人教b版数学选修2-3练习：1.2.2.1 组合及组合数公式
新人教B版高中数学(选修2-3)1.2.2《组合》word教案
1．2．2组合课标要求：知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。
明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数m n A 与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。
情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。
教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和组合数公式授课类型：新授课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.教学过程：一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++ 种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同m n C的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ （,,m n N m n *∈≤）6阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 8.提出问题：示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．． 二、讲解新课：1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同例1．判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？（2）什么样的两个组合就叫相同的组合 2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 3．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cba bca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =． （2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅． （3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且 规定: 01n C =.三、讲解范例：例2．用计算器计算710C ．解：由计算器可得例3．计算：（1）47C ； （2）710C ； （1）解： 4776544!C ⨯⨯⨯=＝35； （2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120． 例4．求证：11+⋅-+=m n m n C m n m C ． 证明：∵)!(!!m n m n C m n -= 111!(1)!(1)!m n m m n C n m n m m n m +++⋅=⋅--+-- ＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+--- ＝!!()!n m n m - ∴11+⋅-+=m n m n C mn m C 例5．设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值解：由题意可得：⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x ，解得24x ≤≤， ∵x N +∈， ∴2x =或3x =或4x =，当2x =时原式值为7；当3x =时原式值为7；当4x =时原式值为11．∴所求值为4或7或11．例6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） .(2）教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有1117C 种选法；第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有111C 种选法．所以教练员做这件事情的方法数有1111711C C ⨯=136136（种）.例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有 2101094512C ⨯==⨯（条）. (2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有21010990A =⨯=（条）.例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？(3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有 31001009998123C ⨯⨯=⨯⨯= 161700 （种）. (2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12298C C ⋅=9506(种). (3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298C C ⋅种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298C C ⋅+21298C C ⋅=9 604 （种） .解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即3310098C C -=161 700-152 096 = 9 604 （种）. 说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。
人教新课标B版高中数学高二选修2-3学案 第1课时 组合及组合数公式
1.2.2组合第1课时组合及组合数公式学习目标 1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．知识点一组合的定义思考①从3,5,7,11中任取两个数相除；②从3,5,7,11中任取两个数相乘．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？梳理组合的概念一般地，从n个不同的元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成______，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．知识点二组合数与组合数公式从3,5,7,11中任取两个数相除，思考1可以得到多少个不同的商？思考2如何用分步乘法计数原理求商的个数？思考3你能得出C24的计算公式吗？梳理(1)组合数的概念从n个不同元素中任意取出m(m≤n)个元素的________的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号________表示．(2)组合数公式及其性质组合数公式C m n＝__________________＝__________性质①C m n＝________；＝________；②C m n＋C m－1n③C0n＝____类型一组合的有关概念例1给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？反思与感悟区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题，要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．跟踪训练1判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？(2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？(3)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(4)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？类型二组合数公式与性质的应用命题角度1有关组合数的计算与证明例2(1)计算：C410－C37·A33；＋C3n21＋n的值；(2)求C38－n3n(3)证明：m C m n＝n C m－1.n－1反思与感悟(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C m n＝n！m！(n－m)！计算．(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：①C m n＝C n－mn ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1n.跟踪训练2(1)计算C98100＋C199200＝________.(2)计算C34＋C35＋C36＋…＋C32 015的值为() A．C42 015B．C52 015C．C42 016－1 D．C52 015－1命题角度2含组合数的方程或不等式例3(1)已知1C m5－1C m6＝710C m7，求Cm8＋C5－m8；(2)解不等式：C4n>C6n.反思与感悟(1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n∈N＋.(2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m、n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练3(1)若1C3n－1C4n<2C5n，则n的集合为______．(2)解方程C x－2x＋2＋C x－3x＋2＝110A3x＋3.1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中组合问题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32．集合M＝{x|x＝C n4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是() A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q⊆MC．M⊆Q D．M∩Q＝{1,4}3．若C2n＝21，则n！3！(n－3)！的值为()A．6 B．7 C．35 D．704．不等式C2n－n<5的解集为________．5．从1,2,3,6,9中任取两个不同的数相乘．(1)列出所有的取法，并分别指出乘积为偶数与奇数的取法；(2)不同的乘积结果有多少个？1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．2．巧用组合数公式解题(1)涉及具体数字的可以直接用nn－mC m n－1＝nn－m·(n－1)！m！(n－1－m)！＝n！m！(n－m)！＝C m n进行计算．(2)涉及字母的可以用C m n＝n！m！(n－m)！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C m n＝C n－mn简化运算．答案精析问题导学知识点一思考 ①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．梳理 一组知识点二思考1 A 24＝4×3＝12.思考2 第1步，从这四个数中任取两个数，有C 24种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A 22种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为C 24A 22＝12.思考3 因为A 24＝C 24A 22，所以C 24＝A 24A 22＝6. 梳理 (1)所有组合 C m n(2)n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！n ！m ！(n －m )！C n －m n C m n ＋1 1 题型探究例1 解 (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．跟踪训练1 解 (1)每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题．(2)每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．(3)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．(4)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变．例2 (1)解 原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ 38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5， ∵n ∈N ，∴n ＝10，∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(3)证明 m C m n ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.跟踪训练2 (1)5 150 (2)C例3 解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝710C m 7，∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！.∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21.∵0≤m ≤5，∴m ＝2，∴C m 8＋C 5－m 8＝C 28＋C 38＝C 39＝84.(2)由C 4n >C 6n ，得⎩⎨⎧ n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎨⎧ n 2－9n －10<0，n ≥6 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6， 又n ∈N ＋，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．跟踪训练3 (1){5,6,7,8,9,10,11}(2)解 原方程可化为C x －2x ＋3＝110A 3x ＋3， 即C 5x ＋3＝110A 3x ＋3， ∴(x ＋3)！5！(x －2)！＝110·(x ＋3)！x ！， ∴1120(x －2)！＝110·1x (x －1)(x －2)！， ∴x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3.又∵0≤x －3≤x ＋2且x ＋3≥3，x ∈N ＋，∴x ≥3且x ∈N ＋，∴x ＝4.当堂训练1．C 2.D 3.C 4.{2,3,4}5．解 (1)由于乘法满足交换律，所以本题与次序无关，是组合问题，现规定用数对(a ，b )表示每一种取法，并且(a ，b )与(b ，a )是同一种取法．从1,2,3,6,9中任取两个不同的数，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,6)，(1,9)，(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,6)，(3,9)，(6,9)．其中乘积为偶数的取法有(1,2)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,6)，(6,9)，乘积为奇数的取法有(1,3)，(1,9)，(3,9)．(2)1×2＝2,1×3＝3,1×6＝2×3＝6,1×9＝9,2×6＝12,2×9＝3×6＝18,3×9＝27,6×9＝54，所以不同的乘积结果有8个．。
数学：1[1].2.2《组合(三)》(人教版选修2-3)
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左边= 1 1 1 1 1 1 L 1 1
2! 2! 3! 3! 4!
(n 1)! n!
1 1 =左边，所以等式成立
n!
评注： 注意阶乘的变形形式：(n 1)! (n 1) n!
练习精选： 证明下列等式 ：
C （4） 97 99
C 98 99
C 99 100
__5_0_5_0 __
（5）求 C91 C92 L C99 的值 511
例题解读
求证： 1 2 3 L n 1 1 1
2! 3! 4!
n!
n!
证明：因为 n! (n 1)! (n 1) (n 1)!
种方法
9. 某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜 肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了 5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上 的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜 __7___种.(结果用数值表示)
【解题回顾】由于化为一元二次不等式n2－n－40≥0求
解较繁，考虑到n为正整数，故解有关排列、组合的不 等式时，常用估算法.
组合与组合数
通过前面的学习，我们已经知道了组合的定义， 组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我 们将在此基础上，继续学习它们的一些应用
（一）组合数的 公式及其性质：
Cnm
n! m!(n
m)!
Cnm
Anm Amn
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
组合数性质1：C
可得：C62C42C22
种方法．根据分步计数原理所以．
xA33
2016-2017人教版高中数学选修2-3课件：第一章1.2-1.2.2第1课时组合与组合数公式
类型 1 组合的概念(自主研析) [典例 1] (1)判断下列问题是组合问题还是排列问 题： ①设集合 A＝{a，b，c，d，e}，则集合 A 的子集中 含有 3 个元素的有多少个？ ②某铁路线上有 5 个车站，则这条线上共需准备多 少种车票？多少种票价？
第八页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
解析：(1)对，根据组合数定义知说法正确． (2)对，根据组合数的定义知说法正确． (3)错，C25＝52××41＝10. (4)对，根据组合数的性质知等式成立． 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
第九页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
2．下列计算结果为 21 的是( )
第二十八页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
(2)由原方程及组合数性质可知 3n＋6＝4n－2 或 3n ＋6＝18－(4n－2)，所以 n＝2 或 n＝8.而当 n＝8 时，3n ＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去．因此 n＝2.
答案：(1)0 (2){2}
第二十九页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
即从口袋内取出 3 个球，共有 56 种取法． (2)从口袋内取出的 3 个球中有 1 个是黑球，于是还 要从 7 个白球中再取出 2 个，取法种数是 C27＝72××61＝21. 故取出含有 1 个黑球的 3 个球，共有 21 种取法．
第三十四页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
(3)由于所取出的 3 个球中不含黑球，也就是要从 7 个白球中取出 3 个球，取法种数是 C37＝73××62××51＝35.
第三页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
[知识提炼·梳理]
1．组合的概念 (1)组合：一般地，从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n) 个元素合成一组，叫作从 n 不同元素中取出 m 个元素的 一个组合． (2)组合数：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 的所有不同组合的个数，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 Cnm表示．
选修2-3第一章1-2-2组合第1课时组合与组合数公式
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
m m 1 4．对等式 Cm ＝ C ＋ C 的理解 n ＋1 n n 在确定从 n＋ 1 个不同元素中取 m 个元素的方法时，对于 某一元素， 只存在着取与不取两种可能．如果取这一元素， 则需从剩下的 n 个元素中再取出(m－ 1)个元素，所以共有 m－1 Cn 种，如果不取这一元素，则需从剩下 n 个元素中取出 m 个元素， 所以共有 Cm 由分类加法计数原理得 Cm n 种． n＋1＝ m－1 Cm ＋ C n n .
1.2.2 组 合
第1课时 组合与组合数公式
【课标要求】
理解组合与组合数的概念． 1． 会推导组合数公式，并会应用公式求值． 2． 3． 了解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【核心扫描】
组合的概念及组合与组合数的区别．(易错点) 1．
组合数公式的推导．(难点) 2． 组合数公式的应用．(重点) 3．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引
1．组合 不同 元素中__________________________ 取出m(m≤n)个元素合成一组 ， 一般地，从n个_____ 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
想一想：组合与排列有什么异同点？ 提示 组合与排列问题共同点是都要“从n个不同元素中，任 取m个元素”；不同点是前者是“不管顺序合成一组”，而后者 要“按照一定顺序排成一列”．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式1】 判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列 数表示出来． (1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中
人教B数学选修2-3课件：1.2.2.1 组合及组合数公式
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知识拓展 (1)如果两个组合中的元素完全相同,不管它们的顺序 如何,都是相同的组合.
(2)当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)时, 就是不同的组合.例如从a,b,c三个不同的元
素中取出两个元素的所有组合有3个,它们分别是ab,ac,bc.要注意 ba,ab是相同的组合.
(3)组合问题与排列问题的共同点是:都要“从n个不同元素中,任 取m个元素”,不同点是:前者是“不管顺序并成一组”,而后者要“按照 一定顺序排成一列”.
题型一
题型二
题型三 题型四
题型二 组合数公式的应用
【例 2】 计算C33���8���-������ + C���3������+��� 21的值. 分析C������������ 的限制条件为:m∈N,n∈N+,且 m≤n,因此,在本题中便可
得到 n 的值,从而求出式子的值.
解:由题意可知
3������ ≥ 38-������, 3������ ≤ ������ + 21, 即
第一课时 组合及组 合数公式
1.理解组合的概念及组合数公式. 2.会利用组合数公式解决一些简单的组合问题.
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1.组合的有关概念 (1)一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素并成一组, 叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.从排列和组合的 定义可知,排列与取出元素的顺序有关,而组合与取出元素的顺序 无关. (2)从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数, 叫做从n个不同元素中,任意取出m个元素的组合数,用符号 C������������表示.
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【做一做1-1】 在下列问题中,是组合问题的有
,是排列问
人教版高中数学选修2-3课时训练组合与组合数公式
课堂练习(五) 组合与组合数公式(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列四个问题属于组合问题的是( )A ．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作B ．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C ．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式D ．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 C [A 、B 、D 项均为排列问题，只有C 项是组合问题．]2．已知平面内A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )A ．3B ．20C ．12D ．24B [C 36＝6×5×43×2×1＝20.]3．下列等式不正确的是( ) A ．C mn ＝n ！m ！(n －m )！B ．C m n ＝C n －mn C ．C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1 D ．C mn ＝C m ＋1n ＋1D [由组合数公式逐一验证知D 不正确．] 4．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4D ．4A [A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，所以n (n －1)(n －2)＝12×12n (n －1)．由n ∈N *，且n ≥3，解得n ＝8.]5．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种C [甲选修2门有C 24＝6种选法，乙、丙各有C 34＝4种选法．由分步乘法计数原理可知，共有6×4×4＝96种选法．]二、填空题6．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)210 [从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210种分法．]7．方程：C 2x4＋C 2x －14＝C 56－C 66的解集为________．{x |x ＝2} [由组合数公式的性质可知⎩⎪⎨⎪⎧2x ≤4，2x －1≤4，2x ∈N ，2x －1∈N ，解得x ＝1或x ＝2，代入方程检验得x ＝2满足方程，所以原方程的解为{x |x ＝2}．]8．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女一定不是O 型，若某人的血型为O 型，则父母血型所有可能情况有________种．9 [父母应为A 或B 或O ，共有C 13·C 13＝9种情况．] 三、解答题9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？[解] 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C 36＝6×5×43×2×1＝20个．10．求式子1C x 5－1C x 6＝710C x 7中的x .[解] 原式可化为：x ！(5－x )！5！－x ！(6－x )！6！＝7·x ！(7－x )！10·7！，∵0≤x ≤5，∴x 2－23x＋42＝0，∴x ＝21(舍去)或x ＝2，即x ＝2为原方程的解．[能力提升练]1．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有( )A ．36个B ．72个C ．63个D ．126个D [此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为C 49＝126个．]2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种C [可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C 14·C 25＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C 24·C 15＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．]3．某科技小组有女同学2名、男同学x 名，现从中选出3人去参观展览．若恰有1名女同学入选的不同选法有20种，则该科技小组中男同学的人数为________．5 [由题意得C 12C 2x ＝20，解得x ＝5(负值舍去)．所以该科技小组有5名男同学．] 4．已知C m －1n 2＝C mn 3＝C m ＋1n 4，则m 与n 的值分别为________．14,34 [可得：⎩⎪⎨⎪⎧n ！2(m －1)！(n －m ＋1)！＝n ！3m ！(n －m )！，n ！3m ！(n －m )！＝n ！4(m ＋1)！(n －m －1)！，∴⎩⎪⎨⎪⎧5m ＝2n ＋2，7m ＝3n －4，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝34.]5．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？[解] (1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有C 3100＝100×99×981×2×3＝161 700(种)．(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C 12种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C 298种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C 12·C 298＝9 506(种)．(3)法一：抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C 12·C 298种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C 22·C 198＋C 12·C 298＝9 604(种)．法二：抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即C 3100－C 398＝161 700－152 096＝9 604(种)．。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 1.2.2 组合》
组 合（第一课时）学习目标导航：1理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排列的区别与联系易混点 2会推导组合数公式，并能解决简单的排列组合应用题重点 教学过程 复习提问:1概念提问:①排列的定义 ②排列数公式 2应用提问:分析下列事件，说出完成每个事件的结果数14支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ 24支球队以单循环进行比赛每两队比赛一次，这次比赛需要进行多少场次？ 3从4个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ 4从4个人里选3个代表去开会，有多少种选法？设计目的:从概念和设计例子出发,感受排列与组合的联系与区别,引出课题知识点1组合的概念1．组合1一般地，从n 个不同元素中，任意取出mm≤n 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的一个组合．2如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同组合．知识点2组合数公式2．组合数从n 个不同元素中，任意取出mm≤n 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C 错误!表示[探究一]：组合数公式的推导过程设计目的：学生在例子中感受到排列是可以分步进行的，得出组合数的推导过程一般地,求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，可以分为2步： 第一步，先求从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数C 错误!，第二步，求每个组合中m 个元素的全排列数mm A根据分步乘法计数原理，得 mm m n m n A C A =由此得到组合数公式+∈∈=N n N m AA Cm mm nmn，其中,探究：计算①4737C C +,4626C C -多少种不同取法？）其中不含红球，共有（共有多少种不同取法？）其中恰有一个红球，（？）共有多少种不同取法（个球：从口袋中任取个红球，个不同白球和②一个口袋中有321517设计目的：学生在计算过程中发现组合数两个性质（易错题：忽略n ∈N 的范围而错解为-1＜n ＜12）7式子 的值的个数为（ ） A 1 B 2 D 48 =______ 9设集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e}，则集合A 的子集中含有3个元素的有____个 在下列条件下，有多少种不同的选法？ 1任意选5人；2甲、乙、丙三人必需参加； 3甲、乙、丙三人不能参加； 4甲、乙、丙三人只能有1人参加．2现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．____,3____,12(2)C )1(.187712327101001057==-==-+n C C C n C A A C C n n n n n 则）已知（则解方程：若计算：练习543211)4(n n n C C C ＜解不等式：-221111342522565-++-++++++==x x x x x x x x x x C C C C C C ）解方程：（）解方程：（)(*1710210N m C C m m ∈+-+nn 13n 172n C C 3＋－＋1现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？2现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 3从中选4名去参加会议，恰好有一名男老师，有多少种选法？ 4从中选3名去参加会议，至少有一名男老师，有多少种选法？设计目的：感受特殊元素法，分类列举法，理解“至多、至少、恰好”的数学含义，选择合适的方法练习21要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ 1甲当选且乙不当选； 2至多有3男当选．2某科技小组有女同学2名、男同学名，现从中选出3人去参观展览． 若恰有1名女生入选时的不同选法有2021求该科技小组中男生的人数． )(___6,5,4,3,2,1.3用数字作答个有之和为偶数的四位数共和百位上的数字位数，其中个位、十位组成没有重复数字的四用数字 高考链接1（2021年江西高考适应性测试）学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学，现从该小组中选出3位 同学分别到A,B,C 三地进行社会调查，若选出的同学男女均有，则不同的安排方法有 （ ）种 种 种 种 种 2（2021·全国‖卷）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式 有 （ ）种种 种 种 种 3（广东省茂名市2021届高三第一次综合测试）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科 一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方式有 （ ）种 种 种 种 种 4（2021江西省南昌市十九中高二月考）两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次数不同视为不同情形）共有（ ）种种 种 种 种设计目的：直击高考题，感受题型和方法本节收获小结1排列与组合的异同：24应用：直接法，间接法特殊元素，特殊位置，捆绑，插空，定序等。
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1.2.2 组合
第一课时组合及组合数公式
课时过关·能力提升
1.计算)
A.120
B.240
C.60
D.480
:A
2.则m=( )
A.6
B.7
C.8
D.9
,得m(m-1)(m-2)
即m-3=4,解得m=7.
3.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为( )
A.24
B.18
C.12
D.6
:第一类,从0,2中选数字2,从1,3,5中任选两个数字所组
第二类,从0,2中选数字0,从1,3,5中任选两个数字所组成的无重复数字的
故满足条件的奇数的总数为12+6=18.
4.从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中,任取三条的不同取法共有n种.
在这些取法中,以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m,
( )
D.27
解析由已知n=
能构成钝角三角形的三条线段的长度分别为2,4,5或2,3,4,所以m=2.故
答案
5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )
A.6种
B.12种
C.30种
D.36种
种);
种).所以甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法共有24+6=30(种).
6.对所有满足1≤m<n≤5的自然数m,n,方程x22=1所表示的不同椭圆的个数为.
1≤m<n≤5,计算可知
故x22=1能表示6个不同椭圆.
7.从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则共有种不同的选法.
:第一类,;第二类,;
第三类,,则总的选法为种).
★8.马路上有编号为1,2,3,…,9的九盏路灯,为了节约用电,可以把其中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,则满足条件的关灯方法有种.
种).
9.
,∴该不等式的解集为{6,7,8,9}.
∵n∈N
+
★10.一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?
由于上场学员没有角色差异,所以可以形成的学员上场方案种数为
(2)教练员可以分两步完成这件事情:
第1步,从17名学员中选出11人组成上场小组,;
第2步,从选出的11人中选出1名守门员,.。