平面向量：章末检测含答案

平面向量 章末检测

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1．设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x =( ) A ．2 B ．3 C ．4

D ．6

2．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 3．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO

→，BO →，OC →，OD →是( )

A ．相等的向量

B ．平行的向量

C ．有相同起点的向量

D ．模相等的向量

4．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC

→＝(－4，－3)，则向量BC →=( )

A ．(－7，－4)

B ．(7,4)

C ．(－1,4)

D ．(1,4)

5．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a =( ) A ．－1 B ．0 C ．1

D ．2

6．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )

A ．|a·b |≤|a ||b |

B ．|a －b |≤||a |－|b ||

C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2

D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 7．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →= ( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 2

8．已知向量a ＝? ????32，sin α，b ＝? ?

???sin α，16，若a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°

9．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论

正确的是( )

A ．|b |＝1

B ．a ⊥b

C ．a ·b ＝1

D ．(4a ＋b )⊥BC

→

10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →

＝mOA

→＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为( ) A ．2 B.5

2 C ．3

D ．4

11．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF

→＝－23，则λ＋μ=( ) A.12 B.23 C.56 D.712

12．若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2

D ．2

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若λa ＋b 与c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 14．已知a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.

15．已知向量a ＝(6,2)，b ＝? ?

???－4，12，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l

的方程为________．

16．已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分)

17．(10分)已知|a |＝4，|b |＝3，〈a ，b 〉=2π3,若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．

18．(12分)(1)在直角三角形ABC 中，C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求AB →·BC →； (2)已知向量AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )，a ∈R .若△ABC 为直角三角形，求a 的值．

19．(12分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，

(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|.

20．(12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.

(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．

21．(12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )， (1)若a ∥AB

→，且|AB →|＝5|OA →|，求OB →的坐标；

(2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．

22．(12分)在△OAB 中，OC

→＝14OA →，OD →＝12

OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .

(1)用a ，b 表示OM

→;

(2)已知在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE →＝pOA →，OF →＝qOB →，

求证：17p ＋3

7q ＝1.

平面向量 章末检测答案

1．解析 ∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，∴x ＝3.答案 B 2．答案 B

解析 设a ＝k 1e 1＋k 2e 2，A 中，∵(3,2)＝(k 2,2k 2)，∴?????

k 2＝3，

2k 2＝2，无解，

B 中，∵(3,2)＝(－k 1＋5k 2,2k 1－2k 2)， ∴????? －k 1＋5k 2＝3，2k 1－2k 2＝2，解之得?????

k 1＝2，

k 2＝1. 故B 中的e 1，e 2可把a 表示出来． 同理，选项C 、D 同选项A ，无解． 3．答案 D 4．答案 A 5．答案 C

6．解析 当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |>||a |－|b ||，选项B 不成立．答案 B 7．解析 BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D.

8．解析 ∵a ∥b ，∴sin 2α＝32×16＝14，∴sin α＝±12.∵α为锐角，∴α＝30°.答案 A

9．解析 在△ABC 中，由BC

→＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.

又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·

b ＝4a·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC

→，故选D. 10．解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，

OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33， ∴m ＝3n ，即m

n ＝3，故选C.

11．解析 以AB →，AD →为基向量，则AE →·AF →＝(AB →＋λAD →)·(AD →＋μAB →)＝μAB →2＋λAD →

2＋(1＋λμ)AB →·AD

→ ＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1.①

CE →·CF →＝(λ－1)BC →·(μ－1)DC

→＝－2(λ－1)(μ－1)＝－23，② 由①②可得λ＋μ＝5

6.答案 C

12．解析 坐标法：由已知可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )． 由|c |＝1，(a －c )·(b －c )≤0，

得?????

x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－x －y ≤0

， ∴x ＋y ≥1.

从而|a ＋b －c |＝(1－x )2＋(1－y )2＝3－2(x ＋y )≤1.

答案 B

13．答案 2解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，所以λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)． 因为λa ＋b 与c ＝(－4，－7)共线，所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.

14．解析 因为|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×? ????－12＝49.

所以|5a －b |＝7. 答案 7

15．解析 设P (x ，y )是直线l 上任意一点，根据题意，有AP →·

(a ＋2b )＝(x －3，y ＋1)· (－2,3)＝0，

整理化简得2x －3y －9＝0.

16．解析 AO →·AP →＝|AO →|·|AP →|·cos 〈AO →，AP →〉＝2|AP →|cos 〈AO →，AP →〉，如图， |AP →|cos 〈AO →，AP →〉的最大值为AB ＝3，故AO →·AP →的最大值为6. 17．解 ∵AB

→与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3

.

又|AB →|＝|a |＝4，|BC →

|＝|b |＝3，

∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×3

2＝3 3.

18．解 (1)在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，故BC ＝3，且cos ∠ABC ＝35， AB →与BC →的夹角θ＝π－∠ABC ，∴AB →·BC

→＝－|AB →||BC →|cos ∠ABC ＝－5×3×35＝－9. (2)∵△ABC 是直角三角形，∴A ＝90°或B ＝90°或C ＝90°. 当A ＝90°时，由AB →⊥AC →，得3×(－1)＋1·a ＝0，∴a ＝3；

当B ＝90°时，BC →＝AC →－AB →＝(－4，a －1)，由AB →⊥BC →，得3×(－4)＋1·(a －1)＝0， ∴a ＝13；

当C ＝90°时，由BC

→⊥AC →，得 －1×(－4)＋a ·(a －1)＝0，即a 2－a ＋4＝0， ∵a ∈R ，∴方程a 2－a ＋4＝0无解． 综上所述，a ＝3或13.

19．解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61，

又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.

又0≤θ≤π，∴θ＝2π

3.

(2)可先平方转化为向量的数量积．

|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13. 20．(1)证明 由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a·b ＝2，即a·b ＝0，故a ⊥b . (2)解 因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，

所以?????

cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，

由此得cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β. 代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.

21．解 (1)∵AB

→＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t .①

又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.②由①②得5t 2＝5，∴t 2＝1，∴t ＝±1.

当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t ＝cos θ－12，∴y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2

θ－32cos θ＋14 ＝54(cos 2θ－65cos θ)＋14＝54(cos θ－35)2－15，∴当cos θ＝35时，y min ＝－15. 22．(1)解 设OM

→＝m a ＋n b ，则AM →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝－a ＋12b .

因为点A ，M ，D 共线，所以AM

→与AD →共线，

所以1

2(m －1)－(－1)×n ＝0，所以m ＋2n ＝1.① 而CM

→＝OM →－OC →＝? ????m －14a ＋n b ，CB →＝－14a ＋b . 因为C ，M ，B 共线，所以CM

→与CB →共线，

所以－14n －? ????m －14＝0.所以4m ＋n ＝1.②联立①②可得m ＝17，n ＝37，所以OM

→＝17a ＋37b .

(2) 证明 EM →＝? ????17－p a ＋37b ，EF

→＝－p a ＋q b ， 因为EF

→与EM →共线，所以? ????17－p q －37×(－p )＝0. 所以17q －pq ＝－37p ，即17p ＋3

7q ＝1.