饮酒驾车模型的建立与分析1 - 副本

饮酒驾车模型的建立与分析

摘要本文讨论的是司机饮酒后血液中酒精含量对驾车的影响.利用药物动力学房室模型,采用微分方程知识,通过运用MATLAB软件,分别建立出司机在快速饮酒和长时间饮酒的数学模型.针对题中所给实例,解决了以下五个问题:

问题一:根据2011年最新驾车标准, 血液中酒精浓度大于或等于20(毫克/百毫升)就被定为饮酒驾车.大李下午6点时血液中酒精浓度为18.8005(毫克/百毫升),凌晨2点时血液中酒精浓度为21.3981(毫克/百毫升),因此会遇到题中所述情况.

问题二:以大李喝三瓶啤酒为例分析,在短时间喝酒后11.5891小时内驾车就会违反标准;若在较长时间（比如2小时）喝酒, 则其后2.786小时内驾车就会违反标准.

问题三:利用MATLAB图像拟合和图像法,可确定出短时间饮酒,血液中酒精含量在1.31小时达到最大值;长时间饮酒,则在2.51小时达到最大值.

问题四:

问题五: 根据建立的房室模型,从饮酒量、驾驶时间以及饮酒方式等角度对想喝酒的司机提出建议,使其科学饮酒,减少交通事故的发生.

关键词微分方程房室模型 MATLAB软件曲线拟合

一、问题重述

当今社会,道路交通事故愈加频繁,饮酒驾车是引起事故的一大原因,建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型迫切而必要.现有一实例:大李中午12点喝了一瓶啤酒,下午6点检查时符合新的驾车标准,紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒,在凌晨2点驾车回家时,却被定为饮酒驾车.现需结合该例,并根据国家质量监督检验检疫局等最新标准，并参考数据（见附录）,建立模型,解决五个问题: 问题一:对大李喝同样的酒,两次检查结果却不一样的情况做出解释;

问题二:分别研究在较短时间和较长时间(如两小时)两种情况下喝3瓶啤酒(或半斤低度白酒),各在多长时间内驾车会违反标准;

问题三:怎样估计血液中酒精含量在何时最高;

问题四:根据所建模型论证:若天天喝酒,能否开车;

问题五:根据所建模型和国家新标准写出短文,给想喝酒的司机如何驾车提出忠告.

二、问题分析

酒精进入人体后,绝大部分进入肠胃,通过渗透作用和排泄作用,肠胃中的酒精一部分在肠胃中代谢,一部分由血液循环进入体液,再由体液排除体外(不考虑酒精由体液反渗回肠胃的过程).针对以上知识可依据药物动力学中房室模型,分别建立出快速饮酒和长时间饮酒的数学模型,解决题目中的五个问题.

针对问题一,根据2011年最新饮酒标准:血液中酒精浓度大于或等于20(毫克/百毫升)就被定为饮酒驾车.大李分别在中午12点和晚上7点半快速喝一瓶啤酒,并于下午6点和凌晨2点接受检查,分别确立不同的初始时刻，将两次的时间代入快速饮酒模型中,就可求出接受检查时,大李血液中酒精的浓度,再与标准进行比较.若下午6点，血液中酒精浓度小于20(毫克/百毫升),凌晨2点血液中酒精的浓度大于20(毫克/百毫升),就可以解释大李遇到的情况.

针对问题二,以3瓶啤酒为例分析: （1）若酒是短时间喝的,由于酒精从一室向另一室的转移速率及向体外的排泄速率与该室的酒精浓度成正比,喝3瓶啤酒时,快速饮酒模型中拟合出的系数相应扩大3倍,令此时血液中酒精浓度不小于20(毫克/百毫升),即可解出喝酒后多长时间内接受检查会违反标准;(2)若酒是在2小时内喝的,令相应模型中血液中酒精浓度不小于20(毫克/百毫升),同样可求出时间.

针对问题三,用MATLAB软件分别拟合出快速喝酒和长时间喝酒的图像,由图像法可分别确定短时间饮酒和长时间饮酒时,血液中酒精含量达到最大值的时间. 针对问题四,

针对问题五,对想喝酒的司机提出建议,就是从饮酒量、驾驶时间以及饮酒方式等

.

角度,保证司机在驾驶时,血液中酒精的浓度小于20毫克

百毫升

三、基本假设

为了简单解决该问题，我们作如下假设:

1.机体分为中心室与周边室,两个室的容积在过程中保持不变;

2.酒精从一室向另一室的转移速率及向体外的排泄速率与该室的酒精浓度成正比。此处的酒精浓度指单位体积血液中酒精的含量;

3.长时间饮酒时肠胃对酒精的吸收是均匀的;

4.酒精在肠胃、体液、外界之间的转化速率是恒定的;

5.忽略人体胃的形状对酒精的吸收以及体液中的酒精向肠胃中的转化;

6.忽略体内生物酶对酒精的作用;

7.快速饮酒时肠胃对酒精的吸收过程很短，可忽略不计;

8.体液与血液中的酒精含量相同;

9.忽略每个人对酒精的代谢能力;

10.大李在晚上7:30吃饭.

四、符号表示

五、模型建立

根据题意可列出下图所示的变量之间的相关联系。

图1.变量联系图

利用药物动力学的有关知识，建立以下数学模型。 因为体液与血液中的酒精含量相同，所以计算体液中的酒精含量就可以转化为计算血液中的酒精含量。

肠胃中酒精含量满足的微分方程 ()dx

ax cx f t dt =--+ ()1

体液中酒精含量满足的微分方程 dy

ax by dt =- ()2 由()1和()2得出

肠胃、体液中酒精含量满足的微分方程组模型为

()()()()()

1122dx

ax cx f t dt dy ax by

dt

x t V C t y t V C t ?=--+??

?=-??

=??=? 即:

()()

1112112

2f t dC a c C dt V dC V a C bC

dt

V ?=-++??

??=-?? ()3

5.1快速饮酒的数学模型 快速饮酒时有()0f t =,

由MATLAB 软件计算得出()()()()()()121a c t a c b t

C t A e a Q C t e B e b t V a c b -+?--+??=???

????=?+?-??

???--+????

()4 （程序见附录），其中A B 、是任意常数

将初值条件 ()()1

12

000Q C V C ?

=??

?=? 代入()4式得出()()()()()()

()11-2

11a c t a c b t bt Q C t e

V aQ C t e e V a c b -+--+?

=??

?

???=-???

--+??

?

所以在快速饮酒时血液中酒精浓度的数学模型为

()()()()

()-211a c b t

bt aQ C t e e V a c b --+??=-??--+??

5.2 长时间饮酒的数学模型

长时间饮酒可看作肠胃吸收酒精是需要一段时间的,即:()()()0Q

t T T f t t T ?≤?=??>?

由()3得 ()()111

2112

2dC Q a c C dt V T t T dC V a C bC

dt V ?=-++??≤??=-??和()()1

121122dC a c C dt t T dC

V a C bC dt V ?=-+??>??=-?? 通过MATLAB 软件分别计算出;

()()()()()()()11221111()a c t

a c t

bt Q C t e TV a c t T aQ e C t e TV a c b a c b b b a c -+-+-?=-?+?

≤??????=-+-?? ??+----?????

()()()()()()

()()1

1

-2

11a c t a c b t bt Q C t e V t T aQ C t e e V a c b -+--+?

=??

>?

???=-???

--+???

所以在长时间饮酒时血液中酒精浓度的数学模型为

()()()()()()()

()()22-1

1111a c t bt a c b t

bt aQ e e t T TV a c b a c b b b a c C t aQ e

e t T V a c b -+---+????

??-+-≤??? ?+----?????

=?

???->???--+???

注:本题中T =2 .

六．模型求解

对于模型5.1,利用MATLAB 数据拟合曲线如下

:

得出快速饮酒时血液中酒精浓度

()()0.1855 2.008257.22t t C t e e --=?-

对于模型5.1,利用MATLAB 数据拟合曲线如下

:

得出长时间饮酒时血液中酒精浓度:

()()()()0.5877 2.1620.1855 2.00810310.757.22t t

t t

e e t T C t e e t T ----?-≤?

=??->??

利用求得的数学模型,对题中给出的五个问题进行解答.

6.1 问题一: 由于快速饮酒模型的初始值是()200C =,可分别将中午12点和晚

上7点半看作初始时刻, 大李在中午12点喝一瓶啤酒到下午6点检查时,时间

6t =,代入模型5.1得:血液中酒精浓度()218.8005(/)C t =毫克百毫升,小于饮酒

驾车标准20(/)毫克百毫升.

根据假设,大李晚上7点半喝一瓶酒,到凌晨2点检查时,血液中酒精含量为上次喝酒的残余浓度()214 4.2627C =和7点半喝酒产生的酒精浓度()2 6.517.1354C =的叠加.因此总浓度()217.1354 4.262721.3981(/)C t =+=毫克百毫升,大于饮酒驾车标准20(/)毫克百毫升,故被定为是饮酒驾车.

6.2 问题二:以大李喝3瓶啤酒为例进行研究.

6.2.1由于酒精从一室向另一室的转移速率及向体外的排泄速率与该室的酒精

浓度成正比, 利用快速饮酒的数学模型及MATLAB 软件拟合得出:

()()0.5565 6.024257.22t t C t e e --=?-

令()()

0.5565 6.024257.22t t C t e e --=?->20,解得t <11.5891,因此在短时间内喝完3

瓶啤酒后，在11.5891小时内驾车会违反标准.

6.2.2 若酒是在2小时内喝的,将时间平均分割为三段,每一阶段可认为是快速

喝一瓶酒.根据模型及叠加作用,计算出长时间(2小时)喝三瓶啤酒后,血液中酒精含量变化数据如下表:

利用MATLAB 软件拟合得出: ()0.5877 2.16210310.7t t C t e e --=?-? 令()0.5877 2.16210310.7t t

C t e e --=?-?>20,解得t <11.3.因此在长时间内喝完3瓶

啤酒后，在11.3小时内驾车会违反标准.

6.3 问题三: 经分析,喝几瓶啤酒对研究血液中酒精含量何时达到最大值无影

响,故解答本题时以3瓶为例.由MATLAB 软件拟合曲线如下:

由图像法得到,短时间饮酒,血液中酒精含量在1.31小时达到最大值;长时间饮酒,则在2.51小时达到最大值.

6.4 问题四:根据所建立的模型及前面的图像可知，长时间饮酒比快速饮酒使

得血液中酒精含量更晚到达最大值.现以快速饮酒为例,假设司机每天喝x 瓶啤

酒,由 ()()0.1855 2.008257.2224t

t C t x e

e t --?=?-??

解得;

若每天喝两瓶,由()()0.1855 2.008257.222t t C t e e --=??-20≤解得11.3t ≥; 若每天喝三瓶,由()()0.1855 2.008257.223t t C t e e --=??-20≤解得16.95t ≥; 若每天喝四瓶,由()()0.1855 2.008257.224t t C t e e --=??-20≤解得22.6t ≥; 若每天喝五瓶,由()()0.1855 2.008257.225t t C t e e --=??-20≤解得28.25t ≥.

6.5 问题五:

给想喝点酒的司机的忠告

近年,酒后驾车造成的交通事故连续攀升.世界卫生组织事故调查显示,约50%~60%的交通事故与酒后驾驶有关,酒后驾驶发生事故比率是没有饮酒情况的16倍.因此,为了自己与乘客的健康与安全,司机驾驶前最好不要饮酒.然而，这并不意味着司机要做到滴酒不沾,由最新颁布的驾车标准可知,若控制好饮酒量与驾驶时间的关系,是可以避免交通事故发生的.现根据以上建立的模型以及

问题的解答,给想喝点酒的司机提出些驾车忠告.

1.饮酒量.司机在驾驶前不要饮酒.由于喝酒量越大,恢复时间越长,故司

机应适量饮酒.若想每天都饮酒,则需将每次的饮酒量控制在毫克

2.驾驶时间.在每次饮酒后,一定要在血液中所含酒精浓度小于

时才可以驾驶.如本题大李在中午12点喝酒时，下午6 20毫克

百毫升

点才可以驾驶;晚上7点半喝酒时,凌晨2点驾驶仍然不符合标准,故还

要再晚一些才可以驾驶.因此司机一旦饮酒,一定要把握好驾驶的时间.

由上述模型,若司机每天快速喝一瓶啤酒,5.65小时后才能驾车;若司

机每天快速喝两瓶啤酒,11.3小时后才能驾车.若司机每天快速喝三瓶

啤酒,16.35小时后才能驾车.

3.饮酒方式.由于快速饮酒较较长时间饮酒恢复的时间更快,司机可尽量

快速饮酒.

希望想喝点酒的司机按以上忠告严格控制自己的饮酒量、驾驶时间以及饮酒方式,尽可能减少事故的发生.

七．结果分析

八．模型评价与推广

现对所建立模型分别从优点、缺点角度进行评价,并将其推广到实际问题中去: 8.1 模型的评价

8.1.1 优点:1.从快速饮酒和长时间饮酒的角度建立两个数学模型,在不同情境下分析,使模型具体而稳定;

2.运用MATLAB数据拟合法,拟合出具体的曲线,使问题形象而直观;

3.模型拟合数据与题中所给的实验数据相吻合,说明了模型的合理性.

8.1.2 缺点:1.假设中的条件使模型更加理想化,与实际问题的解决有一定的差距;

2.模型建立过程中,忽略了次要因素(如第二次喝酒时,血液中起始的酒精浓度) 8.2 模型的推广

参考文献

[1] 唐焕文，贺明峰，数学模型引论[M]，北京，高等教育出版社，2005.

[2] 李继玲，数学实验基础[M]，北京，清华大学出版社，2004.

[3]

附录

一．体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后,隔一定时间测量他的血液