CP090-计算物理热传导方程的差分解法
第九章_热传导方程的差分解法_郑大昉
类似地,其偏微分用差分近似为: 类似地 其偏微分用差分近似为 近似为
∂ui, j,k ui, j,k+1 − ui, j,k = ∂t τ 2 ∂ ui, j,k ui+1, j,k − 2ui, j,k + ui−1, j,k = 2 ∂x h2 ∂2ui, j,k ui, j+1,k − 2ui, j,k + ui, j−1,k = 2 ∂y h2
∂ui,k ∂x ∂ui,k − ∂x + h
(9-18)
二阶中心差商可近似为 二阶中心差商可近似为: 可近似为
∂2ui,k ∂x
即:
2
=
−
(9-19)
ui+1,k − 2ui,k + ui−1,k ∂2u = 2 2 ∂x i,k h
(9-20)
时间的一阶差商近似为 近似为: 另, 对时间的一阶差商近似为
(9-27)
u(x, y,0) = ϕ(x, y)
(9-28)
其边界条件留待后面给出 边界条件留待后面给出. 留待后面给出
差分方法 仍设空间步长 h 仍设空间步长: 空间步长 时间步长: 时间步长 空间为: 网格. 空间为 N× M 网格
τ
则:
Nh = l,
M =s h
t = kτ , k = 0,1 2,... , x = ih, i = 0,1 N ,..., y = jh, j = 0,1,..., M
∆t
∂u ∆Q = −K(x, y, z, t)∆t∆S ∂n
(9-1)
t1
t2 t1
和
Q =∫ 1
∂u dt ∫∫ K(x, y, z, t) dS ∂n (S)
热传导方程的差分格式汇总
热传导方程的差分格式汇总1.显式差分格式：显式差分格式是最简单的一种方法，通过将导热方程时间和空间上的导数进行近似，引入差分算子，将方程转化为差分格式。
其中最常见的差分格式有：a. 前向差分法（Forward Difference Method）：利用当前节点和其相邻节点的温度值进行计算。
例如，在一维离散情况下，可以使用公式：u(i,j+1)=u(i,j)+α(u(i+1,j)-2u(i,j)+u(i-1,j))b. 后向差分法（Backward Difference Method）：利用当前节点和其相邻节点的温度值进行计算。
例如，在一维离散情况下，可以使用公式：u(i,j+1)=u(i,j)+α(u(i+1,j+1)-2u(i,j+1)+u(i-1,j+1))c. 中心差分法（Central Difference Method）：利用当前和其相邻节点的温度值进行计算。
例如，在一维离散情况下，可以使用公式：u(i,j+1)=u(i,j)+α(u(i+1,j)-2u(i,j)+u(i-1,j))+β(u(i+1,j)-u(i-1,j))其中α和β是时间和空间步长的比例因子。
2.隐式差分格式：显式差分格式具有较大的稳定性限制。
为了克服这个问题，可以使用隐式差分格式，其中使用下一个时间步长的温度值来求解当前时间步长。
常见的隐式差分格式有：a. C-N差分法（Crank-Nicolson Method）：利用前后两个时间步长的温度值进行计算。
例如，在一维离散情况下，可以使用公式：u(i,j+1)=u(i,j)+0.5α(u(i+1,j+1)-2u(i,j+1)+u(i-1,j+1))+0.5α(u(i+1,j)-2u(i,j)+u(i-1,j))b. 力学模拟法（Finite Element Method）：将空间离散化后，通过引入有限元方法，将热传导问题转化为线性方程组，再通过求解线性方程组得到温度分布。
差分方法
一、差分方法1．1 导数的差分公式在x 附近对()f x 展开，由泰勒展开公式()()()f x h f x f x h '+≈+得到前差公式为()()()f x h f x f x h +-'=同理也可以得到后差公式()()()f x f x h f x h--'=由后差分公式可以得到二阶导数的差分公式为2()()()2()()()f x h f x f x h f x f x h f x h h ''+-+-+-''==叫中心差分公式。
利用这些公式可以将微分方程写成差分方程。
1．2 热传导方程的差分公式 热传导方程是2t xx u a u =可以写成差分形式 22(,)(,)(,)2(,)(,)()u x t t u x t u x x t u x t u x x t a t x +∆-+∆-+-∆≈∆∆即 []22(,)(,)(,)2(,)(,)()t u x t t u x t a u x x t u x t u x x t x ∆+∆≈++∆-+-∆∆ 令,,0,1,2,...,1x i x t i t i n =∆=∆=-上式可以写为（显示格式）[]22(,1)(,)(1,)2(,)(1,)()tu i j u i j a u i j u i j u i j x ∆+=++-+-∆ 可以证明，上式的稳定条件为22()2x t a ∆∆≤，即221()2t a x ∆≤∆ 稳定且非振荡的条件为221()4t a x ∆≤∆ 截断误差为2((),)O x t ∆∆另一种格式为 22(,)(,)(,)2(,)(,)()u x t t u x t u x x t t u x t t u x x t t a t x +∆-+∆+∆-+∆+-∆+∆≈∆∆即2222()()(,1,1)2(,1)(1,1)(,)x x u i j u i j u i j u i j a t a t ⎡⎤∆∆-++--++++=-⎢⎥∆∆⎣⎦该式称为隐式格式。
一维热传导方程的差分法
一维热传导方程的差分法一维热传导方程描述了一个物体内部热的传递规律。
这个方程可用于解决各种问题，如材料的温度分布、传热速率等。
对于一维热传导方程，可以通过差分法来求解。
差分法是一种数值求解法，通过将原方程离散化成差分形式，将导数转化为有限差分，从而得到差分方程组。
通过求解差分方程组就可以得到离散点上的数值解。
关于一维热传导方程的差分法，以下是具体步骤。
1. 确定精度和空间网格数在差分法中，需要首先确定精度和空间离散化的步长。
通常情况下，精度越高，计算量越大，但是结果也越接近真实情况。
空间网格数越多，计算量也会越大，但是离散化的结果也越接近真实情况。
因此，需要在计算效率和结果准确性之间做出权衡。
2. 离散化热传导方程将一维热传导方程离散化，得到差分方程组。
通过 Taylor 展开，将导数转化为有限差分的形式，得到如下式子：$$ \frac{T_{i+1}-2T_{i}+T_{i-1}}{\Deltax^{2}}=\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}|_{x=i\Delta x,t}=\frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t}|_{x=i\Delta x,t} $$其中，$T_i$ 表示在 $x=i\Delta x$ 处的温度值，$\Delta x$ 表示空间分割步长，$\frac{1}{\alpha}$ 表示材料的热扩散系数。
3. 构建差分方程组通过对差分方程组进行简单的变形，得到一个带有时间变化的差分方程组：其中，$n$ 表示时间步长，$\Delta t$ 表示时间离散化步长。
4. 初始条件和边界条件为了有效地求解差分方程组，我们需要知道初始条件和给定的边界条件。
在一维热传导方程中，初始条件是物体最初的温度分布，而边界条件通常包括物体边界的温度和热流量。
5. 使用迭代算法求解差分方程组通过使用迭代算法（如欧拉法、隐式迭代法、迭代加速法等），可以求解差分方程组的数值解。
差分方法
解题的时间范围为 ，初始条件是 。
为了有足够的精度，将初始化的网格作了两次细分。而作图的选项为Contour和Animation。
作为对比，可以更改初始条件为 ,即 。
资料来源：数学物理方程与Matlab可视化.
end
mesh(X,Y,un);
axis([-1 1 -1 1 -0.4 0]);
pause(0.1)
end
figure(2)
wn=0;
fork=1:N
wnn=2*(U0-u0)*(-1)^k.*sin(k.*pi.*RR).*exp(-k^2*pi^2*a2*TT)./(pi*k.*RR);
wn=wn+wnn;
，即
稳定且非振荡的条件为
截断误差为
另一种格式为
即
该式称为隐式格式。对任何步长都是恒稳定的。在 上取值的唯一限制是，要将截断误差保持在合理的程度上从而节约计算时间。
截断误差为
。
二、一维热传导方问题
2．1 无限长细杆的热传导
无限长细杆的热传导的定解问题是
利用Fourier变换求得问题的解是
其中取初始温度分布如下：
end
2．3输运问题（非齐次方程）
定解问题是
解析解为
其中
我们分别用解析解与差分方程的数值解画图。
计算中取 ，这个时间很短，因为这个过程的时间很短。解析解的图形如图3所示，其中图（a）是以 为变量所画的表面图，从图中可以看出变化的全貌，图(b)是初始状态,图(c)是最后的状态。解析解在初始状态所画出的图形与差分方程的解有一定的偏差。
为了作图，取 ，在级数求和中只取了前面10项。
【程序】
求解热传导方程的高精度隐式差分格式毕业论文
新疆大学毕业论文(设计)题目:求解热传导方程的高精度隐式差分格式所属院系：数学与系统科学学院专业：信息与计算科学声明本人郑重声明该毕业论文（设计）是本人在开依沙尔老师指导下独立完成的，本人拥有自主知识产权，没有抄袭、剽窃他人成果，由此造成的知识产权纠纷由本人负责。
声明人（签名）：年月日亚库甫江.买买提同学在指导老师的指导下，按照任务书的内容，独立完成了该毕业论文（设计），指导教师已经详细审阅该毕业论文（设计）。
指导教师（签名）：年月日新疆大学毕业论文（设计）任务书班级：信计07-2 姓名：亚库甫江.买买提论文（设计）题目：求解热传导方程的高精度隐式差分格式专题：毕业设计论文（设计）来源：教师自拟要求完成的内容：学习和掌握一维热传导方程已有的各种差分格式的基础上，扩散方程对空间变量应用紧致格式离散，对时间变量应用梯形方法，构造热传导方程的精度为()24τ+数值格式，O h讨论格式的稳定性，最后数值例子来验证。
发题日期：2012 年12月25日完成日期：2012 年5月28 日实习实训单位：数学学院地点：数学学院论文页数：19页；图纸张数：4指导教师：开依沙尔老师教研室主任院长（系主任）摘要本文首先对热传导方程经典差分格式进行复习和讨论，然后热传导方程对空间变量四阶紧致格式进行离散,时间变量保持不变，把一维热传导方程转化为常微分方程组的初值问题, 再利用梯形方法构造热传导方程方程的时间二阶空间四阶精度的一种差分格式，并稳定性进行分析，数值结果与Crank-Nicholson 格式进行比较，数值结果表明, 该方法是有效求解热传导方程的数值计算.关键词: 热传导方程,高精度紧致格式; 梯形方法；两层隐格式; Crank-Nicolson格式ABSTRACTThis paper first study on some classical finite difference for the heat conduction equation, secondely secondely we apply compact finite difference approximation of fourth order for discretizing spatial derivatives but leave the time variable Continuous. This approach results in a system of ODEs, which can then be used trapezodial formula derived fourth order in space and second order in time unconditionally stable implicit scheme .the stability and local truncation error of the obtained method are analysied. Numerical experiments shows that this method Useful, efficient method for solving diffusion equationKeywords: Heat conduction eqution;Higher- oder compact scheme; Trapezodial formula ;Two- level implict scheme; Crank- Nicolson scheme目录引言 (1)预备知识 (2)1.扩散方程的经典差分格式 (3)1.1 显式差分格 (3)1.1.1 显式的截断误差................ . (4)1.1.2 显式差分格式的稳定性 (4)1.2 隐式差分格式 (5)1.2.1 隐式差分格式的截断误差 (5)1.2.2 隐式差分格式的稳定性 (6)1.3 Crank-Nicolson格式 (6)1.3.1 Crank-Nicolson差分格式的截断误差 (7)1.3.2 Crank-Nicolson差分格式的稳定性 (8)2.高精度格式的构造 (9)2.1梯形方法 (9)2.2本文格式的构造 (10)2.3 稳定性分析 (11)3.数值实验 (13)结论 (17)致谢 (18)参考文献 (19)引言热传导方程是一类描述物理量随时间的扩散和衰减规律的抛物型微分方程．自然环境、工程设备及生物机体中的许多物理现象，诸如气体的扩散、液体的渗透、热的传导、以及半导体材料中杂质的扩散等都可用热传导方程来描述．由于物理问题本身的复杂性，其精确解往往不容易求得，因此研究其数值求解方法无疑具有非常重要的理论意义和工程应用价值【1】．求解该问题的数值方法主要有 差分法、有限元法、边界元法等，其中有限差分方法数值求解扩散方程的应用广泛的有效地方法之一。
热传导方程有限差分解算算法优化方法
热传导方程有限差分解算算法优化方法热传导方程是用于描述物质内部热量传递的一种偏微分方程。
它被广泛应用于热传导问题的数值模拟和仿真中。
为了求解这个方程，常常采用有限差分法进行离散化处理，然后利用迭代算法求解离散化后的方程组。
在实际应用中，如何选择合适的有限差分解算算法并对其进行优化，是提高计算效率和准确性的关键。
在研究热传导方程的有限差分解算算法时，我们可以从以下几个方面进行优化：1. 空间离散化：热传导方程的空间离散化是将求解区域划分为离散的网格，通常采用网格点的位置和距离等进行离散化处理。
在进行空间离散化时，我们可以选择合适的网格划分策略，如均匀网格划分、自适应网格划分等，以提高模拟结果的准确性和计算效率。
2. 时间离散化：热传导方程的时间离散化是将时间区间划分为离散的时间步长，常用的方法有显式和隐式方法。
显式方法适用于稳定性要求不高的问题，但计算效率较高；隐式方法则适用于稳定性要求较高的问题，但计算效率较低。
因此，在选择时间离散化方法时，应综合考虑计算效率和稳定性两方面的因素。
3. 边界条件处理：边界条件是热传导方程求解中必不可少的一部分，能够有效地约束解的行为。
在处理边界条件时，我们应确保边界条件与实际问题相符，并且能够满足求解精度和稳定性要求。
同时，我们可以采用合适的插值方法对边界条件进行处理，以提高模拟结果的准确性。
4. 迭代收敛准则：迭代算法在求解离散化后的方程组时常常涉及到迭代收敛问题。
为了加快迭代速度和保证求解结果的准确性，我们应选择合适的收敛准则，并根据实际情况进行优化。
例如，可以采用自适应的迭代步长策略，根据当前误差大小动态调整迭代步长，以加快迭代速度。
5. 算法并行化：热传导方程的有限差分解算算法在大规模问题求解时常常需要耗费大量的计算资源。
因此，我们可以考虑利用并行计算的方法，如多线程和多进程，并结合并行计算库，如OpenMP、MPI等，提高计算效率和求解速度。
综上所述，热传导方程的有限差分解算算法的优化方法主要包括空间离散化、时间离散化、边界条件处理、迭代收敛准则和算法并行化等方面。
matlab 热传导方程的差分
matlab 热传导方程的差分热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。
在工程和科学领域中，热传导方程的数值解是非常重要的，因为它可以帮助工程师和科学家们预测材料的温度变化，设计有效的散热系统等。
在本文中，我们将讨论如何使用Matlab对热传导方程进行差分求解。
差分法是一种常用的数值解法，它将连续的方程离散化为离散的点，通过迭代计算得到方程的近似解。
首先，让我们回顾一下热传导方程。
热传导方程通常写作：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$$。
其中，$u$是温度分布，$t$是时间，$\alpha$是热传导系数，$\nabla^2$是拉普拉斯算子。
在一维情况下，热传导方程可以简化为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$。
接下来，我们将使用有限差分法对这个一维热传导方程进行离散化。
假设我们有一个长度为$L$的杆，我们将其分成$n$个小段，每个小段的长度为$\Delta x = \frac{L}{n}$。
我们将温度在每个小段的离散点上进行逼近，即$u_i(t)$表示第$i$个小段上的温度，$t_j$表示第$j$个时间步。
我们可以使用中心差分法来逼近二阶导数：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx\frac{u_{i+1} 2u_i + u_{i-1}}{(\Delta x)^2}$$。
将这个逼近代入热传导方程，我们可以得到离散化的方程：$$\frac{u_i^{j+1} u_i^j}{\Delta t} = \alpha\frac{u_{i+1}^j 2u_i^j + u_{i-1}^j}{(\Delta x)^2}$$。
其中，$\Delta t$是时间步长。
通过这个离散化方程，我们可以使用Matlab编写一个迭代算法来求解热传导方程的数值解。
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9.1 热传导方程概述
一、传入热量
t 时间内通过 S 横截面积传导的热量为：
Q K(x, y, z,t)tS u n
其中，K (x, y, z,t) 是介质的热传导系数。u 是温度沿 S 面的 n
法向微商，即温度梯度的法向分量。
通过包面 S 传入 V 的热量为：
Q
x
h
t
2、 一阶向后差商
3、 二阶中心差商
ui,k ui,k ui,k
x
h
ui,k ui,k
ui,k x
x ui,k ui,k ui,k
x
h
h
9.2 一维热传导方程的差分解法
4、 一维热传导方程的差分格式
ui,k ui,k ui,k ui,k ui,k
h
整理得：
ui,k ui,k ( - )ui,k ui,k
9.3 二维热传导方程的差分解法
对于节点 (i, j) ，在 k 时刻有：
ui, j,k
t
ui, j,k ui, j,k
ui, j,k
x
ui, j,k
ui, j,k h
ui, j,k
ui y
,j
,k
ui, j,k
ui, j,k h
ui, j,k
(t )u(l , t )
g
(t)
t T （9.7）
其中， (t) 和 (t) ，且不能同时为零。
9.2 一维热传导方程的差分解法
三、差商格式
设空间和时间步长分别为： h 和 ，空间和时间步序号记为 i 和 k 。
1、 一阶向前差商
ui,k ui,k ui,k 和 ui,k ui,k ui,k
9.2 一维热传导方程的差分解法
2、差分格式的稳定条件 3、具体步骤
h
（1）给定 ,l, h,,T ；
（2）计算 h / , N l / h, M T / ；
（3）计算初始值： ui, (ih) ； 计算边界值： u,k g (k ), u N ,k g (k ) ；
（4）用差分格式计算 ui,k 。
h^2/lda;T=tao*100;N=l/h;M=T/tao; for i=1:N+1
u(i,1)=fai((i-1)*h); end for k=1:M
u(1,k)=g1(k*tao); u(N,k)=g2(k*tao); end for k=1:M for i=2:N
u(i,k+1)=alpha*u(i+1,k)+(12*alpha)*u(i,k)+alpha*u(i-1,k); end plot([0:h:l],u(:,k+1)); hold on; pause(0.05); end
（9.1）
t
式（9.1）称为各向同性介质有热源的热传导方程，也叫三维
非齐次热传导方程。
9.1 热传导方程概述
五、三维齐次热传导方程
当介质均匀（ c 、 和 K 为常数）、V 内无热源（ F(x, y, z,t) ）时：
c u Ku,
t
其中
x
y
z
上式可表示为：
u t
K
c
u ( x
u y
t dt
t
S
K(x, y, z,t) u ds n
由矢量分析（高斯散度定理）可得：
Q
t dt
t
•[K(x, y, z,t)u]dV
V
其中， 是哈密顿算子。
9.1 热导方程概述
二、产生热量
V 内所有热源产生的热量：
Q
t dt
t
F(x, y, z,t)dV
V
其中，F(x, y, z,t) 为内部热源密度，表示单位时间单位体积所产生
的热量。
三、消耗热量
V 内消耗热量：
Q
t dt
t
c udV
V t
其中， c 为介质的比热容， 为质量密度。
9.1 热传导方程概述
四、三维非齐次热传导方程 由能量守恒定律，即
Q Q Q
可得：
t dt [c u • (Ku) F]dV
t
V t
或
c u • (Ku) F(x, y, z,t)
u z )
（9.2）
上式为三维齐次热传导方程。
9.2 一维热传导方程的差分解法
一、一维热传导方程 各向同性介质中无热源的一维热传导方程为：
u t
u x
K , t T （9.3） c
二、初始、边界条件 初始条件：
u(x,) (x)
xl
（9.4）
9.2 一维热传导方程的差分解法
边界条件： 1、 第一类边界条件：
u(,t) g(t) u(l,t) g (t)
2、 第二类边界条件：
t T
u(, t ) x
g (t)
u(l,
t
)
x
g (t)
t T
（9.5） （9.6）
9.2 一维热传导方程的差分解法
边界条件： 3、 第三类边界条件：
u(, t ) x
(t )u(, t )
g (t)
u(l , t ) x
h
i
,,...,
N
, k
,,,...,
M
5、 初始、边界条件的差分格式
ui, (ih) i ,,...,N
u,k g (k ) uN,k g (k )
k ,,...,M
9.2 一维热传导方程的差分解法
四、差分计算 1、思路 根据初始条件和边界条件计算出各层的的温度，如图 9-1 所示。
9.2 一维热传导方程的差分解法
例 9.1 求热传导方程混合问题：
u(utx,)xux( x) u(,t) ,u(,t)
x , t
x t
的数值解，取 N=10，h=0.1,计算到 k=36 为止。
function main %热传导方程的差分解法 lda=1;l=1;h=0.05;alpha=0.5;tao=alpha*
初始条件为
u(x, y,) (x, y)
（9.10）
方程（9.9）称为二阶抛物线偏微分方程。
9.3 二维热传导方程的差分解法
二、差商格式
设时间步长为 ，空间步长为 h ，二维平
面 xoy 分为 N M 的网格，并使
则有
t k x ih y jh
Nh l Mh s
k ,,,... i ,,,...,N j ,,,...,M
function u=fai(x) u=4*x*(1-x);
function u=g1(x) u=0;
function u=g2(x) u=0;
9.3 二维热传导方程的差分解法
一、二维热传导方程 各向同性介质中无热源的二维热传导方程为：
u t
（xu
xu ），
K
c
,
t
T
（9.9）
x l, y s,