高数第二册习题及答案
高等数学练习题 第十章 曲线积分与曲面积分
系 专业 班 姓名 学号
第一节 对弧长的曲线积分
一．选择题
1．设L 是连接)0,1(-A ，)1,0(B ，)0,1(C 的折线，则
()L
x y ds +=?
[ B ]
（A ）0 （B ）2 （C ）22 （D ）2
2．设L 为椭圆13
42
2=+y x ，并且其周长为S ，则22(3412)L x y ds ++? = [ D ] （A ）S （B ）6S （C ）12S （D ）24S
二．填空题
1．设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则曲线积分
22()L
x y ds +=?
π
2．设L 是由点O(0,0)经过点A(1,0) 到点B(0,1)的折线，则曲线积分()L
x y ds +=?
22
1
+ 三．计算题 1．
22()n L
x y ds +?
，其中L 为圆周t a x cos =，t a y sin =（π20≤≤t ）.
解：原式220
a π
=
?
221
n a
dt π
+=?
21
2n a π+=?
2．
L
?
，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形
的整个边界.
解：设圆周与x 轴和直线x y =的交点分别为A 和B ，
于是原式{}=
++?
??
OA
AB
BO
在直线OA 上dx ds y ==,0得
OA
?
0a
x e dx =?
1a
e =-
在圆周AB 上令4
0,sin ,cos π
θθθ≤
≤==a y a x 得
40
a AB
e π
θ=?
?
4
a
a e π?= 在直线BO 上dx ds x y 2,=
=得
BO
dx =?
1a
e =- 所以原式2)4
2(-+=a e a
π 3．
2L
y ds ?
，其中L 为摆线的一拱)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=（π20≤≤t ）.
解：原式2
21(cos )a
t π
=-?
5
3
2
1(cos )t dt π
=-?
3
25615
a =
或 原式22
01(cos )a
t π
=-?
52
3
2
01(cos )t dt π
=-?
523
2
1(cos )t dt π
=-?
5
23
2
20
22
(sin )t
dt π
=
?
23
5
82sin t a
dt π
=?
232401612242
(cos cos )cos t t t
a d π=--+?
3
25615
a =
高等数学练习题 第十章 曲线积分与曲面积分
系 专业 班 姓名 学号
第二节 对坐标的曲线积分
一．选择题
1．设L 以)1,1(，)1,1(-，)1,1(--，)1,1(-为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则
22L
x dy y dx +=?
[ D ]
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）0 2．设L 是抛物线)11(2≤≤-=x x y ,x 增加的方向为正向，则L
xds ?
和L
xdy ydx -=?[ A ]
（A ）32,
0 （B ）0,0 （C ）32,85 （D ）0,8
5 二．填空题
1．设设L 是由原点O 沿2x y =到点A )1,1(，则曲线积分
()L
x y dy -=?
6
1
2．设L 是由点)1,1(-A 到)1,1(B 的线段，则22(2)(2)L
x xy dx y xy dy -+-?
=
3
2
. 三．计算题
1．设L 为取正向圆周222a y x =+，求曲线积分
2(22)(4)L
xy y dx x x dy -+-?
.
解：将圆周写成参数形式)20(,sin ,cos πθθθ≤≤==a y a x ，
于是原式
θθθθθθθθπ
d a a a a a a }cos )cos 4cos ()sin ()sin 2sin cos 2{(20
222??-+-?-=
2322233220
224a a a a d π
θθθθθθ=
-++-?
{(cos sin sin )(cos cos )}
π22a -=
2．设L 是由原点O 沿2
x y =到点A )1,1(，再由点A 沿直线x y =到原点的闭曲线，求
arctan
L
y
dy dx x
-?
解：1arctan =-?OA
y
I dy dx x
1
21(arctan )=
-?x x dx
210[arctan arctan ]=-+-x x x x x
22
=
-π
2arctan AO
y
I dy dx x
=-? 0
1
11(arctan )dx =
-?
14
π=-
所以原式122124
=+=-+-I I π
π
14
=-π
3．计算
()()L
x y dx y x dy ++-?
，其中L 是：
（1）抛物线x y =2
上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧；
（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段； （3）先沿直线从点（1，1）到点（1，2），然后再沿直线到点（4，2）的折线. 解：（1）原式2
221
2{()()}y y y y y dy =+?+-?
2321
2()y y y dy =++?
34
3
=
（2）过（1，1），（4，2）的直线方程为dy dx y x 3,23=-=
所以 原式2
1
34222{()()}y y dy =-+-?
2
1
104()y dy =
-?
11=
（3）过（1，1），（1，2）的直线方程为21,0,1≤≤==y dx x
所以 2
1)1(2
1
1=
-=
?
dy y I （3）过（1，2），（4，2）的直线方程为41,0,2≤≤==x dy y
所以 2
27
)2(4
1
2=
+=
?
dx x I 于是 原式1421=+=I I 4．求
222
()2,
L
y z d x y z d y xd z -+-
?
其中L 为曲线)10(,,32≤≤===t t z t y t x 按参数增加的
方向进行.
解：由题意，原式1
4
664043{()}t
t t t dt =-+-?
1640
32()t t dt =-?
135
=
高等数学练习题 第十章 曲线积分与曲面积分
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第三节 格林公式及其应用
一．选择题 1．设曲线积分
4124(4)(65)p p L
x xy dx x y y dy -++-?
与路径无关，则=p [ C ]
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．已知
2
)
()(y x ydy
dx ay x +++为某函数的全微分，则=a [ D ] （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2
3．设L 为从)21,1(A 沿曲线2
2x y =到点)2,2(B 的弧段，则曲线积分222L x x dx dy y y
-?= [ D ]
（A ）3- （B ）
2
3
（C ）3 （D ）0
二．填空题
1． 设L 是由点)0,0(O 到点)1,1(A 的任意一段 光滑曲线，则曲线积分
?
=+---L
dy y x dx y xy 22)()21( 3
4
-
2． 设曲线L 为圆周922=+y x ，顺时针方向，则2(22)(4)L
xy y dx x x dy -+-=?
π18
三．计算题 1． 3222(2cos )(12sin 3)L
I xy y x dx y x x y dy =
-+-+?
，
其中L 为在抛物线22π=x y 上从点)0,0(到)1,2
(π
的一段弧。
解：设,cos 2),(23x y xy y x P -= ,3s i n 21),(22y x x y y x Q +-= 因为
x y xy x
Q
y P cos 262-=??=??，所以曲线积分与路径无关。 于是 1032222
20002
2123(,)(,)(,)
(,)[
](cos )(sin )I xy y x dx y x x y dy π
π
π
=+-+-+?
?
2
1
20
1234
()=-+?
??y y dy π
24
=π 2． 证明
(3,4)2322(1,2)
(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-?
与路径无关并计算其积分值
证明：设,6),(3
2
y xy y x P -= ,36),(2
2
xy y x y x Q -= 因为
2123P Q xy y y x
??=-=??，并且连续，所以该积分与路径无关。 分别记 )2,1(，)2,3(， )4,3(为C B A ,,
因为积分与路径无关，所以原积分等于沿AB 线段的积分加沿BC 线段的积分。
即，
原式322322
12663xy y dx x y xy dy =
-+-?
(,)
(,)
()()34232232663xy y dx x y xy dy +-+-?
(,)
(,)
()()
3
4
212
8319
6()()x dx y y dy =-+-?
?
。
236=
3．设)(u f 是u 的连续可微函数，且40
()0f u du A =≠?
，L 为半圆周22x x y -=，起点为原
点，终点为)0,2(，求
22()()L
f x y xdx ydy ++?
解：设22P x y x f x y =?+(,)(), 22Q x y y f x y =?+(,)(), 因为
222P Q
xyf x y y x
??'=+=??()，所以该积分与路径无关。 若记)0,2(),0,0(分别为A O , 则原积分 =
?
++OA ydy xdx y x f ))((22
2
20
40122
f x xdx
f u du A ==
=??()()。(令2
u x =)