数值分析第四章电子教案(欧阳洁)

最新第六章习题答案-数值分析

第六章习题解答 2、利用梯形公式和Simpson 公式求积分2 1 ln xdx ? 的近似值，并估计两种方法计算值的最大 误差限。 解：①由梯形公式： 21ln 2 ()[()()][ln1ln 2]0.3466222 b a T f f a f b --= +=+=≈ 最大误差限 3''2 ()111 ()()0.0833******** T b a R f f ηη-=-=≤=≈ 其中，(1,2)η∈ ②由梯形公式： 13()[()4()()][ln14ln()ln 2]0.38586262 b a b a S f f a f f b -+= ++=++≈ 最大误差限 5(4)4()66 ()()0.0021288028802880 S b a R f f ηη-=-=≤≈， 其中，(1,2)η∈。 4、推导中点求积公式 3''()()()()() ()224 b a a b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<

数值分析第四章数值积分与数值微分习题答案

第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=

令4()f x x =，则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时， 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。 （2）若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1014h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=

数值分析第4章答案

第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。 令4 ()f x x =，则

第六章习题答案数值分析.docx

第六章习题解答 2 2、利用梯形公式和 Simpson 公式求积分 ln xdx 的近似值， 并估计两种方法计算值的最大 1 误差限。 解：①由梯形公式： T ( f ) b a [ f (a) f (b)] 2 1 [ln1 ln 2] ln 2 0.3466 2 2 2 最大误差限 R ( f ) (b a)3 f '' ( ) 1 1 1 0.0833 T 12 12 2 12 12 其中， (1,2) ②由梯形公式： b a 4 f ( b a f (b)] 1 4ln( 3 ln 2] 0.3858 S( f ) [ f (a) ) [ln1 ) 6 2 6 2 最大误差限 R S ( f ) (b a)5 f (4) ( ) 6 6 0.0021， 2880 2880 4 2880 其中， (1,2) 。 4、推导中点求积公式 f ( x)dx (b a) f ( a b ) (b a) 3 (a b) b a 2 24 证明： 构造一次函数 P （ x ），使 P a 2 b f a b , P ' ( a b ) f ' ( a b ), P '' ( x) 0 2 2 2 则，易求得 P( x) f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) 2 2 2 且 P(x)dx f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) dx b b a a 2 2 2 f ( a b )dx (b a) f ( a b ) ，令 P(x)dx I ( f ) b b a 2 2 a 现分析截断误差：令 r ( x) f ( x) P(x) f ( x) f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) 2 2 2 由 r ' ( x) f ' (x) f ' ( a b ) 易知 x a 2 b 为 r (x) 的二重零点， 2 a b )2 ， 所以可令 r (x) ( x)( x 2

数值分析作业答案(第4章) part2

4.6.若用复化梯形公式计算积分1 x I e dx =? ， 问区间[0,1]应人多少等分才能使截断误差不超过 51 102 -?？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间[0,1]应分多少等分？ 解：采用复化梯形公式时，余项为 2 ()(),(,)12 n b a R f h f a b ηη-''=- ∈ 又 1 x I e dx =? 故 (),(),0, 1.x x f x e f x e a b ''==== 221()()1212 n e R f h f h η''∴= ≤ 若51 ()102 n R f -≤ ?，则 256 10h e -≤? 当对区间[0,1]进行等分时， 1,h n = 故有 212.85n ≥ = 因此，将区间213等分时可以满足误差要求。 采用复化辛普森公式时，余项为 4(4) ()()(),(,)1802 n b a h R f f a b ηη-=- ∈ 又 (),x f x e = (4)4(4)4 (), 1()|()|28802880 x n f x e e R f h f h η∴=∴=-≤ 若51 ()102 n R f -≤ ?，则 451440 10h e -≤ ?

当对区间[0,1]进行等分时 1n h = 故有 1 54 1440(10) 3.71n e ≥?= 因此，将区间8等分时可以满足误差要求。 4.10.试构造高斯型求积公式 )()()(1 11001 x f A x f A dx x f x +≈? 。 解 令公式对32,,,1)(x x x x f =准确成立，得 ??? ?? ? ??? ??=+=+=+=+,72,52, 32,213103012 1020110010A x A x A x A x A x A x A A ) 4()3()2() 1( 由于 1011001100)()(A x x A A x A x A x -++=+， 利用方程(1)，方程(2)可化为 3 2 )(21010= -+A x x x (5) 同样，用方程(2)化方程(3)，方程(3)化方程(4)，分别得 52 )(3211010=-+A x x x x (6) 7 2 )(52121010=-+A x x x x (7) 用方程(5)消去方程(6)中的101)(A x x -，即将101)(A x x -用023 2 x -代替，得 5 2 )32(32100=-+x x x (8) 用方程(6)消去方程(7)中的1101)(A x x x -，即将1101)(A x x x -用03 2 52x -代替，得

数值分析 第六章 习题

第六章 习 题 1. 计算下列矩阵的1A ，2A ，A ∞三种范数。 （1）1101A ???=????，（2）312020116A ????=??????? . 2. 用Jacobi 方法和Gauss-Seidel 迭代求解方程组 1231231 238322041133631236x x x x x x x x x ?+=??+?=??++=? 要求取(0)(0,0,0)T x =计算到(5)x ，并分别与精确解(3,2,1)T x =比较。 3. 用Gauss-Seidel 迭代求解 12312312 35163621122x x x x x x x x x ??=??++=???+=?? 以(0)(1,1,1)T x =?为初值，当(1)() 310k k x x +?∞?<时，迭代终止。 4. 已知方程组121122,2,x x b tx x b +=?? +=? （1）写出解方程组的Jacobi 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件。 （2）写出解方程组的Gauss-Seidel 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件. 5. 设有系数矩阵 122111221A ?????=?????? ， 211111112B ?????=??????? ， 证明：（1）对于系数矩阵A ，Jacobi 迭代收敛，而Gauss-Seidel 迭代不收敛. （2）对于矩阵B ，. 6. 讨论方程组 112233302021212x b x b x b ?????????????=??????????????????? 用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代的收敛性；如果都收敛，比较哪种方法收敛更快.

数值分析第四版习题及答案

第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?

数值分析习题六解答

习 题 六 解 答 1、在区间［0，1］上用欧拉法求解下列的初值问题，取步长h=0.1。 (1)210(1)(0)2y y y '?=--?=?(2)sin (0)0x y x e y -'?=+?=? 解：（1）取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为 21(1)(0,1,2,)n n n y y y n +=--= 由初值y 0=y(0)=2出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=2； x 1=0.1，2100(1)211y y y =--=-= x 2=0.2，2211(1)101y y y =--=-= 指出： 可以看出，实际上求出的所有数值解都是1。 （2）取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为 21(sin )(0,1,2,)n x n n n y y h x e n -+=++= 由初值y 0=y(0)=0出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=0； x 1=0.1， 02 1000 (sin )00.1(sin 0)00.1(01)0.1x y y h x e e -=++=+?+=+?+= x 2=0.2， 122110.1 (sin )0.10.1(sin 0.1)0.10.1(0.10.9)0.2 x y y h x e e --=++=+?+=+?+= 指出： 本小题的求解过程中，函数值计算需要用到计算器。 2、用欧拉法和改进的欧拉法(预测－校正法)求解初值问题，取步长h=0.1。 22(00.5) (0)1 y x y x y '?=-≤≤? =? 解：(1) 取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为 2 1(2)(0,1,2,)n n n n y y h x y n +=+-= 由初值y 0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下：

数值计算第四章课后习题答案

()()()()()()()()()收敛较慢 代入上式得：将解： 收敛速度次并分析该迭代公式的迭代的根求方程 取试用迭代公式∴≠<<*'*+++-='∴+*+*=*∴=+?+?? ? ??===++= =∴++= ==-++=++=++014.01022220||10 2202613381013202132020 132010212010220. 2.0 20102110220 4.1222 222212012123021x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k k k k k k ?????? )))()()()[]()()[])49998.0cos 215.0cos 2 1,022,00cos 2 102 12,0210,2,0.cos 2 10sin 2 11,cos 2 113cos 2 12; 1.0cos 2 12.4120101==== ==->-=<-=-=>+='-===-+x x x x x x x f f x x x f x x f x x x f x x x x k k 则 取上有一个根在所以上在为单调递增函数故则令解： 位有效数字求出这些根，精确到用迭代公式分析该方程有几个根给定方程ππππ

500 .0105.0102.0||3412≈*?

数值分析(第五版)计算实习题第四章作业

第四章： 1、（1）：复合梯形 建立m文件： function t=natrapz(fname,a,b,n) h=(b-a)/n; fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b); f=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h); t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f)); 输入： >> syms x >> f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >> natrapz(f,eps,1,10) 输出： ans = -0.417062831779470 输入： >> syms x >> f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >> natrapz(f,eps,1,100) 输出： ans = -0.443117908008157 输入： >> syms x >> f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >> natrapz(f,eps,1,1000) 输出： ans = -0.444387538997162 复合辛普森 建立m文件： function t=comsimpson(fname,a,b,n)

h=(b-a)/n; fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b); f1=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h); f2=feval(fname,a+h/2:h:b-h+0.001*h); t=h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2)); 输入： >> syms x >> f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >> format long； >>comsimpson(f,eps,1,10) 输出： ans = -0.435297890074689 输入： >>syms x >>f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >>comsimpson(f,eps,1,100) 输出： ans = -0.444161178415673 输入： >>syms x >>f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >>comsimpson(f,eps,1,1000) 输出： ans = -0.444434117614180 （2）龙贝格 建立m文件： function [RT,R,wugu,h]=Romberg(fun,a,b,wucha,m) %RT是龙贝格积分表 %R是数值积分值 %wugu是误差估计 %h是最小步长 %fun是被积函数 %a b是积分下、上限

第六章非线性方程的数值解法习题解答

第六章非线性方程的数值解法习题解答 填空题： 1. 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________。 Ans:1()1()n n n n n x f x x x f x +-=- '- 2.求解方程 在(1, 2)内根的下列迭代法中， (1) (2) (3) (4) 收敛的迭代法是（A ）. A ．(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1) 3.若0)()(，故迭代发散。 以上三中以第二种迭代格式较好。 2、设方程()0f x =有根，且'0()m f x M <≤≤。试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=- (0,1,2,)k =L 产生的迭代序列{}0k k x ∞ =对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当2 0M λ<< 时，均收敛于方程的根。

数值分析第四版习题和答案解析

第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝ 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大这个计算过程 稳定吗 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 . 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3.

4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误 差做比较. 2.求证: (a)当时,. (b)当时,. 3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.

数值分析第六章实验报告

一、实验名称 Newton-cotes型求积公式 二、实验目的 学会Newton-cotes型求积公式,并应用该算法于实际问题。 三、实验内容 求定积分?π cos xdx e x 四、实验要求 选择等分份数n,用复化Simpson求积公式求上述定积分的误差不超过8 10-的近似值,用MATLAB中的内部函数int求此定积分的准确值,与利用复化Simpson求积公式计算的近似值进行比较。 五、实验程序与输出结果 在MATALAB的Editor窗口中输入以下程序： function y=comsimpson(fun,a,b,n) z1=feval (fun,a)+ feval (fun,b);m=n/2; h=(b-a)/(2*m); x=a; z2=0; z3=0; x2=0; x3=0; for k=2:2:2*m x2=x+k*h; z2= z2+2*feval (fun,x2); end for k=3:2:2*m x3=x+k*h; z3= z3+4*feval (fun,x3); end y=(z1+z2+z3)*h/3; 然后保存为然后保存为comsimpson.m的文件 在MATALAB工作窗口命令窗口中输入： Q2 =comsimpson (@fun,0,pi,1000000000) syms x fi=int(exp(x).*cos(x),x,0,pi); Fs= double (fi)

wQ2= double (abs(fi-Q2) ) 运行后结果： Q2=-12.0703，Fs=-12.0703, wQ2=5.2654e-08 六、实验结果分析 利用复化simpson求积公式计算运行后其结果为Q2=-12.0703，利用内部函数求解的结果为Fs=-12.0703,两者的误差为wQ2=5.2654e-08。从中可以看出误差结果达到了1E-8级数，而相对应的N已经取到了10亿次，再增大N对结果已经没有太大变化。可见复化simpson要得到比较准确的结果需要运算的次数比较大。

数值分析习题

第一章 绪论 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算） 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算） 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 8 设?-=1 1 dx e x e I x n n ，求证： （1）)2,1,0(11 =-=-n nI I n n （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）

第二章 插值法 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。 1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 2 已知9,4,10=== x x x y ，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值） 3 若),...1,0(n j x j =为互异节点，且有 ) ())(())(()())(())(()(11101110n j j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------= +-+- 试证明 ),...1,0()(0 n k x x l x n j k j k j =≡∑=。 （拉格朗日插值基函数的性质） 4 已知352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===，用抛物线插值计算3367.0sin 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 5 用余弦函数x cos 在00=x ，4 1π =x ，2 2π = x 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值 多项式, 并近似计算6 cos π 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗 日二次插值） 6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(=====f f f f f ，求函数的四阶均差 ]6,4,3,1,0[f 和二阶均差]3,1,4[f 。（均差的计算） 7 设)())(()(10n x x x x x x x f ---= 求][1,0p x x x f 之值，其中1+≤n p ，而节点 )1,1,0(+=n i x i 互异。（均差的计算） 8 如下函数值表 建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 9求一个次数小于等于三次多项式)(x p ，满足如下插值条件：2)1(=p ，4)2(=p ， 3)2(='p ，12)3(=p 。（插值多项式的构造）

应用数值分析第四版第一章课后作业答案

第一章 1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。 3 .14,7/100)4(143 .0,7/1)2(0031 .0,1000/)3(1.3,)1(========x a x a x a x a ππ 试估计x 的绝对误差和相对误差。 解：（1）0132.00416 .01.3≈= ≈-= -=a e e x a e r π （2）0011.00143 .0143.07/1≈= ≈-=-=a e e x a e r （3）0127.000004 .00031.01000/≈= ≈-=-=a e e x a e r π （4）001.00143 .03.147/100≈= ≈-=-=a e e x a e r 2. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。 解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2 x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2 x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10 -4 x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5 由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σn i=1∣?f/?x i ∣δx i e r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1 x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049 e r （μ2）≦1/∣μ2∣［x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3 / x 1δx 4］ =0.501937 3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。 解：设=()u f x ， ()()()()() ()||||||||||()||()|| | |()||()||||r r r x e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ= ≈==≤ ()||10.2 (())| |()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x x δδδδ==??==

数值分析习题第四章

第四章 习题 1．确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： （1）()()()()? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 1010； （2）()()()()? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 221010； （3）()()()()[]3/3211 121?-++-≈x f x f f dx x f ； （4）()()()[]()()[]h f f ah h f f h dx x f h '0'2/020 +++≈? 解：（1）求积公式中含有三个待定参数，即101A A A ，，-，将()21x x x f ，，=分别代入求积公式，并令其左右相等，得 ()()??? ???? =+=+-=++---3 1121 110132 02h A A h A A h h A A A 解得h A h A A 34 31011===-，。 所求公式至少具有2次代数精度。又由于 ()() ()() 4 4 4 3 33 3 3 33h h h h dx x h h h h dx x h h h h ? ?--+ -≠ +-≈ 故()()()()? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 1010具有三次代数精度。 （2）求积公式中含有三个待定系数：101A A A ，，-，故令公式对()2 1x x x f ，，=准确成立，得()()??? ???? =+=+-=++---3 1121110131604h A A h A A h h A A A ，解得h h h A h A h A A 34 316424381011-=- =-===-， 故()()()[]()03 43 822hf h f h f h dx x f h h - +-≈ ? - 因()?-=h h dx x f 220 而 ()() []03 83 3 =+-h h h 又[ ]4 45 5 6224 3 83 165 2h h h h h dx x h h += ≠= ? -

数值分析第四章学习小结

第四章学习小结 本章为非线性方程与非线性方程组的迭代解法，由此可分为两大节4.1非线性方程的迭代解法和4.2非线性方程组的迭代解法。本章以人口增长模型为引言，由于在实际应用中只有很少类型的非线性方程能解出根的解析表达式，对于大多数非线性方程，只能用数值法求出它的根的近似值，本章将要介绍几种常用的有效的数值求根方法，它们都属于迭代法，因而还要讨论这些方法的收敛性和收敛速度。 4.1.1对分法 （1）基本思想： ①确定方程有根的区间； ②将区间逐次分半缩小，得到一个区间长度以1/2的比例减小的含根区间序列{}k x ，在给定根的误差界时，利用长度趋于零的特点，可得到在某个区间中满足要求的近似根。收敛速度与公比为12 的等比数列的收敛速度相同。 (2)迭代终止条件 或者 (3)二分法的优缺点： 优点：程序简单，总能求出近似根，对()f x 要求不高。 缺点：收敛速度慢，只能求单根和奇数重根，不能求偶重根，复根。二分法一般用于对根求近似根。 4.1.2简单迭代法及其收敛性 迭代法的基本思想: 迭代法是一种逐次逼近法，用某个固定公式反复校正根的近似值，使 12 a b x +=2k k b a ε-<2 k k k b a x s ε--≤

之逐步精确化，最后得到满足精度要求的解。 迭代法的基本思想是将隐式方程()x x ?=的求根问题归结为计算一组显式公式1()k k x x ?+=，逐步过程实际上是一个逐步显示化的过程。 收敛性：若由迭代公式1().1,2,3...k k x x k ?+==产生的序列{}k x 收敛于x *，则x *是原方程的根。 收敛条件： a ．非局部收敛性定理：设函数()[,]x C a b ?∈，在（a ，b ）内可导，且满足两个条件： （1）当[,]x a b ∈时，()[,]x a b ?∈；（2）当[,]x a b ∈时，'()1x L ?≤<，其中L 为一常数。则有如下结论： （1）方程()x x ?=在[,]a b 上有唯一的根s ； （2）对任取的0[,]x a b ∈，简单迭代法1()k k x x ?+=产生的序列{}[,]k x a b ?且收敛于s ； （3）成立误差估计式101k k L s x x x L -≤--或11k k k L s x x x L --≤-- 这种形式的收敛定理称为大范围收敛性定理，但当条件不够充分时，预先指定一个区间常常是不可能的。 b ．局部收敛性定理 设'(),()s s x ??=在包含s 的某个开区间内连续。如果'()1s ?<，则存在0δ>当0[,]x s s δδ∈-+时，由简单迭代法1()k k x x ?+=产生的序列 {}[,]k x s s δδ?-+且收敛于s 。 4.1.3简单迭代法的收敛速度

20150318数值分析学生版作业

2014-2015(2)计算机与信息工程学院数值分析作业 计科专业_______级_____班 姓名:___________学号:____________ 第一章 绪论 一、单项选择题 1.用3.1415作为π 的近似值时具有（ ）位有效数字。 （A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6 2.已知数x 1=721 x 2=0.721 x 3=0.700 x 4=7*10-2是由四舍五入得到的，则它们的有效数字的位数应分别为( )。 (A) 3，3，3，1 ( B) 3，3，3，3 (C) 3，3，1，1 ( D) 3，3，3，2 二、填空题 1.在一些数值计算中,对数据只能取有限位表示,如2 1.414≈ ,这时所产生的误差称为_______误差.（填误差的类型） 2. 为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为_________以保证计算结果比较精确. 3.在数值计算中，通常取e 2.71= ，此时产生的误差为_________误差（填误差的类型）. 4.设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有_________位有效数字。 三、计算题 1、（本题5分）试确定 7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 第二章 插值法 一、单项选择题 1. 通过点0011(x ,y ),(x ,y ) 的拉格朗日插值基函数01l (x),l (x)满足 ( ). (A ) 0011l (x )0,l (x )0== ( B) 0011l (x )1,l (x )1== (C )0011l (x )1,l (x )0== (D) 0011l (x )0,l (x )1== 2. 是给定的互异节点， 是以它们为插值节点的插值多项式，则 是一个( ). (A) n +1次多项式 (B) n 次多项式 (C) 次数小于n 的多项式 (D) 次数不超过n 的多项式 二、填空题

数值分析第四章习题

第四章 习题 1. 采用数值计算方法，画出dt t t x y x ?= 0sin )(在]10 ,0[区间曲线，并计算)5.4(y 。 〖答案〗 1.6541 2. 求函数 x e x f 3sin )(=的数值积分?=π 0 )(dx x f s ，并请采用符号计算尝试复算。 〖答案〗 s = 5.1354 Warning: Explicit integral could not be found. > In sym.int at 58 s = int(exp(sin(x)^3),x = 0 .. pi) 3. 用quad 求取dx x e x sin 7.15? --ππ的数值积分，并保证积分的绝对精度为910-。 〖答案〗 1.08784943754779 4. 求函数 5.08.12cos 5.1)5(sin )(20 6.02++-=t t t e t t f t 在区间]5,5[-中的最小值点。 〖答案〗

最小值点是 -1.28498111480531 相应目标值是 -0.18604801006545 5. 设 0)0(,1)0(,1)(2)(3)(22===+-dt dy y t y dt t dy dt t y d ，用数值法和符号法求5.0)(=t t y 。 〖答案〗 数值解 y_05 = 0.78958020790127 符号解 ys = 1/2-1/2*exp(2*t)+exp(t) ys_05 = .78958035647060552916850705213780 6. 求矩阵b Ax =的解，A 为3阶魔方阵，b 是)13(?的全1列向量。 〖答案〗 x = 0.0667 0.0667 0.0667 7. 求矩阵b Ax =的解，A 为4阶魔方阵，b 是)14(?的全1列向量。 〖答案〗 解不唯一 x = -0.0074 -0.0809 0.1397 0.0662 0.0588 0.1176 -0.0588