2019年高考数学(文科)二轮复习专题5 第1讲 直线与圆

2x B第 1 讲 直线与圆高考定位 1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点；2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.真 题 感 悟1.(2016· 全国Ⅱ卷)圆 x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0 的圆心到直线 ax ＋y －1＝0 的距离为 1，则 a ＝( )4A.－3C. 33B.－4D.2解析 圆 x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0 化为标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故圆心为(1，4).由题意得 d ＝ |a ＋4－1| a 2＋14＝1，解得 a ＝－3.答案 A2.(2016· 山东卷)已知圆 M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线 x ＋y ＝0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1 的位置关系是()A.内切C.外切B.相交D.相离解析 圆 M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为 x 2＋(y －a )2＝a 2，aa 2由题意，d ＝，所以有 a 2＝ 2 ＋2，解得 a ＝2.所以圆 M ：x 2＋(y －2)2＝22，圆心距为 2，半径和为 3，半径差为 1，所以两圆相交.答案 B3.(2016· 全国Ⅰ卷)设直线 y ＝x ＋2a 与圆 C ：2＋y 2－2ay －2＝0 相交于 A ， 两点，若|AB |＝2 3，⎝ 2 ⎭ ⎝ 2⎭ |C 1－C 2||Ax 0＋By 0＋C |(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为 － 2 ，－2⎪，半径为 r ＝则圆 C 的面积为________.解析 圆 C 的标准方程为 x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为 C (0，a )，点 C 到直线 y ＝x ＋2a 的距离为 d ＝|0－a ＋2a | 2 |a | ⎛2 3⎫2 ⎛ |a | ⎫2＝ .又由|AB |＝2 3，得 ⎪ ＋ ⎪ ＝a 2＋2，解得 a 2＝2，所以圆 C 的面2积为 π(a 2＋2)＝4π.答案 4π4.(2017· 天津卷)设抛物线 y 2＝4x 的焦点为 F ，准线为 l .已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y轴的正半轴相切于点 A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________.解析 由题意知该圆的半径为 1，设圆心 C (－1，a )(a >0)，则 A (0，a ).→→又 F (1，0)，所以AC ＝(－1，0)，AF ＝(1，－a ).→→ 由题意知AC 与AF 的夹角为 120°，得 cos 120°＝ －1 1× 1＋a 21 ＝－2，解得 a ＝ 3.所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y － 3)2＝1.答案 (x ＋1)2＋(y － 3)2＝1考 点 整 合1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线 l 1，l 2 的斜率 k 1，k 2 存在，则 l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的 直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式(1)两平行直线 l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0 与 l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0 间的距离 d ＝.A 2＋B 2(2)点(x 0，y 0)到直线 l ：Ax ＋By ＋C ＝0 的距离 d ＝ A 2＋B 2 .3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为 r .⎛ D E ⎫ ⎝ ⎭2△S OAB 的最小值为________.D 2＋E 2－4F.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式 Δ 来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.热点一 直线的方程【例 1 】 (1)设 a ∈R ，则“a ＝－2”是直线 l 1：ax ＋2y －1＝0 与直线 l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( )A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件(2)(2017· 山东省实验中学二模)过点 P (2，3)的直线 l 与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 A ，B 两点，O 为坐标原点，则解析 (1)当 a ＝－2 时，l 1：－2x ＋2y －1＝0，l 2：x －y ＋4＝0，显然 l 1∥l 2.当 l 1∥l 2 时，由 a (a ＋1)＝2 且 a ＋1≠－8 得 a ＝1 或 a ＝－2，所以 a ＝－2 是 l 1∥l 2 的充分不必要条件.x y(2)依题意，设直线 l 的方程为a ＋b ＝1(a >0，b >0).∵点 P (2，3)在直线 l 上.2 3∴a ＋b ＝1，则 ab ＝3a ＋2b ≥2 6ab ，故 ab ≥24，当且仅当 3a ＝2b (即 a ＝4，b ＝6)时取等号.因此 1△S AOB ＝2ab ≥12，即 △S AOB 的最小值为 12.答案 (1)A (2)12探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用 A 1B 2－A 2B 1＝0 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.∵A (1，1)，B (0，－1)，∴k AB ＝＝2. |2a －0| 52.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.【训练 1】 (1)(2017· 贵阳质检)已知直线 l 1：mx ＋y ＋1＝0，l 2：(m －3)x ＋2y －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的()A.充分不必要条件 C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件(2)已知 l 1，l 2 是分别经过 A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当 l 1，l 2 间的距离最大时， 则直线 l 1 的方程是________.解析 (1)“l 1⊥l 2”的充要条件是“m (m －3)＋1×2＝0m ＝1 或 m ＝2”，因此“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件.(2)当直线 AB 与 l 1，l 2 垂直时，l 1，l 2 间的距离最大.－1－10－11∴两平行直线的斜率 k ＝－2.1∴直线 l 1 的方程是 y －1＝－2 (x －1)，即 x ＋2y －3＝0.答案 (1)A (2)x ＋2y －3＝0热点二 圆的方程【例 2－1】 (1)(2016· 天津卷)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M (0， 5)在圆 C 上，4 5且圆心到直线 2x －y ＝0 的距离为 5 ，则圆 C 的方程为________.x 2 y 2(2)(2015· 全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆16＋ 4 ＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.解析 (1)∵圆 C 的圆心在 x 的正半轴上，设 C (a ，0)，且 a >0.4 5则圆心 C 到直线 2x －y ＝0 的距离 d ＝ ＝ 5 ，解得 a ＝2.∴圆 C 的半径 r ＝|CM |＝ （2－0）2＋（0－ 5）2＝3，因此圆 C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.3⎧⎪m＝ ， 2 2252⎪⎩（4－m ） ＝r ， r ⎪⎩ ＝ ， a ， (2)设圆心 (a >0)，半径为 a .2⎪则有⎨ 解得⎨ 解析(1)易知圆心的纵坐标为 ＝－3，所以圆心坐标为(2，－3).⎝x －2⎭ ⎝x －2⎭ ⎝ ⎭(2)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0).设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2，⎧⎪m 2＋4＝r 2，2 4⎛ 3⎫2 25 所以圆的标准方程为 ⎪ ＋y 2＝ 4 .⎛3⎫2 25 答案(1)(x －2)2＋y 2＝9 (2) ⎪ ＋y 2＝ 4探究提高 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a ，b ，r 的方程组，从而求出 a ，b ，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值.温馨提醒 解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.【训练 2 】 (1)(2017· 河南部分重点中学联考)圆心在直线 x ＝2 上的圆与 y 轴交于两点 A (0，－4)，B (0，－2)，则该圆的标准方程为________________.(2)圆心在直线 x －2y ＝0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得的弦的长为 2 3，则圆 C 的标准方程为________.－4＋（－2）2则半径 r ＝ （2－0）2＋[（－3）－（－2）]2＝ 5，故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.⎛ a ⎫ ⎝ ⎭⎛a ⎫2 由勾股定理得( 3)2＋ 2⎪ ＝a 2，解得 a ＝2.故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为 x ·x＝－2， ⎛x 21⎫ ⎛x ⎫2(2)证明BC 的中点坐标为 2 ，2⎪，可得 BC 的中垂线方程为 y － ＝x 2 x － 2 ⎪.2所以圆心为(2，1)，半径为 2，所以圆 C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案 (1)(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 (2)(x －2)2＋(y －1)2＝4.热点三 直线与圆的位置关系命题角度 1 圆的切线问题【例 3－1】 (2017· 郑州调研)在平面直角坐标系 xOy 中，以点 A (1，0)为圆心且与直线 mx－y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.解析 直线 mx －y －2m －1＝0 恒过定点 P (2，－1)，当 AP 与直线 mx －y －2m －1＝0 垂直，即点 P (2，－1)为切点时，圆的半径最大，∴半径最大的圆的半径 r ＝ （1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案 (x －1)2＋y 2＝2命题角度 2 圆的弦长相关计算【例 3－2】 (2017· 全国Ⅲ卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 y ＝x 2＋mx －2 与 x 轴交于 A ，B 两点，点 C 的坐标为(0，1).当 m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现 AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过 A ，B ，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现 AC ⊥BC 的情况，理由如下：设 A (x 1，0)，B (x 2，0)，则 x 1，x 2 满足方程 x 2＋mx －2＝0， 所以 x 1x 2＝－2.又 C 的坐标为(0，1)，－1 －1 1 12所以不能出现 AC ⊥BC 的情况.1 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭由(1)可得 x 1＋x 2＝－m ，m所以 AB 的中垂线方程为 x ＝－ 2.22 x⎪⎝x－故圆在y轴上截得的弦长为2⎛m⎫2＝3，∴|－a|＝1，解得a＝－3.⎝－2，－2⎭⎧⎪x＝－m，联立⎨⎪⎩y－1＝x2⎛⎫，②①又x2＋mx2－2＝0，③m1由①②③解得x＝－2，y＝－2.⎛m1⎫m2＋9所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为 ⎪，半径r＝2.⎝2⎭即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.l2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.【训练3】(1)(2017·泉州质检)过点P(－3，1)，Q(a，0)的光线经x轴反射后与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为______.(2)(2016·全国Ⅲ卷)已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.解析(1)点P(－3，1)关于x轴的对称点为P′(－3，－1)，所以直线P′Q的方程为x－(a＋3)y－a＝0.依题意，直线P′Q与圆x2＋y2＝1相切.512＋（a＋3）2(2)由圆x2＋y2＝12知圆心O(0，0)，半径r＝23，∴圆心(0，0)到直线x－3y＋6＝0的距离d＝61＋3CE⊥BD于E.＝3，|AB|＝212－32＝2 3.过C作如图所示，则|CE|＝|AB|＝2 3.∵直线l的方程为x－3y＋6＝0，|CE|23∴直线l的倾斜角∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°，因此|CD|＝sin60°＝sin60°＝4.5答案(1)－3(2)41.解决直线方程问题应注意：(1)要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直.而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.(2)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求圆的方程两种主要方法：(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程.3.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d ＝|Ax＋By＋C|，弦长公式|AB|＝2r2－d2(弦心距d).A2＋B24.直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离与半径的比较来实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较.(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理计算.一、选择题1.(2017·昆明诊断)已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”，则命题p是命题q的()A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要解析“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m2＝0m＝±1.∴命题p是命题q的充分不必要条件.答案A2.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A.2x＋y－5＝0 C.x－2y－5＝0B.2x＋y－7＝0 D.x－2y－7＝0解析依题意知，点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点.1∵圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为2，所以切线的斜率k＝－2.故圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.答案B3.(2017·济南调研)若直线x－y＋m＝0被圆(x－1)2＋y2＝5截得的弦长为23，则m的值为()A.1C.1或－3B.－3D.2解析∵圆(x－1)2＋y2＝5的圆心C(1，0)，半径r＝ 5.又直线x－y＋m＝0被圆截得的弦长为2 3.∴圆心C到直线的距离d＝r2－（3）2＝2，因此|1－0＋m|＝2，∴m＝1或m＝－3. 12＋（－1）2答案C4.(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A(1，0)，B(0，3)，C(2，△3)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()5 A.325 C.321 B.3 4 D.3解析设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∴⎨3＋ 3E ＋F ＝0， ∴⎨E ＝－4 3⎪⎩⎪⎩ F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为 1， 3 ⎭ ⎪ 12＋3 .⎝ 3 ⎭|k －2| ＝ 5，解得 k ＝－2.⎧1＋D ＋F ＝0， ⎧⎪D ＝－2，3 ， 7＋2D ＋ 3E ＋F ＝0，⎛ 2 3⎫ ⎪， ⎝因此圆心到原点的距离 d ＝⎛2 3⎫2 21 ⎪ ＝ 答案 B5.(2017· 衡水中学模拟)已知圆 C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点 P (2，－1)的圆 C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是()A.10 31 C.10 23B.9 21 D.9 11解析 易知最长弦为圆的直径 10，又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝ 2，∴最短弦的长为 2 r 2－|PC |2＝2 25－2＝2 23，1 故所求四边形的面积 S ＝2×10×2 23＝10 23.答案 C二、填空题6.(2017· 广安调研)过点(1，1)的直线 l 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9 相交于 A ，B 两点，当|AB |＝4时，直线 l 的方程为________.解析 易知点(1，1)在圆内，且直线 l 的斜率 k 存在，则直线 l 的方程为 y －1＝k (x －1)，即 kx－y ＋1－k ＝0.又|AB |＝4，r ＝3，∴圆心(2，3)到 l 的距离 d ＝ 32－22＝ 5.因此k 2＋（－1）21因此 a · k CP ＝a · ＝－1，∴a ＝－1.∴直线 l 的方程为 x ＋2y －3＝0.答案 x ＋2y －3＝0→ → 7.(2017· 北京卷)已知点 P 在圆 x 2＋y 2＝1 上，点 A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO · A P 的最大值为________.→ → 解析 法一由题意知，AO ＝(2，0)，令 P (cos α，sin α)，则AP ＝(cos α＋2，sin α). → → → → AO · A P ＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故AO · A P 的最大值为 6.→ 法二由题意知，AO ＝(2，0)，令 P (x ，y )，－1≤x ≤1，→ → → → 则AO · A P ＝(2，0)· (x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，故AO · A P 的最大值为 6.答案 68.(2017· 菏泽二模)已知圆 C 的方程是 x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线 l ：y ＝a (x －3)被圆 C 截得的弦长最短时，直线 l 方程为________.解析 圆 C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9，∴圆 C 的圆心 C (4，1)，半径 r ＝3.又直线 l ：y ＝a (x －3)过定点 P (3，0)，则当直线 y ＝a (x －3)与直线 CP 垂直时，被圆 C 截得的弦长最短.1－04－3故所求直线 l 的方程为 y ＝－(x －3)，即 x ＋y －3＝0.答案 x ＋y －3＝0三、解答题9.已知点 A (3， 3)，B (5，2)到直线 l 的距离相等，且直线 l 经过两直线 l 1：3x －y －1＝0 和 l 2：x ＋y －3＝0 的交点，求直线 l 的方程.⎧3x －y －1＝0， 解 解方程组⎨ 得交点 P (1，2). ⎩x ＋y －3＝0，5②若点 A ，B 分别在直线 l 的异侧，则直线 l 经过线段 AB 的中点 4，2⎪， x －1 4－1 ( 3 3 . 3 ⎪. ⎝ 3 ⎭ 1＋k 2 1＋k 2①若点 A ，B 在直线 l 的同侧，则 l ∥AB .而 k AB ＝3－2 1 ＝－2， 1 由点斜式得直线 l 的方程为 y －2＝－2(x －1)，即 x ＋2y －5＝0.⎛ 5⎫ ⎝ ⎭5 y －2 2－2 由两点式得直线 l 的方程为 ＝ ，即 x －6y ＋11＝0.综上所述，直线 l 的方程为x ＋2y －5＝0 或 x －6y ＋11＝0.10.(2015· 全国Ⅰ卷)已知过点 A (0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C ： x －2)2＋(y －3)2＝1 交于 M ，N 两点.(1)求 k 的取值范围； → → (2)若OM · O N ＝12，其中 O 为坐标原点，求|MN |.解 (1)由题设，可知直线 l 的方程为 y ＝kx ＋1，因为 l 与 C 交于两点，所以 |2k －3＋1| 1＋k 2 <1.解得 4－ 7 4＋ 7 <k <⎛4－ 7 4＋ 7⎫ 所以 k 的取值范围为 ，(2)设 M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将 y ＝kx ＋1 代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.4（1＋k ） 7 所以 x 1＋x 2＝ ，x 1x 2＝ . → → OM · ON ＝x 1x 2＋y 1y 2所以直线l的斜率为4－0＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝4k（1＋k）1＋k2＋8.由题设可得4k（1＋k）1＋k2＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.故圆心C在l上，所以|MN|＝2.11.(2016·江苏卷节选)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x －14y＋60＝0及其上一点A(2，4).(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程.解(1)圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5，(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y).因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0<y0<7，圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.(2)因为直线l∥OA，2－0＝2.设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，则圆心M到直线l的距离d ＝|2×6－7＋m | 所以 25＝ ＋5，解得 m ＝5 或 m ＝－15. ⎝ 2 ⎭|m ＋5| ＝ . 5 5因为|BC |＝|OA |＝ 22＋42＝2 5，⎛|BC |⎫2 又|MC |2＝d 2＋ ⎪ ，（m ＋5）2 5故直线 l 的方程为 2x －y ＋5＝0 或 2x －y －15＝0.。