2018年秋高考数学一轮总复习课件：第二章 函数、导数及其应用 2.11.1
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2018年秋高考数学一轮总复习课件：第二章 函数、导数及其应用 2-12 精品
y=f(x)所围成的曲边梯形的面积吗?为什么?
提示:不一定,因为当曲边梯形位于x轴上方时,定积分
的值为正;当曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负; 当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形 面积相等时,定积分的值为零.
3.“加速度对时间的积分为速度,速度对时间的积分是 路程”这种说法对吗?为什么?
第十二节
定积分与微积分基本定理
【教材知识精梳理】 1.定积分的定义 一般地,给定一个在区间[a,b]上的函数y=f(x),其图像 如图所示.
(1)将[a,b]区间分成n份,分点为:a=x0<x1<x2<…<xn-1 <xn=b,
第i个小区间为________,设其长度为Δ xi. [xi-1,xi] (2)在这个小区间上取一点ξ i,使f(ξ i)在区间[xi-1,xi]
20 4t dt (20t 2t ) |
5 0 2
5 0
= 50(m).
即汽车从开始刹车到停止,共走了50m.
答案:50
4.曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为 ______________.
【解析】曲线y=x2与直线y=x的交点坐标为(0,0), (1,1),所以它们所围成的封闭图形的面积
A.1
C.
B.
4 D.2 3
3
2 y x 2x 1, 得x1=0,x2=2. 【解析】选B.由 y 1, 所以
3 x 8 4 2 2 2 2 2 2 S 0 x 2x 1 1 dx 0 x 2x dx ( x )|0 4 . 3 3 3
f(x)
2.定积分的性质 性质1 1dx=____; b-a ab kf(x)dx=_________; b b k a f x dx a [f(x)±g(x)]dx=_________________;
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第二章
【特别提醒】 导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a,b)内单调递增
(或递减)的充分不必要条件. (2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a,b)内单调递
增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)=0不恒成立).
【小题快练】
链接教材 练一练
1.(选修2-2P24例1改编)如图所示是函数f(x)的导函数
感悟考题
试一试
x 1
ax (a>0)的单调递增 3.(2016·烟台模拟)函数f(x)= 2
区间是(
)
B.(-1,1) D.(-∞，-1)或(1，+∞)
A.(-∞，-1) C.(1，+∞)
2 a(1 x 【解析】选B.函数f(x)的定义域为R，f′(x)= 2 2) (x 1) x) 由于a>0，要使f′(x)>0， = a(1 2x)(1 . 2 (x 1)
f′(x)的图象,则下列判断中正确的是
(
)
A.函数f(x)在区间(-3,0)上是减函数 B.函数f(x)在区间(-3,2)上是减函数
C.函数f(x)在区间(0,2)上是减函数
D.函数f(x)在区间(-3,2)上是单调函数 【解析】选A.当x∈(-3,0)时,f′(x)<0,
则f(x)在(-3,0)上是减函数.其他判断均不正确.
所以f′(x)>0,函数递增,所以当x=1时,函数取得极小值.
当x<-1时,xf′(x)<0,所以f′(x)>0,函数递增, 当-1<x<0,xf′(x)>0,所以f′(x)<0,函数递减,所以当
x=-1时,函数取得极大值.符合条件的只有C项.
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第二章
【解析】y′=1+ 1 ,则曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线
x
斜率为k=y′ |x 1 =1+1=2,故切线方程为y=2x-1.因为
0
y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,联立
y 2x 1, 2 y ax a 2 x 1,
得ax2+ax+2=0,显然a≠0,所以由
Δ=a2-8a=0⇒a=8.
答案:8
考向一
导数的计算
【典例1】求下列函数的导数.
1 (1)y=lnx+ . x
(2)y=(2x2-1)(3x+1).
x x (3)y=x-sin cos . 2 2 x . (4)y= cos ex
(5)y=ln(2-3x).
【解题导引】(1)直接求导.(2)(3)化简后再求导. (4)利用商的导数运算法则求解.(5)利用复合函数的求 导法则求解.
x
【解析】令f(x)=y=ax2-lnx,得f′(x)=2ax- 1 ,
所以f′(1)=2a-1=0,得a= 1 .
2 1 答案： 2
感悟考题
试一试
3.(2016· 威海模拟)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线
方程为
.
【解析】因为y′=3x2-1,所以y=x3-x+3在点(1,3)处的 切线的斜率k=2,所以切线方程为y-3=2(x-1),即2x-
2.f′(x)的符号及大小的意义 函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化
趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反
映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线 越“陡”.
2018年秋高考数学一轮总复习课件：第二章 函数、导数及其应用 2.2
函数是减函数时,x1-x2与f(x1)-f(x2)异号.
3.在最大值、最小值的定义中,条件(2)能否去掉?为什
么?
提示:不能,因为去掉后不能保证M是一个函数值,即存
在一个x0∈I,使M=f(x0),最大值、最小值必须是函数 值中的最大值、最小值.
4.函数y=f(x)最大值、最小值的意义是什么?
提示:是对应图像最高点、最低点的纵坐标.
【解析】由图可知函数的递增区间为[-1,1]和[5,7]. 答案:[-1,1],[5,7]
考向一
确定函数的单调性(区间)
▲提能互动
【典例】(1)(2016·北京高考改编)下列函数中,在区间
(-1,1)上为减少的是
A.y=
(
)
B.y=cosx
1 C.y=ln(x+1) 1 x
D.y=2-x
(2)(2015·上海高考改编)判断并证明函数f(x)= ax2+ 1 (其中1<a<3)在x∈[1,2]上的单调性. x 世纪金榜导学号99972020
【教材母题巧变式】
题 号
1
2 P38·例4
3 P58·T1
4 P56·T8
源 P39·练习 自 T2
1.函数y=x2-5x-6在区间[2,4]上是 ( A.减少的 C.先减少再增加 B.增加的 D.先增加再减少
)
【解析】选C.作出函数y=x2-5x-6的图像(图略)知,在
[2,4]上先减后增.
2.函数y= 1 在[2,3]上的最小值为 ( ) x 1 1 1 1 A.2 B. C. D. 2 y= 3 [2,3]上是减少的 2 , 【解析】选B.因为 在 1 x 1 所以ymin= 1 1 . 3 1 2
2018年高考数学一轮复习课件第2单元-函数、导数及其应用-数学(文科)人教版
(2)阐明知识系统，掌握内在联系．知识的整体性是切实掌
握函数知识的重要标志，函数的概念、图像和性质是环环相扣、
紧密相连、互相制约的，并形成了一个有序的网络化的知识体
系，这就要求在复习过程中应在这个网络化的体系中去讲函数
的概念、性质、公式以及例题，只有这样，学生对概念、性质
的理解才是深刻的、全面的，记忆才是鲜明的、牢固的、生动
提
能 力
教
师
备
用 题
2019/12/14
函数的概念及其表示
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考试大纲
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和 值域；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如 图像法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
2019/12/14
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的，应用起来才是灵活的、广泛的．
2019/12/14
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使用建议
(3)关注几类特殊函数．学生对抽象函数的理解较为困难， 但抽象函数对培养学生的观察能力有十分重要的作用，应结合 高考情况，予以适当关注，但选题不宜过难．分段函数是近几 年高考命题的热点，在客观题和主观题中都有涉及，应给予重 点关注．
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使用建议
(3)从近几年高考来看，涉及该部分内容的新情景、新定义 的信息迁移题以及实际应用问题是高考的一个热点话题，因此， 在本章中适当地加入了一些类似的题目；
(4)突出了函数性质的综合应用； (5)有意识地将函数中的单调性、极值、最值问题与解析几 何中的切线和最值问题、不等式的证明等进行交汇，特别是精 选一些以导数为解决工具的典型函数问题、切线问题，充分体 现导数的工具性．
2018版高考数学一轮总复习第2章函数、导数及其应用2.11导数在研究函数中的应用模拟演练课件文
板块四 模拟演练· 提能增分
[A 级
基础达标](时间：40 分钟 ) )
1．设函数 f(x)＝xex，则 ( A． x＝1 为 f(x)的极大值点 B．x＝1 为 f(x)的极小值点 C．x＝－1 为 f(x)的极大值点 D．x＝－1 为 f(x)的极小值点
解析
f′(x)＝ex＋ xex＝ (1＋x)ex.令 f′(x)＝ 0， 则 x＝－
a＝－ 2， 解得 b ＝ 1
3＋ 2a＋b＝0， f(1)＝ 10， 即 2 1 ＋ a ＋ b － a － 7a＝10， a＝－ 6， 或 b＝ 9， a＝－ 6， 经检验 b＝ 9
a 2 满足题意，故 ＝－ . 3 b
a 12 ．已知函数 f(x)＝ － 1 ＋ ln x，若存在 x0>0 ，使得 x f(x0 )≤0 有解，则实数 a 的取值范围是( A．a>2 C．a≤1 B．a<3 D．a≥3 )
1 f(x)在区间 a，a＋ 上存在极值，求正实数 2
a
解 ln x － 2 . x
1－ 1－ ln x (1)函数的定义域为 (0， ＋ ∞)， f′(x)＝ ＝ 2 x
令 f′(x)＝ 0，得 x＝ 1； 当 x∈ (0,1)时， f′(x)＞ 0， f(x)单调递增； 当 x∈ (1，＋ ∞)时， f′(x)＜ 0， f(x)单调递减． 1 所以， x＝ 1 为极大值点，所以 a＜ 1＜ a＋ ， 2
2 1 3 1 2 8．若函数 f(x)＝－ x ＋ x ＋2ax 在 ，＋∞ 上存在单 3 2 3
1 － ，＋∞ 9 的取值范围是_____________ ．
调递增区间，则 a
解析
[A 级
基础达标](时间：40 分钟 ) )
1．设函数 f(x)＝xex，则 ( A． x＝1 为 f(x)的极大值点 B．x＝1 为 f(x)的极小值点 C．x＝－1 为 f(x)的极大值点 D．x＝－1 为 f(x)的极小值点
解析
f′(x)＝ex＋ xex＝ (1＋x)ex.令 f′(x)＝ 0， 则 x＝－
a＝－ 2， 解得 b ＝ 1
3＋ 2a＋b＝0， f(1)＝ 10， 即 2 1 ＋ a ＋ b － a － 7a＝10， a＝－ 6， 或 b＝ 9， a＝－ 6， 经检验 b＝ 9
a 2 满足题意，故 ＝－ . 3 b
a 12 ．已知函数 f(x)＝ － 1 ＋ ln x，若存在 x0>0 ，使得 x f(x0 )≤0 有解，则实数 a 的取值范围是( A．a>2 C．a≤1 B．a<3 D．a≥3 )
1 f(x)在区间 a，a＋ 上存在极值，求正实数 2
a
解 ln x － 2 . x
1－ 1－ ln x (1)函数的定义域为 (0， ＋ ∞)， f′(x)＝ ＝ 2 x
令 f′(x)＝ 0，得 x＝ 1； 当 x∈ (0,1)时， f′(x)＞ 0， f(x)单调递增； 当 x∈ (1，＋ ∞)时， f′(x)＜ 0， f(x)单调递减． 1 所以， x＝ 1 为极大值点，所以 a＜ 1＜ a＋ ， 2
2 1 3 1 2 8．若函数 f(x)＝－ x ＋ x ＋2ax 在 ，＋∞ 上存在单 3 2 3
1 － ，＋∞ 9 的取值范围是_____________ ．
调递增区间，则 a
解析
2018高考数学(文理通用版)一轮复习课件：第二章 函数、导数及其应用 第11讲(理)
4．(2016· 湖北黄冈上学期 1 月调研)已知 a≥1，f(x)＝x3＋3|x－a|，若函数 f(x) 在[ －1,1] 上的最大值和最小值分别记为 M，m，则 M－m 的值为 导学号 30070519 (
C
) A．8 C．4 B．－a3－3a＋4 D．－a3＋3a＋2
• [解析] 当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3＋3(a－x)＝ x3－3x＋3a(a≥1)，对函数求导得f′(x)＝3(x －1)(x＋1)，当－1≤x≤1时f′(x)≤0，所以f(x) 在区间[－1,1]上单调递减，所以M＝f(－1)＝ 3a＋2，m＝f(1)＝3a－2，所以M－m＝4， 故选C.
• 知识点三 函数的最大值与最小值 • 1．函数的最大值与最小值：在闭区间[a， 必 不一定 b]上连续的函数f(x)，在[a，b]上____ 有最 大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续 的函数f(x)________有最大值与最小值． • 2．求最大值与最小值的步骤：设函数f(x) 极 在[a，b]上连续，在 (a，b)内可导，求f(x) 极 f(a)，f(b) 在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： • (1)求f(x)在(a，b)内的____值； • (2)将f(x)的各____值与_____________比较 ，其中最大的一个是最大值，最小的一个
• 知识点二 函数的极值与导数 • 1．函数的极小值： • 若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它 都小 f′(x)＜0 在点x＝a附近其他点的函数值________， f′(x)＞0 且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧 _________，右侧__________，则点a叫做 函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值． 都大 f′(x)＞0 • 2．函数的极大值： f′(x)＜0 极大值 • 若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它 极小值 在点x＝b附近其他点的函数值__________ ，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第二章 函数、导数及其应用 2.1 精品
数f(x)和它对应
映射
按照某一个确定的对 应关系f,对于集合A中 的_任__意__一个元素x,在 集合B中都有_唯__一__确__定__ 的元素y与之对应
函数
映射
那么就称f:A→B为从 名称 集合A到集合B的一个
函数
那么就称对应f:A→B为 从集合A到集合B的一个 映射
记法
y=f(x),x∈A 对应f:A→B是一个映射
所kb 以23f92,(.x)=
2x 2. 39
【易错警示】解答本例题(1)会出现以下错误: 题目利用换元法求解析式,易忽视换元后t的取值范围, 从而造成求出的函数定义域扩大而致误.
【规律方法】求函数解析式常用的四种方法 (1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成 关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析 式. (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次 函数)可用待定系数法.
【特别提醒】 1.判断函数相同的依据 (1)两个函数的定义域相同. (2)对应关系相同.
2.分段函数的相关结论 (1)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函 数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集, 值域等于各段函数的值域的并集.
3.判断函数图象的常用结论 与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.
【解析】要使函数f(x)有意义，必须使
x 2x2 0,
x
x＞解0,得
x
x
1,
x＜ 1 . 2
所以函数f(x)的定义域为 {x | x＜ 1}.
2
答案：{x | x 1}
2
考向二 求函数的解析式
【典例2】(1)已知 f ( x 1) x 2 x，则f(x)=
映射
按照某一个确定的对 应关系f,对于集合A中 的_任__意__一个元素x,在 集合B中都有_唯__一__确__定__ 的元素y与之对应
函数
映射
那么就称f:A→B为从 名称 集合A到集合B的一个
函数
那么就称对应f:A→B为 从集合A到集合B的一个 映射
记法
y=f(x),x∈A 对应f:A→B是一个映射
所kb 以23f92,(.x)=
2x 2. 39
【易错警示】解答本例题(1)会出现以下错误: 题目利用换元法求解析式,易忽视换元后t的取值范围, 从而造成求出的函数定义域扩大而致误.
【规律方法】求函数解析式常用的四种方法 (1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成 关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析 式. (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次 函数)可用待定系数法.
【特别提醒】 1.判断函数相同的依据 (1)两个函数的定义域相同. (2)对应关系相同.
2.分段函数的相关结论 (1)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函 数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集, 值域等于各段函数的值域的并集.
3.判断函数图象的常用结论 与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.
【解析】要使函数f(x)有意义，必须使
x 2x2 0,
x
x＞解0,得
x
x
1,
x＜ 1 . 2
所以函数f(x)的定义域为 {x | x＜ 1}.
2
答案：{x | x 1}
2
考向二 求函数的解析式
【典例2】(1)已知 f ( x 1) x 2 x，则f(x)=
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2 (0, ) 为增加的 . a
内为增加的,在
内为减少的,在(1,+∞)内
2 ( ,1) a
【易错警示】解答本题易有以下三点失误
(1)忽视函数的定义域(0,+∞).
(2)忽视a=0这一特殊情况.
(3)不知对a按什么标准进行讨论.
【母题变式】
1.若典例中的函数变为:f(x)=ex(ax2-2x+2)(a>0).试
则有f′(x)≥0(或f′(x)≤0).
2.导函数值的正、负与其对应函数图像的升、降有什 么关系?
提示:导函数值为正,反映在图像上为上升,导函数值为
负,反映在图像上为下降.
3.导函数值的大小与其对应函数图像的“陡峭”“平
缓”有什么关系?
提示:函数在某一范围内导数的绝对值较大,函数在这
个范围内变化得快,其对应函数的图像就比较“陡
2.函数f(x)=(x-3)ex的递增区间是
(
)
A.(-∞,2)
C.(1,4)
B.(0,3)
D.(2,+∞)
【解析】选D.函数f(x)=(x-3)ex的导数为f′(x)=[(x-
3)ex]′=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调
性的关系,得当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由
f′(x)=
2
x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)为减少的,
当a>0时,f′(x)=
a x 1 x3
2 2 (x )(x ). a a
(1)当0<a<2时, 2 >1, a 当x∈(0,1)或x∈ 2 时,f′(x)>0,f(x)为增加的; ( , ) a 当x∈ 时,f′(x)<0,f(x)为减少的 . 2 (1, ) (2)当a=2a 时, =1,在x∈(0,+∞)内,f′(x)≥0,f(x) 2 为增加的. a
峭”(向上或向下),反之,函数的图像就“平缓”一些.
【教材母题巧变式】
题号 源自
1 P59·T1
2 P62·T1
3 P59·T2
1.函数f(x)= ax (a>0)的递增区间是 x2 1 A.(-∞,-1) B.(-1,1) C.(1,+∞)
(
)
D.(-∞,-1)或(1,+∞)
2 a(1 x ) 【解析】选B.函数f(x)的定义域为R,f′(x)= (x 2 1) 2 = a(1 x)(1 x) 由于a>0,要使f′(x)>0,只需(1-x)(1 . 2 2 (x 解得 1) x∈(-1,1). +x)>0,
讨论f(x)的单调性.
【解析】由题意得f′(x)=ex[ax2+(2a-2)x](a>0),
令f′(x)=0,解得x1=0,x2= 2 2a . a (1)当0<a<1时,f(x)的递增区间为 (-∞,0)和 递减区间为
2 2a (0, ). a
2 2a ( , ), a
(2)当a=1时,f(x)在(-∞,+∞)内为增加的.
,a∈R.试讨论f(x)的单调性. 世纪金榜导学号99972065
【解题指南】先求导,再根据a的不同取值范围讨论
f′(x)的正负.
【规范解答】f(x)的定义域为(0,+∞),
a 2 2 ax 2 x 1 a 2 3 . 3 x x x x 当a≤0时,x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)为增加的 ;
不式f′(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.
3.若函数f(x)=2ax3-6x2+7在(0,2]内是减少的,则实数
a的取值范围是______.
【解析】因为f(x)=2ax3-6x2+7,
所以f′(x)=6ax2-12x.又f(x)在(0,2]内是减少的,所
以有f′(x)=6ax2-12x≤0在(0,2]上恒成立.
(2)当a≤0时,f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上为减少的.
(3)当0<a<1时,令f′(x)=0,
2 <1, a 当x∈ 2 或x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增加的; (0, ) a 当x∈ 时,f′(x)<0,f(x)为减少的. 2 ( ,1) a,当a≤0时,f(x)在(0,1)内为增加的,在(1, 综上所述
(3)当a>2时,0< +∞)内为减少的;
当0<a<2时,f(x)在(0,1)内为增加的,在 (1, 2 ) 内为减 a 少的,在 2 内为增加的; ( , ) a 当a=2时,f(x)在(0,+∞)内为增加的;当a>2时,f(x)在
【教材拓展微思考】 1.若函数y=f(x)在区间(a,b)上可导,则f′(x)>0(或
f′(x)<0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的什么
条件?为什么?
提示:充分不必要条件,因为可导函数f(x)在区间(a,b) 上有f′(x)>0(或f′(x)<0),则f(x)在(a,b)内单调递
增(或递减).反之,若f(x)在(a,b)内单调递增(或递减),
(3)当a>1时,f(x)的递增区间为
递减区间为
2 2a 和(0,+∞), ( , ) a
2 2a ( ,0). a
2.若典例中的函数变为f(x)=(a-1)lnx+ax2+1,a∈R,试
讨论f(x)的单调性.
【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= a 1 +2ax x = 2ax 2 a 1 . x (1)当a≥1时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上为增加的.
第十一节
第一课时
导数在研究函数中的应用
利用导数研究函数的单调 性
【教材知识精梳理】 导函数的符号与函数的单调性的关系 如果在某个区间内, (1)都有函数y=f(x)的导数f′(x)>0,则在这个区间上,
函数y=f(x)是_______.
增加的
(2)都有函数y=f(x)的导数f′(x)<0,则在这个区间上, 函数y=f(x)是_______. 减少的
即a≤
在(0,2]上恒成立.令g(x)=
在(0,2]上为减少的, =1,
,
2 而g(x)= x
2 x
2 所以g(x)min=g(2)= x
2 2
故a≤1.
答案:(-∞,1]
考向一
利用导数讨论(证明)函数的单调性
▲提能互动
【典例】(2016·山东高考改编)已知函数f(x)=a(xlnx)+
2x 1 x2