约数和倍数(小学奥数)
（十六）约数和倍数
例1.边长1米的正方体2100个，堆成了一个实心的长方体，它的高是10米，长、宽都大于高。问长方体的长与宽的和是几米？
例2.正整数a乘以120，得到一个完全平方数，a的最小值是多少？
例3.有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟响铃又亮灯。问：下一次响铃又亮灯是几点钟？
例4.四个小孩的年龄依次相差1岁，他们年龄的乘积是5040，他们的年龄和是多少岁？
例5.一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？
例6.两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是420。已知其中一个自然数是42，那么另一个自然数是多少？
例7. 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？
例8.求100以内恰好有8个约数（包括1和它本身）的所有自然数。
例9.已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
例10.在100以内与77互质的所有奇数之和是多少？
练习1. 求720的所有约数的个数。
2. 正整数a乘以378，得到的最小完全平方数是多少？
3. 能被2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数整除的最大的六位数是多少？
4. 50以内最小质数与最大质数之和是多少？
5. 将长为6厘米、宽为4厘米、高为8厘米的长方体积木，叠成最小的正方体，最少要用积木多少块？
6. 长96厘米、宽72厘米的长方形白纸裁成同样大小的正方形且无剩余，至少可以裁成多少块？
7. 求50以内约数最多的自然数。
8.小红每隔5分钟发一封电子邮件，小明每隔9分钟发一封电子邮件，小丽每隔12分钟发一封电子邮件，今天上午8点三人同时发出电子邮件，下一次同时发电子邮件是什么时间？
9. A，（A＋4），（A＋6），（A＋10），（A＋12），（A＋16），（A＋22）均为质数，那么A是多少？
10. 求5040的所有约数的和。
B级
1. 实验一小、二小和三小各有300人，240人和360人去春游，三校分别去租车，至少要租多少辆大客车才能使每辆乘坐的人数一样多？
2. 已知自然数a有3个约数，那么4a至少有几个约数？
3.有一箱鸡蛋按5个一堆分少1个，按6个一堆分少1个，按8个一堆分仍少1个。这箱鸡蛋至少有多少个？
4. 有6个不同约数的最小自然数是多少？
5. 用1—8组成各位数字互不相同的所有八位数的最大公约数是多少？
6. 已知两数之差是12，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，这个自然数是多少？
7. 一个自然数的两个最小的约数之和是6，两个最大的约数之和是462，这个自然数是多少？
8. 有70个正整数之和为5555，它们的最大公约数的最大值可能是多少？
9. 已知（a,b）=12，[a,c]=300，[b,c]=300.满足要求的a,b,c数组共有多少组？（12，300，300；300，12，300算两组）
10. 有15个同学，每个同学编有一个号码，从1到15。编号为1的同学在黑板上写了一个自然数a后，编号为2的同学说：“能够被2整除”，编号为3的同学说：“a能被3整除”，。。。。。，依次下去，每一个同学都说这个能被他的编号整除。编号为1的同学给了验证，发现只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对。问：
(1)说的不对的两个同学，他们的编号是多少？
(2)若编号为1的同学在黑板上写的是一个五位数，这个五位数是多少？
因数与倍数奥数题
因数与倍数 1．数360的约数有多少个?这些约数的和是多少? 2．一个数是5个2，3个3，6个5，1个7的连乘积．这个数有许多约数是两位数，那么在这些两位数的约数中，最大的是多少? 3．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 4．今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这3种课本的数量分别相等．那么最多可分多少堆? 5．加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件．要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人?
6．有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米．如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后，3人又可以相聚? 7．甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90．那么甲数、乙数是多少? 8．A，B两数都仅含有质因数3和5，它们的最大公约数是75．已知数A有12个约数，数B有l0个约数，那么A，B两数的和等于多少? 9．甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少? 10． a>b>c是3个整数．a，b，c的最大公约数是15；a，b的最大公约数是75；a，b 的最小公倍数是450；b，c的最小公倍数是1050．那么c是多少?
11．把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？ 12．一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？ 13．有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？ 14．把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？ 15．教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？
五年级奥数第一讲：因数与倍数
五年级奥数 第一讲：因数与倍数 知识点拨 1、因数和倍数： 如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。 例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。 如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。 例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。 2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。 例如：15的因数有哪些？ 方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找） 方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止） 所以15的因数就是1, 3, 5, 15。最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。 3、一个数的倍数的求法： 一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。 例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身 倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数 如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数。 4、2、 5、3的倍数的特征： ①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。 ②个位上是0或5的数，是5的倍数。 ③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5、常见数字的整除判定方法： （1）2：个位是偶数的自然数 （2）5：个位是0或5的自然数 注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0 （3）4、25：末两位能被4、25整除 （4）8、125：末三位能被8、125整除 （5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除 （6）7、11、13通用性质： ①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除.如201201=201×1001，则其必能被7、11、13整除 ②从末三位开始三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数 ③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数（7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除 （8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除 （9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除 6、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数与偶数的运算性质 性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数 性质3：偶数个奇数的和是偶数 性质4：奇数个奇数的和是奇数 性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
新初一数学分班考奥数专题4：约数与倍数
四 约数与倍数(A) 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1．28的所有约数之和是_____. 2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法. 3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数字的积是2 4.这个两位数是_____. 4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人. 5. 两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是_____. 6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个. 7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_____块. 8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块(不余料)_____块. 9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个,又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得10元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个. 10. 含有6个约数的两位数有_____个. 11．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但两两均不互质，请问有多少组这种解？ 12．和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？ 13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳214米，黄鼠狼每次跳4 32米，它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔8 312米设有一个陷井,当它们之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米? 14. 已知a 与b 的最大公约数是12,a 与c 的最小公倍数是300,b 与c 的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a ,b ,c 共有多少组? (例如:a =12、b =300、c =300，与a =300、b =12、c =300是不同的两个自然数组)
小升初奥数第节：倍数与因数
倍数与约数 教学目的 1，让孩子了解语言的精密与数学的联系。2，掌握做题方法 教学内容 知识点 一、最大公约数与最小公倍数的常用性质 (1)两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 即若11(,),(,),a a a b b b a b =?=?则11(,)1a b = (2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即(,)[,]a b a b a b ?=? 注：(,)a b 表示两个数的最大公约数，[,]a b 表示两个数的最小公倍数 (3)对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：567210??=，210就是567的最小公倍数 b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如：678336??=，而6,7,8的最小公倍数为3362168÷= 二、约数个数与所有约数的和 (1)求任一合数约数的个数： 一个合数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。 如:1400严格分解质因数之后为32 257??，所以它的约数有(31)(21)(11)43224+?+?+=??=个。(包括1和1400本身) (2)求任一合数的所有约数的和： 一个合数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 如：33210002357=???，所以21000所有约数的和为 三、求几个分数的最小公倍数和最大公约数 (1)求几个分数的最小公倍数 求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公
小学数学《约数与倍数》练习题
小学数学《约数与倍数》练习题 一、 约数的概念与最大公约数 0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：21812 39632 ，所以(12,18)236=?=； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)． 例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=L ；6003151285÷=L ；315285130÷=L ；28530915÷=L ；301520÷=L ；所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． 3． 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分 子的最大公约数b ；b a 即为所求． 二、倍数的概念与最小公倍数 1. 求最小公倍数的方法 ①分解质因数的方法； 例如：2313711=??，22252237=??，所以[]22231,252237112772=???=； ②短除法求最小公倍数； 例如：21812 39632 ，所以[]18,12233236=???=； ③[,](,) a b a b a b ?=． 2. 最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． 3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤 先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数b ； b a 即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]() 1,414,4232,3??==???? 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质 1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 如果m 为A 、B 的最大公约数，且A ma =，B mb =，那么a b 、互质，所以A 、B 的最小公倍数
小学奥数第9讲 约数与倍数(含解题思路)
9、约数与倍数 【约数问题】 例1 用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。（上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。 而长方形的面积等于长乘以宽。所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。一般来说，约数都是成对地出现。 1155的约数共有16个。 16÷2=8（对）。 所以，有8种不同的拼法。 例2 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？ （全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题） 讲析：将360分解质因数，得 360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。 所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个） 这24个约数的和是： 例3 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？ （全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题） 讲析：这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。 把两位数从99、98、……开始，逐一进行分解： 99=3×3×11； 98=2×7×7； 97是质数； 96=2×2×2×2×2×3。
发现，96是上面数的约数。 所以，两位数的约数中，最大的是96。 例4 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是______。 （北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：一个自然数N，当分解质因数为： 因为8=1×8=2×4=2×2×2， 所以，所求自然数分解质因数，可能为： 27，或23×3，或2×3×5，…… 不难得出，最小的一个是24。 【倍数问题】 例1 6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高，如果分别用1分、2分、5分硬币叠成的三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为4元4角2分，那么这三种硬币总共有______枚。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：因为6枚1分的硬币与5枚2分的一样高，所以36枚1分的硬币与30枚2分的一样高。 6枚2分的硬币与5枚5分的一样高，所以30枚2分的硬币与25枚5分的一样高。 因此，36枚1分的硬币高度等于30枚2分的高度，也等于25枚5分的高度。它们共有： 1×36+2×30+5×25=221（分）。 4元4角2分=442（分），442÷221=2。 所以，1分的硬币共36×2=72（枚），2分的硬币共30×2=60（枚），5分的硬币共25×2=50（枚），即总共有182枚。
因数和倍数奥数题及标准答案
因数和倍数奥数题荟萃 总体难度有点大，如果有兴趣可以试试！ 1、某校举行数学竞赛，共有20道题。评分标准规定，答对一题给3分，不答给1分。答错一题倒扣1分，全校学生都参加了数学竞赛，请你判断，所有参赛学生得分的总和是奇数还是偶数？ 2、有四个连续奇数的和是2008,则其中最小的一个奇数是___________ 。 3、张阿姨把相同数量的苹果和橘子分给若干名小朋友，每名小朋友分得1个苹果和3个橘子。最后橘子分完了，苹果还剩下12个。那么一共分给了____________ —名小朋友。 4、小华同学为了在“希望杯”数学大赛中取得好成绩，自己做了四份训练题 （每 份训练题满分为120分）。他第一份训练题得了90分，第二份训练题得了100 分，那么第三份训练题至少要得___________ 才能使四份训练题的平均成绩达到 105 分。 5、三个连续自然数的乘积是210,求这三个数. 6自然数9是质数，还是合数？为什么？ 7、一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？ 8、一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。 9、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150,这个数是多少？ 10、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。
答案: 1、解：以一个学生得分情况为例。如果他有m题答对，就得3m分，有n题答 错，则扣n分，那么，这个学生未答的题就有（20-m-n）道，即还应得（20-m- n）分。 所以，这个学生得分总数为： 3m-n+（20-m-n） =3m-n+20-m-n =2m-2n+20 =2（m-n+10） 不管（m-n+10）是奇数还是偶数，贝U 2（m-n+10）必然是偶数，即一个学生得分为偶数。由此可见，不管有多少学生参赛，得分总和一定是偶数。 2、解：499。2008-4—3=499 3、解：6。12-（3 —1）=6（名）。 4、解:110。 当第四份训练题得满分即120分时，对第三份训练题的得分要求最低，所以第三份训 练题至少要得105X4 一（90+100+120）=110（分）。 5、解：：210=2X 3X 5X7 ???可知这三个数是5、6和7。 &解：9是合数。 因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3,所以它是一个合数。 7、分析由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。 解：3，4，5] =3X 4X 5=60, ???用3、4、5除都能整除的最小的数是60。 8、分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除 式入手分析。
小学奥数因数与倍数
小学奥数因数与倍数Revised on November 25, 2020
第一讲：因数与倍数 知识点拨 1、因数和倍数： 如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。 例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。 如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。 例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。 2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。 例如： 15的因数有哪些 方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找） 方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止） 所以15的因数就是1, 3, 5, 15。最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。 3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没 有最大的，方法是依次乘以自然数。 例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身 倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数 4、2、 5、3的倍数的特征： ①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
②个位上是0或5的数，是5的倍数。 ③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数与偶数的运算性质 性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数 性质3：偶数个奇数的和是偶数 性质4：奇数个奇数的和是奇数 性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数 例题精讲 一、倍数与因数的认识 【例1】请问：图中有哪些数 （1）根据图中数据： ①买5千克梨需要多少钱 可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；
【教师必备】小学奥数5-4-1 约数与倍数(一).专项检测及答案解析
1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质 的应用。 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 ...???☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一” 一、 约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：21812 39632 ，所以(12,18)236=?=； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)． 例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=； 315285130÷=；28530915÷=；301520÷=； 所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． 3． 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各知识点拨 教学目标 5-4-1.约数与倍数（一）
五年级奥数题：约数与倍数(A)+答案
四 约数与倍数(A) 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1．28的所有约数之和是_____. 2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法. 3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数字的积是2 4.这个两位数是_____. 4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人. 5. 两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是_____. 6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个. 7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_____块. 8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块(不余料)_____块. 9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个,又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得10元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个. 10. 含有6个约数的两位数有_____个. 11．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但两两均不互质，请问有多少组这种解？ 12．和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？ 13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳214米，黄鼠狼每次跳4 32米，它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔8 312米设有一个陷井,当它们之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米? 14. 已知a 与b 的最大公约数是12,a 与c 的最小公倍数是300,b 与c 的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a ,b ,c 共有多少组? (例如:a =12、b =300、c =300，与a =300、b =12、c =300是不同的两个自然数组) ———————————————答 案—————————————————————— 答 案: 1． 56 28的约数有1,2,4,7,14,28,它们的和为
(完整版)约数和倍数(小学奥数)
（十六）约数和倍数 例1.边长1米的正方体2100个，堆成了一个实心的长方体，它的高是10米，长、宽都大于高。问长方体的长与宽的和是几米？ 例2.正整数a乘以120，得到一个完全平方数，a的最小值是多少？ 例3.有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟响铃又亮灯。问：下一次响铃又亮灯是几点钟？ 例4.四个小孩的年龄依次相差1岁，他们年龄的乘积是5040，他们的年龄和是多少岁？ 例5.一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？ 例6.两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是420。已知其中一个自然数是42，那么另一个自然数是多少？ 例7. 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？ 例8.求100以内恰好有8个约数（包括1和它本身）的所有自然数。 例9.已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。 例10.在100以内与77互质的所有奇数之和是多少？ 练习1. 求720的所有约数的个数。 2. 正整数a乘以378，得到的最小完全平方数是多少？ 3. 能被2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数整除的最大的六位数是多少？ 4. 50以内最小质数与最大质数之和是多少？ 5. 将长为6厘米、宽为4厘米、高为8厘米的长方体积木，叠成最小的正方体，最少要用积木多少块？
6. 长96厘米、宽72厘米的长方形白纸裁成同样大小的正方形且无剩余，至少可以裁成多少块？ 7. 求50以内约数最多的自然数。 8.小红每隔5分钟发一封电子邮件，小明每隔9分钟发一封电子邮件，小丽每隔12分钟发一封电子邮件，今天上午8点三人同时发出电子邮件，下一次同时发电子邮件是什么时间？ 9. A，（A＋4），（A＋6），（A＋10），（A＋12），（A＋16），（A＋22）均为质数，那么A是多少？ 10. 求5040的所有约数的和。 B级 1. 实验一小、二小和三小各有300人，240人和360人去春游，三校分别去租车，至少要租多少辆大客车才能使每辆乘坐的人数一样多？ 2. 已知自然数a有3个约数，那么4a至少有几个约数？ 3.有一箱鸡蛋按5个一堆分少1个，按6个一堆分少1个，按8个一堆分仍少1个。这箱鸡蛋至少有多少个？ 4. 有6个不同约数的最小自然数是多少？ 5. 用1—8组成各位数字互不相同的所有八位数的最大公约数是多少？ 6. 已知两数之差是12，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，这个自然数是多少？ 7. 一个自然数的两个最小的约数之和是6，两个最大的约数之和是462，这个自然数是多少？ 8. 有70个正整数之和为5555，它们的最大公约数的最大值可能是多少？ 9. 已知（a,b）=12，[a,c]=300，[b,c]=300.满足要求的a,b,c数组共有多少组？（12，300，300；300，12，300算两组） 10. 有15个同学，每个同学编有一个号码，从1到15。编号为1的同学在黑板上写了一个自然数a后，编号为2的同学说：“能够被2整除”，编号为3的同学说：“a能被3整除”，。。。。。，依次下去，每一个同学都说这个能被他的编号整除。编号为1的同学给了验证，发现只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对。问： (1)说的不对的两个同学，他们的编号是多少？ (2)若编号为1的同学在黑板上写的是一个五位数，这个五位数是多少？
五年级奥数约数与倍数
理解记忆理论部分－☆星级 ☆约数和倍数；若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 ☆公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 ☆最大公约数的性质： 1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。 2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。 4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公 约数乘以m。 例如：12的约数有1、2、3、4、6、12 18的约数有：1、2、3、6、9、18 那么12和18的公约数有：1、2、3、6 那么12和18最大的公约数是：6记作（12，18）＝6 ☆求最大公约数的基本方法： 1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。 3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求 的最大公约数。 思维方法巩固训练部分－☆星级 ■经验规律总结：通过举例观察两个数的最大公约数与它们的和、差、积之间的关系。 1．求（26，78）、（196，165）、（55，84，141） 2．两个自然数的和是88，最大公约数是8，求这两个数。 3．两个自然数的积是384，最大公约数是8，求这两个数。 4．已知两数的和是104055，这两个数的最大公约数是6937，求这两个数。 5．若两个数的积是5766，它们的最大公约数是31，求这两个数。 6．有男同学27人，女同学18人，一起去划船（每条船不超过6人），要保证每条船上男女同学都分别相等，应该租几条船？ 7．把一张长120厘米，宽80厘米的长方形的纸裁成同样大小的正方形（纸无剩余），至少能裁多少张？ 8．把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料，锯成尽可能大的同样的大小的正方体，求锯成的正方体的棱长与锯成的块数。 9．四个互不相同的自然数的积是370，求这四个数及它们的最大公约数。 10．A、B小于100，A、B的差是72，最大公约数是8，求A、B两个数。 理解记忆理论部分－☆星级
五年级奥数约数与倍数
五年级奥数约数与倍数Prepared on 21 November 2021
理解记忆理论部分－☆星级 ☆约数和倍数；若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 ☆公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 ☆最大公约数的性质： 1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。 2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。 4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几 个数的最大公约数乘以m。 例如：12的约数有1、2、3、4、6、12 18的约数有：1、2、3、6、9、18 那么12和18的公约数有：1、2、3、6 那么12和18最大的公约数是：6记作（12，18）＝6 ☆求最大公约数的基本方法： 1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。 3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余 数，就是所求的最大公约数。 思维方法巩固训练部分－☆星级 ■经验规律总结：通过举例观察两个数的最大公约数与它们的和、差、积之间的关系。 1．求（26，78）、（196，165）、（55，84，141） 2．两个自然数的和是88，最大公约数是8，求这两个数。 3．两个自然数的积是384，最大公约数是8，求这两个数。 4．已知两数的和是104055，这两个数的最大公约数是6937，求这两个数。 5．若两个数的积是5766，它们的最大公约数是31，求这两个数。 6．有男同学27人，女同学18人，一起去划船（每条船不超过6人），要保证每条船上男女同学都分别相等，应该租几条船？ 7．把一张长120厘米，宽80厘米的长方形的纸裁成同样大小的正方形（纸无剩余），至少能裁多少张？ 8． 9．把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料，锯成尽可能大的同样的大小的正方体，求锯成的正方体的棱长与锯成的块 数。
(完整word版)五年级奥数题：约数与倍数(A).docx
四 约数与倍数 (A) 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1 ．28 的所有约数之和是 _____. 2. 用 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形 , 有 _____种不同的拼法 . 3. 一个两位数 , 十位数字减个位数字的差是 28 的约数 , 十位数字与个位数字的积是 2 4. 这个两位数是 _____. 4. 李老师带领一班学生去种树 , 学生恰好被平均分成四个小组 , 总共种树 667 棵, 如果师生每人种的棵数一样多 , 那么这个班共有学生 _____人 . 5. 两个自然数的和是 50, 它们的最大公约数是 5, 则这两个数的差是 _____. 6. 现有梨 36 个, 桔 108 个 , 分给若干个小朋友 , 要求每人所得的梨数 , 桔数相 等 , 最多可分给 _____个小朋友 , 每个小朋友得梨 _____个 , 桔 _____个. 7. 一块长 48 厘米、宽 42 厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形 布片 _____块 . 8. 长 180 厘米 , 宽 45 厘米 , 高 18 厘米的木料 , 能锯成尽可能大的正方体木块 ( 不余料 )_____ 块. 9. 张师傅以 1 元钱 3 个苹果的价格买苹果若干个 , 又以 2 元钱 5 个苹果的价格将这些苹果卖出 , 如果他要赚得 10 元钱利润 , 那么他必须卖出苹果 _____个 . 10. 含有 6 个约数的两位数有 _____个 . 11．写出小于 20 的三个自然数，使它们的最大公约数是 1，但两两均不互 质，请问有多少组这种解？ 12．和为 1111 的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？ 13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 4 1 米，黄鼠狼每次跳 2 3 米， 2 4 它们每秒钟都只跳一次 . 比赛途中 , 从起点开始每隔 12 3 米设有一个陷井 , 当它们 8 之中有一个掉进陷井时 , 另一个跳了多少米 ? 14. 已知 a 与 b 的最大公约数是 12, a 与 c 的最小公倍数是 300, b 与 c 的最 小公倍数也是 300, 那么满足上述条件的自然数 a, b, c 共有多少组 ? ( 例如 : a=12、b=300、c=300，与 a=300、b=12、c=300 是不同的两个自然数 组 ) ———————————————答 案—————————————————————— 答 案: 1． 56 28 的约数有 1,2,4,7,14,28, 它们的和为
约数与倍数
五年级奥数题：约数与倍数 （A） 一、填空题 1.28的所有约数之和是（56）. 2. 用105 个大小相同的正方形拼成一个长方形，有（4）种不同的拼法。 3.一个两位数，十位数字减个位数字的差是28的约数，十位数字与个位数字的积是2 4. 这个两位数是（64）. 4. 李老师带领一班学生去种树，学生恰好被平均分成四个小组，总共种树667 棵，如果师生每人种的棵数一样多，那么这个班共有学生（28）人。 5.两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5 ，则这两个数的差是（40或20）. 6.现有梨36个，桔108 个，分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数，桔数相等，最多可分给（36）个小朋友，每个小朋友得梨（1）个，桔（3）个。 7.一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片（56）块。 8.长180 厘米，宽45厘米，高18厘米的木料，能锯成尽可能大的正方体木块（不余料）（200）块。 9.张师傅以1 元钱3 个苹果的价格买苹果若干个，又以2 元钱5 个苹果的价格将这些苹果卖出，如果他要赚得10元钱利润，那么他必须卖出苹果_____ 个。 10. 含有6 个约数的两位数有（3）个。 二、解答题。 11. 写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1 ，但两两均不互质，请问有多少组这种解？ 12. 和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？ 答：这四个数是101、202、303、505. 13. 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每秒钟都只跳一次。比赛途中，从起点开始每隔米设有一个陷井，当它们之中有一个掉进陷井时，另一个跳了多少米？
小学奥数数论之约数与倍数(二)(教师版)
1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构， 而且表达形式唯一” 一、 约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632 ，所以(12,18)236=?=； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)． 例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． 3． 求一组分数的最大公约数 知识点拨 教学目标 5-4-2.约数与倍数（二）
小学奥数合辑(学生用)：5-4-1 约数与倍数(一)
1 1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构， 而且表达形式唯一” 一、 约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； 知识点拨 教学目标 5-4-1.约数与倍数（一）
(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0被排除在约数与倍数之外 1．求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711 =??，22 252237 =??，所以(231,252)3721 =?=； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：21812 396 32 ，所以(12,18)236 =?=； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)． 例如，求600和1515的最大公约数：151******** ÷=；6003151285 ÷=；315285130 ÷=；28530915 ÷=；301520 ÷=；所以1515和600的最大公约数是15． 2．最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n． 2
五年级奥数约数与倍数(一)学生版
1. 五年级奥数约数与倍数（一）学生 版 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识, 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 ...???☆☆☆△△△的结构,而且表达形式唯一” 一、 约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除,a 叫做b 的倍数,b 就叫做a 的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=??,22252237=??,所以(231,252)3721=?=； ②短除法：先找出所有共有的约数,然后相乘．例如：2181239632 ,所以(12,18)236=?=； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止．那么,最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的)． 例如,求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=； 315285130÷=；28530915÷=；301520÷=； 所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 知识点拨 教学目标 5-4-1.约数与倍数（一）
小学奥数约数与倍数
本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住. 本讲力求实现的一个核心目标是让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，即所谓的整数唯一分解定理，教师可以在课前让学生练习几个两位或三位整数的分解，然后帮学生做一个找规律式的不完全归纳，让学生自己初步领悟“原来任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构” 一、 约数的概念与最大公约数 0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：21812 39632 ，所以(12,18)236=?=； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)． 例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=L ；6003151285÷=L ；315285130÷=L ；28530915÷=L ；301520÷=L ；所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． 3． 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a 即为所求． 二、倍数的概念与最小公倍数 知识点拨 教学目标 5-3约数与倍数