知，存在()1,ξμ∈，使得：()()()ξ

ξ

ξ

ξμ-=

--='111f f f

于是，()()111=--=

''ξ

ξ

ξξμηf f .

注 积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。因此，对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理， 去掉积分号，或者化简被积函数。

共17页 第14页

2.12 数列极限转化成函数极限求解

定理 （数列极限的四则运算法则） 若{}n a 和{}n b 为收敛数列，则

{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-?也都是收敛数列，且有

()()lim lim lim ,

lim lim lim .

n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b →∞→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

±=±?=?

若再假设0n b ≠及lim 0n n b →∞

≠，则n n a b ??

?

???

也是收敛数列，且有 lim lim /lim n n n n n n n a a b b →∞→∞

→∞

??

= ???. 定理（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限. 定理（

∞

Stoltz 公式） 设有数列{}n x ，{}n y ，其中{}n x 严格增，且lim n n x →+∞

=+∞（注意：

不必lim n n y →+∞

=+∞）.如果

1

1

lim n n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞），

则 11

lim

lim .n n n n n n n n y y y a x x x -→+∞

→+∞--==-

定理1.2.3'（

Stoltz 公式） 设{}n x 严格减，且lim 0n n x →+∞=，lim 0n n y →+∞=.若

1

1

lim n n n n n y y a x x -→+∞

--=-（实数，,+∞-∞）， 则

11

lim

lim n n n n n n n n y y y a x x x -→+∞

→+∞--==-.

定理1.2.4（几何算术平均收敛公式） 设lim n n a a →∞

=，则 （1）12 (i)

n

n a a a a n

→∞+++=，

（2）若()01,2,...n a n >=

，则n a =.

共17页 第15页

例15：极限2

1sin

lim n n n n ??

? ??∞

→ 说明：这是∞

1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。

解：考虑辅助极限6

1

1sin 1

10

11sin 222

lim lim 1sin lim -

???

? ??-→?

?? ?

?

-+∞

→+∞→===?

?? ??

+e e

e

x x y y y y x x x x x x

所以，6

12

1sin lim -

∞→=?

?? ?

?

e n n n n

例

求n ，其中0a >.

解：1n =.

事实上，当1a =时，结论显然成立.现设1a >.记11n

a α=-，则0α>. 由

()

11111n

n

a n n a αα??=+≥+=+- ???

,

得

1

1

1n

a a n

--≤

. 任给0ε>，由（5）式可见，当1

a n N ε

->

=时，就有11n

a ε-<.即11n

a ε-<.

所以

1n =.

对于01a <<的情况，因

1

1a

>

，由上述结论知1n =，故

1

11

n n ===. 综合得0a >

时，1n =.

2.13 n 项和数列极限问题

n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;

共17页 第16页

(2)利用两边夹法则求极限. 例16：极限???

?

??++++++∞→2222221

2111lim n n n n n 说明：用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把)(x f 看成［0,1］定积分。

?=???

?

????? ??++???

??+??? ??∞→10)(211lim

dx x f n n f n f n f n n 解：原式＝??????

?

?

????

??++

+??? ??++?

?? ??+∞→22211

2111111lim n n n n n n 121

2ln

2111

10

2+--=+=?

dx x

说明：(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成???

?

????? ??++???

??+???

??∞→n n f n f n f n n 211lim

的形式，因而用两边夹法则求解；

(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的

3 结论

数学极限思想因为本身能够化繁为简，具有较强的应用性，深受人们的喜爱。极限思想可以用在我们高中数学的每一个角落。在解题过程中，它能化无限为有限，节省大量运算，

提高解题速度和准确性。灵活巧妙、正确的运用数学极限思想能提高人们解题的正确率和策略意识，从而加深知识的理解和掌握。 能否熟练地应用就要看我们是否有去用它的意识，而且能否掌握其中的技巧，如果我们具备了就会使复杂问题简化，解题更加方便、快捷，收到事半功倍的效果。根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是关键，而极限思 的灵活运用就成为减少运算量的一条重要途径。当然数学极限思想并不是任何情况都可以用，在解决具体问题时，需要具体问题具体分析。

致谢

历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和 障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的论文指导老师赵守江老师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进。另外，在校图书

共17页第17页

馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最中心的感谢！

感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。

感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多你问素材，还在论文的撰写和排版灯过程中提供热情的帮助。

由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！

参考文献

[01]林海明. 对主成分分析法运用中的十个问题的解析[J]. 统计与决策, 2007, 8:

16-18.

[02]北京大学数学力学系. 高等代数[M]. 北京: 人民教育出版社, 1978.

[03]方开泰. 实用多元统计分析[M]. 上海: 华东师范大学出版社, 1989.

[04] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[05] 数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，1995.

[06].丁家太.微积分解题方法[M].北京师范大学出版社，1981.

[07] 王阳，刘云，催春红.浅谈泰勒公式的应用[J].和田师范专科学校学报，2008（1）：

197-201.

[08] 明清河：数学分析的思想和方法[M].山东大学出版社.2004.

[09] 李克典，马云岺.数学分析选讲[M].厦门大学出版社.1999.9.

[10] 刘吉存.利用极限思想速解数学选择题.中学数学.

[11] 赵春祥.极限思想在解析几何中的应用.数学通讯.

[12] 陈传璋,金福临编.数学分析（上下册）第二版[M]，高等教育出版社,2006: 123-146.

[13] 郝梅.求函数极限的方法，福建教育学校学报[N],2006 (10): 16-21.

[14] 刘德洋，刘绍武.数学分析方法选讲[M]，黑龙江教育出版社，1994:36-67.

[15] 钱吉林主编.数学分析题解精髓 [M]，崇文书局，2003:68-102.

[16] 陈守信.数学分析选讲[M]，北京机械工业出版社，2009:24-67.