斜率与直线方程

数理方程版课后习题答案

第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。

证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。 充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是

因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是， 其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念

1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为： 法平面的方程为 2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。 解：，当时，，， 于是切线的方程为： 法平面的方程为 3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。 证： 令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

直线的倾斜角与斜率、直线的方程 [考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系． 【知识通关】 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式 (1)直线l 的倾斜角为α≠90°，则斜率k ＝tan_α. (2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1 . 3．直线方程的五种形式 1．直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系： 2.当α∈??????0，π2时，α越大，l 的斜率越大；当α∈? ???? π2，π时，α越大，l 的斜率越 大．

【基础自测】 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (3)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( ) (4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是( ) A .3 B ．－ 3 C . 33 D ．－ 33 D 3．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为( ) A .3x －3y ＋6＋3＝0 B .3x －3y －6＋3＝0 C .3x ＋3y ＋6＋3＝0 D .3x ＋3y －6＋3＝0 A 4．如果A ·C ＜0且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 C 5．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 【题型突破】 直线的倾斜角与斜率的应用 【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0? ???? α∈??????π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A .???? ?? π6，π3 B .???? ?? π4，π3

(推荐)高中数学直线与方程知识点总结

直线与方程 1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，

如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=- 2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y += 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211 y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 3420 2220x y x y +-=??++=? 得 x=-2，y=2

人教B版数学高一必修2例题与探究2直线方程的概念与直线的斜率直线方程的几种

典题精讲 例1 已知三点A(1，-1)、B(3，3)、C(4，5)，求证:A 、B 、C 三点共线. 思路分析：如果三点在一条直线上，那么任取两点得到的斜率应该是相同的(都是这条直线的斜率). 证法一:利用斜率公式. ∵k AB =1313-+=2，k AC =1 415-+=2,∴k AB =k AC . ∴A 、B 、C 三点共线. 证法二:利用直线方程. 设AB:y=kx+b ，则???+=+=-,33,1b k b k ∴???-==. 3,2b k ∴直线AB 的方程为y=2x-3. 当x=4时，y=2×4-3=5， 故点C(4，5)在AB 上.∴A 、B 、C 三点共线. 绿色通道：判定三个点在一条直线上，通常有下面几种方法:一是任取两点得到的直线斜率是相同的；二是过任两点直线的方程是相同的；三是根据两点求出直线方程，判定第三点在这条直线上.显然第一种方法最简单. 变式训练1若三点A(2，2)、B(a,0)、C(0,4)共线，则a 的值等于_______________. 思路解析:因为k AB =220--a ，k BC =a --004，又因为三点A 、B 、C 共线，所以k AB =k BC ，即220--a =a --004，解得a=4. 答案:4 例2 设过定点A 的直线l 1的倾斜角为α.现将直线l 1绕点A 按逆时针方向旋转45°得到直线l 2,设直线l 2的倾斜角为β,请用α表示β的值. 思路解析： 先画出示意图,根据图形求解. 答案：画出如图2-2-(1,2)-1的示意图,从图中可得 图2-2-(1,2)-1 当0°≤α＜135°时,β=α+45°； 当135°≤α＜180°时,β=α+45°-180°=α-135°. 黑色陷阱：解答本题时,一些同学容易误解为β=α+45°.事实上,由于直线的倾斜角的范围为0°≤α＜180°,故当135°≤α＜180°时,180°≤α+45°＜225°.故作为直线的倾斜角应减去180°.所以解决该类问题决不能想当然地加或减去某个角. 变式训练2 如图2-2-(1,2)-2，直线l 1的倾斜角α1=30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率.

人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率习题(3)

直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 基础卷 一．选择题： 1．下列命题中，正确的命题是 （A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α （B ）直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α （C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率 （D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π 2．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为 （A ）3 （B ）－3 （C ）33 （D ）－3 3 3．直线y =x cos α+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是 （A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π]∪[4 3π,π) 4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为 （A ）4π （B ）54π （C ）4π或54 π （D ）－4π 5．已知直线l 的倾斜角为α，若cos α=－5 4，则直线l 的斜率为

求直线斜率的几种基本方法

求直线的斜率的几种基本方法 重庆市 唐小荣 一、利用定义)2(tan π αα≠=k 例1（教材）如图1，直线1l 的倾斜角1α =30°，直线2l ⊥1l ，求1l ，2l 的斜率． 解：1l 的斜率3 330tan 01= =k ，的倾斜角00021203090=+=α，2l ∴的斜率3120tan 02-==k 2α 二、利用两点式 如果直线过))(,(),(212211x x y x B y x A ≠、，那么可用公式1 212x x y y k --= 求直线的斜率 例2 求经过两点)1,2(A 和)2,(m B 的直线l 的斜率 解：当2=m 时，221==x x ，所以直线l 垂直于x 轴，故其斜率不存在。 当2≠m 时，则直线l 斜率1212x x y y k --==212--m =2 1-m 。 例3 如图2，已知直线l 过点P )2,1(-，且与以A )3,2(--，B )0,3(为端点的线段相交。求直线l 的斜率的取值范围。 解：直线PA 的斜率是,5)2(1)3(21=-----=k 直线PB 的斜率2 1)1(3202-=---=k ，当直线l 由PA 变化与Y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由锐角)5(tan =αα增至900，斜率 的变化范围是),5[+∞，当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由900增至)21(tan -=ββ。斜率的变化范围是]21,(--∞， 所以直线l 的斜率的变化范围是),5[]2 1 ,(+∞?--∞。

三、利用直线的斜截式方程 如果直线l 的方程是以一般式0=++C By Ax )0(≠B 给出，那么l 的方程化为斜截式，即B C x B A y --=，那么就可得到直线l 的斜率为B A k -=. 例4 求直线l 1：0132=+-y x 与直线l 2：04=-+y x 的夹角。 解：Θ直线l 1的斜率=1k 3 2，直线l 2的斜率12-=k ，由夹角公式得5|32)1(13 21|tan =?-+- -=θ，故直线l 1与l 2的夹角为5arctan =θ。 四、利用导数求切线的斜率 例5 求过曲线12 13-+=x x y 上点（2，5）的切线的斜率. 解：由函数导数的几何意义可知：切线的斜率712322=+='==x x y k 。

直线与直线方程复习

? 知识网络 ? 课堂学习 题型1：直线的倾斜角与斜率 倾斜角 ()??90,0 ?90 ()??180,90 斜率 取值 ()+∞,0 不存在 ()0,∞- 增减性 / 递增 / 递增 1、直线的倾斜角 2、两直线的平行与垂直 3、直线的五种方程 4、两直线的交点坐标 5、距离公式 ① 直线的倾斜角：?<≤?1800α ② 直线的斜率：()?≠=90tan ααk ③ 已知两点求斜率：()121 21 2x x x x y y k ≠--= ① 平行：21//l l ，则21k k =或21k k 、不存在 ② 垂直：21l l ⊥，则121-=?k k 或01=k 且2k 不存在 ① 联立两直线方程，求交点坐标 ① 点斜式：()00x x k y y -=- ② 斜截式：b kx y += ③ 两点式： 1 21 121x x x x y y y y --=-- ④ 截距式： 1=+b y a x ⑤ 一般式：0=++C By Ax （B A 、不能同时为零） ①两点间距离：()()21221221y y x x P P -+-= ②点()000y x P 、到直线0:=++C By Ax l 距离2 2 00B A C By Ax d +++= 直线方程

考点1：直线的倾斜角 例1、过点),2(a M -和)4,(a N 的直线的斜率等于1, 则a 的值为( ) A 、1 B 、4 C 、1或3 D 、1或4 变式1：已知点)3,1(A 、)33,1(-B ，则直线AB 的倾斜角是（ ） A 、?60 B 、?30 C 、?120 D 、?150 变式2：已知两点()2,3A ，()1,4-B ，求过点()1,0-C 的直线l 与线段AB 有公共点求直线l 的斜率k 的取值范围 考点2：直线的斜率及应用 斜率公式 1 21 2x x y y k --= 与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中的前后次序相同； 斜率变化分两段， 2 π 是分界线，遇到斜率要特别谨慎 例1：已知R ∈θ，则直线013sin =+-y x θ的倾斜角的取值范围是（ ） A 、[]?30,0 B 、[)??180,150 C 、[][)???180,15030,0 D 、[]??150,30 例2、三点共线——若三点()2,2A 、()0,a B 、()b C ,0，()0≠ab 共线，则 b a 1 1+的值等于 变式2：若()3,2-A 、()2,3-B 、?? ? ??m C ,21三点在同一直线上，则m 的值为（ ） A 、2- B 、2 C 、2 1- D 、 2 1 考点3：两条直线的平行和垂直 对于斜率都存在且不重合的两条直线 21l l 、，2121//k k l l =?，12121-=??⊥k k l l 。若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少要特别注意 例、已知点()2,2M ，()2,5-N ，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标。 (1)OPN MOP ∠=∠(O 是坐标原点)；(2) MPN ∠是直角 题型2：直线方程 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜 ()00x x k y y -=- ()11y x 、为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线

数学物理方法第二次作业答案

第七章数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知 x0端是自由的，则该端的边界条件为__。2．研究细杆的热传导，若细杆的x0 端保持绝热，则该端的边界条件为。3．弹性杆原长为 l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置 b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在 x 轴上，则其边界条件为u x 0 0 , u x l 0。 4．一根长为 l 的均匀弦，两端 x0 和 x l 固定，弦中张力为T0。在 x h 点，以横向力F0拉 弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f(0)=0,f(l)=0;_____。 5、下列方程是波动方程的是D。 A u tt a2u xx f ； B u t a2u xx f ； C u t a2u xx； D u tt a2u x。 6、泛定方程u tt a2u xx0要构成定解问题，则应有的初始条件个数为B。 A 1 个； B 2 个； C 3 个； D 4 个。 7．“一根长为 l 两端固定的弦，用手把它的中u h u 点朝横向拨开距离 h ，（如图〈 1〉所示）然后放0x l / 2 手任其振动。”该物理问题的初始条件为 ( D)。图〈 1〉 2h x, x[0, l ] u t h A ．u t l2 l B．0 o u t0 2h(l x), x, l ]t 0 l [ 2 2h l x, x [ 0,] u t l2 C．u t0h D．02h l (l x), x [,l ] l2 u t t00 8．“线密度为，长为 l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点x0(0 x0l ) 受谐变力 F0 sin t 的作用而振动。”则该定解问题为(B)。 u tt a2 u xx F0 sin t(x x ) ,(0x l ) A ． u

求直线斜率的几种基本方法

For personal use only in study and research; not for commercial use 求直线的斜率的几种基本方法 重庆市 唐小荣 一、利用定义)2 (tan παα≠=k 例1（教材）如图1，直线1l 的倾斜角1α =30°，直线2l ⊥1l ，求1l ，2l 的斜率． 解：1l 的斜率3 330tan 01==k ，2l 的倾斜角00021203090=+=α，2l ∴的斜率3120tan 02-==k 2α 二、利用两点式 如果直线过))(,(),(212211x x y x B y x A ≠、，那么可用公式1 212x x y y k --=求直线的斜率 例2 求经过两点)1,2(A 和)2,(m B 的直线l 的斜率 解：当2=m 时，221==x x ，所以直线l 垂直于x 轴，故其斜率不存在。 当2≠m 时，则直线l 斜率1212x x y y k --==212--m =2 1-m 。 例3 如图2，已知直线l 过点P )2,1(-，且与以A )3,2(--，B )0,3(为端点的线段相交。求直线l 的斜率的取值范围。 解：直线PA 的斜率是,5) 2(1)3(21=-----=k 直线PB 的斜率2 1)1(3202-=---=k ，当直线l 由PA 变化与

Y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由锐角)5(tan =αα增至900，斜率的变化范围是 ),5[+∞，当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由900增至)2 1(tan -=ββ。斜率的变化范围是]2 1,(--∞， 所以直线l 的斜率的变化范围是),5[]2 1,(+∞?--∞。 三、利用直线的斜截式方程 如果直线l 的方程是以一般式0=++C By Ax )0(≠B 给出，那么l 的方程化为斜截式，即B C x B A y --=，那么就可得到直线l 的斜率为B A k -=. 例4 求直线l 1：0132=+-y x 与直线l 2：04=-+y x 的夹角。 解： 直线l 1的斜率=1k 32，直线l 2的斜率12-=k ，由夹角公式得5|32)1(13 21|tan =?-+- -=θ，故直线l 1与l 2的夹角为5arctan =θ。 四、利用导数求切线的斜率 例5 求过曲线12 13-+= x x y 上点（2，5）的切线的斜率. 解：由函数导数的几何意义可知：切线的斜率712322=+='==x x y k 。

直线与方程测试题含答案

第三章 直线与方程测试题 一．选择题1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为（ ） A ．y ＝3x －6 B. y ＝ 33x ＋4 C . y ＝33x －4 D. y ＝3 3x ＋2 2. 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是（ ）。 A. －6 B. －7 C. －8 D. －9 3. 如果直线 x ＋by ＋9=0 经过直线 5x －6y －17=0与直线 4x ＋3y ＋2=0 的交点，那么b 等于（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 直线 (2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m =0的倾斜角是450, 则m 的值为（ ）。 A.2 B. 3 C. －3 D. －2 5.两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是( ) A.平行 B .相交 C.重合 D.与m 有关 *6．到直线2x +y +1=0的距离为55 的点的集合是( ) A.直线2x+y －2=0 B.直线2x+y=0 C.直线2x+y=0或直线2x+y －2=0 D .直线2x+y=0或直线2x+2y+2=0 7直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是（ ） Ａ．[]2,2- Ｂ．(][)+∞?-∞-,22, Ｃ．[)(]2,00,2?- Ｄ．()+∞∞-,

*8．若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P（1，－1），则直线l的斜率是（） A．－2 3 B． 2 3 C．－ 3 2 D． 3 2 9．两平行线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为213 13 ，则 c＋2 a的 值是( ) A .±1 B. 1 C. -1 D . 2 10．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（） A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 **11．点P到点A′（1，0）和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x的距 离等于 2 2 ，这样的点P共有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 *12．若y＝a｜x｜的图象与直线y＝x＋a（a＞0） 有两个不同交点，则a的取值范围是（） A．0＜a＜1 B．a＞1 C．a＞0且a≠1 D．a＝1 二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13. 经过点(－2,－3) , 在x轴、y轴上截距相等的直线方程是；或。

2022高三统考数学文北师大版一轮：第八章第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程 授课提示：对应学生用书第150页 [基础梳理] 1．直线的倾斜角 (1)定义： (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：[0，π)． 2． 条件公式 直线的倾斜角θ，且θ≠90°k＝tan__θ 直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2) 且x1≠x2k＝y1－y2 x1－x2 3. 条件两直线位置 关系 斜率的关系 两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行 k1＝k2 k1与k2都不存在 垂直 k1k2＝－1 k1与k2一个为零、另一个不 存在 4. 名称已知条件方程适用范围 点斜式斜率k与点(x1，y1)y－y1＝k(x－ x1) 不含直线x＝x1 斜截式斜率k与直线在y轴上的 截距b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的 直线 两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)y－y1 y2－y1 ＝ x－x1 x2－x1 不含直线x＝x1(x1＝ x2)和直线y＝y1(y1

(x 1≠x 2，y 1≠y 2) ＝y 2) 截距式 直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b x a ＋y b ＝1(a ≠0，b ≠0) 不含垂直于坐标轴 和过原点的直线 一般式 Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0) 平面直角坐标系内 的直线都适用 5.若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1，P 2的中点M 的坐标为(x ， y )，则?????x ＝x 1＋x 2 2，y ＝y 1＋y 2 2， 此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 1．斜率与倾斜角的两个关注点 (1)倾斜角α的范围是[0，π)，斜率与倾斜角的函数关系为k ＝tan α，图像为： (2)当倾斜角为90? 时，直线垂直于x 轴，斜率不存在． 2．直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0. [四基自测] 1．(基础点：根据两点求斜率)过点M (－2，m )，N (m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D.1或4 答案：A 2．(基础点：直线的倾斜角与斜率的关系)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B ．π3 C.2π3 D.5π6 答案：D 3．(基础点：直线的点斜式方程)已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－3 4，则直线l 的方程为________． 答案：3x ＋4y －14＝0 4．(易错点：直线的截距概念)过点(5，0)，且在两轴上的截距之差为2的直线方程为________． 答案：3x ＋5y －15＝0或7x ＋5y －35＝0

直线的倾斜角、斜率与直线的方程

直线的倾斜角、斜率与直线的方程 A 级——夯基保分练 1．(2019·河北衡水十三中质检)直线2x ·sin 210°－y －2＝0的倾斜角是( ) A ．45° B ．135° C ．30° D ．150° 解析：选B 由题意得直线的斜率k ＝2sin 210°＝－2sin 30°＝－1，故倾斜角为135°.故选B. 2．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( ) 解析：选B 由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合． 3．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1 b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )???? 1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b ＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立． ∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4. 4．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－6， 6 ] B.????－∞，－ 66∪????66，＋∞ C.? ???－∞，－66∪??? ?66，＋∞ D.? ?? ?－ 22， 22

数理方程第二版 课后习题答案教学教材

数理方程第二版课后 习题答案

第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕 3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。 证：设，为定义在区间上的向量函数，因为

在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是 因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕

6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与 不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念 1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，， ，于是切线的方程为：

直线的概念和斜率

湖南科技经贸职业学院课程授课教案

概念探究（一）自 学 阅 读 学生阅读课本第74页 自主探究直线方程的概念 学生 尝试 自读 自悟， 教师 调控 阅读 时间 充分发挥学生 学习的主动性， 改变以往被动 单纯的听讲的 学习方法，让学 生在自己阅读 实践中进行自 悟. 概 念 形 成 教师引导学生探讨以下问题： 问题1：本部分内容阐述了哪些概念? 你是如何理解这些概念的? 一．强调直线方程的概念: 1.直线上点 的坐标都是方程的解，2.以方程的解 为坐标的点都在直线上，两者缺一不 可. 二学生可能会发现：有的方程不一 定是函数，引导学生举例说明如 2 = x，教师指出，用函数表示直线 不全面，用方程更全面 学生 分析 讨论， 师生 共同 总结。 在学生读书思 考的基础上，通 过教师的指点， 围绕重点展开 讨论和交流，鼓 励学生发表独 立见解。层层深 入，与学生共同 体会概念的严 谨，感受学习的 乐趣。 概 念 深 化 思考:如图，（1）直线l的 方程是1 = x y 吗？为什 么？ （2）直线l的方程是 ) (= -y x x吗？为什么？ 学生讨论得出： (1)1 = x y 不满足直线上所有点的坐 标是方程的解 (2)0 ) (= -y x x不满足以方程的解为 坐标的点都在直线上， 所以均不是该直线的方程 学生 思考 讨论， 生生 互动， 师互 动，教 师多 媒体 展示 结果 加深对直线方 程的概念的理 解,使学生明确, 概念的两部分 缺一不可. 教学环节教学内容师生 互动 设计意图

知识应用1.求下列直线的斜率 （1）1 3 1 - =x y （2）0 2 5 3= - +y x (3)已知直线上两点b a c b B c a A≠ ) , ( ), , ( 2.求斜率为. 2 1 -且过点（2， 3 1 ）的直线方程， 并画出图象 3.判断正误： （1）任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 （2）直线的倾斜角越大，斜率也越大 （3）平行于x轴的直线的倾斜角是 0或 180 4. 如图所示，直线 3 2 1 , ,l l l的斜率分别为 3 2 1 , ,k k k，则：（） 3 2 1 .k k k A< < 2 1 3 .k k k B< < 1 2 3 .k k k C< < D 2 3 1 k k k< < 学生 回答， 教师 对学 生的 回答 进行 评价。 在整 个练 习过 程中， 教师 做好 课堂 巡视， 加强 对学 生个 别指 导. 巩固所学知识， 有助于保持学 生自主学习的 热情和信心。, 第一题总结求 直线斜率的方 法,第二题总结 已知斜率和一 点可以确定一 条直线,为下节 研究直线的点 斜式方程做好 准备.第三题是 概念辨析，第四 题体现本节课 难点,考察直线 斜率与倾斜角 的关系. 问题由学生解 决，解题后的反 思总结由学生 自主完成，教师 作出补充和总 结。培养学生自 主获取知识的 能力. 课堂小结知识上： 1.直线方程的概念 2.倾斜角与斜率的概念，过两点的直线的斜率 公式 3.倾斜角与斜率的关系 方法上： 数形结合的思想 自主学习的重要方法：阅读探究 一名 学生 小结 其他 补充， 师生 共同 总结 完善. 让学生大胆发 言，归纳总结本 节课的收获，教 师及时点评。充 分肯定学生的 学习成果，鼓励 学生阅读思考， 进一步提高自 主学习的能力 作业必做题：课本p76练习A ，B 选做题：.研究魔术师的地毯问题分层 次布 置作 业 布置作业避免 一刀切，使学有 余力的同学的 创造力得到进 一步发挥.

直线方程的概念与直线的斜率

1 / 2 §2.2 直线的方程 2．2.1 直线方程的概念与直线的斜率 一、基础过关 1． 下列说法中： ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率； ③倾斜角为90°的直线不存在；④倾斜角为0°的直线只有一条．其中正确的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2． 斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a 、b 的值为 ( ) A ．a ＝4，b ＝0 B ．a ＝－4，b ＝－3 C ．a ＝4，b ＝－3 D ．a ＝－4，b ＝3 3． 在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则AC ，AB 所在直线的斜率之和为 ( ) A ．－2 3 B ．0 C. 3 D ．2 3 4． 直线l 过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是 ( ) A ．[0°，90°] B ．[90°，180°) C ．[90°，180°)或α＝0° D ．[90°，135°] 5． 若直线AB 与y 轴的夹角为60°，则直线AB 的倾斜角为____________，斜率为__________． 6． 若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围为______． 7． 如图所示，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，求菱形ABCD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率． 8． 一条光线从点A(－1,3)射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后通过点B(3,1)，求P 点的坐标． 二、能力提升 9． 设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1， 那么l 1的倾斜角为 ( ) A ．α＋45° B ．α－135° C ．135°－α D ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° 10．若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则 ( ) A ．k 1

直线方程的概念与直线的斜率教案

直线方程的概念与直线的斜率教案 教学目标：1、理解直线的方程的概念 2、直线斜率的定义、公式 3、直线倾斜角的定义、范围、条件 4、直线斜率变化与倾斜角变化关系 教学重点：1. 直线的方程的概念 2、直线斜率的定义、公式 3、直线倾斜角的定义、范围、条件 4、直线斜率变化与倾斜角变化关系 教学难点：1、理解直线的方程的概念 2、直线斜率与倾斜角关系 教学步骤： 一． 理解直线方程的概念： （1） 首先回顾一次函数的解析式？图像？ y ＝kx ＋b （k ≠0） ，一条直线 （2） 让大家画y=2x+1的图像 （3）我们已经知道所有的一次函数的图像都是直线，那么是不是所有直线都可以用一次函数来表示？用几何画板展示。 一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=2，y=3都不是． 一次函数 y=kx+b ，x=a, y=c 都可以看作方程。 (4) 直线 l 上 每一点的坐标 P ( x , y ) 与对于方程 y=2x+1有什么关系? 1. 直线l 上每一点的坐标P(x,y)都是二元一次方程 y=2x+1的解。 2. 二元一次方程 y=2x+1的解所对应的点P(x,y)都在直线l 上 （5）推广到y =kx+b 的情况 1. 直线l 上每一点的坐标P(x,y)都是二元一次方程 y=kx+b 的解。 2. 二元一次方程 y=kx+b 的解所对应的点P(x,y)都在直线l 上 (6 )直线的方程,方程的直线 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线． 上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一 个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的． 平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线 方程的概念和定义，并通过方程来研究直线的有关问题。 即用代数的方法来研究几何问题。 二． 直线的斜率： （1） 先让学生看一分钟课本，让学生回顾一下斜率的求法？ 2121y y k x x -=-并让学生指出没先后的差距，只是要对应起来。

直线斜率公式的应用

浅议直线斜率公式的应用 贵州省岑巩县第一中学 蒋世军 摘要：直线是一种简单的几何图形，而斜率是直线的本质属性，它直观反映了一条直线的倾斜程度。直线的斜率公式是平面解析几何中的重要公式，也是高中数学的一个重要知识点。在新课标和考试说明中都有较高的要求，由于斜率公式与代数中的分式在结构上有密切的联系。所以它除了直接用来求直线方程，求直线的斜率外，还可以用来解决其他一些问题。如求分式函数的值域（最值），解决数列有关问题，以及不等式的有关问题等-----都可借助斜率的几何意义，巧妙的解决。 关键词：直线 斜率公式 应用 下面就问题举例说明： 一、求直线的倾斜角 例1：已知直线l 1经过两点A(－23，1)、B (6，－3)，直线l 2的斜率为直线l 1的斜率的一半，求直线l 2的倾斜角θ. 分析：先利用过两点的斜率公式求l 1的斜率，再求得l 2的斜率，从而求得θ. 解：设直线l 1、l 2的斜率斜率分别为k 1、k 2，则 由已知可求得) 3(16321----=k 3-2=， ∴k 2＝3- 即ta n θ＝－3， ∵θ∈[0，＋∞) ∴θ＝ 3 2π 点评：经过两点的直线的斜率公式在解题中有广泛的应用，必须熟记并灵活应用.根据斜率求倾斜角时，在tan θ＝k 中，θ的取值与k 的正负有关，当k ≥0时，θ??????∈2,0π，当k ＜0时，θ?? ? ??∈ππ,2，另外要注意斜率不存在时，直线的倾斜角为2 π。 二、证三点共线 例2：求证：A(1，3) 、B （5，7）、C （10，12）三点在同一条直线上。 分析：要证A 、B 、C 三点共线，只需证直线AB,AC 的斜率相等。 证明：∵11537=--=AB K 11 10312=--=AC K ∴AC AB K K = 又∵直线AB,AC 有共同的端点A 。 ∴A 、B 、C 三点在同一条直线上。 例3：过抛物线焦点的一条直线与抛物线交于P 、Q 两点，自Q 点向抛物线的准线作垂线，垂足为'Q ，求证：P 'Q 过抛物线的顶点。

高中数学2-2直线的方程2-2-1直线方程的概念与直线的斜率自我小测新人教B版必修2

2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率 自我小测 1．直线l过点A(2,1)，B(3，m2)(m∈R)，则直线l的斜率的范围为( ) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，－1] 2．若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中正确的是( ) A．若α1<α2，则两直线的斜率k1

6．若a ＝ln21，b ＝ln32，c ＝ln54 ，则( ) A ．a