湖南省长沙市雅礼中学2014届高三第三次月考试题(11月)数学(理)

雅礼中学2014届高三第三次月考试卷

数学（理）

一．

1.z （1+i ）=i ，则复数z 为（）

B ．

1122

i - C ．1+i D ．1-i

2. 幂函数y ＝f (x )的图像经过点(4，12)，则f (1

)的值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3. 已知随机变量ξ服从正态分布2(4,)N σ，若(8)0.4P ξ>=，则(0)P ξ<= A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7

4. 下列有关命题的说法正确的是 ( ) A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若2

1x =，则1x ≠”．

B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．

C ．命题“?,R x ∈使得210x x ++<”的否定是：“对?,R x ∈ 均有210x x ++<”．

D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．

5. 已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-，将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的1

倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移4

个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的解析式为（）

A ．()g x x =

B ．()g x x

D ．()g x x 6.如右图所示，,,A B C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB

交于圆内一点D ，若OC xOA yOB =+，则( ) A ．01x y <+< B ．1x y +>

C ．1x y +<-

D ．10x y -<+<

7.已知函数2

()|6|f x x =-，若0a b <<,且()()f a f b =，则2

a b 的最小值是（）

（A ）-16 (B)-12 (C) -10 (D) -8

8.设函数y =f (x )在(－∞,∞+)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数：

()()k f x f x k ?=?? (())

(())

f x k f x k ≤>,取函数f (x )=2-x -e -x ，若对任意的x ∈(－∞,∞+)，恒有f k (x )＝f (x )，则

( )

A. k 的最大值为2

B. k 的最小值为2

C. k 的最大值为1

D. k 的最小值为1 二．

（一）选做题（从9—11题中任选两道题作答。如果全做，则按前两题记分）

9.(几何证明选讲选做题)如图,,,,A B C D 是⊙O 上的四个点,过点B 的切线与DC 的延长线交于点

E .若110BCD ?∠=,则DBE ∠=

10.(极坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线1

cos 2

ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点,

则AOB ∠11.（不等式选讲选做题）已知x 、y 、z ∈R, 且2x ＋3y ＋3z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2

（二）必做题

12____(1,3]______ 13.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1

，此时二面角B-AD-C 大小为__600___

14. 高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概15.已知函数)(x f y =，R x ∈，（1）(2)y f x =-

与(2)y f x =-的图象关于直线x （2）有下列4个命题：

①若)21()21(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称； ②)2()52(x f x f =+则5是)(x f y =的周期；

③若)(x f 为偶函数，且)()2(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线2=x 对称； ④若)(x f 为奇函数，且)2()(--=x f x f ，则)(x

f 的图象关于直线1=x 对称. 其中正确的命题为

16.如图，将圆分成n 个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为a n . （1）=4a 18

（2）a n ={

)

1(3)2()1(22=≥-+n n n n 三．

17.下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率; (Ⅱ)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望;

解：设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(=1,2,,13).

根据题意, 1

()13

i P A =

,且()i j A A i j =?≠. 4分

(I)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则5

8B A A =,

所以5

8582()()()()13

P B P A A P A P A ==+=

. (II)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,且

P(X=1)=P(A 3∪A 6∪A 7∪A 11)= P(A 3)+P(A 6)+P(A 7)+P(A 11)= 413, P(X=2)=P(A 1∪A 2∪A 12∪A 13)= P(A 1)+P(A 2)+P(A 12)+P(A 13)= 4

P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= 5

, 10分

所以X 的分布列为:

012

544131313

11分故X 的期望54412

01213131313

EX =?

+?+?=. 12分

18．如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB//CD ，AB=AD=22

=CD ，点M 在线段EC 上且不与E 、C 垂合。

（1）当点M 是EC 中点时，求证：BM//平面ADEF ；（2）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为

时，求三棱锥M —BDE 的体积

（Ⅰ）以DA DC DE 、、分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系则(2,0,0),(2,2,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,2,1)A B C E M

(2,0,1),BM ADEF ∴=-面的一个法向量(0,4,0)DC =

0BM DC ?=，BM DC ∴⊥。即//BM ADEF 面……………………4分

（Ⅱ）依题意设(0,,2)(04)2

t M t t -<<，设面BDM 的法向量1(,,)n x y z = 则220DB n x y ?=+=，(2)02

t DM n ty z ?=+-= 令1y =-，则12(1,1,

)4t

n t

=--，面ABF 的法向量2(1,0,0).n =

121212|||cos ,|||||

n n n n n n ?<>=

=?，解得2t = (0,2,1)M ∴为EC 的中点，1

DEM CDE S S ??=

=，B 到面DEM 的距离2h = 14

M BDE DEM V S h -?∴=??= 12分

19. 设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{}n a 的集合：①对任意*n N ∈，2

n n n a a a +++≤恒成立；②对任意*n N ∈，存在与n 无关的常数M ，使n a M ≤恒成立．

（1）若{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且334,18,a S ==试探究数列{}n S 与集合W 之间的关系；

（2）设数列{}n b 的通项公式为52n n b n =-，且{}n b W ∈，求M 的取值范围．解：(1)设等差数列{}n a 的公差是d ，则

1124,338a d a d +=??+=? 解得18,

a d =??

=-?………1分 ∴

21(1)

n n n S na n n -=+=-+ (3分) ∴2211211()()102222n

n n n n n n n n S S S S S S a a d

S ++++++++-----====-< ∴2

n n S S S +++<，适合条件① 又2

29819()24

n S n n n =-+=--+，

∴当4n =或5n =时，n S 取得最大值20，即20n S ≤，适合条件②．

综上，{}n S W ∈ ………（6分）

（2）∵115(1)2(52)52n n n n n b b n n ++-=+---=-，

∴当3n ≥时，1n n b b +<，此时，数列{}n b 单调递减；………9分当1,2n =时，10n n b b +->，即123b b b <<，………10分因此，数列{}n b 中的最大项是37b =，………11分

∴

7M ≥，即M 的取值范围是[

)7,+∞．………12分

20.如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线1l 排水管，在路南侧沿直线2l 排水管（假设水管与公路的南，北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线），现要在矩形区域ABCD 内沿直线EF 将1l 与2l 接通．已知AB = 60m ，BC = 603m ，公路两侧排管

费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成角为α．矩形区域内的排管费用为W ．高考资源网（1）求W 关于α的函数关系式；（2）求W 的最小值及相应的角α．

解：（1）如图，过E 作EM BC ⊥，垂足为M ，由题意得)3

0(π

αα≤

≤=∠MEF ，

故有60tan MF α=，60

cos EF α

， αtan 60360-=+FC AE ，所以W=α

αααcos 2

sin 603602cos 601)tan 60360(--=?+?-。 6分（2）设sin 2

()cos f ααα

-=，)30(πα≤≤

则22cos cos (sin )(sin 2)12sin ()cos cos f ααααα

ααα

----'==．

令()0f α'=得12sin 0α-=，即1sin 2α=，得6

α=．

列表

所以当6

α=

时有max ()f α=，此时有．3120min =W

答：排管的最小费用为3120万元，相应的角6

α=． 13分

21.（1）已知定点

()0,21-F 、()0,22F ，

动点N 1

（O 为

坐标原点），NM M F 21=，()R MF MP ∈=λλ2，

01=?PN M F ，求点P 的轨迹方程。

l 2

l 1

（2）如图，已知椭圆14

:22

=+y x C 的上、

下顶点分别为B A 、，点P 在椭圆上，且异于点B A 、，直线BP AP 、与直线2:-=y l 分别交于点N M 、，

（ⅰ）设直线BP AP 、的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ?为定值；（ⅱ）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

解（Ⅰ）连接ON ∵NM M F 21= ∴点N 是MF 1中点 ∴|MF 2|=2|NO |=2 ∵01=?F ∴F 1M ⊥PN ∴|PM |=|PF 1|

∴|∣PF 1|- |PF 2∣|= ||PM |- |PF 2| |= |MF 2|=2＜|F 1F 2| 由双曲线的定义可知：点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线。

点P 的轨迹方程是13

=-y x 4分（ⅰ）)1,0(A ，)1,0(-B ，令),(00y x P ，则由题设可知00≠x ， ∴ 直线AP 的斜率0011x y k -=

，PB 的斜率0

021

x y k +=，又点P 在椭圆上，所以 14

0=+y x ，（00≠x ），从而有411112020000021-=-=+?-=x y x y x y k k 。8分

（ⅱ）

13分

22.已知)0()(>-

=a x

x x f ，bx x x g +=ln 2)(，且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切．（1）若对),1[+∞内的一切实数x ，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）（ⅰ）当1=a 时，求最大的正整数k ，使得任意k 个实数k x x x ,,,21 ∈]3,[e （ 2.71828e =???是自然对数的底数）都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++- 成立；（ⅱ）求证：

)12ln(1

4412

+>-∑=n i i n

i )(*

N n ∈．解：（1）设点),(00y x 为直线22-=x y 与曲线)(x g y =的切点，则有

22ln 2000-=+x bx x ．（*）

b x x g +='2)( ，22

=+∴b x ．（**）

由（*）、（**）两式，解得0=b ，x x g ln 2)(=． 1分

由)()(x g x f ≥整理，得x x x

ln 2-≤，

1≥x ，∴要使不等式)()(x g x f ≥恒成立，必须x x x a ln 22-≤恒成立． 2分