2011中考模拟分类汇编.直角三角形与勾股定理
中考数学专题复习之直角三角形与勾股定理
将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米.则小巷的宽度为
A.0.7米
B.1.5米
C.2.2米
图22-6
( C )
D.2.4米
基
础
知
识
巩
固
2.[2017·丰台二模]三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”(如图22-7)证明了勾股
图 22-2
D.5
基
础
知
识
巩
固
高
.[2018·昌平期末]小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后,
又进一步进行练习:首先画出数轴,如图22-3,设原点为点O,在数轴上的2个单位长
度的位置找点A,然后过点A作AB⊥OA,且AB=3.以点O为圆心,OB为半径作弧,设
与数轴右侧交点为点P,则点P的位置在数轴上 ( C )
7.直角三角形中两条边长分别为3和4,则第三边长为 5 或 7 .
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
考向一 勾股定理
例 1 下列各组数中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是
( B )
A. 3, 4, 5
B.1, 2, 3
C.6,7,8
D.2,3,4
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
| 考向精练 |
1.[2018·房山二模]如图22-6,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯
2
2
2
图22-10
基
础
中考数学直角三角形与勾股定理专题训练(含答案)
中考数学直角三角形与勾股定理专题训练一、选择题1. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD 的面积为()A.B.3 C.D.52. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为()A.B.C.D.3. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点，则点D的个数共有()B，C)，若线段AD长为正整数．．．A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()A.2+B.+C.2+D.37. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A. x－y2＝3B. 2x－y2＝9C. 3x－y2＝15D. 4x－y2＝218. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.32B.332C.32D. 不能确定二、填空题9. 如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA=°(点A，B，P是网格线交点).10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．11. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD 的长度是 .12. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△DEC ，连接BD ，则BD 2的值是 .13. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于________．15. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．16. (2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的△是直角三角形时，则CD的长为__________．点E处，当BDE三、解答题17. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.18. 已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.[尝试] 化简整式A.[发现] A=B2，求整式B.[联想] 由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值:直角三角形三边n2-1 2n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3519. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF ∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.20. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完．．．．．．．．．．．．．成解答过程．．．．．21.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1. 732)；(2)确定C港在A港的什么方向．22. 已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D[解析]如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC===5.∴sin∠BAC==.故选D.3. 【答案】C[解析]在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中，∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).4. 【答案】C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝12BC＝4，∴AD＝AB2－BD2＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．5. 【答案】C【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=22222313+=+=，∴P点所表示的数就是OA AB13，∵91316<<，<<，∴3134即点P所表示的数介于3和4之间，故选C．6. 【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1.在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2.在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2+.7. 【答案】B【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝12CF＝3，∵在Rt△CEG中，tan C＝EG CG，∴EG＝CG×tan C＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.8. 【答案】B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H，则BH＝32，AH＝AB2－BH2＝332.连接P A，PB，PC，则S△P AB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴12AB·PD＋12BC·PE＋12CA·PF＝12BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝332.二、填空题9. 【答案】45[解析]本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，经计算PQ=BQ=，PB=，∴PQ2+BQ2=PB2，即△PBQ为等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠P AB+∠PBA=∠BPQ=45°，故答案为45.10. 【答案】5【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝12AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10，∴CD＝5.11. 【答案】15-5[解析]过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10.∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°，∴BM=BC×sin30°=10=5，CM=BC×cos30°=15.在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM-MD=15-5.12. 【答案】8+4[解析]如图，连接AD，设AC与BD交于点O，由题意得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD=CD，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=CD=2.∵AB=BC，CD=AD，∴BD垂直平分AC，∴BO=AC=，OD=CD·sin60°=，∴BD=，∴BD 2=()2=8+4.13. 【答案】6或25或45【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6；②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴222425BC =+=，∴此时底边长为25；③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则223AD AC CD =-=，∴8BD =，∴45BC = ∴此时底边长为56或54514. 【答案】78 【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.15. 【答案】13 或10 【解析】(1)如解图①所示，当P 点靠近B 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝13；(2)如解图②所示，当P 点靠近C 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝10.综上可得：AP 长为13 或10.16. 【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ∠=︒，则90AED C ∠=︒=∠，CD ED =，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，∵Rt BDE △中，222DE BE BD +=，∴2224(8)x x +=-，解得3x =，∴3CD =；②若90BDE ∠=︒，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=︒，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ∠=∠=︒，AEF B ∠=∠， ∴AEF EBD △∽△，∴AF EF ED BD=， 设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-， ∴68x x x x -=-，解得247x =，∴247CD =， 综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17. 【答案】解:(1)4(2)∵AC=AD ，∠CAD=60°，∴△CAD 是等边三角形，∴CD=AC=4，∠ACD=60°.过点D 作DE ⊥BC 于E ，∵AC ⊥BC ，∠ACD=60°，∴∠BCD=30°.在Rt △CDE 中，CD=4，∠BCD=30°，∴DE=CD=2，CE=2，∴BE=，在Rt△DEB中，由勾股定理得DB=.18. 【答案】解:[尝试] A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2. [发现] ∵A=B2，B>0，∴B==n2+1.[联想] ∵2n=8，∴n=4，∴B=n2+1=42+1=17.∵n2-1=35，∴B=n2+1=37.∴填表如下:直角三角形三n2-1 2n B边勾股数组Ⅰ8 17勾股数组Ⅱ35 3719. 【答案】解:(1)证明:∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.20. 【答案】解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.(3分)∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.(5分)∵AD>0，∴AD＝12.(8分)∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.(10分)21. 【答案】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴22AB BC102．答：A、C两地之间的距离为14.1 km．(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C港在A港北偏东15°的方向上．22. 【答案】13证明：(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，(1分) 在△ACE 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝DC ∠ACE ＝∠BCD AC ＝BC，(3分)∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(4分)(2)∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠B ＝45°，(6分)∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD ＝90°，在Rt △EAD 中，ED 2＝AD 2＋AE 2，∴ED 2＝AD 2＋BD 2，(8分)又ED 2＝EC 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.(10分)。
中考复习模拟试题集锦——直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理一、选择题1、(2013年湖北荆州模拟5)小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则AC 边上的高是（ ▲ ）． ABCD 答案： C2、 (2013年江苏南京一模)如图，直线上有三个正方形3和4，则b 的面积为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．7答案：73、(2013年广东省佛山市模拟)设a ,b ,c 分别是△ABC 的三条边，且∠A =60º,那么ca bb ac +++的值是（ ） （原创） A.1 B.0.5 C.2 D.3 答案：A4、(2013北仑区一模)12. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是 （ ▲ ）．A ．225y x =B ．2425y x =C ．2225y x =D ．245y x =【答案】A5．（2013郑州外国语预测卷）如图，两个等圆⊙A 、⊙B 分别与直线l 相切于点C 、D ，连接AB 与直线l 相交于点O ，∠AOB =30°，连接AC 、BD ，若AB =4，则这两个等圆的半径为（ ）ABC 第1题图 lABC DA ．21B ．1C ．3D ．2答案：B6．（2013辽宁葫芦岛一模）已知：直线l 1∥l 2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°答案：B7．（2013宁波五校联考一模）如图，已知∠AOM=60°，在射线OM 上有点B ，使得AB与OB 的长度都是整数，由此称B 是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B 的个数为 （ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4答案：B8．（2013宁波五校联考一模）如图，已知∠AOM=60°，在射线OM 上有点B ，使得AB 与OB 的长度都是整数，由此称B 是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B 的个数为 （ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4答案：A9．如图，在Rt △ABC 中，AB=BC=6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE=3，CF=1，P 是斜边AC 上的一个动点，则△PEF 周长的最小值为 ．510、(2013年福州市初中毕业班质量检查) “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)若针扎到小正方形(阴影部分)的概率是19，则大、小两个正方形的边长之比是A ．3∶1 B ．8∶1 C ．9∶1 D ．22∶1A11、 （2013年广西钦州市四模）图1中，每个小正方形的边长为1，ABC 的三1 2 l 1 l 2ABCD E FG第4题第5题 BEF第6题1题图边a ，b ，c 的大小关系是：（Ａ）a<c<b （Ｂ）a<b <c （Ｃ）c<a<b （Ｄ）c<b<a 答案：C12. （2013年广西钦州市四模）如图2所示，在Rt ABC △中，90A ∠=°，BD 平分6. 如图是某几何体的三视图及相关数据，请写出一个a,b,c,关系的等式 a 2+b 2=c 2且∠DAE =450，将△ADC 绕点A 顺时针旋转900后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：（1）△AED ≌△AEF ；（2）△ABE ∽△ACD ；（3）BE ＋DC ＝DE ；（4）2BE ＋2DC ＝2DE ．其中正确的是 ▲ ．第8题图【答案】（1) (4)9（2013河南南阳市模拟）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 是AB 的中点．现将△BCD 沿BA 方向平移1cm ，得到△EFG ，FG 交AC 于H ，则GH 的长等于cm ．第9题图 【答案】310、（2013温州模拟）16．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC ）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD ）的斜边恰好重合．已知AB=23，E 是AC 上的一点(AE>CE)，且DE=BE ，则AE 的长为 ▲ .【答案】7511、(2013浙江永嘉一模)14．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，点D 是AB 的中点，连结CD ．若AC，则图中长度等于1cm 的线段有 ▲ 条．12．（2013郑州外国语预测卷）如图，l ∥m ，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 在直线m 上，若∠β=20°，则∠α的度数为 度.答案：2513．（2013江西饶鹰中考模拟）小红在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为4、8、6，则原直角三角形纸片的斜边长是 .答案：20或5814、. （2013河南沁阳市九年级第一次质量检测）如图，Rt△ABC 中030,90=∠=∠A C ，在AC边上取点O 画圆使⊙O 经过A 、B 两点，下列结论中：①CO AO 2=；②BC AO=；（第2题图） AB Cl mαβ第1题图ABCDE③以O 为圆心，以OC 为半径的圆与AB 相切；④延长BC 交⊙O 与D ，则A 、B 、D 是⊙O 的三等分点．正确的序号是 (多填或错填不给分)．①③④三、解答题1、（2013浙江锦绣·育才教育集团一模）（本小题满分8分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的关系，并证明你的猜想．答案：解：数量关系为：BE =EC ，位置关系是：BE ⊥EC ．－－－－－－－－－－1分 证明：∵△AED 是直角三角形，∠AED =90°，且有一个锐角是45°， ∴∠EAD =∠EDA =45°， ∴AE =DE ， ∵∠BAC =90°，∴∠EAB =∠EAD +∠BAC =90°+45°=135°， ∠EDC =∠ADC －∠EDA =180°－45°=135°， ∴∠EAB =∠EDC ， ∵D 是AC 的中点， ∴AD = AB ， ∵AC =2AB ， ∴AB =DC ， ∴△EAB ≌△EDC ，∴EB =EC ，且∠AEB =∠AED =90°， ∴∠DEC +∠BED =∠AED =∠BED =90°，A∴BE ⊥ED ．－－－－－－－－－－－－－－－8分（中间过程酌情给分）2．（2013年北京平谷区一模）已知：如图，四边形ABCD 中，90A ∠=︒，120D ∠=︒，E 是AD 上一点，∠BED=135°，BE =DC =2DE =求 (1)点C 到直线AD 的距离； （2）线段BC 的长．答案：解：（1）作CF ⊥AD 交AD 的延长线于F . ..1分 ∵ ∠ADC =120°，∴ ∠CDF =60°.在Rt △CDF 中，sin 60 3.FC CD =⋅︒=………………………………………2分 即点C 到直线AD 的距离为3. （2）∵ ∠BED=135°，BE = ∴ ∠AEB =45°. ∵ 90A ∠=︒， ∴ ∠ABE =45°.∴ 2.AB AE == ………………………………………………………………………3分 作BG ⊥CF 于G .可证四边形ABGF 是矩形. ∴ FG =AB =2，CG =CF -FG =1. ∵12DF CD==∴ 22 4.BG AF AE ED DF ==++=+………………………………..4分∴ BC =……………………………………………… 5分 3．（2013郑州外国语预测卷）如图，等边△ABC 中，AO 是∠BAC 的角平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边且在CD 下方作等边△CDE ,连结BE . (1) 求证：△ACD ≌△BCE ；(2) 延长BE 至Q , P 为BQ 上一点，连结CP 、CQ 使CP =CQ =5, 若BC =8时，求PQ 的长.A 第2题图ABCDO答案：证明：△ABC 和△CDE 均为等边三角形，∴AC =BC , CD =CE 且∠ACB =∠DCE =60° ∵∠ACD +∠DCB =∠DCB +∠BCE =60° ∴∠ACD =∠BCE ∴△ACD ≌△BCE（2）解：作CH ⊥BQ 交BQ 于H , 则PQ =2HQ在Rt △BHC 中 ，由已知和（1）得 ∠CBH =∠CAO =30° ∴ CH =4， 在Rt △CHQ 中，HQ =345CH CQ 2222=-=-∴PQ =2HQ =64. （2013江西饶鹰中考模拟）某校九年级（1）班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 如图1，在等腰直角△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，小明将一块直角三角板的直角顶点放在斜边BC 边的中点O 上，从BC 边开始绕点A 顺时针旋转，其中三角板两条直角边所在的直线分别AB 、AC 于点E 、F ．（1）小明在旋转中发现：在图1中，线段AE 与CF 相等。
2011中考模拟分类汇编.三角形全等
（第2题）① ② ③ A D F CBE（第3题）图） 三角形全等一、选择题1. （2011深圳市全真中考模拟一）如图，将两根钢条'AA 、'BB 的中点O 连在一起，使'AA 、'BB 可以绕着点0自由转动，就做成了一个测量工件，则''A B 的长等于内槽宽AB ，那么判定△AOB △''A OB 的理由是(A)边角边 (B)角边角 (C)边边边 (D)角角边 答案;A二、填空题 1、（2011北京四中模拟8）如图，∠ACB=∠ADB ，要使△ACB ≌△BDA ，请写出一个符合要求的条件答案 ∠CAB=∠DBA 或∠CBA=DAB2、（2011年北京四中模拟28） 如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带编号为 的碎片去． 答案：③3．（2011年海宁市盐官片一模）如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．则四边形AECF 的面积是 ． 答案：16三、解答题 A 组 1、（浙江省杭州市2011年中考数学模拟）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE ． 请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF （不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．第1题DCB A【根据习题改编】（1）你添加的条件是： ； （2）证明：答案： 解：（1）DC BD =(或点D 是线段BC 的中点)，ED FD =，BE CF =中任选一个即可﹒（2）以DC BD =为例进行证明：∵ CF ∥BE ， ∴ ∠FCD ﹦∠EBD ．又∵DC BD =，∠FDC ﹦∠EDB ， ∴ △BDE ≌△CDF ．2、（2011年北京四中三模）如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 和AD 上的点，已知CE ⊥BF ，垂足为M ，请找出和BE 相等的线段，并证明你的结论。
全国2011年中考数学试题分类解析汇编 专题31直角三角形与勾股定理
t 全国2011年中考数学试题分类解析汇编(181套）专题31：直角三角形与勾股定理一、选择题1.（某某某某、某某3分）如图，某某路与某某路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在某某路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为A 、600mB 、500mC 、400mD 、300m【答案】 B 。
【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】如图，由于BC∥AD ，那么有∠DAE=∠ACB ，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED ，利用AAS 可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC=22AB BC 500+=，从而可求得CE=AC ﹣AE=200。
根据图可知从B 到E 的走法有两种：①BA＋AE=700；②BC＋CE=500。
∴最近的路程是500m 。
故选B 。
2.. （某某某某3分）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB ＝10，BC ＝8，DE 是△ABC 的中位线，则DE 的长度是A 、3B 、4C 、4.8D 、5【答案】A 。
【考点】勾股定理，三角形中位线定理。
【分析】由在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB ＝10，BC ＝8，根据勾股定理即可求得22AC AB BC 6=-=，又由DE 是△ABC 的中位线，根据三角形中位线等于第三边一半的性质，求得1DE AC 32==。
故选A 。
3．（某某某某3分）如图，在Rt△ACB 中，∠C=90°，BE 平∠ABC，ED 垂直平分AB 于D ，若AC=9，则AE 的值是A ．63B ．43C ．6D ．4【答案】C 。
【考点】角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。
【分析】由角平分线的定义得到∠CBE＝∠ABE，再根据线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得到EA ＝EB ，则∠A＝∠ABE，可得∠CBE＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE ＝2EC ，即AE ＝2EC ，由AE+EC ＝AC ＝9，即可求出AE ＝6。
中考数学复习之直角三角形的性质、勾股定理,考点过关与基础练习题
23. 直角三角形和勾股定理➢ 知识过关1.直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______．②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形．2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角）①直角三角形斜边上的中线等于______________；如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形．②30°角所对的直角边是_____________________；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________．3. 特殊的直角三角形➢ 考点分类考点1直角三角形的性质例117．如图，在△ACD 中，BC ⊥AD 于B ，AC ＝AD ＝3，AB ＝2，则CD ＝（ ）A ．6B ．√6C ．√5D ．4ACB 45°1130°234211BCABCA BCAa 2+b 2=c2CBAC B A A BC ABC C BA2mm AB C 30°考点2勾股定理及其逆定理例2如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2﹣MB 2等于（ ）A ．29B ．32C ．36D ．45例3等面积法例3若直角三角形两条直角边的长分别为7和24，在这个三角形内有一点P 到各边的距离都相等，则这个距离是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1➢ 真题演练1．如图，在边长为1的正方形网格中，A 、B 、C 均在正方形格点上，则C 点到AB 的距离为（ ）A ．3√1010B ．2√105C ．5√104D ．4√1052．如图，AB ＝AC ＝13，BP ⊥CP ，BP ＝8，CP ＝6，则四边形ABPC 的面积为（ ）A ．48B ．60C ．36D ．723．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，若以AC 边和BC 边向外作等腰直角三角形AFC 和等腰直角三角形BEC ．若△BEC 的面积为S 1，△AFC 的面积为S 2，则S 1+S 2＝（ ）A ．36B ．18C ．9D ．44．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上，AD ＝AC ，AE ⊥CD ，垂足为F ，与BC 交于点E ，则BE 的长是（ ）A ．3B ．5C ．163D ．65．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，则BC 边长的高为（ ）A ．√302B ．85√5 C ．45√5 D ．√1326．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE ＝5，AB ＝13，则EF 的值是（ ）A ．7B ．2√3C ．√13D ．7√27．如图，∠ABC ＝∠ADB ＝90°，DA ＝DB ，AB 与CD 交于点E ，若BC ＝2，AB ＝4，则点D 到AC 的距离是（ ）A.5√56B ．6√55C ．4√55D ．5√548．如图，将一副直角三角尺重叠摆放，使得60°角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且DE⊥AB于点D，与BC交于点F，则∠FCE的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°9．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（）A．8B．12C．14D．1610．如图，四边形ABCD中，连接BD，O为BD中点，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDA＝30°，∠BDC＝45°，则∠CAO＝（）A．15°B．18°C．22.5°D．30°➢课后练习1.如图，等边△ABD和等边△BCE中，A、B、C三点共线，AE和CD相交于点F，下列结论中正确的个数是（）①△ABE≌△DBC②BF平分∠AFC③AF＝DF+BF④∠AFD＝60°A．1B．2C．3D．42．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC 于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有（）①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD；⑤S△BFGS△AFD =BFAF．A．5个B．4个C．3个D．2个3．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出以下四个结论：当∠EPF在△ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合），①AE＝CF；②EF＝AP；③△EPF是等腰直角三角形；④S四边形AEPF= 12S△ABC；⑤EF的最小值为√2；⑥BE2+CF2＝EF2．则正确结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，O是正△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为8；③∠AOB＝150°；④四边形AOBO′的面积是24+16√3；⑤S△AOC+S△AOB＝24+9√3 4．其中正确结论有（）个．A．5B．4C．3D．25．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF ⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②AD＝PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=74S△ABP；⑤S△APH＝S△ADE，其中正确的结论是（）A．①②③B．②③④C．①②④⑤D．①②⑤6．如图，O为△ABC内的一点，D为AB边上的一点，OD＝OB，OA＝OC，∠AOC＝∠BOD ＝90°，连接CD．下列结论：①AB＝CD；②AB⊥CD；③∠AOD+∠OCD＝45°；④S △BOC＝S△AOD．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④➢冲击A+如图1，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C 作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是圆O的切线；（2）如图2，点F在圆O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF并延长交EC的延长线于点G．①求证：CF＝2CD；②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．。
2011中考模拟分类汇编.相似形的应用
QBCADO P相似形的应用一 选择题1. （2011深圳市全真中考模拟一）小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm 幻灯片到屏幕的距离是1.5m ，幻灯片上小树的高度是10cm ，则屏幕上小树的高度是 (A)50cm ． (B)500cm ． (C)60 cm ． (D)600cm ．答案： C （第1题）2. （2011湖北武汉调考模拟二）如图2，在正方形ABCD 中，AB=4，点O 在AB 上，且OB=1，点P 是BC 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点D 逆时针旋转90°得到线段OQ.要使点Q 恰好落在AD 上，则BP 的长 是( )A ．1B ．2C ．3D ．4（第2题）答案：C二 填空题1. （2011深圳市全真中考模拟一）如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90︒，AB ＝4，AC ＝3，D 在BC 上运动(不与B 、C 重合)，过D 点分别向AB 、Ac 作垂线，垂足分别为E 、F ，则矩形AEDF 的面积的最大值为___________。
第18题图EFCABD （第1题）答案：32.（安徽芜湖2011模拟）如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.答案: 43.（2011湖北省崇阳县城关中学模拟） 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是 ▲ 米. 答案：8C4. （2011年浙江省杭州市模2）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是 米. 答案：8三 解答题1. 如图，在等腰A B C △中，5cm A B A C ==，6cm B C =，点P 从点B 开始沿B C 边以每秒1 cm 的速度向点C 运动，点Q 从点C 开始沿C A 边以每秒2 cm 的速度向点A 运动，D E 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交B C 于点E ．点P Q ，分别从B C ，两点同时出发，当点Q 运动到点A 时，点Q 、p 停止运动，设它们运动的时间为(s)x ． （1）当x = 秒时，射线D E 经过点C ；（2）当点Q 运动时，设四边形ABPQ 的面积为2(cm )y ，求y 与x 的函数关系式(不用写出自变量取值范围)；（3）当点Q 运动时，是否存在以P Q C 、、为顶点的三角形与△PD E 相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．答案:26.解：（1）2x = ……………3分(当D E 经过点C 时，∵D E ⊥PQ ，PD QD = ∴PC CQ =6P C x =-，2CQ x =即62x x -= 得2x = ∴当2x =时，当D E 经过点C )（2）分别过点Q 、A 作QN BC ⊥，A M ⊥B C 垂足为M 、N ． 5A B A C == cm ，6B C =cm ， ∴22534AM =-=（cm ）∵ QN AM ∥ ∴~QNC AMC △△1题 ABP DC第4题图∴Q N C Q A MC A=即245Q N x =85Q N x=……………6分又6P C x =- ∴P C Q S ∆=12P C Q N = =18(6)25x x - ∴A B C P C Q y S S ∆∆=-=1642⨯⨯－18(6)25x x - 即24241255y x x =-+（3）存在．理由如下：∵D E ⊥PQ ∴PQ ⊥A C 时△PQC ∽△PD E 此时，△PQC ∽△A M C ∴Q C P C M CA C= 即 2635x x -= ∴1813x =2.(2011浙江省杭州市10模)（本题10分）如图①，四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点，DE⊥AG 于点E ，BF⊥AG 于点F. (1) 求证：DE －BF = EF ．(2) 当点G 为BC 边中点时, 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由．(3) 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）． (1) 证明:∵ 四边形ABCD 是正方形, BF ⊥AG , DE ⊥AG∴ DA =AB ， ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90°∴ ∠BAF = ∠ADE ∴ △ABF ≌ △DAE ∴ BF = AE , AF = DE ∴ DE －BF = AF －AE = EF（2）EF = 2FG 理由如下：∵ AB ⊥BC , BF ⊥AG , AB =2 BG∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG ∴2===FGBF BFAF BFAB ………6分∴ AF = 2BF , BF = 2 FG由(1)知, AE = BF ，∴ EF = BF = 2 FG (3) 如图 ……………………9分DE + BF = EF3．（2011年杭州市西湖区模拟）（本题6分）如图，A B C ∆是正方形网格中的格点三角形（顶点在格上），请在正方形网格上按下列要求画一个格点三角形与A B C ∆相似，并填空：图甲（1）在图甲中画111A B C ∆，使得111A B C ∆的周长．．是A B C ∆的周长的2倍，则11A B A B = ；（2）在图乙中画222A B C ∆，使得222A B C ∆的面积．．是A B C ∆的面积的2倍，则22A B A B= ；A B C AB C答案：（本题6分）（1）2； （2）2(每个填空题正确得1分，每个图形画正确得2分)4. （2011深圳市中考模拟五）如图，在一块如图所示的三角形余料上裁剪下一个正方形，如果△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，正方形的四个顶点D 、E 、F 、G 分别在三角形的三条边上． 求正方形的边长．答案：解：作CH ⊥AB 于H ， ∵四边形DEFG 为正方形，∴CM ⊥GF 由勾股定理可得AB ＝5图乙根据三角形的面积不变性可求得CH ＝512…………………2分设GD ＝x ∵GF ∥AB∴∠CGF ＝∠A ,∠CFG ＝∠B ∴△ABC ∽△GFC∴ABGF CHCM = 即5512512x x=-…………………6分整理得：12－5x ＝512x解得：x ＝3760…………………9分答：正方形的边长为3760…………………10分5. （2011深圳市中考模拟五）已知：如图所示的一张矩形纸片A B C D （AD AB >），将纸片折叠一次，使点A 与C 重合，再展开，折痕E F 交A D 边于E ，交B C 边于F ，分别连结A F 和C E ．（１）求证：四边形A F C E 是菱形；（２）若10cm A E =，A B F △的面积为224cm ，求A B F △的周长；（３）在线段A C 上是否存在一点P ，使得2AE 2＝AC·AP ？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．答案: （１）证明：由题意可知OA ＝OC ，EF ⊥AO ∵AD ∥BC∴∠AEO ＝∠CFO ，∠EAO ＝∠FCO ∴△AOE ≌△COF ∵AE ＝CE ，又AE ∥CFQ PDABCE∴四边形AECF 是平行四边形 ∵AC ⊥EF ∴四边形AEFC 是菱形（2）∵四边形AECF 是菱形 ∴AF ＝AE ＝10…………………4分 设AB ＝ａ，BF ＝ｂ，∵△ABF 的面积为24 a 2＋b 2＝100，ab ＝48(a ＋b ）2＝196 ａ＋ｂ＝14或ａ＋ｂ＝－14（不合题意，舍去） △ABF 的周长为ａ＋ｂ＋10＝24…………………8分（３）存在，过点E 作AD 的垂线，交AC 于点P ，点P 就是符合条件的点 证明：∵∠AEP ＝∠AOE ＝90°，∠EAO ＝∠EAP ∴△AOE ∽△AEP ∴AEAO APAE ∴ AE 2＝AO·AP∵四边形AECF 是菱形，∴AO ＝21AC∴AE 2＝21AC·AP∴2AE 2＝AC·AP …………………12分6. （2011湖北武汉调考模拟二） 在等边△ABC 中，D 、E 分别在AC 、BC 上，且AD=CE=nAC ，连AE 、BD 相交于P ，过B 作BQ ⊥AE 于点Q ，连CP. (1)∠BPQ=______,BPPQ =____(2)若BP ⊥CP ，求BPAP ；(3)当n=_____时，BP ⊥CP?（第6题） 答案：(1)60°，21；(2)解：在BP 上取BK=AP ．连AK, ∵△ACE ≌△BAD,∴ ∠CAE=∠ABD, ∴BK=AP,AB=CA ,∴△ ACP ≌△BAK, ∴∠BAK=∠ACP,∴ ∠AKP=∠CPE=300. 又∠APB=1200. ∴∠AKP=∠KAP=300,∴AP=PK,∴BPAP =21 ⑶317、路边有一根电线杆AB 和一块正方形广告牌．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端A 的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G 处， 而正方形广告牌的影子刚好落在地面上E 点（如图），已知BC=5米，正方形边长为3米，•DE=4米．（1）求电线杆落在广告牌上的影长； （2）求电线杆的高度（精确到0.1米）．解：（1）电线杆落在广告牌上的影长为3+1.5=4.5（米）…………（2分）（2）作GH ⊥AB 于H ，依题意得：HG=BC+0.5CD=5+1.5=6.5…………（3分） 因为：DEFD HGAH =,DF=3,DE=4. …………（4分）所以：AH=435.6⨯=4.875…………（5分）所以：电线杆的高度为:AB=AH+BH=AH+DF=3+4.875=7.875≈7.9．…………（6分） 答：（1）广告牌上的影长为4.5米；（2）电线杆的高度为7.9米。
试卷分类汇编_直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理一、选择题1. （2012广东广州3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是【】A．B．C．D．【答案】A。
【考点】勾股定理，点到直线的距离，三角形的面积。
【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示。
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：15。
过C作CD⊥AB，交AB于点D，则由S△ABC=12AC•BC=12AB•CD，得AC BC91236CDAB155⋅⨯===。
∴点C到AB的距离是365。
故选A。
2. （2012浙江湖州3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是【】A．20 B．10 C．5 D．5 2【答案】C。
【考点】直角三角形斜边上的中线性质。
【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，∴CD=12AB=5。
故选C。
3. （2012浙江宁波3分）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为【】A．90 B．100 C．110 D．121【答案】C。
【考点】勾股定理的证明。
【分析】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7。
所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110。
故选C。
4. （2012福建漳州4分）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是【】A．45o B．60o C．75o D．90o【答案】 C。
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（第3题）直角三角形与勾股定理一、选择题1、(2011浙江杭州模拟14)如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在斜边AB 上的点E 处. 已知AB=38, ∠B=30°, 则DE 的长是( ). A. 6 B. 4 C. 34 D. 23答案：B 2.（2011湖北崇阳县城关中学模拟）直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ）A. 5B.C. 7D.答案：A3．（2011年杭州市上城区一模）梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠ADC +∠BCD =90°，以AD 、AB 、BC 为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3 ， 且S 1 +S 3 =4S 2，则CD =（ ） A. 2.5AB B. 3AB C. 3.5AB D. 4AB答案：B4．（2011年浙江省杭州市模2）直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ）A. 5B.C. 7D.答案：A二、填空题 1、（2011年北京四中三模）如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为5cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积和是 ． 答案：25cm 2 2．（2010－2011学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题）如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为3：4：5，按图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为S A ，S B ，已知S A +S B =13，则纸片的面积是 .答案：36第2题图S AS BBA C D3、(2011浙江杭州模拟15)如图，将含30°角的直角三角尺ABC 绕点B 顺时针旋转150°后得到△EBD ，连结CD.若AB=4cm. 则△BCD 的面积为 ． 答案：23cm4．(2011年宁夏银川)将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB =14cm ，则阴影部分的面积_________cm 2． 答案：2495.(2011浙江省杭州市8模)如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四全等的直角三角形围成的，若AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________；(第5题图)答案:76 6、（2011年浙江杭州二模）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是 米. 答案：87、（2011年浙江杭州八模）如图，小明在A 时测得某树的影长为3米，B 时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____米. 答案：6第8题图8、（2011年浙江杭州八模）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个第4题图AC EDBF 30°45°图2ABC图1AB CABP DC第6题图（第7题）A 时B 时 图2ABC图1A B C全等的直角三角形围成的，若AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________； 答案：769. (浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图，将边长为33+的等边△ABC 折叠，折痕为DE ，点B 与点F 重合，EF 和DF 分别交AC 于点M 、N ，DF ⊥AB ，垂足为D ，AD ＝1，则重叠部分的面积为 . 答案：39344+ B 组1．（ 2011年杭州三月月考）将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC 和MD 重合.已知AB =AC =8 cm,将△MED 绕点A (M )逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积是 ▲ cm 2答案：31648-2．（2011年重庆江津区七校联考一模）一元二次方程27120x x -+=的两根恰好是一直角三角形的两边长，则该直角三角形的面积为 。
答案： 6或7233、（2011年浠水模拟2）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC =6，BC =5，将四个 直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_______________； 答案：764. （2011年杭州市模拟）侧棱长为15cm 的直三棱柱的三个侧面面积分别为2522cm 、2552cm 和2532cm ，则该棱柱上底面的面积为 2cm ．答案：25618DNEF MCBA图2图1A (M )E DC BEDCBA (M )(第1题)图2ABC图1AB C5. （2011年海宁市盐官片一模）已知c b a ,,是直角三角形的三条边，且c b a <<，斜边上的高为h ，则下列说法中正确的是 。
（只填序号） ①222422)1(h b a h b a ++=+；②22224c b h c b =+；③由c b a ,,可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是22b .答案：②③6．（2011北京四中一模）在数学活动课上名师带领学生去测量河两岸A ，B 两处之间的距离，先从A 处出发与AB 成90°方向，向前走了10米到C 处，在C 处测得∠ACB ＝60°(如图所示)，那么A ，B 之间的距离约为 米（计算结果精确到0.1米) 答案：177. （2011深圳市中考模拟五）等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于 ． 答案: 15°或75°三、解答题1、(2011浙江杭州模拟14)如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠DAB =90°，AD =2DC =4，AB =6．动点M 以每秒1个单位长的速度，从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度，从点C 沿折线C -D -A 向点A 运动．当点M 到达点B 时，两点同时停止运动．过点M 作直线l ∥AD ，与折线A -C -B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t （秒）．（1）当0.5t =时，求线段QM 的长；（2）点M 在线段AB 上运动时，是否可以使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请直接写出t 的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由． （3）若△PCQ 的面积为y ，请求y 关于出t 的函数关系式及自变量的取值范围；答案：解：（1）由Rt △AQM ∽Rt △CAD ． ……………………………………………2分∴CDAD AM QM =． 即40.52QM =，∴1QM =． …………………………………1分（2）1t =或53或4． ……………………………………………3分 （3）当0＜t ＜2时，点P 在线段CD 上，设直线l 交CD 于点E 由（1）可得CDADAM QM =． 即QM =2t ．∴QE =4-2t ．………………………2分 ∴S △PQC =21PC ·QE =t t 22+- ………………………………………………1分 即t t y 22+-=当t ＞2时，过点C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ，交PQ 于点H .4(2)6PA DA DP t t =-=--=-．由题意得，4BF AB AF =-=．∴ CF BF =． ∴45CBF ∠=︒． ∴ 6QM MB t ==-． ∴QM PA =． ∴ 四边形AMQP 为矩形． ∴ PQ ∥AB ．CH ⊥PQ ，HF=AP =6- t∴ CH=AD=HF = t-2 …………………………………………………………1分 ∴S △PQC =21PQ ·CH =t t -221………………………………………1分 即y =t t -221 综上所述 )20(22≤<+-=t t t y 或y =tt -221 ( 2<t <6) …………………1分2、(2011浙江杭州模拟16)数形结合作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即 “以数解形”；或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即 “以形助数”。
如浙教版九上课本第109页作业题第2题：如图1，已知在△ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB ，D 为垂足。
易证得两个结论：(1)AC ·BC = AB ·CD (2)AC 2= AD ·AB（1）请你用数形结合的“以数解形”思想来解：如图2，已知在△ABC 中（AC>BC ），∠ACB=900，CD ⊥AB ，D 为垂足， CM 平分∠ACB,且BC 、AC 是方程x 2-14x+48=0的两个根，求AD 、MD 的长。
（2）请你用数形结合的“以形助数”思想来解： 设a 、b 、c 、d 都是正数，满足a ：b=c ：d,且a 最大。
求证：a+d>b+c （提示：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c ，构造图1） 答案：解：（1）显然，方程x 2-14x+48=0的两根为6和8， ······························································ 1分 又AC>BC ∴AC=8，BC=6 由勾股定理AB=10△ACD ∽△ABC ，得AC 2= AD ·AB ∴AD=6.4-------------------------------2分∵CM 平分∠ACB ∴AM ：MB=AC ：CB解得，AM=740--------------------------------- 1分 ∴MD=AD-AM=3524-----------------------------1分（2）解：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c 由三角形面积公式，得AB ·CD=AC ·BC2AB ·CD=2AC ·BC -------------------------1分 又勾股定理，得AB 2=AC 2+BC 2∴AB 2+2AB ·CD =AC 2+BC 2+2AC ·BC(等式性质)∴AB 2+2AB ·CD =（AC+BC ）2----------------------1分 ∴AB 2+2AB ·CD+CD 2>（AC+BC ）2--------------------2分 ∴(AB+CD) 2>（AC+BC ）2又AB 、CD 、AC 、BC 均大于零∴AB+CD>AC+BC 即a+d>b+c--------------------1分3. （2011年北京四中中考全真模拟17）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米. 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？1、探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和 （或差）的有关问题，这种方法称为面积法。