2014年初三数学竞赛试卷(含答案)

2014年湖州市初三数学竞赛试题

（2014年12月14日 上午9：00—11：00）

题 号 一 二 三

总分 1－8 9

－14 15 16 17 18 得 分 评卷人 复查人

答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答． 2．解答书写时不要超过装订线．

3．可以用计算器

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分)．

1．已知|a+b|+|a-b|-2b=0，在数轴上给出了如图所示的关于a ，b 的四种位置关系，则可能成立的有( )

A ．1种

B ．2种

C ．3种

D ．4种

2．已知a 是方程3

310x x +-=的一个实数根，则直线1y ax a =+-不经过（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3. 2612111012111010(2)x x a x a x a x x a --=++++…+a ，则12108642a a a a a a +++++=（ ）

（A ）64 （B ）32 （C ） －32 （D ）－64

4. 如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）

A. B. C. D.

23-π332-π2

332-π3-π第4题

5. A 、B 、C 三个足球队举行单循环赛，下表给出了部分比赛信息：

则A 、B 两队比赛时，A 队与B 队进球数之比为（ ） A.2∶0 B.3∶0 C.2∶1 D.3∶1

6．定义新运算： a ⊕b=???

??≠>-≤-)0()(1b b a b

a b a a 且，则函数y=3⊕x 的图象大致是( )

7．.如图，∠XOY ＝90°，OW 平分∠XOY ，P A ⊥OY ，PB ⊥OX ，PC ⊥OW ． 若OC ＝2－1，则OA ＋OB ＋OC ＝（ ）

A ．３

B ． ２

C ．１

D ．

2

1

8．我们用()f x 代替函数中的变量y ，如：3y x =+可以记作()3f x x =+，“当x =1，y =4”

可以记作“(1)4f =”．现有函数1()2f x x =，22

()f x x

=，3()6(1)(2)f x x x =---，记k I =100(1)99k k f f ??-+ ???1001019999k k f f ????

-+

? ?????

197(2)99k k f f ??+- ???

， 其中k =1，2，3，则下列结论正确的是（ ）

A ．123I I I <<

B ．213I I I <<

C ．231I I I <<

D ．321I I I << 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．有一组数满足, ,2 ,0 ,2 ,0,2,14635241321 =-=-=-=-==a a a a a a a a a a

按此规律进行下去，则=++++100321a a a a ___________.

球队 比赛场次 胜 负 平 进球数 失球数 A 2 2场 1 B 2 1场 2 4 C 2 3 7

B

C

O

y

x

P W

第７题图

A

10.如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线A C 上的一点， 且OA ＝a ，O B ＝OC ＝OD ＝1，则a 的值等于__________．

11．直线k x y +=

2

1

与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，如果S △AOB ≤1， 那么k 的取值范围是 。

12．如图，在圆O 中有折线ABCO ,BC=6,CO=4,

60B C ∠=∠=,则AB 的长为

13．如图，直线12y k x =+ 与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于点A 、B ，点C 、D 在线段

AB 上．若反比例函数

2

k y x

=

的图象经过点C 、D ，且BD =CD ， 则

的值等于 。

14．二次函数a ax x y ++=22

在21≤≤-x 上有最小值4-，则a 的值为___________.

C O

B

A

第12题

C

D

B

A x

y O

第13题

21k k ? A

B

C

D

O 第10题

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）

15．如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．

（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；

（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

第15题

16. 下面图像反映的是甲、乙两人以每分钟80米的速度从公司出发步行到火车站乘车的

过程．在去火车站的途中，甲突然发现忘带预购的火车票，于是立刻以同样的速度返回公司，然后乘出租车赶往火车站，途中与乙相遇后，带上乙一同到火车站，结果到火车站的时间比预计步行到火车站的时间早到了3分钟．

⑴甲、乙离开公司 分钟时发现忘记带火车票；图中甲、乙预计步行到火车站时路程s 与时间t 的函数解析式为 ；（不要求写自变量的取值范围） ⑵求出图中出租车行驶时路程s 与甲、乙两人出发时间t 的函数解析式；（不要求写自变量的取值范围）

⑶求公司到火车站的距离．

480

12

16

O

t S

A

B

C

（米）

（分钟）

第16题

17甲. （S ）

已知，如图：在ABC ?中，1

90,2

C AC BC ∠=?=

.以BC 为底作等腰直角BCD ?，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥.

17乙. （T ）

已知，如图：在ΔABC 中，AB=AC ，∠BAC=80°，O 是ΔABC 内一点，∠OBC=10°，

∠OCA=20°．求∠OAC 的度数．

第17题 A B

C

O

18．如图，已知抛物线y=ax2＋bx经过点A(10,0)和B(8,4)．点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线段，与直线OB交于点C，延长PC到Q，使QC=PC．过点Q的直线分别与x轴、y轴相交于点D、E，且OD=OE，直线DE与直线OB相交于点F．设OP=t．

（1）请直接写出抛物线和直线OB的函数解析式；

（2）当点Q落在抛物线上时，求t的值；

（3）连结BD：

①请用含t的代数式表示点F的坐标；

②当以点B、D、F为顶点的三角形与△OEF相似时，求t的值．

O A

B

x y

P

Q

C

E

D

F

第18题

2014年湖州市初三数学竞赛试题评分意见与参考答案

一、选择题

1．B 2．Ｄ 3．C 4．A 5．Ａ 6．B 7．Ｃ 8． Ｂ

二、填空题（共

6小题，每小题5分，满分30分） 9．2600 10． 11．－1≤k ≤1

12．10 13．8

9- 14． 5或2

171-,

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15．解：由题意，得：

，解得：

， ∴A （1，6），B （6，1），------------- 4分

设反比例函数解析式为y = ，将A （1，6）代入得：k =6，

∴ 反比例函数解析式为y = ； ---------------------- 2分

（2）存在，设E （x ，0），则DE =x ﹣1，CE =6﹣x ， ∵AD ⊥x 轴，B C ⊥x 轴，∴∠ADE =∠BCE =90°，

连接AE ，BE ，

则S △ABE ＝S 四边形ABCD －S △ADE －S △BCE

=

（BC +AD ）?DC －DE ?AD －CE ?BC ＝ ＝５； ------- ------------- 4分 解得：x =5，∴ Ｅ点坐标为（5，0）．------------- 2分 16. (1) 6 S=80t ----- ------- -------------4分 （2）点B 的坐标为（16，1280）

∵ 直线BC 过点（12，0）和（16，1280）

∴ 解得：

S=320t －3840 ------ -------.------ -------------.4分 （3）设原来预计ｘ分钟到达火车站，则由题意得 解得ｘ＝20，80x=1600米

即公司到火车站的距离为1600米 .------ -------------.4分

x

k x

6

21

[])535

(2

1

x -??

?=+=+128016012b k b k ??

?-==3840

320b k 3840)3(32080--=x x 2

15+

17（甲）. 证明：

过E 作//EF BC 交BD 于F 135ACE ACB BCE ∠=∠+∠=?

45135DFE DBC EFB ∠=∠=??∠=? -------.2分

又11

//22

EF BC

AC BC =

EF AC ∴= ------ -------.------ -------------.4分

CE FB = -----.------ -------------.2分

90CEA DBE

EFB ACE DBE DEB ∠=∠?

∴????

?∠+∠=??

又 -----.------ -------------.2分

90DEB CEA ∴∠+∠=? ------ -------.------ -------------.1分

故90AEB ∠=? ------ -------.------ -------------.1分

AE EB ∴⊥

17（乙）.解：

作∠CBD=10°，且BD=BA ---.------ -------------.2分 则ΔABD 是等边三角形，

∴ AD=AB ， ---.------ -------------.2分 又AB=AC ，∴ AD=AC ，

∠DAC=80°－60°=20° ∴ ∠ACD=80°----------.2分 ∴ ∠BCD=80°－50°=30°=∠BCO ∴ ΔBDC ≌ΔBOC ---.------ -------------.2分 ∴ BO=BD=AB

∵ ∠ABO=40°，∴ ∠BAO=70° ---.------ -------------.2分 ∴ ∠OAC=10° ------ -------.------ -------------.2分

18. 解：

（1）抛物线的函数解析式是215

42y x x =-+，- ---------2分

直线OB 的函数解析式是1

2

y x =； - ---------2分

（2）∵OP =t ，PC ⊥x 轴于点P ，交直线OB 于点C ， ∴PC =1

2

t ，∴PQ =t ，即Q （t ，t ），------ -----------.2分

当点Q 落在抛物线上时，215

42

t t t =-+，

解得：6t =； ------ -----------.- ---------2分

O A

B

x

y

P Q C

E

D F

G A

B C

O

D

（3）①作FG⊥x轴于点G，设FG=n，

由（2）得：PQ=t，∵OD=OE，OD⊥OE，∴45

ODE

∠=?，∴△PDQ是等腰直角三角形∴PD= PQ=t，∴OD=2t，

同理可得：FG= DG=n，∴OG=2t n

-，

将x=2t n

-，y=n代入

1

2

y x

=得：

2

3

n t

=，

∴OG=4

3

t，∴F（

4

3

t，

2

3

t）；-----------------.----------2分

②由（3）①得：OF =2225 3

FG OG t

+=，2222 3

FD FG DG t

=+=，∵22

ED t

=，45

OB=，

∴BF =

25

45

3

OB OF t

-=-,

4

2

3

EF ED FD t

=-=,

Ⅰ．当点F在射线OB的点B的右侧时：∠BFD>90°,而△OEF中无钝角，故此时△OEF 与△DBF不相似；

Ⅱ．当点F在线段OB上时：

∵∠OFE=∠BFD，∴OE和BD是对应边，

当△OEF∽△DBF时，OF EF

DF BF

=，即

254

2

33

2225

45

33

t t

t t

=

-

，解得：

10

3

t=，

当△OEF∽△BDF时，OF EF

BF DF

=，即

254

2

33

2522

45

33

t t

t t

=

-

，解得：4

t=．

∴

10

3

t=或4．-----------------.----------4分