高三一轮复习 数学课后练习 1.3函数的定义域和值域

1．3 函数的定义域和值域

一、选择题

1．函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为( )

A ．(0,8]

B ．(2,8]

C ．(－2,8]

D ．[8，＋∞)

解析：由题意可知，1－lg(x ＋2)≥0，整理得：

lg(x ＋2)≤lg10，∴????? x ＋2≤10，x ＋2＞0，

解得－2＜x ≤8，故函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为(－2,8]，选C.

答案：C

2．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1

的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1)

C ．[0,1)∪(1,4]

D ．(0,1)

解析：由?

????

0≤2x ≤2，x －1≠0，得0≤x ＜1，选B. 答案：B

3．设f (x )＝lg 2＋x 2－x

，则f ????x 2＋f ????2x 的定义域为( ) A ．(－4,0)∪(0,4) B ．(－4，－1)∪(1,4)

C ．(－2，－1)∪(1,2)

D ．(－4，－2)∪(2,4)

解析：由2＋x 2－x ＞0，得f (x )的定义域为－2＜x ＜2. 故??? －2＜x 2＜2，－2＜2x ＜2.解得x ∈(－4，－1)∪(1,4)．

故f ????x 2＋f ????2x 的定义域为(－4，－1)∪(1,4)．故应选B.

答案：B

4．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域为( )

A ．(－∞，－1]

B ．[3，＋∞)

C ．[－1,3]

D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

解析：y ＝log 2x ＋log x 2＋1.

故log 2x ＋log x 2≥2或log 2x ＋log x 2≤－2.

所以y ≥3或y ≤－1.

答案：D

5．(2014·浙江联考)若函数f (x )的值域是????12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )

的值域是( ) A.????52，103 B.????0，103

C.?

???2，103 D.????2，52 解析：令t ＝f (x )，则12

≤t ≤3. 易知函数g (t )＝t ＋1t

在区间????12，1上是减函数，在[1,3]上是增函数．

又∵g ????12＝52，g (1)＝2，g (3)＝103

. 可知函数F (x )＝f (x )＋1f (x )

的值域为????2，103. 答案：C

6．设f (x )＝?

????

x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1，g (x )是二次函数，若f [g (x )]的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是( )

A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)

C ．[0，＋∞)

D ．[1，＋∞)

解析：f (x )的图象如图所示：f (x )的值域为(－1，＋∞)若f [g (x )]的值域为[0，＋∞)，只需g (x )∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)，而g (x )为二次函数，所以g (x )∈[0，＋∞)，故选C 项．

答案：C

二、填空题

7．已知函数f (x )＝ln(mx 2－4mx ＋m ＋3)的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________．

解析：∵f (x )定义域为R ，

∴mx 2－4mx ＋m ＋3＞0恒成立．

①m ＝0时，3＞0恒成立．

②m ≠0时，要使f (x )定义域为R ，只需?

???? m ＞0，Δ＝(－4m )2－4m (m ＋3)＜0?0＜m ＜1. 综上所述：m 的取值范围是0≤m ＜1.

答案：0≤m ＜1

8．已知函数f (x )＝x －1，则函数y ＝f [f (x )]＋f ????4x 的定义域是__________．

解析：∵f (x )＝x －1，则函数f (x )的定义域是{x |x ≥1}，对于f [f (x )]，应有x －1≥1，

∴x ≥2；对于f ????4x 应有4x

≥1，∴0＜x ≤4，∴x 的取值范围是2≤x ≤4，即所给函数的定义域是[2,4]．

答案：[2,4]

9．已知f (x )＝12(x ＋|x |)，g (x )＝?????

x ，x ＜0，x 2，x ≥0，函数f [g (x )]＝__________，值域为__________．

解析：当x ≥0时，g (x )＝x 2，故f [g (x )]＝f (x 2)＝12(x 2＋|x 2|)＝12

(x 2＋x 2)＝x 2； 当x ＜0时，g (x )＝x ，故f [g (x )]＝f (x )＝12(x ＋|x |)＝12

(x －x )＝0. ∴f [g (x )]＝?

???? 0，x ＜0，x 2，x ≥0. 由于当x ≥0时，x 2≥0，故f [g (x )]的值域为[0，＋∞)．

答案：?????

0，x ＜0，x 2，x ≥0 [0，＋∞)

三、解答题

10．(2014·潍坊期末)设函数f (x )＝ln(x 2＋ax ＋1)的定义域为A .

(1)若1∈A ，－3?A ，求实数a 的取值范围；

(2)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．

解析：(1)由题意，得?????

1＋a ＋1＞0，9－3a ＋1≤0，所以a ≥103. 故实数a 的取值范围为????103，＋∞.

(2)由题意，得x 2＋ax ＋1＞0在R 上恒成立，

则Δ＝a 2－4＜0，解得－2＜a ＜2.

故实数a 的取值范围为(－2,2)．

11．设f (x )＝ax 2＋bx ，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数f (x )的定义域和值域相同．

解析：(1)若a ＝0，则对于每个正数b ，f (x )＝bx 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a ＝0满足条件；

(2)若a ＞0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域为D ＝{x |ax 2＋bx ≥0}＝?

???－∞，－b a ∪[0，＋∞)，但f (x )的值域A ?[0，＋∞)，故D ≠A ，即a ＞0不符合条件． (3)若a ＜0，则对正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域D ＝?

???0，－b a . 由于此时f (x )max ＝f ????－b 2a ＝b 2－a

，故f (x )的值域为??????0，b 2－a ， 则－b a ＝b 2－a ????

a ＜0，2－a ＝－a

?a ＝－4， 综上所述：a 的值为0或－4.

12．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.

(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；

(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求f (a )＝2－a |a ＋3|的值域．

解析：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，

∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0?2a 2－a －3＝0?a ＝－1或a ＝32

. (2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负，

∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0?－1≤a ≤32

， ∴a ＋3＞0，

∴f (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2，

＝－????a ＋322＋174????a ∈?

???－1，32. ∵二次函数f (a )在?

??－1，32上单调递减， ∴f ????32≤f (a )≤f (－1)，即－194

≤f (a )≤4， ∴f (a )的值域为???

?－194，4.