《数学分析》多元函数微分学

第四章多元函数微分学一、本章知识脉络框图

二、本章重点及难点

本章需要重点掌握以下几个方面内容：

● 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数

与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式.

● 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. ● 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. ● 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法.

三、本章的基本知识要点

(一)平面点集与多元函数

1.任意一点A 与任意点集E 的关系.

1) 内点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?，则称点A 是点集E 的内点。 2) 外点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?=?，则称点A 是点集E 的外点。

3) 界点（边界点）. 若在点A 的任何邻域内既含有属于E 得的点，又含有不属于E 的点，则称点A 是点集E 的界点。

4) 聚点. 若在点A 的任何空心邻域()o

U A 内部都含有E 中的点，则称点A 是点集E 的

聚点。

5) 孤立点. 若点A E ∈，但不是E 的聚点，则称点A 是点集E 的孤立点。 2. 几种特殊的平面点集.

1) 开集. 若平面点集E 所属的每一点都是E 的内点，则称E 为开集。 2）闭集. 若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集。

3) 开域. 若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 得有限折线相连接，则称E 为开域。

4）闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。

5）区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。 3.2

R 上的完备性定理.

1) 点列收敛定义：设{}2

n P R ?为平面点列，2

0P R ∈为一固定点。若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，有()0,n P U P ε∈，则称点列{}n P 收敛于点0P ，记作

0lim n n P P →∞

= 或 ()0,n P P n →→∞.

2）点列收敛定理（柯西准则）平面点列{}n P 收敛的充要条件是：任给正数ε，存在正整

数N ，使得当n N >时，对一切自然数k ，都有(),n n k P P ρε+<. 3）闭区域定理. 设{}n D 是2

R 中的闭域列，它满足：

(i) 1,1,2,...;n n D D n +?=(ii) (),lim 0n n n n d d D d →∞

==.

则存在唯一的点0,1,2,...n P D n ∈=.

4) 聚点定理. 设2

E R ?为有界无限点集，则E 在2

R 中至少有一个聚点。

5) 有限覆盖定理. 设2D R ?为一有界闭域，{}α?为一开域族，它覆盖了D （即D αα

???）

，则在{}α?中必存在有限个开域12,,...m ???，它们同样覆盖了D （即1

m

i D α=???）

。 4. 二元函数

定义：设平面点集2

D R ?，若按照某对应法则f ，D 中每一点(),P x y 都有唯一确定的

实数z 与之对应，则称f 为定义在D 上的二元函数（或称f 为D 到R 的一个映射），记作

:f D R →,

P z a ，

且称D 为f 的定义域，P D ∈所对应的z 为f 在点P 的函数值，记作()z f P =或(),z f x y =。

（注：其它多元函数与二元函数相似）。 （二）二元函数的极限。

1. 定义 设f 为定义在2

D R ?上的二元函数，0P 为D 的一个聚点，A 是一个确定的实数，

若对0ε?>，都存在一个0δ>，使得()0,o

P U

P D δ∈?时，都有

()f P A ε-<.

则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记作()0

lim P D

P P f P A ∈→=。有时简记为

()0

lim P P f P A →=。

当P 、0P 分别用()()00,,,x y x y 表示时，上式也可写作()()

()00,,lim

,x y x y f x y A →=.

2. 重要定理及推论.

1）()0

lim P D

P P f P A ∈→=的充要条件：对于D 的任一子集E ，只要0P 是E 的聚点就有

()0

lim P E

P P f P A ∈→=。

2）设1E D ?，0P 是1E 的聚点，若()0

1

lim P E P P f P ∈→不存在，则()0

lim P D

P P f P ∈→也不存在。

3）设1E 、2E D ?，0P 是它们的聚点。若()0

1

1lim P E P P f P A ∈→=，()0

2

2lim P E P P f P A ∈→=，但12A A ≠，

则()0

lim P D

P P f P ∈→不存在。

4）极限()0

lim P D

P P f P ∈→存在的充要条件是：对于D 中任一满足条件0n P P ≠的点列{}n P ，它所

对应的函数列(){}

n f P 都收敛。 3. 二元函数函数极限的四则运算.

若()()

()00,,lim

,x y x y f x y A →=，

()()

()00,,lim

,x y x y g x y B →=。则

1)

()()()()00,,lim

,,x y x y f x y g x y A B →±=±???

?；2)

()()

()()00,,lim

,,x y x y f x y g x y A B →=?;

3)

()()()()()00,,,lim

,0,x y x y f x y A

B g x y B →=≠.

4. 累次极限.

1) 定义：对于函数(),f x y ，若固定()()0

0,lim ,x x y y f x y y ?→≠=存在，且()0

lim y y y A

?→=也存在，则称A 为(),f x y 在()000,P x y =处先对x 后对y 的累次极限，记为

()00

lim lim ,y y x x f x y →→，类似可定义()00

lim lim ,x x y y f x y →→。

2) 重要定理及推论. ① 若

()()

()00,,lim

,x y x y f x y →与()00

lim lim ,x x y y f x y →→（或()00

lim lim ,y y x x f x y →→）都存在，则它们

相等； ② 若

()()

()00,,lim

,x y x y f x y →，()00

lim lim ,x x y y f x y →→和()00

lim lim ,y y x x f x y →→都存在，则三者相等；

③ 若()00

lim lim ,x x y y f x y →→与()00

lim lim ,y y x x f x y →→都存在但不相等，则()()

()00,,lim

,x y x y f x y →不

存在。

（三）二元函数的连续性

1. 定义 设f 为定义在点集2

D R ?上的二元函数，0P D ∈，若对0ε?>，都存在一个

0δ>，只要()0,P U P D δ∈?，就有

()()0f P f P ε-<

则称f 关于集合D 在点0P 连续。若f 在D 上任何点都连续，则称f 为D 上的连续函数。若()()0

000lim ,,0y y f x y f x y →-=????，则称(),f x y 在()000,P

x y =处关于y 连续。同理可定义关于x 连续。

2. 复合函数的连续性定理 设二元函数(),u x y ?=和(),v x y ψ=在()000,P x y =点连续，函数(),z f u v =在点()00,u v 处连续，其中()()00000,,,x y v x y ?ψ=，则复合函数

()()(),,,z f x y x y ?ψ=在点0P 连续。

3. 有界闭域上连续函数的性质.

1）若函数f 在有界闭域2

D R ?上连续，则f 在D 上有界，且能取得最大值与最小值； 2）若函数f 在有界闭域2

D R ?上连续，则f 在D 上一致连续；

3）若函数f 在有界闭域2

D R ?上连续,对任意的1P 、2

P D ∈，且()()12f P f P <，则对任何满足不等式()()12f P f P μ<<的实数μ，必存在点0P D ∈，使得()0f P μ=。

4. n 元函数唯一存在与连续可微性定理。

若1）函数12(,,...,,)n F x x x y 在以000

012(,,...,,)n P x x x y 为内点的1n +维空间区域D 内连续；

2）偏导数12''''

,,...,,n x x x y F F F F 在D 内存在且连续；

3）000012(,,...,,)0n F x x x y =；

4）'0000

12(,,...,,)0y n F x x x y ≠；

则在P 的某一邻域()U P ，方程12(,,...,,)0n F x x x y =唯一地确定了一个定义在

000012(,,...,,)n Q x x x y 的邻域()U Q 上的n 元连续函数12(,,...,)n y f x x x =使得:

①121212(,,...,,(,,...,))(),(,,...,)();n n n x x x f x x x U P x x x U Q ∈∈

0012121201(,,...,,(,,...,))0,(,,...,)(),(,...,).n n n n F x x x f x x x x x x U Q y f x x ≡∈=

②12(,,...,)n y f x x x =在()U Q 内连续偏导数：12'''

,,...,n x x x f f f 而且11'''

,x x y F f F =-

22''''''

,...,.n n x x x x y

y F F f f F

F =-

=-

5. 由方程组确定的隐函数（隐函数组定理）

若：1）(,,,)F x y u v 与(,,,)G x y u v 在以点00000(,,,)P x y u v 为内点的区域4

V R ?内连续； 2）00000000(,,,)0,(,,,)0F x y u v G x y u v ==（为初始条件）； 3）在V ,F G 具有一阶连续偏导数； 4）(,)

(,)

F G J U V ?=

?在点0P 处不等于零。

则在点0P 的某一（四维空间）邻域0()U P V ?，方程组

(,,,)0

(,,,)0

F x y u v

G x y u v =??

=?唯一地确定了定义在点000(,)Q x y 的某一（二维空间）邻域0()U Q 内的两个二元隐函数(,),(,),u f x y v g x y == 使得：

①000000(,),(,),u f x y v g x y ==且当0(,)()x y U Q ∈时，

0(,,(,),(,))(),x y f x y g x y U P ∈

(,,(,),(,))0,F x y f x y g x y ≡ (,,(,),(,))0,G x y f x y g x y ≡

②(,),(,)f x y g x y 在0()U Q 内连续；

③(,),(,)f x y g x y 在0()U Q 内有一阶连续偏导数，且

1(,)1

(,)

,,

(,)(,)

1(,)1

(,)

,,

(,)(,)

u F G v F G x J x v x J u x u F G v F G y J y v y J u y ????=-=-????????=-=-

????

6. （反函数组定理）若函数组(,)

,(,)u u x y v v x y =??

=?

满足如下条件：

1）(,),(,)u x y v x y 均是有连续的偏导数； 2）

(,)

0.(,)

u v x y ?≠?

则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组

(,),(,),x x u v y y u v ==且

(,)(,)

. 1.(,)(,)

u v x y x y u v ??=??

(四) 多元微分学的应用

1. 泰勒定理

1) 若(,)f x y 在点000(,)P x y 的邻域0()U P 内存在1n +阶连续的偏导数，则

000(,)()x h y k U P ?++∈，有

00000020000100(,)(,)()(,)1()(,)...2!1()(,)!1()(,)(1)!n n f x h y k f x y h k f x y x y

h k f x y x y h k f x y n x y h k f x h y k n x y

θθ+??

++=++????

+

++????

++????+++++??

其中0

000

()(,)|m m

m p m p p

m P m p p p f h k f x y c h k x y x y --=???+=????∑ 2) 当000,0x y ==时，相应二元函数(,)f x y 的麦克劳林公式为

1(,)(0,0)()(0,0)...1()(0,0)!1()(,).(1)!n n f x y f x y f x y

x y f n x y x y f x y n x y

θθ+??

=+++????

+

+????+++??

2．极值

1）定义 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y =的某邻域0()U P 内有定义，如果

0(,)()x y U P ?∈ 满足0000(,)(,)((,)(,))f x y f x y f x y f x y ≤≥，则称00(,)f x y 为(,)

f x y 的极大值（极小值），此时点0P 称为(,)f x y 的极大值点（极小值点）。极大值，极小值统称极值。

2）函数(,)f x y 在点0P 的偏导数存在，则f 在点0P 取得极值的必要条件为：

''0000(,)(,)0x y f x y f x y ==，满足上述条件的点0P 称为稳定点或驻点。

3）极值的充分条件: 设函数(,)f x y 在点000(,)P x y =的某邻域0()U P 内具有二阶连续的偏导数，且0P 是f 的稳定点。

记''''''

000(),(),()xx xy yy A f P B f P C f P ===则

① 当2

0B AC -<时，函数f 在0P 取得极值，若0A <，则取得极大值，若0A >，

则取得极小值；

② 当2

0B AC ->时，函数f 在点0P 不取极值； ③ 当2

0B AC -=时，不能判断f 在点0P 是否极值；

3．条件极值

1）求条件极值的方法有两种：一种将条件极值化为无条件极值的问题来求解；并一种是用拉格朗日乘数法求解。

2）拉格朗日乘数法求二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)0x y ?=下的极值步骤如下： ①作相应的拉格朗日函数

(,,)(,)(,).L x y f x y x y λλ?=+

②令'''

0.x y L L L λ===即

''

'

'

(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.

x x y y f x y x y f x y x y x y λ?λ???+=?+=??

=? ③求解上述方程组，得稳定点000(,)P x y =。

④判定该点是否为条件极值：如果是实际问题，可由问题本身的性质来判定，如不是实际问题，可用二阶微分判别。

3) 对于条件极值的一般情形，求函数12(,,...,)n z f x x x =在约束条件

11212

(,,...,)0,.......

(,,...,)0.

n m n x x x x x x ??=??

??=? （其中12,,,...,m f ???均具有一阶连续偏函数，且雅可比（Jacobi ）矩阵