第2章 模糊集的数量指标
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模糊数学模糊集合及其运算
AI B
u1
u2
u3
u4
u5
0.2 0.3 0.5
u1 u2 u5
2020/5/1
15
一般地，模糊集A和B的交并和余的计算，按论域U为有限和无 限分为两种表示
(1)
设论域U
{u1,...un}且A
n k 1
A(uk ), B uk
n k 1
B(uk ), uk
则A B n A(uk ) B(uk )，A B n A(uk ) B(uk )，AC n 1- A(uk )
2020/5/1
4
集合的运算规律
1、交换律 2、结合律 3、吸收律 4、幂等律 5、分配律
A B B A, A B B A A (B C) (A B) C , A (B C) (A B) C (A B) A A, (A B) A A
A A A, A A A
注：扎德记号不是分式求和，只是一种记号而已。其中 “分母”是论域U的元素，“分子”是相应元素的隶属度。
模糊集合的表示
一般情况 A {(u, A(u)) | u U}
U有限或可数 A
A(ui ) / ui
A(ui ) ui
U无限不可数
A A(u) / u
2020/5/1
9
例3 设U={1,2,3,4,5,6},A表示“靠近4”的数集,则AF(U),各数属于A的 程度A(ui)如下
0.5 0.3 0.1 0.7 B ,
u1 u2 u3 u5
那么
A U B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u1
u2
u3
u4
u5
0.5 0.7 1 0.1 0.7 u1 u2 u3 u4 u5
模糊数学基础知识
A 1＝{u3} A0.8 ＝{u3 ,u4} A0.5 ＝{u2 , u3 ,u4} A0.4 ＝{u1 , u2 , u3 ,u4} A0.2 ＝{u1 , u2 , u3 ,u4 , u5}
1 1A1 = u3 0.8 0.8 0.8A0.8 = + u3 u4 0.5 0.5 0.5 0.5A0.5 = + + u2 u3 u4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4A0.4 = + + + u1 u2 u3 u4 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2A0.2 = + + + + u1 u2 u3 u4 u5
200669中科院寒旱所遥感室51976年传入我国1980年成立中国模糊数学与模糊系统学会1981年创办模糊数学杂志1987年创办模糊系统与数学杂志我国已成为全球四大模糊数学研究中心之一美国西欧日本中国200669中科院寒旱所遥感室6集合是现代数学的基础概念模糊集合是集合的发展是模糊数学的基础经典集合论任意元素和任意一个集合之间的关系是属于和不属于的
交流学习
模糊数学基础
王建宏
2006-6-9
中科院寒旱所遥感室
1
提
纲
模糊集概念 隶属函数确定 模糊关系 模糊综合评判 实例介绍
2006-6-9
中科院寒旱所遥感室
2
1、模糊集
模糊集理论 美国加州大学 控制专家 L.A. Zadeh 1965年开创
2006-6-9
中科院寒旱所遥感室
3
1、模糊集
L-模糊集 L-直觉模糊集
定义：设A∈F(U), λ∈[0,1] 则： (1)
Aλ = {u | u ∈ U , A(u ) ≥ λ}
1 1A1 = u3 0.8 0.8 0.8A0.8 = + u3 u4 0.5 0.5 0.5 0.5A0.5 = + + u2 u3 u4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4A0.4 = + + + u1 u2 u3 u4 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2A0.2 = + + + + u1 u2 u3 u4 u5
200669中科院寒旱所遥感室51976年传入我国1980年成立中国模糊数学与模糊系统学会1981年创办模糊数学杂志1987年创办模糊系统与数学杂志我国已成为全球四大模糊数学研究中心之一美国西欧日本中国200669中科院寒旱所遥感室6集合是现代数学的基础概念模糊集合是集合的发展是模糊数学的基础经典集合论任意元素和任意一个集合之间的关系是属于和不属于的
交流学习
模糊数学基础
王建宏
2006-6-9
中科院寒旱所遥感室
1
提
纲
模糊集概念 隶属函数确定 模糊关系 模糊综合评判 实例介绍
2006-6-9
中科院寒旱所遥感室
2
1、模糊集
模糊集理论 美国加州大学 控制专家 L.A. Zadeh 1965年开创
2006-6-9
中科院寒旱所遥感室
3
1、模糊集
L-模糊集 L-直觉模糊集
定义：设A∈F(U), λ∈[0,1] 则： (1)
Aλ = {u | u ∈ U , A(u ) ≥ λ}
模糊数学——第2次课模糊集合概念
2014年6月26日
7
例1：“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为
1 0.8 0.2 0 A 1 2 3 4
可省略
例2：如洗衣机洗衣量“较多”：U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 表示成模糊集如下：
0 0 0.1 0.5 0.9 1 A 1 2 3 4 5 6
2014年6月26日
9
表示方法1的说明
A( x1 ) A( x2 ) A( xn ) A x1 x2 xn
不是分式求和，只是一个符号 “分母”是论域U的元素 “分子”是相应元素的隶属度 当隶属度为0时，该项可以不写入
2014年6月26日
10
模糊集合及其运算
（2）序偶表示法
~
~
2014年6月26日
4
例1：“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为
1 0.8 A x 0.2 0 x 1 x2 x3 x4
注：模糊集合中没有“属于”这个概念。
2014年6月26日
5
模糊集合及其运算
A ( x ) 越接近于0, 表示 x 隶属于A 的程度越小； A ( x ) 越接近于1, 表示 x 隶属于A 的程度越大； A ( x )＝0.5, 最具有模糊性，过渡点
可省略
2014年6月26日
8
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 评价， 例3：有100名消费者，对5种商品
结果为：81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，
所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人 认为x5 质量好
则模糊集A（质量好）
0.81 0.53 1 0 0.24 A x1 x2 x3 x4 x5
模糊数学第二章
(A∩B)∩C=A∩(B∩C); （4）吸收律：A∩(A∪B)= A, A∪(A∩B)=A; （5）分配律: (A∪B)∩C=( A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C);
模糊集合运算性质
（6）0-1律：A∪Φ＝A, A∩Φ＝Φ;
U∪A=U,U∩A=A; （7）还原律：(Ac)c=A; （8）对偶律：(A∪B)c= Ac∩Bc, (A∩B)c= Ac∪Bc. 互余律不成立！！ 注意 Ac∪A≠ U, A∩Ac ≠ Φ
第二章 模糊子集
本章内容
模糊子集的定义 模糊子集的运算
分解定理扩张定理
模糊性度量
隶属函数的确定
精确数学vs模糊数学
精确数学：基础——经典集合论；一个对象和一个
集合的关系只有两种可能：属于、不属于；
模糊数学：基础——模糊集合论；一个对象和一个
模糊集合的关系：对象隶属于该模糊集合的程度 （隶属度）。
且 (b; a, b) 1 ；当 x b 时单调递增；当 x b 时单调递减。
模糊集合的表示法1－zadeh表示法
论域U是有限集｛x1, x2, …, xn｝,U的任一模糊子集 A，其隶属函数为μi =μA(xi) 模糊子集A记作 A = ∑i=1n μi / xi 注意 ―∑i=1n μi / xi‖不是分式求和，只是一 符 号而已。
1. 模糊子集的定义
设给定论域U，U到[0, 1]的任一映射μA ：U [0, 1]
都确定U的一个模糊子集A
μA叫做A的隶属函数，
μA(u) （ u∈U ）表示 u隶属于模糊子集A的程度，
称之为u对A的隶属度
模糊集合的例子
设论域U＝[0, 100]表示人的年龄，“年轻Y‖与“年老
2模糊控制的数学基础
分解定理
设A是论域X上的模糊集合，λ∈[0, 1]，A是A的λ截集，则有
A A 0, 1 其中λAλ为x的一个特殊模糊集合，其隶属函数为
, A (x) 0,
x A x A
说明任何一个模糊集可由 一个普通集合簇来表示
Page 30
2.3 模糊集合与普通集合的联系
分解定理 为了对分解定理有一个直观的了解，在左图中，取λ1、 λ2∈[0,1]两个值
集合的直积 序偶 将不同的事物按一定顺序排列起来组成一个整体， 用以表达它们之间的关系，这就叫做序偶。 集合的直积 有两个集合X，Y，从X中取一个元素x，从Y中取一个元 素y，把它们组成一个序偶，所有元素序偶的全体组成一 个新的集合，这个集合叫做集合X，Y 的直积，表示为
X Y {(x, y) | x X , y Y}
A {x | x X , A (x) }
称 A为A的λ强截集
当λ=1时，得到的最小的水平截集A1称为模糊集合A的核。 当λ=0+时，得到的最大的水平截集称为模糊集合A的支集。 如果A的核A1非空，则称A为正规模糊集，否则称为非正规 模糊集。
Page 27
2.3 模糊集合与普通集合的联系
λ水平截集
0
25 50 75 100
u
Page 20
2.2 模糊集合
例2.2.3
“年轻”和“年老”模糊集合可以写为：
Y
1
1
(
x
25) 5
2
1
x 0x25
25x200
x
O
0
1
(
x
5 50
)
2
1
x 0x50
50x200
x
Page 21
模糊数学讲义第二章
则称T是一个t 模.
常见的t-模：
(1)Tmin ( x, y ) min( x, y ) x y; (2) TL ( x, y) max(0, x y 1);
x (3) T0 ( x, y ) y 0
(4) T ( x, y ) xy.
y 1 x 1 其它
随着x增加，Y (x)减小
Y (25) 1, Y (30) 0.5 Y (60) 0.02
1
0 .5 25 30 60
注记：
• 普通集合是模糊集的特例，特征函数即为隶属函数
• 空集 的隶属函数为 ( x) 0 • 全集 X 的隶属函数为 X ( x) 1 • 模糊集的定义与上下文有关 • 表示法 (i) 论域无限时由隶属函数表出; (ii) 论域有限时表出方法如下：
不小 Ac , 不大 Bc , 不小也不大 Ac Bc c c c c A (1) 1 A(1) 0, A (2) 0.2, A (3) 0.4, A (4) 0.6 Ac (5) 0.8, Ac (6) Ac (7) Ac (8) Ac (9) Ac (10) 1
(5) 分配律(distributivity)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
(6) 存在 0-1元 A A
A
A X X A X A
(7) 复原律(involution) c c (A ) A
若A B且A , A B, 则称A真包含 于B, 记为A B.
A 时， A B x X , A( x) B( x)且 x源自 X , A( x) B( x).
常见的t-模：
(1)Tmin ( x, y ) min( x, y ) x y; (2) TL ( x, y) max(0, x y 1);
x (3) T0 ( x, y ) y 0
(4) T ( x, y ) xy.
y 1 x 1 其它
随着x增加，Y (x)减小
Y (25) 1, Y (30) 0.5 Y (60) 0.02
1
0 .5 25 30 60
注记：
• 普通集合是模糊集的特例，特征函数即为隶属函数
• 空集 的隶属函数为 ( x) 0 • 全集 X 的隶属函数为 X ( x) 1 • 模糊集的定义与上下文有关 • 表示法 (i) 论域无限时由隶属函数表出; (ii) 论域有限时表出方法如下：
不小 Ac , 不大 Bc , 不小也不大 Ac Bc c c c c A (1) 1 A(1) 0, A (2) 0.2, A (3) 0.4, A (4) 0.6 Ac (5) 0.8, Ac (6) Ac (7) Ac (8) Ac (9) Ac (10) 1
(5) 分配律(distributivity)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
(6) 存在 0-1元 A A
A
A X X A X A
(7) 复原律(involution) c c (A ) A
若A B且A , A B, 则称A真包含 于B, 记为A B.
A 时， A B x X , A( x) B( x)且 x源自 X , A( x) B( x).
模糊数学第二讲 模糊集合及其运算
实际生活中有些概念并非清晰概念, 例如鲜美的食品、美丽 的景色、魁梧的身材、漂亮的服装、高个子…等等.对于这些 概念,普通集合就无能为力.
7
2014-8-15
定义1 ：设U为论域，U在闭区间[0,1]上的任一映射A[0,1]称 为U上的隶属函数。 对于任意的xU，隶属函数值A(x)称为x对A的隶属度。A为论 域U上的模糊集合。
( A B) C ( A C ) ( B C )
论域：被讨论对象的全体组成的集合称为论域。
包含： AB ：对于任意xA ,必有yB. 空集：若对于任意集合A,都有A,则称是任意集合A的空集.
幂集：设U是论域，U的所有子集所组成的集合称为U的幂集， 记为P(U). 例如,U={a,b,c},则
P(U)={,{a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c}}
2014-8-15
两个模糊子集的交并运算还可以推广到任意多个 模糊集合的情形。
定义3 设At F (U ), t T , T 是指标集.u U , 规定 ( ( 称
tT tT tT
At )(u ) At (u ) sup At (u );
tT tT tT
At )(u ) At (u ) inf At (u ).
A U U , A U A,
A AC A B) c Ac B c ,
2014-8-15
( A B) c Ac B c
5
特征函数
特征函数CA(u) 表示论域U中的元素u是否属于U的子集A. 若uA, 则CA(u) =1;若 uA ,则CA(u) =0. 显然,特征函数是论域U到{0,1}的一 个映射. 例如,设U自然数组成的集合,A={1,2,3},则A的特征函数为
模糊数学 第二章 模糊模式识别汇总
26
注：这里定义的内、外积贴近度仅是一种习惯称呼， 它们并不满足贴近度定义 3.5.7 的所有公理。事实上 定义 (3.5.45) 和定义 (3.5.46) 式都不满足贴近度定义 的公理条件 ( σ1 )，即 σ ( A，A) 1。但是，当 A
F (X)，A1 ，supp A X 时，也即 Ah=1，Ab= 0
24
例 2.12 设 X ={x1, x2, x3, x4, x5, x6},
A 0.6 0.8 1 0.8 0.6 0.4 , x1 x2 x3 x4 x5 x6
B 0.4 0.6 0.8 1 0.8 0.6 , x1 x2 x3 x4 x5 x6
则
A B 0.6 0.4 0.8 0.6 1 0.8 0.8 1 0.6 0.8 0.4 0.6 0.8 ,
1A, B 1
1 n
n i 1
Axi Bxi ,
3.5.33
1
A,
B
1
b
1
a
b a
Axi Bxi dx
3.5.34
11
以及相对Euclid 贴近度：
2 A, B 1
1 n
n i 1
Axi
Bxi
1/ 2
2
,
3.5.35
2 A, B 1
1
ba
b a
Axi
Bxi 2 dx1/ 2
σL( A, A ) =1; (4) 若 A B C，则 σL( A, C) σL( A, B) σL( B, C) 证明从略。
28
4. 贴近度的其它表示方法
定义2.12 可以用下列各公式定义贴近度：
n
Axi Bxi
1 A, B i1
;
注：这里定义的内、外积贴近度仅是一种习惯称呼， 它们并不满足贴近度定义 3.5.7 的所有公理。事实上 定义 (3.5.45) 和定义 (3.5.46) 式都不满足贴近度定义 的公理条件 ( σ1 )，即 σ ( A，A) 1。但是，当 A
F (X)，A1 ，supp A X 时，也即 Ah=1，Ab= 0
24
例 2.12 设 X ={x1, x2, x3, x4, x5, x6},
A 0.6 0.8 1 0.8 0.6 0.4 , x1 x2 x3 x4 x5 x6
B 0.4 0.6 0.8 1 0.8 0.6 , x1 x2 x3 x4 x5 x6
则
A B 0.6 0.4 0.8 0.6 1 0.8 0.8 1 0.6 0.8 0.4 0.6 0.8 ,
1A, B 1
1 n
n i 1
Axi Bxi ,
3.5.33
1
A,
B
1
b
1
a
b a
Axi Bxi dx
3.5.34
11
以及相对Euclid 贴近度：
2 A, B 1
1 n
n i 1
Axi
Bxi
1/ 2
2
,
3.5.35
2 A, B 1
1
ba
b a
Axi
Bxi 2 dx1/ 2
σL( A, A ) =1; (4) 若 A B C，则 σL( A, C) σL( A, B) σL( B, C) 证明从略。
28
4. 贴近度的其它表示方法
定义2.12 可以用下列各公式定义贴近度：
n
Axi Bxi
1 A, B i1
;
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若 A 是非正规模糊集，且存在 u0 U, 使 A(u0 ) hgt A,
~
~ ~
(u) 对任意的 u U, 令 A ~
A(u)
~
hgt A
~
, 则 A 是正规模糊集，
~
称为 A 的正规模糊集。（normal fuzzy set） ~
0.8 0.4 0.7 0.2 例2-1 设 U a,b,c,d , 且 A 为U ~ a b c d 上一非正规化模糊集，求 hgt A, dph A, 并求 A 的正规化
c
n
2 n L(A) A(ui ) A 0.5 (u i ) ~ n i 1
( Ac ) ( A1 )c
2 n A0.5 ui A ui n i 1
2 n 2 n A(ui ) 0.5时， A(ui ) A0.5 (ui ) A(ui ) A0.5 (ui ) L( A) n i 1 n i 1 2 n A(ui ) 0.5时 A(ui ) A0.5 (ui ) 0.5 0 0.5 n i 1
n i 1
2 n L(A) A(ui ) A 0.5 (u i ) ~ n i 1
1 A ui 0.5, A ui A0.5 ui A ui 1 2 1 A ui 0.5, A ui A0.5 ui A ui 0 2 1 1 A ui 0.5, A ui A0.5 ui 1 2 2 1 若存在 i0 使 A(ui0 ) 2
~
(1)dph A A hgt A
~ ~ ~
( 2) A A 1 (3)dph A 1 hgt A
c ~ ~
~ ~
c
证： （1）显然。
1 n 1 n c A A(ui ) A (ui ) （ 2） A ~ ~ n i 1 n i 1 1 n (A(ui ) Ac (ui )) n i 1 1 n (A(ui ) 1 A(ui )) n i 1
1
dph A inf A(u) 0
~ uU ~
0, x 1 A(x) 1 ~ 1 100 /(x 1)2 , x 1
2.1.2 基数（cardinal number） 本章论域均假定为非空有限集 U u1 ,u2 ,
,un
(U), 记 定义2-2 设 A ~
例2-2 设 A 是实数域X上的模糊集“所有比1大得多的 ~
实数“，其隶属函数 为
0, x 1 A(x) 1 ~ 1 100 /(x 1)2 , x 1
~
求 hgt A, dph A .
~
解：hgt A sup A(u)
~ uU ~
1 lim x 1 100 /(x 1)2
0.77
2 5 L(A) A(u i ) A 0.5 (u i ) 5 i 1
0.1 0.3 0.7 0.8 0.5 A u1 u 2 u3 u4 u5
2.4 两模糊集的距离
B (U), 记 定义2-7 设 A, ~
p n i ) B(u i ) A(u ~ i 1 ~ 1 p
n 1 A ui A0.5 ui A ui 2 2
矛盾， 所以 A ui
n 1 n 1 n A ui0 A0.5 ui0 A ui A0.5 ui 2 2 2 2 i i0
1 2
（3）当
~
例2-6 设 U u1 ,u2 ,u3 , 且
0.2 0.6 0.1 0.6 0.3 0.8 , A , B u1 u 2 u3 u1 u 2 u3
2 n A(ui ) A0.5 (ui ) 0.5 1 0.5 n i 1
L( Ac ) L( A)
(U), 记 H(A) k S(A(u i )), H(A) 定义2-6 设 A ~
~ i 1
~
n
称为 A 的模糊熵(Fuzzy entropy), 其中
2.1 模糊集高、深度及基数
2.1.1 高和深度
(U), 记 定义2-1 设 A ~
hgt A sup A(u),
~ uU ~
dph A inf A(u)
~ uU ~
分别称为模糊集 A 的高和深度。
~
模糊集 A 的高和深度，反映模糊集隶属函数的
~
极值状态。高反映的是“极大”方面的情况，而深 度 反映的是“极小”方面的情况。
~
2.2 模糊集的均值与方差
定义2-3 设有实数域 X x1 , x2
(X))，称 且A ~
, xn （或 X , ,
E(A)
~
A(x )x
i 1 n i
n
i
A(x )
i 1 i
（或
A(x)xdx E(A) , A(x)dx
~
(3) 若对 ui U, 有 A(ui ) B(ui ) 0.5, 或
A(ui ) B(ui ) 0.5, 则 d(A) d(B)
c d(A) d(A ) ( 4)
则 d(A) 称为模糊集 A 的模糊度(Ambiguity )。
~
模糊度的具体形式不是唯一的，下面给出两种适于 计算的模糊度：
c
1 n 1 1 n i 1
（3）1 hgt Ac 1 sup Ac (u)
~ uU ~
(3)dph A 1 hgt A
~ ~
c
1 sup(1 A(u))
uU ~
1 (1 inf A(u))
uU ~
inf A(u) dph A
uU ~
求 E(A), var(A)
~ ~
解： E(A)
~
A(x )x
i 1 n i
n
i
A(x )
i 1 n i i 1 n
0.2 1.6 3 3.2 1 3 3
var(A)
~
2 A(x )(x E(A)) i i
A(x )
i 1 i
0.2 4 0.8 1 1 0 0.8 1 0.2 4 3.2 3 3值 E(A) 描述的是 A 的“集中的位置”； ~ ~ 方差 var(A) 描述了 A 的“分散程度”。 ~ ~
例2-4 设实数集 X 1, 2, 3, 4, 5 , A (A), 且
0.2 0.8 1 0.8 0.2 A 1 2 3 4 5
且
A(x)dx 0 ）
为模糊集 A 的均值（Average Value）；
~
var(A)
~
2 A(x )(x E(A)) i i i 1
n
A(x )
i 1 i
n
（或
var(A)
~
A(x)(x E(A))2 dx
A(x)dx
,且
A(x)dx 0 ）
L( B )
当 A ui B ui 0.5 时，同样可证 L( A) L( B)
4
2 L( A ) Ac ui ( Ac )0.5 (ui ) n i 1 2 n 1 A(ui ) ( A0.5 )C (ui ) n i 1
~
~
~
模糊集 A .
~
sup A(u) 0.8, dph A inf A(u) 0.2 解： hgt A ~ uU ~ ~ uU ~
A (u)
~
A(u)
~
hgt A
~
0.8 0.4 0.7 0.2 A ~ a b c d
1 0.5 0.875 0.25 a b c d
~
1 k , n ln 2
S(x) xln x (1 x)ln(1 x)
熵源于热力学，是描述分子运动无规则的一种
量度，用于描述模糊度，表示模糊集所含模糊性
大小的一种量度。
例2-5 设U u1 ,u2 ,u3 ,u4 ,u5 , 且 A 0.1 0.3 0.7 0.8 0.5
ui U
2 5 L(A) A(u i ) A 0.5 (u i ) 5 i 1
0.4 ( 0.1 0 0.3 0 0.7 1 0.8 1 0.5 1 )
0.4 (0.1 0.3 0.3 0.2 0.5) 0.56
1 5 H(A) (A(ui )ln A(ui )) (1 A(ui ))ln((1 A(ui )) 5 ln 2 i 1
0.6 0.8 0.2 0.4 u1 u 2 u3 u 4
是 U 上的模糊集，求 B 及 B . ~
~
B(u i ) 0.6 0.8 0.2 0.4 2 解：B ~ ~
i 1
4
B B
~ ~
2 0.5 4 4
定理2-1 设 A (U), 则下列性质成立
u1 u2 u3 u4 u5
求 A , A ,hgtA,dphA,L(A), H(A) 解：A A(ui ) 0.1 0.3 0.7 0.8 0.5 2.4
i 1 5
2.4 0.48 5 5 hgtA sup A(ui ) 0.8
A
ui U
A
dphA inf A(ui ) 0.1
2.3 模糊度