第五课时 直线与圆综合问题 (3)
第五节 直线与圆的综合问题
1．已知实数x，y满足方程x2＋y2－8x＋15＝0，则x2＋y2的最
大值和最小值分别是
()
A．25,9
B．16,9
C．5,3
D．4,3
解析：如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点
距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心
连线所在直线与圆的两个交点处取得最值．原方
程化为标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)，半径为1.又
直线与圆的综合问题 [师生共研过关]
[例3] 已知直线l：4x＋ay－5＝0与直线l′：x－2y＝ 0相互垂直，圆C的圆心与点(2,1)关于直线l对称，且圆C过 点M(－1，－1)．
(1)求直线l与圆C的方程； (2)过点M作两条直线分别与圆C交于P，Q两点，若直 线MP，MQ的斜率满足kMP＋kMQ＝0，求证：直线PQ的斜 率为1.
圆心到原点的距离为 4－02＋0－02 ＝4，所以x2＋y2的最
大值是(4＋1)2＝25，x2＋y2的最小值是(4－1)2＝9.故选A. 答案：A
2．已知点P(t，t)，t∈R
，点M是圆x2＋(y－1)2＝
1 4
上的动点，
点N是圆(x－2)2＋y2＝
1 4
上的动点，则|PN|－|PM|的最大值
是
()
|PM|2－4，所以只需直线 2x＋y＋2＝0 上的动点 P 到 M 的距离最小，
其最小值为|2＋1＋2|＝ 5
5，此时 PM⊥l，易求出直线 PM 的方程为 x
－2y＋1＝0.由2xx－＋2yy＋ ＋21＝ ＝00， ，
得xy＝＝0－，1，
所以 P(－1,0)．易知
P，A，M，B 四点共圆，所以以 PM 为直径的圆的方程为 x2＋y－122
第2章 2.3.3 直线与圆的位置关系-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修一讲义
2.3.3直线与圆的位置关系学习目标核心素养1．理解直线与圆的三种位置关系．(重点) 2．会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．(重点)3．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(难点)1．通过直线与圆的位置关系的学习，培养直观想象逻辑推理的数学核心素养．2．通过解决直线与圆位置关系的综合问题，培养数学运算的核心素养．早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程．你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种特殊位置关系．你发现了吗？直线与圆的位置关系的判定(直线Ax＋By＋C＝0，AB≠0，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r＞0)位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d＜r d＝r d＞r判定方法代数法：由⎩⎨⎧Ax＋By＋C＝0(x－a)2＋(y－b)2＝r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0图形1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( ) (2)若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切． ( )[答案] (1)√ (2)√2．(教材P 110练习A ①改编)直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．无法判断B [圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1，又圆x 2＋y 2＝1的半径为1，∴d ＝r ，故直线与圆相切．]3．直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)没有公共点，则a 的取值范围是 ． 0＜a ＜2－1 [由题意得圆心(0，a )到直线x ＋y －1＝0的距离大于半径a ，即|a －1|2＞a ，解得－2－1＜a ＜2－1，又a ＞0，∴0＜a ＜2－1．]4．直线3x ＋y －23＝0，截圆x 2＋y 2＝4所得的弦长是 ． 2 [圆心到直线3x ＋y －23＝0的距离d ＝|－23|3＋1＝3．所以弦长l ＝2R 2－d 2＝24－3＝2．]直线与圆位置关系的判定【例1】 只有一个公共点？没有公共点？[思路探究] 可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可通过圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断．[解] 法一：由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝2 ①y ＝x ＋b ②得2x 2＋2bx ＋b 2－2＝0，③方程③的根的判别式Δ＝(2b )2－4×2(b 2－2)＝－4(b ＋2)(b －2)． (1)当－2＜b ＜2时，Δ＞0，直线与圆有两个公共点． (2)当b ＝2或b ＝－2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点．(3)当b ＜－2或b ＞2时，Δ＜0方程组没有实数解，直线与圆没有公共点．法二：圆的半径r ＝2，圆心O (0,0)到直线y ＝x ＋b 的距离为d ＝|b |2． 当d ＜r ，即－2＜b ＜2时，圆与直线相交，有两个公共点．当d ＝r ，|b |＝2，即b ＝2或b ＝－2时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点． 当d ＞r ，|b |＞2，即b ＜－2或b ＞2时，圆与直线相离，圆与直线无公共点．直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．[跟进训练]1．已知圆的方程x 2＋(y －1)2＝2，直线y ＝x －b ，当b 为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，无公共点？[解] 法一：由⎩⎨⎧y ＝x －b ，x 2＋(y －1)2＝2得2x 2－2(1＋b )x ＋b 2＋2b －1＝0，① 其判别式Δ＝4(1＋b )2－8(b 2＋2b －1)＝－4(b ＋3)(b －1)，当－3＜b ＜1时，Δ＞0，方程①有两个不等实根，直线与圆有两个公共点； 当b ＝－3或1时，Δ＝0，方程①有两个相等实根，直线与圆有一个公共点； 当b ＜－3或b ＞1时，Δ＜0，方程①无实数根，直线与圆无公共点． 法二：圆心(0,1)到直线y ＝x －b 距离d ＝|1＋b |2，圆半径r ＝2． 当d ＜r ，即－3＜b ＜1时，直线与圆相交，有两个公共点； 当d ＝r ，即b ＝－3或1时，直线与圆相切，有一个公共点； 当d ＞r ，即b ＜－3或b ＞1时，直线与圆相离，无公共点．直线与圆相切的有关问题【例2】 [思路探究] 利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程． [解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1， 所以点A 在圆外．(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4)．因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径，半径为1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1，所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1，解得k ＝－158． 所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)， 即15x ＋8y －36＝0． (2)若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4． 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4．过一点的圆的切线方程的求法(1)点在圆上时求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，再由垂直关系得切线的斜率为－1k ，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x ＝x 0或y ＝y 0．(2)点在圆外时①几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程联立，消去y 后得到关于x 的一元二次方程，由Δ＝0求出k ，可得切线方程．提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．[跟进训练]2．过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，求该直线的方程． [解] 圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0化为标准式(x ＋2)2＋y 2＝1，圆心C (－2,0)，设过原点的直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径． 即|－2k |k 2＋1＝1，∴3k 2＝1， k 2＝13，解得k ＝±33． ∵切点在第三象限，∴k ＞0， ∴所求直线方程为y ＝33x ．直线截圆所得弦长问题[探究问题]1．已知直线l 与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？[提示] 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2求弦长．2．若直线与圆相交、圆的半径为r 、圆心到直线的距离为d ，如何求弦长？[提示] 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l ＝2r 2－d 2．【例3】 直线l 经过点P (5,5)并且与圆C ：x 2＋y 2＝25相交截得的弦长为45，求l 的方程．[思路探究] 设出点斜式方程，利用交点坐标法或利用r 、弦心距及弦长的一半构成直角三角形可求．[解] 据题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －5＝k (x －5)，与圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，法一：联立方程组⎩⎨⎧y －5＝k (x －5)，x 2＋y 2＝25.消去y ，得(k 2＋1)x 2＋10k (1－k )x ＋25k (k －2)＝0． 由Δ＝[10k (1－k )]2－4(k 2＋1)·25k (k －2)>0， 解得k ＞0．又x 1＋x 2＝－10k (1－k )k 2＋1，x 1x 2＝25k (k －2)k 2＋1，由斜率公式，得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1 ＝45．两边平方，整理得2k 2－5k ＋2＝0，解得k ＝12或k ＝2符合题意． 故直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0．法二：如图所示，|OH |是圆心到直线l 的距离，|OA |是圆的半径，|AH |是弦长|AB |的一半．在Rt △AHO 中，|OA |＝5， |AH |＝12|AB |＝12×45＝25， 则|OH |＝|OA |2－|AH |2＝5． ∴|5(1－k )|k 2＋1＝5， 解得k ＝12或k ＝2．∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0．(变条件)直线l 经过点P (2，－1)且被圆C ：x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长最短，求此时直线l 方程．[解] 圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝25，圆心C (3,1)．因为|CP |＝(3－2)2＋(1＋1)2＝5＜5，所以点P 在圆内．当CP ⊥l 时，弦长最短．又k CP ＝1＋13－2＝2．所以k l ＝－12，所以直线l 的方程为y ＋1＝－12(x －2)，即x ＋2y ＝0．直线与圆相交时弦长的两种求法(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，则|AB |＝2r 2－d 2．图1 图2(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在且不为0)．1．如何正确选择判断直线与圆的位置关系的方法(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法． 提醒：能用几何法，尽量不用代数法．(3)已知直线与圆相交求有关参数值时，根据弦心距、半弦长、半径的关系或者这三条线段形成的三角形的性质求解，而弦心距可利用点到直线的距离公式列式，进而求解即可．2．利用代数法判断直线与圆的位置关系时的注意点(1)代入消元过程中消x 还是消y 取决于直线方程的特点，尽量减少分类讨论，如若直线方程为x －ay ＋1＝0，则应将其化为x ＝ay －1，然后代入消x ．(2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义．1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离 B [圆心到直线的距离d ＝112＋(－1)2＝22＜1． 又∵直线y ＝x ＋1不过圆心(0,0)．∴直线与圆相交但不过圆心．]2．设直线l 过点P (－2,0)，且与圆x 2＋y 2＝1相切，则l 的斜率是( ) A ．±1 B ．±12 C ．±33 D ．±3 C [设l ：y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0． 又l 与圆相切，∴|2k |1＋k2＝1．∴k ＝±33．] 3．直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为 ．4 [圆的标准方程(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心(1,2)到直线x ＋2y －5＋5＝0的距离d ＝|1＋2×2－5＋5|12＋22＝1，所以弦长为25－1＝4．]4．若直线x ＋y －m ＝0与圆x 2＋y 2＝2相离，则m 的取值范围是 ． m ＜－2或m ＞2 [因为直线x ＋y －m ＝0与圆x 2＋y 2＝2相离，所以|－m |12＋12＞2，解得m ＜－2或m ＞2．]5．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，求直线l 的方程．[解] 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k ．设直线l 的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．又圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离 d ＝|2k －1－2|1＋k 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22．解得k ＝1或k ＝177．所以直线l 的方程为y ＋2＝x ＋1或y ＋2＝177(x ＋1)，即x －y －1＝0或17x －7y ＋3＝0．。
解决直线和圆的位置关系问题——圆心到直线的距离
解决直线和圆的位置关系问题——圆心到直线的距离作者：韩艳莉来源：《中学教学参考·理科版》2012年第12期直线和圆的位置关系是平面解析几何的重要内容，体现了运用代数方法处理几何问题的重要思想，是高考考查的重点.解决该问题的抓手是圆心到直线的距离.无论是直线和圆的基本问题或是综合问题，只要紧紧抓住圆心到直线的距离这个量，问题都可以得到有效的解决.一、基本问题1.直线和圆的位置关系设直线l：Ax+By+C=0，圆C的方程为（x-a）（y-b），圆心C到直线l的距离为（1）相离；（2）相切；（3）d2.求切线方程【例1】自点A（-1，4）作圆（x-2）（y-3）的切线l，求切线l的方程.解：由题意可知，切线l的斜率存在且有两条.设直线l的方程为y-4=k（x+1），即kx-y+（k+4）=0.因为直线与圆相切，所以圆心（2，3）到直线l的距离等于圆的半径，故|2k-3+（k+4），解得k=0或k=-34 .因此，所求直线l的方程是y=4或3x+4y-13=0.3.求弦长【例2】设直线l：Ax+By+C=0和圆C：（x-a）（y-b）相交于A、B两点，求弦AB的长.分析：取弦的中点D，连结CD，则CD垂直平分弦.因为圆心C到直线AB的距离为，在△ACD中，由勾股定理知-所以-【例3】直线x-2y+5=0与圆相交于A、B两点，求|AB|的值.分析：取AB的中点C，连结OC，则OC垂直平分弦AB.因为圆心（0，0）到直线x-2y+5=0的距离为5，所以在△AOC中，由勾股定理得|AC|=3，所以|AB|=23.二、综合问题【例4】在平面直角坐标系xOy中，已知圆：（x+3）（y-1），若直线过点A（4，0），且被圆截得的弦长为23，求直线l的方程.解：由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4），即kx-y-4k=0.因为直线l被圆截得的弦长为23，所以圆心（-3，1）到直线的距离为1.所以|k·（-3）-1-，所以k=0或k=-724 .所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.【例5】已知直线l的方程为x=-2，且直线l与x轴交于点M.圆O：，过M 点的直线交圆O于P、Q两点，且弧PQ恰为圆周的14 ，求直线的方程.解：因为弧PQ恰为圆周的14 ，所以∠因为在△POQ中，OP=OQ=1，所以PQ=2，所以圆心（0，0）到直线的距离为22 .由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为y=k（x+2）.因为（0，0）到直线的距离为22 ，所以，解得k=±77 .所以所求直线的方程为y=±77（x+2） .【例6】在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，求实数c的取值范围.分析：因为圆上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，所以圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离d所以|c|13【例7】已知直线kx-y+1=0与圆C：相交于A、B两点，若点M在圆C上且有（O为坐标原点），求实数k的值.分析：因为，所以以，为邻边作平行四边形OAMB.因为OA=OB，所以平行四边形OAMB为菱形，所以AB垂直平分OM.因为OM=2，所以圆心（0，0）到直线AB的距离为1，所以，解得k=0.。
直线与圆的综合问题(附答案)
例1直线y x m =-+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同交点，则m 的取值范围是 （ B ）()A 0m << ()B 1m <<()C 1m ≤≤ ()D m <<例2 设圆上的点(2,3)A 关于直线20x y +=的对称点仍在圆上，且与直线0x y y -+=相交的弦长为，求圆的方程。
（注意：试卷直线方程有误，应为x+y+1=0）解：已知圆上的点A （2,3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,即圆心在直线x+2y=0上所以，设圆心为（2a ，-a ），代入A 点有（2-2a ）²+（3+a ）²=R ²----（1）又知道与直线x-y+1=0相交的弦长为22所以，圆心到直线l 得距离 22132-=+=R a d -----（2）由方程（1），（2）经转化，得（a-7）（a-3）=0所以，a=3或7经检验成立故，圆方程为（x-6）²+（y+3）²=52或（x-14）²+（y+7）²=244例3 若过点()10，A 和B ()m B ，4并且与x 轴相切的圆有且只有一个，求实数m 的值和这个圆的方程。
解：分两种情况一种是这个圆与x 轴的切点与B 重合，即B 在x 轴上，此时过B 作X 轴的垂线，这条垂线与AB 的中垂线的相交，交点为圆心，两线确定一点，所以圆心是唯一的，又半径等于圆心到x 轴的距离，此时圆有且只有一个此时m=0，设圆心（x ，y ）则B 作X 轴的垂线:x=4 (1)AB 的中垂线:y=4(x-2)+1/2 (2)联立(1)(2)得x=4,y=17/2 r=y=17/2所以圆的方程（x-4）²+(y-17/2）²=(17/2）²化简得：x ²-8x+16+y ²-17y=0还有一种情况是AB 平行于X 轴，此时AB 的中垂线垂直与x 轴，又圆与x 轴相切，所以AB 的中垂线过切点，此时这条线上到三点距离相等的点只有一个，所以圆心是唯一的，又半径等于圆心到x 轴的距离，此时圆有且只有一个此时m=1设圆心（x,y ）这AB 中垂线:x=2半径等于圆心到x 轴的距离等于圆心到A 的距离所以：y ²=2²+(y-1)²得y=5/2所以圆的方程：（x-2)²+(y-5/2)²=(5/2)²化简得：x ²-4x+4+y ²-5y=0例4 已知直线为 ax-by+2=0( a>0 ,b>0 )，圆的方程为x+y+2x-4y+1=0 ，直线与圆截得到弦长为4 ， 求a 1 +b1 的最小值。
圆的方程与圆的位置关系(3)
类型1：圆的方程例1 1、 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．2、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．类型2：圆与圆的位置关系例2、1、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，2、若圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切，则实数m 的取值集合是 . 类型3：圆中的对称问题例3、圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是类型4：圆中的最值问题例4：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 (1)圆1)2(222=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最值，求y x 2-的最值、求x 2+y 2的最值 类型5：轨迹问题 例5、1、基础训练：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程. 2、线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.类型6：综合问题例6．1、圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b∈R)对称，则ab 的取值范围是( )A ．(－∞，14]B ．(0，14]C ．(－14，0) D ．(－∞，14) 2．已知对于圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________．综合练习题：1．圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（.A 相离 .B 相交 .C 外切.D 内切2．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是 （ ）A ．4B ．5C ．1D ．2．一动点在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点轨迹是A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝1 D ．(2x －3)2＋4y 2＝1 3．若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+ 的最小值为A ．1B ．5C ．D ．3+4．已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在直线0=+y x 上，则圆C 的方程为（ ）A ．22(1)(1)2x y ++-=B ． 22(1)(1)2x y -++=C ． 22(1)(1)2x y -+-=D ． 22(1)(1)2x y +++= 5．设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是（ ） A ．35r << B ．46r << C ．4r > D ．5r >6．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝17、若原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝8的内部，则实数m 的取值范围是A ．－22<m <2 2B ．0<m <22C ．－2<m <2D ．0<m <28．实数x 、y 满足x 2＋(y ＋4)＝4，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为( )A ．30＋226B ．30＋426C ．30＋213D ．30＋4139．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5)C.5，4－5D.12(5＋2)，12(5－2) 10．一条线段AB 长为2，两端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．圆D ．半圆11．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 12．圆心在曲线y ＝3x (x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为A ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －2)2＋(y －32)2＝9D ．(x －3)2＋(y －3)2＝9 13．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A ．(－23，4)B ．[－23，4]C ．[－4,4]D ．[－4,23]14.已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6 B ．206C ．30 6 D ．40 61．点(a ，b)为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，ab 的最大值为________．2．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A(1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．3．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)．P 是圆C 上的动点，当|PA |2＋|PB |2取最大值时，点P 的坐标是________．4．已知对于圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________．5．若圆2221:240C x y mx m +-+-=与圆2222:24480C x y x my m ++-+-=相交，则m 的取值范围是 ．6．设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（a>0）的公共弦的长为=a ___________ 。
高中数学选修1-12.2.3椭圆的综合问题之直线与椭圆的位置关系课件
2
( x1
x2
)2
4x1
x2
6 5
2
知识点2：弦长公式 可推广到任意二次曲线
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
| AB |
1 k 2 | xA xB |
1
1 k2
|
yA
yB
|
当直线斜率不存在时,则 AB y1 y2 .
题型二：弦长公式
(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
解 : (2)512 912 45
椭圆的弦所在的直线方程.
A(1,1)在椭圆内。
设以A为中点的弦为MN且M (x1, y1), N (x2, y2 ) x1 x2 2, y1 y2 2
x1
x2
83 5
,
x1
x2
8 5
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2
8 (x1 x2 )2 4x1 x2 5
题型二：弦长公式
例焦2点:已，知过点F2F作1 、倾F斜2 分 角别 为是4 椭的圆直线2x2交 椭1y2圆于1 的A、左B、两右点，
求 △F1 AB 的面积.
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
41
尝试遇到困难怎么办?
l
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
且 x02圆的位置关系
例3：已知椭圆 x2 y2 1，直线l：4x - 5y 40 0.椭圆上 25 9
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
x2 y2 1 94
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人教版小学数学目录全一年级上一准备课1.数一数2.比多少二位置1.上、下、前、后2.左、右第一、二单元整理和复三1～5的认识和加减法1.1～5的认识2.比大小3.第几4.分与合5.加法6.减法7.0第三单元整理和复四认识图形一第四单元整理和复五6～10的认识和加减法1.6和7第1课时6和7的认识第2课时6和7的加减法第3课时解决问题2.8和9第1课时8和9的认识第2课时8和9的加减法第3课时解决问题3.104.连加连减5.加减混合第五单元收拾整顿和复六11～20各数的认识第1课时11～20各数的认识第2课时10加几、十几加几与相应的减法实践活动：数学乐园七认识钟表第6、七单元收拾整顿和复八20以内的进位加法1.9加几2.8、7、6加几3.5、4、3、2加几4.办理问题（一）5.办理问题（二）第八单元整理和复九总复领域一数与代数领域二图形与多少综合复一综合复二一年级下第一单元收拾整顿和复二20以内的退位减法1.十几减92.十几减8、7、63.十几减5、4、3、2第1课时十几减5、4、3、2第2课时办理问题第二单元收拾整顿和复三分类与收拾整顿第三单元整理和复四100以内数的认识1.数数数的组成2.数的按次比力大小3.办理问题4.整十数加一位数及相应的减法第四单元整理和复实践活动：摆一摆，想一想五认识人民币1.认识人民币2.简单的计算第五单元整理和复六100以内的加法和减法（一）1.整十数加、减整十数2.两位数加一位数、整十数3.两位数减一位数、整十数第1课时两位数减一位数、整十数第2课时认识小括号第3课时办理问题第六单元整理和复七找纪律第1课时找纪律（一）第2课时找规律（二）第七单元收拾整顿和复八总复领域一数与代数领域二图形与多少领域三统计与几率综合复（一）综合复（二）综合复（三）二年级上一长度单位第1课时厘米和米第2课时线段第3课时办理问题第一单元整理和复二100之内的加法和减法(二)1．加法2．减法第l课时不退位减和退位减第2课时办理问题3．连加、连减和加减混合第1课时连加、连减和加减混合第2课时办理问题第二单元整理和复三角的初步认识第1课时角的初步认识第2课时直角、锐角和钝角的初步认识第三单元整理和复四表内乘法(一)1．乘法的初步认识2．2～6的乘法口诀第1课时5的乘法口诀第2课时2、3、4的乘法口诀第3课时乘加乘减五观察物体（一）六表内乘法（二）七认识时间八数学言广角——搭配（一）九总复综合复（一）综合复（二）二年级下一?数据收集收拾整顿第一单元整理和复二?表内除法（一）1．除法的初步认识第1课时均匀分第2课时除法2．用2～6的乘法口诀求商第1课时用2～6的乘法口诀求商第2课时解决问题第二单元收拾整顿和复三?图形的运动（一）第1课时对称第2课时平移和扭转第三单元收拾整顿和复四?表内除法（二）1．用7、8、9的乘法口诀求商2．解决问题第四单元收拾整顿和复五?混合运算第1课时没有小括号的混合运算第2课时带小括号的混合运算第3课时解决问题第五单元整理和复六?有余数的除法第1课时有余数除法的意义和计算第2课时解决问题第六单元收拾整顿和复小小设计师七?万以内数的认识1.1000以内数的认识2.之内数的认识第1课时万之内数的认识第2课时万之内数的大小比力3．整百、整千数加减法第七单元整理和复八?克和公斤第八单元收拾整顿和复九数学广角——推理第九单元整理和复十?总复领域一数与代数领域二空间与图形领域三统计综合复（一）综合复（二）综合复（三）三年级上一时、分、秒第l课时秒的认识第2课时时间的计算第一单元整理和复二万之内的加法和减法(一)第1课时两位数加、减两位数第2课时几百几十加、减几百几十第3课时办理问题第二单元整理和复三丈量一第l课时毫米、分米的认识第2课时千米的认识第3课时吨的认识第4课时办理问题第三单元整理和复四万之内的加法和减法(二)1.加法第l课时三位数加两、三位数第2课时三位数加三位数的连续进位加法2．减法第l课时三位数减两、三位数第2课时解决问题第四单元收拾整顿和复五倍的认识第l课时求一个数是另一个数的几倍第2课时求一个数的几倍是多少第五单元整理和复六多位数乘一位数七长方形和正方形八分数的开端认识九数学广角——集合十总复三年级下一位置与方向第1课时认识东、南、西、北四个方向第2课时认识东北、东南、西北、西南四个方向第一单元整理和复二除数是一位数的除法1.口算除法2.笔算除法第1课时一位数除两位数的笔算第2课时一位数除三位数的笔算第3课时用乘法验算除法第4课时商的中间或开端有的除法（一）第5课时商的中间或开端有的除法（二）第二单元收拾整顿和复三统计1.简单的数据分析2.平均数第三单元整理和复四年、月、日1.年、月、日2.24时计时法实践活动：制作年历第四单元收拾整顿和复五两位数乘两位数1.口算乘法2.笔算乘法第1课时两位数乘两位数（不进位）第2课时两位数乘两位数（进位）第五单元整理和复六面积1.面积和面积单位2.长方形、正方形面积的计较3.面积单元间的进率及公顷、平方千米第六单元收拾整顿和复七小数的初步认识1.认识小数2.简朴的小数加、减法第七单元收拾整顿和复八办理问题实践活动：设计校园九数学广角十总复1.数与代数2.空间与图形3.统计四年级上一大数的认识1亿以内数的认识第1课时亿以内数的读法和写法第2课时亿以内数的大小比较、改写及求近似数2数的发生、十进制计数法和亿以上数的认识3计较工具的认识和用计较器计较综合使用：1亿有多大？第一单元收拾整顿和复二角的度量1直线、射线和角及角的度量2角的分类及画角第二单元整理和复三三位数乘两位数1口算乘法2笔算乘法第1课时三位数乘两位数的笔算方法第2课时因数中间或末尾有O的乘法第3课时积的变化规律第4课时乘法估算第三单元收拾整顿和复四平行四边形和梯形1垂直与平行2平行四边形和梯形第四单元整理和复五除数是两位数的除法1口算除法2笔算除法第1课时商是一位数的笔算除法--用整十数除第2课时商是一位数的笔算除法--用非整十数除第3课时商是两位数的笔算除法第4课时商的变化规律第五单元收拾整顿和复六统计第1课时纵向复式条形统计图第2课时横向复式条形统计图综合应用：你寄过贺卡吗？第六单元整理和复七数学广角第七单元整理和复八总复领域一数与代数领域二空间与图形领域三统计与概率综合复（一）综合复（二）四年级下一?四则运算第1课时?四则运算（1）第2课时?四则运算（2）二?位置与方向第1课时?位置与方向（1）第2课时?位置与方向（2）第1、二单元收拾整顿和复三?运算定律与简便计算1.加法运算定律2.乘法运算定律3.简便计较第1课时?简便计算（1）第2课时?简便计算（2）综合应用：营养午餐第三单元整理和复四?小数的意义和性子1.小数的意义和读写法第1课时?小数的发生和意义第2课时?小数的读法和写法2.小数的性子和大小比力第1课时?小数的性质和大小比较第2课时?小数点移动3.生活中的小数4.求一个小数的近似数第四单元整理和复五?三角形第1课时?三角形的特性第2课时?三角形的分类第3课时?三角形的内角和第4课时?图形的拼组第五单元收拾整顿和复六?小数的加法和减法第1课时?小数的加法和减法（1）第2课时?小数的加法和减法（2）第3课时?小数的加法和减法（3）第六单元收拾整顿和复七?统计八?数学广角综合应用：小管家第七单元收拾整顿和复九总复领域一数与代数领域二空间与图形领域三统计与概率综合复（一）综合复（二）五年级上一小数乘法第1课时小数乘整数第2课时小数乘小数第3课时积的近似数第4课时整数乘法运算定律推行到小数第5课时办理问题第一单元整理和复二位置三小数除法第1课时除数是整数的小数除法第2课时一个数除以小数第3课时商的近似数第4课时循环小数用计算器探索规律第5课时解决问题第2、三单元收拾整顿和复四可能性理论活动：掷一掷第四单元整理和复五简易方程1.用字母透露表现数第1课时用字母表示数、数量关系、运算定律及计算公式第2课时用含有字母的式子表示复杂的数量关系2.解简易方程第1课时方程的意义及等式的性子第2课时解方程第3课时实际问题与方程（一）第4课时实际问题与方程（二）第五单元收拾整顿和复六多边形的面积第1课时平行四边形的面积第2课时三角形的面积第3课时梯形的面积第4课时组合图形的面积七数学广角——植树问题第六、七单元整理和复八总复领域一数与代数领域二图形与多少领域三统计与概率综合复（一）综合复（二）五年级下一图形的变换第1课时轴对称第2课时旋转第3课时观赏设想第一单元整理和复二因数与倍数1.因数和倍数2.2、5、3的倍数的特征第1课时2、5的倍数的特征第2课时3的倍数的特征3.质数和合数第二单元整理和复三长方体和正方体1.长方体和正方体的认识2.长方体和正方体的外表积3.长方体和正方体的体积第1课时体积和体积单位（1）第2课时体积和体积单位（2）第3课时体积单位间的进率第4课时容积和容积单位综合应用：粉刷围墙第三单元整理和复四分数的意义和性质1.分数的意义第1课时分数的发生和意义第2课时分数与除法2.真分数和假分数3.分数的基本性质4.约分第1课时最大公因数第2课时约分5.通分第1课时最小公倍数第2课时通分6.分数和小数的互化第四单元收拾整顿和复五分数的加法和减法1.同分母分数加、减法2.异分母分数加、减法3.分数加减混合运算第五单元收拾整顿和复六统计第1课时众数第2课时复式折线统计图综合应用：打电话七数学广角八总复1.数与代数2.空间与图形3.统计六年级上一分数乘法第1课时分数乘整数第2课时一个数乘分数的意义及分数乘分数第3课时小数乘分数第4课时分数乘加、乘减运算和简便运算第5课时解决问题第一单元收拾整顿和复二位置与方向（二）第1课时位置与方向（一）第2课时位置与方向（二）第二单元整理和复三分数除法1.倒数的认识2.分数除法第1课时分数除以整数第2课时一个数除以分数第3课时分数四则混合运算第4课时办理问题(一)第5课时办理问题(二)第6课时解决问题(三)第7课时解决问题(四)第三单元收拾整顿和复四比第1课时比的意义第2课时比的根本性子第3课时比的使用第四单元整理和复五圆1.圆的认识第1课时圆的认识第2课时设想图案2.圆的周长3.圆的面积第1课时圆的面积第2课时圆环的面积第3课时办理问题4.扇形第五单元整理和复综合应用：确定起跑线六百分数（一）第1课时百分数的意义和读写法第2课时百分率，小数和分数化成百分数第3课时百分数化成小数和分数第4课时办理问题（一）第5课时解决问题(二)第六单元整理和复七扇形统计图第1课时认识扇形统计图第2课时选择符合的统计图综合使用：节省用水八数学广角——数与形九总复领域一数与代数领域二图形与几何领域三统计与概率综合复。
直线和圆的位置关系教学反思
直线和圆的位置关系教学反思直线和圆的位置关系教学反思（通用20篇）随着社会不断地进步，我们要有很强的课堂教学能力，反思指回头、反过来思考的意思。
反思要怎么写呢？以下是本店铺为大家收集的直线和圆的位置关系教学反思，欢迎阅读与收藏。
直线和圆的位置关系教学反思 1《直线和圆的位置关系的复习》一课的教学，可以说非常成功。
教学设计充分体现了新的教学理念，重点突出、层次清楚、构思新颖，整个教学过程教师采用多样化的呈现方式为学生搭建参与探究的平台，高度重视学生的主动参与，有意识地为学生创设了良好的数学交流情境。
注意学生的情感与态度，知识与技能的形成和发展，使每个学生都有表现的机会和获得成功的体验。
亮点一、由于本节课综合性强，涉及到的知识面广，对学生的能力水平要求高。
教师结合本节课的教学目标，突出重点，突破难点。
采用教师启发引导，学生合作交流的方式来组织本节课的教学。
注重解题思路分析和方法引导，善于引导学生寻找图形中的数量关系，选用适当的知识和方法正确解答问题。
亮点二、在学习知识的同时，注意数学思想方法的渗透。
在教学中，数学知识是一条明线，数学思想方法是一条暗线。
崔老师在引导学生学习的同时，教给学生思考方法、学习方法和解决问题的方法，为学生未来发展服务，让学生在脑海里留下数学意识，长期下去，学生将终身受用。
亮点三、板书条理分明，布局合理，文字与图形完美结合，板书设计不仅让学生对直线和圆的位置关系图形的特征一目了然，而且也便于揭示它们之间的.区别和联系。
体现了板书的形式美和简洁美，真正使板书起到了画龙点睛的作用。
亮点四、充分发挥小组的特点，让学生相互启发讨论，形成思维互补，集思广益，从而使题意理解更清楚，结论更准确。
亮点五、教师教态自然，语言清晰，数学语言表述准确，操作演示熟练，提问率高，体现素质教育面向全体学生的要求。
亮点六、教师注意培养学生的自信心，在教学过程的设计上体现了层次性和梯度性。
防止学生对一些问题出现畏惧情绪，鼓励学生敢于知难而进，让学生树立战胜困难的勇气和决心。
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第五课时直线与圆综合问题
【学习目标】
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两圆的方程，
判断两圆的位置关系；
2.能用直线和圆的方程解决一些简单问题
3.初步了解用代数方法解决几何问题的思想。
【考纲要求】
直线与圆方程为C级要求
【自主学习】
1．直线与圆的位置关系
将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆心C到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系满足以下关系：
相切⇔d＝r⇔△＝0
相交⇔⇔
相离⇔⇔
2．圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别为R和r(R≥r)，圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下条件：
外离⇔d > R＋r
外切⇔
相交⇔
内切⇔
内含⇔
3. 圆的切线方程
① 圆x2＋y2＝r2上一点p(x
0, y
)处的切线方程为l: .
② 圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点p(x
0, y
)处的切线方程为l : .
③ 圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点p(x
0, y
)处的切线方程为 .
[典型例析]
例1过⊙：x2＋y2＝2外一点P(4，2)向圆引切线．⑴ 求过点P的圆的切线方程．
⑵ 若切点为P
1、P
2
求过切点P
1
、P
2
的直线方程．
例2已知m R ∈,直线2:(1)4l mx m y m -+=和圆22:84160C x y x y +-++=
例3已知直线l ：y ＝k(x ＋22)(k≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，O 为坐标原点．△AOB 的面积为S ．
⑴ 试将S 表示为k 的函数S(k)，并求出它的定义域． ⑵ 求S(k)的最大值，并求出此时的k 值．
例4 已知点P （0，5）及圆C ：x 2+y 2+4x -12y +24=0.
（1）若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程；。