地理数据统计分析

T
X ) b X Y b (X
T
T
X)
X Y
T
多元回归方程的另一种表达
方 程 组 整 理
n n n nb 0 ( x 1 i ) b1 ( x ki ) b k y i i 1 i 1 i 1 n n n n ( x 1 i ) b 0 x 1 i x 1 i b1 ( x 1 i x ki ) b k x 1 i y i i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n ( x ki ) b 0 x ki x 1 i b1 ( x ki x ki ) b k x ki y i i 1 i 1 i 1 i 1
多元回归原理
方 程 组 整 理
n n n nb 0 ( x 1 i ) b1 ( x ki ) b k y i i 1 i 1 i 1 n n n n ( x 1 i ) b 0 x 1 i x 1 i b1 ( x 1 i x ki ) b k x 1 i y i i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n ( x ki ) b 0 x ki x 1 i b1 ( x ki x ki ) b k x ki y i i 1 i 1 i 1 i 1
练习3
步聚
录入数据 计算相关系数矩阵 逐步引入变量 参数估计和模型建设
3-1计算相关系数矩阵
3-1计算相关系数矩阵
补齐相关系数矩阵：
3-3逐步引入变量
首先设定F统计量的临界值：
Fc(in) =FINV(0.05,4,10-4-1)=5.192 Fc(out) =FINV(0.05,3,10-3-1)=4.757
此方程组称为 正规方程组。
多元回归方程的另一种表达
相关系数r与S之间的关系
rij
s ij s ii s jj
方程可改写为：
r11 b1' r12 b 2' r1 k b k' r1 y ' ' ' r21 b1 r22 b 2 r2 k b k r2 y r b' r b' r b' r k2 2 kk k ky k1 1
1 1 X 1
x 11 x 12 x1 n

xk1 y1 b0 xk 2 y2 b Y b 1 x kn yn bk
1
(X
多重共线性分析
为了分析多重共线性问题，有必要计算出各 个自变量对应的容忍度（Tol）和方差膨胀因 子（VIF），方差膨胀因子一般不超10。 以工业产值（x1）为因变量，以农业产值 （x2）和固定资产投资（x3）为自变量，进 行多元线性回归。
同理：
VIF2=23.9845 VIF3=21.4835
一元回归分析
一元回归模型显著性检验
S总
n n n

i 1
( yi y )
2

i 1
ˆ ( yi yi )
2

i 1
ˆ ( yi y ) Q U
2
Q 为误差平方和或剩余平 U Q n2 下面是检验 U Q n -2 注意，前提假设是回归 F (1 , n 2 )
方和， U 为回归平方和。
是大概率事件，还是小 模型不显著。
概率事件。
练习1
步聚
1、录入数据。 2、作散点图。 3、模型估计。 4、回归建模。 5、模型检验。
模型估计
回归建模
结果分析
结果分析
结果分析
预测
1981：27.5 代入公式
7.2 多元线性回归分析
多元回归方程的另一种表达
方程组中的任意一项都可以化为以下形式：
n n x ki ( x 2 i x 2 ) ( x ki x k ) ( x 2 i x 2 ) i 1 i 1
用简单符号标记以上表达式： 回归方程组可表达为：
剔除异常变量X2后的回归分析
剔除异常变量X2后的回归分析
工业产值（x1）和固定资产投资（x3）进行共线性分析
可见，在一定程度上，共线性问题并未完全消除。
剔除异常变量X1后的回归分析
剔除异常变量X1后的回归分析
自变量农业产值（x1）和固定资产投资（x3）进行共线性分析
如果仅仅考虑共线性问题，应该排除工业产值；但是，如果综 合考虑各种统计指标，则应该排除农业产值。
第一个式子可解为： 将b0代入其它各式后：
b 0 y - x1 b1 x 2 b 2 x k b k
n n n n x 1 i ( x 1 i x 1 ) b1 x 1 i ( x 2 i x 2 ) b 2 x 1 i ( x ki x k ) b k x 1 i ( y i y ) i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n x 2 i ( x 1 i x 1 ) b1 x 2 i ( x 2 i x 2 ) b 2 x 2 i ( x ki x k ) b k x 2 i ( y i y ) i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n x ki ( x1 i x1 ) b1 x ki ( x 2 i x 2 ) b 2 x ki ( x ki x k ) b k x ki ( y i y ) i 1 i 1 i 1 i 1
练习2
回归计算
练习2
3、结果分析
练习2
3、结果分析
T检验的p值可以看出常数项和x2的系数不能达到 95%的置信水平。
对于线性回归模型，截距的检验可以放松 其一，农业产值x2的回归系数b2的符号与事理不符。
其二，回归系数b2的t检验不能通过。
其三，回归系数b2的绝对值偏小。 可以判定，自变量之间可能存在多重共线性问题。
ˆ ˆ ˆ y a bx ˆ 式中： y 是 y 的估计值， ˆ ˆ a 和 b 分别是参数 a 和 b 的拟合值。
一元回归分析
参数a和b的最小二乘估计
Q

i 1
n
ˆ ( yi yi )
2

i 1
n
( y i a bx i ) min
2
取极值的必要条件：
n Q 2 ( y i a bx i ) 0 a i 1 n Q 2 ( y i a bx i ) x i 0 b i 1
地理数据分析
7.1 一元线性回归分析
回归分析
回归分析方法是研究要素之间具体的数量关系的一种 强有力的工具，运用这种方法能够建立反映地理要素 之间具体的数量关系的数学模型。 一元线性回归描述的是两个要素（变量）之间的线性 相关关系。
y a bx
式中：a和b为待定参数； ε为随机变量。
多重共线性分析
根据上面的计算结果可以看到，所有的VIF 值都大于经验上的检验标准（VIF=10）。 其中工业产值（x1）对应的VIF值最大，这 意味着它与其他变量的共线性最强；农业产 值（x2）对应的VIF值为次大，固定资产投 资（x3）对应的VIF值相对最小。但是，考 虑到回归系数的合理性，首先应该考虑到剔 除农业产值，用剩余的变量进行多元线性回 归。
S总
(y
i 1
n
i
y)
2
(y
i 1
n
i
ˆ yi )
2
ˆ (y
i 1
n
i
y) Q U
2
Q 为误差平方和或剩余平 U k Q n k 1 U 下面是检验 k Q n k 1 注意，前提假设是回归 F ( k , n k 1 )
方和， U 为回归平方和。
7.3逐步回归分析
基本原理
在地理学研究中，影响因变量Y的因素很多， 而这些因素之间可能存在多重共线性，特别 是当各个变量之间存在着高度的相互依赖性 关系时，就会给回归系数的估计带来不合理 的解释。 为了得到一个可靠的回归模型，需要一种有 效的方法选择出对Y贡献较大的变量，用于 建立回归方程。
多元回归原理
1.多元线性回归模型的建立
y i 0 1 x 1 i k x kn i 式中， y 受 k 个自变量 x 1 x k 的影响， , 为待定系数，
共有 i 1,2 n 个观测值 如果 b 为 的拟合值，则： ˆ y b 0 b1 x 1 b k x k b 0 , b1 b k 为偏回归系数。
偏相关系数计算与分析
概念
R
xy
(x

i 1
n
i
x )( y i y )
2

i 1
n
( xi x )

iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
n
( yi y )
2
偏相关系数计算
首先计算相关系数
偏相关系数计算
再计算相关系数的逆
偏相关系数计算
计算偏相关系数
偏相关系数分析
农业产值与运输业产值的简单相关系数很高， 且为正值（0.965）。 偏相关系数却显示农业产值对运输业的贡献 很小且为负（-0.076）。 究其根源，可能是因为农业产值与其他变量 具有相关性，因为共线性导致模型回归系数 及其检验参量失真。也可能属于如下情况， 农业对运输业的贡献可能是间接的，是通过 其他产业部门如工业发生影响。