零件参数设计的数学模型

零件参数设计的数学模型

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零件参数设计的数学模型

指导老师 数学建模教练组

李俊(热95０1） 罗建梅（热9502) 王震宇（供950２)

摘 要：本文基于Ｙ偏离Ｙ0 造成的损失和零件成本,根据原设计给定的标定值和容差，使用网格法

和随机搜索法,利用计算机编程计算产品分别为正品、次品、废品时的概率,进而分析产品是正品、次品、废品的概率的稳定性,得到较为精确且合理的结果，最后求出原设计的总费用(损失费+成本费)为31３．4万元。

本文通过分析参数ｘ1，ｘ2,…,x ７对y 的影响，在原设计的标定值附近找出一个使y 在其附近的变化比较稳定的点,并使y ＝1.５，再利用计算机仿真实验，综合判断容差等级方案，确定出比较理想的标定值和容差等级方案:最后确定的方案比原设定节约费用271.2425万元。

一、问题的重述

一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行批量生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值,容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量,则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。

在进行零件参数设计时，由于零件组装产品的参数偏离预先设定的目标值，所以造成质量损失，偏离越大,损失越大;且零件的容差大小决定了其制造成本，容差设计的越小，成本越高。

有一种离子分离器某参数（记作Ｙ)由7个零件的参数（记作X 1 ,X 2 , …X ７)决定,经验公式为:

Y=17４.４2()().[.()]()../.X X X X X X X X

X X X 15321085420563242

116

67

12621036-?---

Y 的目标值（记作Ｙ0)为１.50。若Y 偏离Y 0±0．1时,产品为次品，质量损失1000(元）；若Y 偏离Y 0±0.3时，产品为废品,损失9０00(元）。

零件参数的标定值有一定的容许变化范围;容差分为A 、Ｂ、C 三个等级，用与标定值的相对值来表示 ，A 等为±1%,B 等为±５％,Ｃ等为±10%。7个零件参数标定值的容许范围及不同容差等级零件的成本(元)如下表（符号 ／ 表示无此等级零件)：

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现进行成批生产,每批产量100０个。在原设计中,7个零件参数的标定值为：

X 1=0.1，X 2=0.３，X 3=0.1,Ｘ4=0.1,X 5=１.5，Ｘ6=１6,Ｘ7＝０.7５;容差均取最便宜的等级。

综合考虑Y 偏离Ｙ0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数(包括标定值和容差),并与原设计的总费用相比较。

二、模型假设及符号约定

模型假设

1．零件的总损失取决于各种类型的零件出现的概率;

2.零件的参数符合正态分布；

3．符合要求的零件只考虑自身成本，而不再考虑其它因素的影响。

符号约定

Ｍ 表示成批生产时每批产量的个数，此题为10０0个;

a 表示产品为次品时的质量损失为1000元；

b 表示产品为废品时的质量损失为９000元; σI 表示第i 个零件参数对应的均方差；

μi 表示一批零件第ｉ个零件参数的平均值,即期望值； χi 表示第i 个零件（变量）的新值； R ｉ 表示变量X ｉ对μi 的搜索区域； K d 表示区域缩减系数,其值正数；

r 表示［0,1］之间服从均匀分布的伪随机数； k 表示随机概率的分布系数,是个正奇数; z y 偏离y 0的绝对值;

P y 偏离y 0造成的损失； P’ 表示零件的成本;

Q y 偏离y 0造成的损失和零件成本

三、问题的分析

由于标志产品性能的参数是由零件的参数所决定的。而零件的参数包括标定值和容

差两部分。如果将零件参数视为随机变量,则标定值代表期望值。那么,根据3σ原理,在其中的概率为：0.997４。显然,在此之外的概率为：0．０026。相比之下，在其之外的

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可以忽略不计。故此,在生产部门无特殊要求时,容差规定为均方差的3倍是合理的。由题意,我们还可以得到:容差与标定值的相对值可以判断容差的等级（进而可以确定零件的成本），即：

A 等:3σμi i <01. Ｂ等：0.1≤3σμi i <0.3 Ｃ等:3σ

μi i

≥03.

进行零件参数设计,就是要确定其标定值和容差。此时要考虑到产品的损失和零件成本，而产品的损失和零件的成本都是由零件参数决定。所以，我们就先从产品的零件参数着手,逐步求优。

零件参数x 1,x ２,…,x 7对ｙ的影响由经验公式:

y x x x x x x x x x x x =?? ???-?? ??

??

--?? ????????????? ???-174421262103612321085

42056

3

24211667......

来确定,因y 的目标值（记作y 0)为1.50。且已知：当y 偏离y 0±01.时,产品为次品,质量损失为1,000(元)；当y 偏离y 0±03.时，产品为废品，损失为９,000（元)。可见,选定的标定值x 1,x ２,…,x 7使得y 的值接近1.5，且在(x 1，x 2，…,x ７)附近ｙ的取值稳定在1.５附近。所以，我们所设计零件参数,就要尽可能使产品为正品的数量多,次品的数量少、尽量使废品不出现,从而使得总费用（损失费+成本费)最小。

四、模型的建立

在原设计中,组成离子分离器的七个零件参数的标定值已知为：

X 1＝０.１,X 2＝0．3，X ３＝0.1，X 4＝0．１,X ５=１.５，X 6=16,X 7=0.７5

将以上标定值代入公式:

y x x x x x x x x x x x =?? ???-?? ????

--?? ????????????? ???-174421262103612321085

42056

3

24211667

......

得出： y =17255.

显然: y y -=-=0172551502255...大于0．1且小于0．3

由y 的取值符合正态分布,可以看出在该标定值下,产品出现“次品”和“废品”的概率较大。

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由于零件的容差均取最便宜的等级,故此，可得出七个零件参数可能的取值范围如下表：

为了计算y y 偏离0造成的损失和零件成本。我们给出了两个模型。

模型一

首先考虑y y 偏离0造成的损失，由于给出的零件参数都有一定的容差，所以零件成本即可确定。进一步,由零件的参数决定的产品参数也在一定的范围之内。而要确定损失，首要问题就是要确定生产一批产品中正品、次品、废品出现的数量。在此之前,我们先对一批产品中正品、次品、废品的概率做一计算; 根据已知条件我们建立了以下的模型：

()()min (,,,)(,,,),,,.[,],,,Z P x x x P x x x W w w w s t x a b i n n n i i i =++∈=??

???1000900012112212123

其中[]a b i i ,为参数X i 标定值容许范围,w i 为容差等级。

模型二

利用随机搜索法,由于零件的参数是随机的(参数）且符合正态分布，所以，我们构造出另一模型:

()x x R K r s t x J i n i i

i d K i =+-∈=????

?()

.(,,,)02112

其中K 为随机概率的分布系数，是个正奇数,以保证()21r -值可正可负，其值通常取1,３,5，7等,其中K 的值越大，则所构成的函数就越窄,反之越缓。但是在K 大于7时在多数情况下，对搜索不很有利，降低了收敛速度。所以，我们在对K 取值时应尽量避开大于7的数。由正态分布的特点可知：当K =1时，显然是不可取的。但是，K 的取值有规律,即x 的取值范围(也就是零件的容差）越小,K 就越大,反之越小。

五、模型求解及结果分析

模型一

我们利用网格法(亦称枚举法）求解，把划定的区域分成若干个“网格点”,然后就各个网格所在的产品规格做一分析,得出正品、次品、废品的概率,从而得出总的费用。

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于是得出求解方程

()()()()()

()P P f x f x f x i n s t

f x J j n n i i ==∈??

???112212,,,,,.

所以

P P x P x P x dx dx dx i n i n

n n n

=?

??= 11221212(),()()(,,,)

从上式可以看出，求解需进行七次积分,如不利用计算机进行计算,显然很难得出结果, 此时我们就编程利用计算机求解。

在此，我们利用数学软件Mathematica 编程（源程序及求解过程见附录１）求解得:

Ｐ＝293.4(万元)

由于零件的等级均取最便宜的，所以，零件的成本为：

P ’=２0（万元）

总的代价为：

P 总=Ｐ＋P ’=293.４＋20=313．4(万元)

在此,我们为了使模型具有可靠性，还利用了数学软件Mathematica 在零件参数范围之内随机取值得出结果。当随机循环比较小时,Ｐ总的变化比较大,即P 总的值不稳定,而当随机循环次数比较大时，Ｐ总的值趋向一稳定值。我们把随机循环的次数为２0万次与5０万次的做一统计：

2０万次时，P 总=３１３．４（万元）; 5０万次时,Ｐ总=３14（万元)。

由于在产品中只要出现一个废品,其费用就要增加9０0０元，而上面得出的结果只相差600０元。所以,可以验证以上得出的结果具有稳定性。

模型二

我们把模型二结合已知的数据,对模型

()x x R K r s t x J i n i i

i d K i =+-∈=????

?()

.(,,,)02112

中的参数做一分析：把x i 0记作零件参数的标定值，零件的容差决定了x i 的取值范围。由

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于

()R K r i

d K 21-正是用来确定x i 的取值。而()21r K -是(-１，1)之间的值。所以,我们把R K i d 记为32

σ。

我们编程(程序参见附录二：qbasic 程序)利用计算机求得P 正 、P 次 、Ｐ废的概率分别为０．０9、0．695、0.２１5,求得在原设计中ｙ 偏离ｙ0造成的损失和零件成本共283０00元。在编程进行的随机搜索法中,我们发现K 和K d 的选择对算法效率有显著的影响。当靠近最优点时，增大K 和减小K d 的值,可使Ｐ废的概率增大,经过一定次数的迭代，取K d =１,K=3.这样我们的模型具有一定的稳定性和合理性。

由于我们所建模型时伪随机数r 的个数不同，导致在不同次数的计算中,r 的值不 能一一对应相等。ｒ的个数越多,在我们所编程序中运行次数越多,即步长越小,搜索越细，相对来说计算结果就越精确,所以由于计算时间的限制我们的计算结果免不了会有误差存在。

从以上两个模型结果可以看出，计算结果相差无几,这也许是由于随机误差的原因，因为只要在产品中增加一个废品,那么总费用将增加90０0元，而两模型的结果相差不到两万元，故此,这点误差是可以容忍的。

由于在模型二中,一些参数带有主观色彩，使得计算结果就不能确定其完全可靠，但经过模型一及计算机随机发生器产生的结果检验。而且,当我们计算的循环次数越多，其结果越稳定。故此，模型二还是有一定的可信度。

对于模型一，虽然比较严密,但是计算量特别大,我们设计的程序运行将近两个小时,而模型二只需1０分钟就可以得出结果。

至于利用数学软件Mathematica 随机发生器计算结果，只是对模型进行验证的一种方法。

六、重新设计零件参数

由给定的值计算的结果：

y x x x x x x x x x x x =?? ???-?? ??

??

--?? ????????????? ???-174421262103612321085

42056

3

24211667......

y =17255.

总费用的期望值3１３．4万元。 可以看出,给定零件参数的标定值,其组成产品某参数在正品的范围之外，且总费用之大，简直不符合实际。对此,我们需重新设计零件参数，使得总费用的期望值降低。所以,我们需对原零件的参数做逐步微调。首先，我们应分析各零件的敏感度（零件参数对产品参数的影响程度)。先把确定情况下产品参数对零件参数的偏导做一计算。显然,偏导越大,其敏感度就越大。也就是首先应调整的参数。

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如果对每一个符合条件的值都给予计算，其计算量之大是不可估量的，也是不可能的。故此，我们利用逐步规划，然后上机运行得出标定值比较好的结果为: 即新设计的标定值：

当标定值一定的情况下，零件的等级组合有１0８种，下面我们就将一些组合列出， 并计算其总费用值。为了使正品的概率增大来减小质量损失,从而使总的损失减小。首 先我们取零件等级较高的情况，得出结果如下表：

P 正=0.８2431７ P 次=0．１６４20９ ?P 废=0.０0006５1４23 Ｅ(费用) =1０00×(25＋50＋２００+100+5０＋10＋25＋1000×0.１64２09＋90０0×０.00０065１４23）

=62４７9５.2７8

从上面计算的结果可以看出,总的费用比给出的情况下减小了很多,我们为了进一步减小损失,把零件的容差调大，再计算其总费用如下表:

P 正＝0．８0829９ P 次=０.18０1６2 P 废＝0.0００13０192

E （费用)=1０00×(25+50+50+1０0+5０+10+25+１000×0.18016２+9０0０×０.000１3019２） =４91334

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上面计算结果表明：零件的等级降低后,其总费用显著减小，故此，我们再次把零件容差调大,再观察其总费用：

P 正=0.8１３75５ Ｐ次＝０．１8６09５ P 废＝0．00０150114

Ｅ（费用)=１０0０×(2５+５0+５0+50+50+1０+2５+1000×0．18６09５+90０0×0.00015011４)

=44７44

６

此时,我们发现费用仍在减小，为了找到总损失最小的情况，继续调大零件容差,计算结果如下：

此时,计算得到的总费用近似为49万元。很明显，这时的总费用已经增加了,所以，在此之后的情况下，得出的总费用越来越高,故此，其调整方案也就越算越差,在此,我们就不一一列出。且对模型没有帮助。

为了进一步寻求较优情况,我们再对上面的情况下，作进一步修改，由于ｘ3的偏导较大（即敏感度比较大）,使它的容差减小，再计算其总费用值。

P 次=0．１６9104 P 废＝0.000０675851 P 正=0．８30８２８

E(费用)=１0０0×(2５+50+5０+５0+50+2５+25+10０0×０.１69１04＋９000×0.0０0０6７５85)

=4４4７1３

很显然，以上计算即为上面求得的标定值下的最优情况。

为了继续降低总费用,我们提出另一种计算零件标定值的方法。即:使各零件参数在标定值处偏导尽量小，且使偏导之和尽量小。再次计算得出的标定值如下：

利用上次标定值情况下零件的最优组合，求出此标定值下的最小费用,其计算如下:

Ｐ

次=０.146382 Ｐ

废

＝０.0０00２１4919 P

正

=０．853596

E（费用)=(２5+５0＋5０+5０+50＋25+25+１000×０.１４638２+9000×0.000021４919)

＝４２１５７５(元)

经过上述一系列的计算，我们得出了一个比较满意的结果,把总费用降低到4215７5元,比原设计的总费用降低了31３.４-42.157５＝２71．24２5（万元)

七、模型推广

对于任何一位设计工程师来说，总是愿意找出一个最优的设计方案,使所设计的工程设施或产品具有最好的使用性能和最底的材料消耗与制造成本。而本模型的建立也正是为解决这种问题,所以说本模型具有广泛的普遍性和适用性以及较高的推广价值。就本题来说:粒子分离器某参数由7个零件的参数决定，但在现实生活中其影响参数的因素是不定的，然而无论影响参数的因子有多少,我们都通过模型给出了一个比较满意的方案。而且在现实的工厂生产中，影响整品的因素N会非常的多,这样如何利用比较合理的方法解决这样的问题就显得尤为重要，这也正是本模型的意义所在。也就是说只要改变其中的部分系数本模型就可以适用机械化工业部门的生产。

另外，这种随机搜索法没有固定的移动模式，而是在可行域内,适应目标函数的下降性质，向最优点作随机移动并靠近它。

八、模型评价

在本模型中我们首先用网格法，由于所取每个变量有不止一个离散点,借用计算

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机编程进行计算,若计算次数较少,则在很短的时间内就可运行完毕。但无法满足拟合的精度要求若计算次数较大,也就是说将其进行较细的细化，例如1010,据估计需要将近300小时,那么我们这三天时间是远远不够的。所以这种计算方案是不太合理的。而随

机搜索法恰恰避免了网格法的运行时间长的缺点,并且它的合理性较大，总费用也较少。然而它有个缺点是K值较难精确确定，在模型里，我们是用试算法确定的，相对来说也有一定的误差，但误差较小，在这里可忽略不记。

九、模型改进

对于第一个模型,我们是非常易于理解的,它本质就是要计算满足要求的点落在正品、次品和废品的概率,从而确定费用的最小值。但是这种思想实现却非常的麻烦，因为对于题目所给定的数据,我们要解决的是一个七维的函数,我们首先要将其细化，将其分成空间的n个小的立方体,近似的依它中点落在的某个区间的概率来确定出现正品、次品和废品的概率，计算过程中我们要计算的是一个七重的积分，即使利用计算机编程也要花费大量的时间和精力。而对于模型二,却可以完全避免这种情况，因为我们构造的伪随机函数是非常简单的,即使通过改变步长，也不会带来太大的计算麻烦，虽然这个函数是我们随机构造的伪的随机函数,但通过我们的计算，发现它的计算结果完全呈正态分布,而且通过计算所得的结果与用原始方法计算的结果也大致相同,同时还可以比较合理的检验某一组解的合理性。这充分说明这种算法是非常合理的，但是由于它中间伴随有人为的模糊控制的因素,使它不可能十分的精确，所以我们认为可以通过第一个模型来确定解的大致位置以尽可能的缩小解的范围,再用第一个模型解出一个比较精确的解，并代回第二个模型检验。这样可以达到减化计算的目的。

十、模型优缺点

模型二随机搜索法便于实现程序和实际使用，在较大的范围内模拟随机进行，结构简单，但精确性不高。模型一网格法通俗易懂,而且精确度高,但由于费时费工所以推广价值不大。

参考文献

1、北京钢铁学院机械优化设计方法冶金工业出版社。

2、中国数学会主办数学的实践与认识。

３、.周概容概率论与数理统计高等教育出版社。

4、刘惟信孟嗣宗机械最优化设计清化大学出版社

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附录一.概率的计算程序清单

输入参数说明:

dui---－－------－--ｘi的标定值;

dfi-------－---－-－-xi对应的均方差;

ni -----－----－--－-区间的分割数;

（i=1,2,.．.． (7)

源程序:

s7[dｕ１_,df１_,ｎ1_,ｄu2_,ｄf2_,ｎ２＿，ｄu3_,dｆ3_,n3_,du4_，dｆ４＿,n4_， du5_,df5_,ｎ5_,du6＿，dｆ６_,n６_,du７_,df７＿,n７＿]:＝Ｍodulｅ［{sc＝0.0,xx1，ｓ1=6.0*dｆ１/n1,ｘx2，ｓ２=6.0*ｄf2/n2，ｘx3,s3=6.0＊df3/ｎ3，

sf=0.0,xx4,s４＝6.０*df４／n4,xx５,ｓ5=6.0＊df５／n5,ｘx6，s6=6.０*df6/n６，

sz=0.0,i1=0,ｉ2=0,i3=0,xx7,s7=6.0*ｄｆ7／n7,ddf,xc2，xc3,xc4,ｘc5, xc6,xｃ7,fyd},

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