2020届湖北省宜昌市高三期末数学(理)试题(含详细解析)

宜昌市2020届高三年级元月调研考试试题

理科数学

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知实数集R ，集合2{|430}A x x x =-+<，集合{|B x y ==，则A B =I ( )

A. {}|12x x <≤

B. {}|2x x ≤<3

C. {}|23x x <<

D. {}3|1x x <<

【答案】B 【解析】 【分析】

先求得集合{|13}A x x =<<，集合{|2}B x x =≥，再结合集合的交集运算，即可求解.

【详解】由集合2

{|430}A x x x =-+<{|13}x x =<<，集合{|B x y =={|2}x x =≥，

所以{|23}A B x x ==≤

【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合,A B ，再结合集合的交集的运算进行求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

2.设0.23a =，30.2b =，0.2log 3c =，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A. a b c >> B. b a c >> C. a c b >> D. c a b >>

【答案】A 【解析】 【分析】

根据指数函数的性质，求得1a >，(0,1)b ∈，再由对数函数的性质，得到0c <，即可求解. 【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得0.213a =>，3

0.2(0,1)b =∈， 由对数函数的性质，可得0.2log 30c =<，所以a b c >>. 故选：A .

【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

3.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若212228log log log 8a a a +++=L ，则45a a =( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

【答案】C 【解析】 【分析】

由对数的运算性质，求得818

22a a a =L ，再由等比数列的性质，得到4845()2a a =，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，可得2122282128log log l ()og log 8a a a a a a +++==L L ，所以818

22a a a =L ， 又由等比数列的性质，可得428415()a a a a a =L ，即4845()2a a =，所以2

4524a a ==.

故选：C .

【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟练应用对数的运算性质，结合等比数列的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

4.已知向量(1,2)a =r ，(,3)b m =r ，若(2)a a b ⊥-r

r r ，则a r 在b r 方向上的投影为( )

A.

2

B. 1

C.

2

D. 2

【答案】D 【解析】 【分析】

由(2)a a b ⊥-r

r r

，求得4m =，得到即(1,2)a =r

，(4,3)b =r ，再结合向量a r 在b r

方向上的投影的计算公式，即可求解.

详解】由题意，向量(1,2)a =r

，(,3)b m =r

，

因为(2)a a b ⊥-r

r r

，所以2(2)210(6)0a a b a a b m ?-=-?=-+=r

r

r r

r

r ，解答4m =， 即(1,2)a =r

，(4,3)b =r

，

则a r 在b r

方向上的投影为2a b b ?==r r

r . 故选：D .

【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量垂直的坐标表示和投影的计算，其中解答中熟记

向量投影的定义，以及熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

5.中国的计量单位可以追溯到4000多年前的氏族社会末期，公元前221年，秦王统一中国后，颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器.下图是古代的一种度量工具“斗”(无盖，不计量厚度)的三视图(其正视图和侧视图为等腰梯形)，则此“斗”的体积为(单位：立方厘米)( )

A. 2000

B. 2800

C. 3000

D. 6000

【答案】B 【解析】

由题设提供的三视图可知该几何体是一个上下底边长分别为正方形的四棱台，其体积

1

(400100200)1228003

V =++?=，应选答案B ．

6.“1m =”是“椭圆22360mx y m +-=的焦距为4”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】 【分析】

由椭圆2

2

360mx y m +-=的焦距为4，分类讨论求得1c =或5c =时，再结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由题意，椭圆2

2

360mx y m +-=可化为22

162x y m

+=，

当03m <<时，22624c a b m =--=，解得1c =， 当3m >时，22264c a b m =-=-=，解得5c =，

即当1c =或5c =时，椭圆22

360mx y m +-=的焦距为4，

所以“1m =”是“椭圆2

2

360mx y m +-=的焦距为4”的充分不必要条件. 故选：A .

【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记椭圆的标准方程和几何性质，结合充分条件、必要条件的判定求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

7.函数4

()x x

x f x e e

-=-的部分图像可能是( ) A. B. C. D.

【答案】B 【解析】 【分析】

根据函数奇偶性的定义，求得函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，再结合(1)0f >，即可求解，单调答案.

【详解】由题意，函数4

()x x

x f x e e -=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ， 且满足44

()()()x x

x x x x f x f x e e e e

----==-=---， 所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除A 、C . 又由当1x =时，11

1

(1)0f e e

-=>-，所以选项B 符合题意. 故选：B .

【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的性质进行判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.

8.某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为2

1300800002

y x x =

-+，为使

每吨的平均

．．．．．处理成本最低，该厂每月处理量应为()

A. 300吨

B. 400吨

C. 500吨

D. 600吨【答案】B

【解析】

【分析】

由题意，得到每吨的平均处理成本为

80000

300

2

y x

s

x x

==+-，再结合基本不等式求解，即可得到答案

. 【详解】由题意，月处理成本(元)与月处理量(吨)的函数关系为2

1

30080000

2

y x x

=-+，

所以平均处理成本为

2

1

3008000080000

2300

2

x x

y x

s

x x x

-+

===+-，其中

300600

x

≤≤，

又由

8000080000

3002300400300100

22

x x

x x

+-≥?-=-=，

当且仅当

80000

2

x

x

=时，即400

x=时，每吨的平均处理成本最低.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了基本不等式的实际应用，其中解答中认真审题，列出每吨的平均处理成本的函数关系，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

9.已知函数()2sin()(0,0)

f x x

ω?ω?π

=+><<的部分图象如图所示，点()

0,3

A，,0

3

B

π??

?

??

，则下列说法错误的是()

A. 直线

12

x

π

=是()

f x图象的一条对称轴

B. ()

f x的最小正周期为π

C. ()

f x在区间,

312

ππ

??

-

?

??

上单调递增

D. ()

f x的图象可由()2sin2

g x x

=向左平移

3

π

个单位而得到

【答案】D 【解析】 【分析】

根据三角函数的图象，求得函数的解析式()2sin(2)3

f x x π

=+，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，

即可求求解.

【详解】由题意，函数()2sin()f x x ω?=+的图象过点(A ，

可得()0f =2sin ?=，即sin 2

?=

， 因为0?π<<，所以3

π

?=，即()2sin()3

f x x π

ω=+

，

又由点,03B π??

???

，即()2sin()0333f πππω=?+=，可得33ππωπ?+=，解得2ω=，

所以函数的解析式为()2sin(2)3

f x x π

=+，

令12

x π

=

，可得212

1(

)2sin(2)si 222n 3f ππ

ππ=?

+==，所以12

x π

=是函数()f x 的一条对称轴，所以A

是正确的；

由正弦型函数的最小正周期的计算的公式，可得222

T π

π

πω

==

=，所以B 是正确的； 当(,

)312x ππ

∈-

，则2(,)3

32

x π

ππ

+

∈-

， 根据正弦函数的性质，可得函数()f x 在区间(,

)312ππ

-单调递增，所以C 是正确的；

由函数()

2sin 2g x x =向左平移3π

个单位而得到函数22sin[2()]2sin(2)33

y x x p p =+=+

， 所以选项D 不正确. 故选：D .

【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算与逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

10.已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>与圆222x y c +=在第二象限的交点是P 点，()1,0F c -是椭圆的左焦点，

O 为坐标原点，O 到直线1PF 的距离是

3

c ，则椭圆的离心率是( ) A.

21-

B.

31-

C.

51

- D.

61

2

- 【答案】B 【解析】 【分析】

连接2PF ，得到21PF PF ⊥，作1OM PF ⊥，求得223PF OM c ==，利用椭圆的定义，可求得

123PF a =-，在直角12PF F ?中，利用勾股定理，整理的222320c c a -+=，即可求解椭圆的离心率.

【详解】如图所示，连接2PF ，因为圆222

x y c +=，可得21PF PF ⊥，

过点O 作1OM PF ⊥，可得2//OM PF ，且23

2232

PF OM c c ==?

=， 由椭圆的定义，可得122PF PF a +=，所以12223PF a PF a =-=-， 在直角12PF F ?中，可得2

2

2

1212PF PF F F +=，即222(23)(3)4a c c c -+=，

整理得222320c c a -+=，

两侧同除2a ，可得22320e e -+=，解得31e =+或31e =-， 又因为01e <<，所以椭圆的离心率为31e =-. 故选：B

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，直角三角形的勾股定理，以及椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的定义，结合直角三角形的勾股定理，列出关于,a c 的方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能

力，属于基础题.

11.已知函数||2()x f x e ax =-，对于任意12,(,0)x x ∈-∞，都有()()()21210x x f x f x --

e

-∞ B. (,]2

e -∞-

C. 0,2

e ??????

D. ,02

e ??-????

【答案】A 【解析】 【分析】

根据题意，结合函数的性质，得出()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，转化为(0,)x ∈+∞时，()0

f x '≥在(0,)+∞上恒成立，分离参数，得到2x e a x ≤在(0,)+∞上恒成立，再构造新函数()x

e g x x

=，利用导数求

得函数()g x 的单调性与最小值，即可求解.

【详解】根据函数()f x 对于任意12,(,0)x x ∈-∞，都有()()()21210x x f x f x --

2||2()()()x x f x e

a x e ax f x --=---=，可得函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，

所以函数()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，

当(0,)x ∈+∞时，函数2

()x

f x e ax =-，可得()2x

f x e ax '=-，

根据函数()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，可得()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，

即20x

e ax -≥在(0,)+∞上恒成立，可转化为2x

e a x

≤在(0,)+∞上恒成立，

令()x e g x x =，则()2

(1)

x e x g x x

-'=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 所以当1x =时，函数()g x 取得最小值，最小值为(1)g e =， 所以2(1)a g e ≤=，解得2e a ≤

，即实数a 的取值范围是(,]2

e

-∞.

故选：A .

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及利用函数的单调性求解参数问题，其中解答中把函数的单调性转化为函数的导数恒成立，利用函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

12.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点(点M 与A 、1C 不重合)，则下列结论正确的个数为( )

①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得//DM 平面11B CD ；

③若1A DM ?的面积为S ，则23,233S ?∈ ?；

④若1S 、2S 分别是1A DM ?在平面1111D C B A 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S =. A. 1个 B. 2个

C. 3个

D. 4个

【答案】C 【解析】 【分析】

由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可判定①正确；由面面平行的性质定理，可得判定②正确；由三角形的面积公式，可求得1A DM ?的面积为S 的范围，可判定③错误；由三角形的面积公式，得到12,S S 的范围，可判定④正确.

【详解】连接1B C ，设平面11A B CD 与对角线1AC 交于M ，

由111,B C BC DC BC ⊥⊥，可得1B C ⊥平面11A B CD ，即1B C ⊥平面1A DM ， 所以存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ，所以①正确； 由1111//,//BD B D A D B C ，

利用平面与平面平行的判定，可得证得平面1//A BD 平面11B D C ， 设平面1A BD 与1AC 交于M ，可得//DM 平面11B CD ，所以②正确； 连接1AD 交1A D 于点O ，过O 点作1OM AC ⊥,

正方体1111ABCD A B C D -中，1AD ⊥平面11ABC D ，所以1AD ⊥OM ， 所以OM 为异面直线1A D 与1AC 的公垂线， 根据11~AOE AC D ??，所以

111OM OA C D AC =

，即111OA C D OM AC ?===， 所以1A DM ?

的最小面积为1

11122A DM S A D OM ?=??=?=

所以若1A DM

?的

面积为S

，则S ∈，所以③不正确； 再点P 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中，1S 从1减少趋向于0，即1(0,1)S ∈， 2S 从0增大到趋向于2，即2(0,2)S ∈，在此过程中，必存在某个点P 使得12S S =，

所以④是正确的.

综上可得①②④是正确的. 故选：C .

【点睛】本题主要考查了空间直线与平面，平面与平面的位置关系，以及三角形面积，以及投影的定义的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质，以及熟练应用空间几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)

13.已知实数x 、y 满足条件20

2203x y x y x +-≥??

-+≥??≤?

，则3z x y =-的最小值为__________．

【答案】9

2

-

【解析】 【分析】

作出不等式组表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求得目标函数的最小值，得到

答案.

【详解】作出不等式组202203x y x y x +-≥??

-+≥??≤?

所标示的平面区域，如图所示，

由3z x y =-，可得直线133z y x =-

，当直线133

z

y x =-平移到点B 时，此时直线在y 轴上的截距最大，目标函数取得最小值， 又由2203

x y x -+=??

=?，解得5

(3,)2B ，

所以目标函数的最小值为59

3322

z =-?=-. 故答案为：9

2

-.

【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．

14.已知1tan 2α=-，则2

3sin ()sin cos 22πππααα????+-+-= ?

?????

__________． 【答案】15

- 【解析】 【分析】

利用三角函数的基本关系式和三角函数的诱导公式，化简为三角函数的“齐次式”，代入即可求解. 【详解】由题意，可得2

23sin ()sin cos sin cos sin 22πππαααααα????

+-+-=+

? ?????

222222222222sin cos sin 11

()sin cos sin tan tan 1cos 221cos sin cos sin 1tan 51()2cos ααααααααααααααα

+--++====

=-++++-. 故答案为：1

5

-

【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式和诱导公式的化简求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式，合理利用三角函数的基本关系式，化为“齐次式”求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

15.已知O 为坐标原点，直线l 与圆22650x y y +-+=交于A 、B 两点，||2AB =，点M 为线段AB 的中

点.则点M 的轨迹方程是__________，||OA OB +u u u r u u u r

的取值范围为__________．

【答案】 (1). 2

2

(3)3x y +-=

(2). [6-+ 【解析】 【分析】

由圆的弦长公式，可得AB =

，得到d =

MC =M 的轨迹方程为

2

2

(3)3x y +-=，再根据向量的运算可得||2||OA OB OM +=u u u r u u u r u u u u r

，结合点与圆的位置关系，即可求解||OA OB +u u u r u u u r

的取值范围，得到答案.

【详解】由题意，圆2

2

650x y y +-+=的圆心坐标(0,3)C ，半径2R =， 设圆心到直线l 的距离为d ，

由圆的弦长公式，可得AB =

2=

，整理得d =

即MC =M 的轨迹表示以(0,3)C

所以点M 的轨迹方程为2

2

(3)3x y +-=，

根据向量的运算可得|||2|2||OA OB OM OM +==u u u r u u u r u u u u r u u u u r

又由3OC =

，所以OC OM OC ≤≤u u u u r

33OM ≤≤u u u u r

，

所以626OM -≤+u u u u r

即||OA OB +u u u r u u u r

的取值范围为[6-+.

故答案为：[6-+

【点睛】本题主要考查了圆的定义、标准方程的求解，点与圆位置关系的应用，以及轨迹方程求解和向量的线性运算的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

16.已知直线y kx b =+与函数x y e =的图像相切于点()11,P x y ，与函数ln y x =的图像相切于点

()22,Q x y ，若21>x ，且()2,1x n n ∈+，n Z ∈，则n =__________．

【答案】4 【解析】 【分析】

由导数的几何意义求得2222ln ln 10x x x x ---=，构造函数()ln ln 1f x x x x x =---，利用导数求得函数的单调性和最值，结合零点的存在定理，即可求解.

【详解】依题意，可得1

1211222

1ln x x

e k x y e kx b y x kx b

?==???==+??==+???

，整理得2222ln ln 10x x x x ---=

令()ln ln 1(1)f x x x x x x =--->，则1

()ln f x x x

'=-在()1,+∞单调递增

且(1)(2)0f f ''

?<，∴存在唯一实数()1,2m ∈，使()0f m '=

min ()()(1)0f x f m f =<<，(2)ln 230f =-<，(3)2ln340f =-<，

(4)3ln 450f =-<，(5)4ln560f =->，∴2(4,5)x ∈，故4n =.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数研究函数的有解问题，其中解答中熟练应用导数的几何意义，得到2x 的方程，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，结合零点的存在定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，且2222cos cos b c a ac C c A +-=+.

(1)求A ；

(2)在ABC ?中，3BC =，D 为边AC 的中点，E 为AB 边上一点，且DE AC ⊥，6

2

DE =，求ABC ?的面积. 【答案】(1) 3

A π

= (2)

33

+【解析】 【分析】

(1)由余弦定理得2cos cos cos b A a C c A =+，再由正弦定理得2sin cos sin()B A A C ?=+，进而得

1

cos 2

A =

，即可求解 (2)在Rt AED ?中，求得2

2

AD =，2AC =ABC ?中由正弦定理得4B π=，结合三角形的面积公

式，即可求解.

【详解】(1)由余弦定理有22cos cos cos bc A ac C c A =+， 化简得2cos cos cos b A a C c A =+，

由正弦定理得2sin cos sin cos cos sin sin()B A A C C A A C ?=?+=+ ∵A B C π++=，∴2sin cos sin B A B ?=， ∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2A =

，又由0A π<<，∴3

A π

=.

(2)在AEC ?中，D 为边AC 的中点，且DE AC ⊥， 在Rt AED ?

中，DE =

，3A π=

，所以2

AD =

，AC =，

ABC ?中由正弦定理得

sin sin AC BC B A =

，得sin B ，4

B π=，512

C π=，

所以1sin 2ABC S AC BC C ?=

?=

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a =-. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()()

1

12211n n n n a b a a +++=

--，求数列{}n b 的前n 项和n T .

【答案】(1) 13-=n n a ；(2) n T 111

231

n +=-- 【解析】 【分析】

(1)由数列的

通项n a 和n S 的关系，推得

1

3n

n a a -=，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解； (2)由(1)可得(

)(

)

1

12311

3131

3131n n n n n n b ++?==-----，利用裂项法，即可求解数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】(1)当1n =时，1112231S a a ==-，所以11a =， 当2n ≥时，因为231n n S a =-，所以11231n n S a --=-， 两式作差得13n n a a -=，即

1

3n

n a a -=， 因为11a =，所以数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列， 故13-=n n a ；

(2)因为()()

1

12311

3131

3131n n n n n n b ++?==-----， 所以12231111111313131313131n n n T +??????=-+-++-

? ? ?------??????L 1

11231

n +=--. 【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及通项公式，以及“裂项法”求和的应用，其中解答中熟记数列的通项n a 和n S 的关系，以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 19.在斜三棱柱111ABC A B C -中，2

ABC π

∠=

，侧面11ACC A 是边长为4的菱形，13

A AC π

∠=

，14A B =，

E 、

F 分别为AC 、11A B 的中点.

(1)求证：BC ⊥平面1A EF ； (2)若6

BAC π

∠=

，求二面角11A EF C --的正弦值.

【答案】(1)证明见解析； (2) 10

【解析】 【分析】 (1)结合菱形

性质和勾股定理，证得1A E BC ⊥，再由BC AB ⊥，得到1BC A F ⊥，利用线面垂直的判

定定理，即可证得BC ⊥平面1A EF ；

(2)以B 为坐标原点，以射线BC 为x 轴，以射线BA 为y 轴，过B 向上作平面的垂线为z 轴建立空间直角

坐标系，求得平面1A EF 和1C EF 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】(1)由题意，因为11ACC A 是菱形，13

A AC π

∠=，E 为AC 中点，所以1A E AC ⊥.

又因为BE 是直角三角形ABC 的斜边AC 的中线， 故2BE =，又14A B =

，1A E = 所以222

11A B A E BE =+，所以1A EB ?是直角三角形，∴1A E BE ⊥，

因为AC BE E ?=，所以1A E ⊥平面ABC ，所以1A E BC ⊥， 又因为BC AB ⊥，1//A F AB ，所以1BC A F ⊥，所以BC ⊥平面1A EF .

(2)由(1)知BC ⊥平面1A EF ，因为BC ?平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面1A EF ， 又由1A E AC ⊥，所以1A E ⊥平面ABC ，

以B 为坐标原点，以射线BC 为x 轴，以射线BA 为y 轴，过B 向上作平面ABC 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系,如图所示，则1//A E z 轴，

则(0,0,0)B

，(0,A ，(2,0,0)C

，1(1

A

，1(1,B ，

1(3,C

，E

，(1,0,F ，

由(1)知BC ⊥平面11A B E ，∴平面1A EF 的法向量()1,0,0m =u r

，

设平面1C EF 的法向量(,,)n x y z =r

，(0,EF =u u u r

，1(2,FC =u u u u r ， 则00n EF m FG ??=??=?u u u v r u u u v r

，即0

20

x ?+=??-=??，

令2y =，则1z =

，x =

即)

n =

，

所以cos ,||||m n m n m n ?<>===?r r r r

r r

，

所以sin ,m n <>==r r

， 故二面角11A EF C --

【点睛】本题考查了线面垂直关系的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

20.已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，21,2P ? ??为椭圆上一点，且132

||PF =

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线:2l x =-，过点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M 、N 两点，当MAN ∠最小时，求直线AB 的方程.

【答案】(1) 2

212

x y += (2) 10x y +-=或10x y --=. 【解析】 【分析】

(1)设椭圆的左焦点1(,0)F c -，由132

2

PF =，解得1c =，再结合椭圆的定义，求得,a b 的值，即可得到椭圆的方程；

(2)可设直线:1AB x ty =+，联立方程组，求得1212,y y y y +，利用弦长公式，求得||MN 和||AN 的长，

进而得到2223||

tan ||1

t MN MAN AN t +∠==

+t 的值，即可求解.

【详解】(1)设椭圆的左焦点1(,0)(0)F c c ->

，则12

PF =

=

，解得1c =，

所以2||2

PF =

，则由椭圆定义122PF PF a +==，∴2a =，1b = 故椭圆的标准方程为2

212

x y +=.

(2)由题意直线AB 的斜率必定不为零，于是可设直线:1AB x ty =+，

联立方程22

112

x ty x y =+???+=??得()22

2210t y ty ++-=， ∵直线AB 交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y ， ∴(

)(

)

2

2

2

442810t t t ?=++=+> 由韦达定理12222t

y y t -+=

+，12

212

y y t =-+ 则22N t y t =-+，∴222

2

1122

N N t x ty t t =+=-+=++ ∵MN AB ⊥，∴MN

k t =-

，∴2

22226||222

t MN t t +=--=++

又121||||2AN AB y y ==-=

∴

23||tan 4||t MN MAN AN +?

∠===≥=

=

即1t =±时取等号.

此时直线AB 的方程为10x y +-=或10x y --=.

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

21.已知函数2()ln (0)f x x x ax a =-≠.

(1)当1a =时，求

()

f x x

的最大值； (2)若()f x 只有一个极值点0x . (i )求实数a 的取值范围； (ii )证明：()01f x e

>-

. 【答案】(1) 最大值为-1. (2) (i )0a <(ii )证明见解析 【解析】 【分析】 (1)当1a =时，()

ln f x x x x

=-，令()ln g x x x =-，利用导数求得函数的单调性，即可求得函数的最大值；

(2)由()1ln 2f x x ax '=+-，得到1

()2f x a x

''

=

-，分0a <和0a >讨论，求得函数的单调性与最值，结合函数的性质，即可得到答案. 【详解】(1)当1a =时，

()

ln f x x x x

=-，0x >. 令()ln g x x x =-，则()1

1g x x

'=

-， ∴()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减 ∴max ()(1)1g x g ==-，故

()

f x x

的最大值为-1. (2)()1ln 2f x x ax '=+-，1

()2f x a x

''

=

-. ①当0a <时，()0f x ''>在()0,∞+恒成立，则()f x '在()0,∞+单调递增. 而120a

f e e

'

??=-

> ???

，当01x <<时，()1ln 21ln 2f x x ax x a '=+-<+-， 则()

21

0a f e

-'<，且211a e e -<，∴2101,a x e

e -??

?∈ ??

?使得()00f x '=. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减；