吉林省长春市实验中学近年届高三数学上学期开学考试试题理(2021年整理)
2020-2021学年吉林省长春市实验中学上学期期中考试高三理科数学及答案解析
高三理科数学试卷
考试时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷选择题（60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A＝{﹣1，0，1，3，5}，B＝{x|x＞3或x＜1}，则（∁RB）∩A＝（ ）
A．{﹣1，0，5}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{1，3}
2．复数 （其中i为虚数单位），则| |＝（ ）
A． B． C．2D．
3．若向量 ， ，则 与 的夹角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．若 ，则 （ ）
A． 或 B． C． D．0或
5．若曲线 与曲线 有四个不同的交点,则实数 的取值范围是 ( )
A． B．6C．8D．
12.已知函数 若存在 ，使得 成立，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷非选择题（90分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某社团计划招入女生 人，男生 人，若满足约束条件 ，则该社团今年计划招入的学生人数最多为．
14．若函数 ，则曲线 在点 处的切线的倾斜角是．
∴CF∥平面BDE，
∵B，E分别是AF，SA的中点，∴SF∥BE，
∵BE⊂平面BDE，SF⊄平面BDE，
∴SF∥平面BDE，
又CF∩SF＝F，∴平面BDE∥平面SCF．....4’
（2）取CD的中点O，连结SO，
∵△SCD是等腰三角形，O是CD中点，∴SO⊥CD，
又平面SCD⊥平面AFCD，平面SCD∩平面AFCD＝CD，
（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；
吉林省长春市2021届高三数学上学期质量监测试题(一)理(含解析).doc
吉林省长春市2021届高三数学上学期质量监测试题（一）理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|2}A x x =≥，2{|30}B x x x =-> ，则AB =（ ）A. ∅B. {|3,x x >或x ≤2}-C. {|3,x x >或0}x <D. {|3,x x >或2}x ≤【答案】B 【解析】 【分析】求得集合{|2A x x =≤-或2}x ≥，{|0B x x =<或3}x >，再根据集合的交集运算，即可求解．【详解】由题意，集合{|2}{|2A x x x x =≥=≤-或2}x ≥， 集合2{|30}{|0B x x x x x =->=<或3}x >，所以A B ={|3x x 或2}x ，故选B ．【点睛】本题主要考查了不等式的解法，以及集合的交集运算，其中解答中正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则( )A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】分析每个数的正负以及与中间值1的大小关系.【详解】因为311()()133a <<=，103331>=，1133log 3log 10<=，所以01,1,0a b c <<><，∴c a b <<， 故选：C.【点睛】指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多情况下都会和1作比较），在比较的过程中注意各函数单调性的使用.4.已知直线0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，则b =( )A. 3-B. 1C. 3-或1D.52【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径来求解.=∴|1|2b +=∴13b b ==-或 故选：C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的相切，难度较易；注意相切时，圆心到直线的距离等于半径.5.2021年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2021 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，202X 年编号为 2，…，2021年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7y x =+，其相关指数2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是( )①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ③可预测 2021 年公共图书馆业机构数约为3192个 A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据ˆb和2R 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据ˆb 的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数.【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确； 由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确. 故选：D.【点睛】回归直线方程中的ˆb 的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数2R 决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强.6.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A. (35)π-B. 51)πC. 51)πD.(52)π【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角.【详解】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ， 则51αβ-=，又2αβπ+=，解得(35)απ=- 【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式：21122S r lr α==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l 是扇形的弧长.7.已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是( ) ①,a b αα⊥⊥，则//a b ②,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ③//,//a b αα，则//a b ④//,//αγβγ，则//αβ A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ①④【答案】D【解析】 【分析】①可根据线面垂直的性质定理判断；②③④可借助正方体进行判断.【详解】①由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；②选取正方体的上下底面为αβ、以及一个侧面为γ，则//αβ，故错误；③选取正方体的上底面的对角线为a b 、，下底面为α，则//a b 不成立，故错误；④选取上下底面为αβ、，任意作一个平面平行上底面为γ，则有 //αβ成立，故正确.所以说法正确的有：①④. 故选：D.【点睛】对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意图，这样在判断的时候能更加直观.8.已知数列{}n a 为等比数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，且21a =，1016a =，66a b = ，则11S =（ ） A. 44 B. 44- C. 88 D. 88-【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，求得64a =，再利用等差数列的前n 项和公式，即可求解11S 的值，得到答案．【详解】由题意，等比数列{}n a 为等比数列，满足21a =，1016a =，根据等比数列的性质，可得266210116,0a a a a =⨯=>，可得64a =，所以664b a ==，则11111611()11442b b b S +==⨯=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的性质和等差数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.把函数()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin()y x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的图象（部分图象如图所示），则()y f x =的解析式为（ ）A. ()2sin(2)6f x x π=+ B. ()2sin()6f x x π=+ C. ()2sin(4)6f x x π=+D. ()2sin()6f x x π=-【答案】C 【解析】 【分析】由图象可得()01f =，解得6π=ϕ，又由112sin()012ωπϕ⋅+=，解得2ω=，得到2sin(2)6y x π=+，在利用三角函数的图象变换，即可求得，得到答案．【详解】由图象可知，()02sin(0)1f ωϕ=⋅+=，即1sin ||22πϕϕ=<，解得6π=ϕ， 又由112sin()012ωπϕ⋅+=，即111111242sin()0π,01261261211k k Z T πππωπωπω⋅+=∴⋅+=∈<∴<<，解得2ω=，即函数的解析式为2sin(2)6y x π=+，将函数2sin(2)6y x π=+图象上点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin(4)6y x π=+， 所以函数()f x 解析式2sin(4)6y x π=+.故选C ．【点睛】本题主要考查了利用三角函数图象及三角函数的图象变换求解三角函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=，当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，则当[4,6]x ∈时，()y f x =的最小值为（ ） A. 8- B. 1-C. 0D. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得函数()f x 是以4为周期的周期函数，进而利用[2,0]x ∈-时，函数()f x 的解析式和函数的奇偶性，即可求解[4,6]上的最小值，得到答案． 【详解】由题意知(2)()0f x f x ++=，即(2)()f x f x +=-， 则()()4[(2)2](2)f x f x f x f x +=++=-+=， 所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，且()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，∴当[4,6]x ∈时，222()(4)(4)2(4)1024(5)1f x f x x x x x x =-=---=-+=--， 所以当5x =时，函数()f x 的最小值为(5)1f =-. 故选B ．【点睛】本题主要考查了函数周期性的判定及应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数周期性的判定方法，得出函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11.已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为（ ）B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】利用抛物线的定义和焦点弦的性质，求得1213,3x x ==，进而可求得||||AF BF 的值．【详解】由椭圆22143x y +=，可得右焦点为(1,0)，所以12p =，解得2p =，设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的定义可得1222816sin 6033p p AB x x p =++===，所以12103x x +=， 又由21214p x x ==，可得1213,3x x ==，所以12||31231||123px AF p BF x ++===++. 故选C ．【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，以及抛物线的焦点弦的性质的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12.已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为（ ） A. 1mB. 1m <-C. 1m >-D. m 1≥【答案】C 【解析】 【分析】求得函数的导数21()(2)ex f x x -'=-，得到函数()f x 的单调性，以及()()1,2f f f 的取值，再由导数的几何意义，即可求解。
吉林省长春市2021届高三质量检测试题四理含解析 (数学)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则(∁U A)∩(∁U B)＝A.{6}B.{1，6}C.{2，3}D.{1，4，5，6}2.在复平面内，复数6＋5i与－3＋4i对应向量OA与OB，则向量AB对应的复数是A.－1＋9iB.9＋iC.－9－iD.9－i3.在第十三届女排世界杯赛中，中国女排以不败战绩夺得冠军，女排精神一直激励着全国人民在各行各业为祖国的腾飞而努力拼搏。
在女排世界杯赛闭幕后，某收视调查机构对某社区内2000名居民收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为100，将数据分组整理后，列表如下：从表中可以得出正确的结论为A.表中m的值为8B.估计观看比赛不低于5场的人数是860人C.估计观看比赛场数的众数为8D.估计观看比赛不高于3场的人数是280人4.如图，①②③④中不属于函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝－log3x的一个是A.①B.②C.③D.④5.右面程序框图，输出的结果为S＝132，则判断框中应填A.i ≥10？B.i ≥11？C.i ≤11？D.i ≤12？6.已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝94，a 4＋a 5＝18，则其前5项的积为 A.64 B.81 C.192 D.2437.已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为 A.553 B.556 C.423 D.4268.学校从高一、高二、高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为5、6、7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为 A.718 B.730 C.915 D.13 9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若∀n ∈N *，S n ≤S 7，则数列{a n }的通项公式可能是A.a n ＝16－3nB.a n ＝15－2nC.a n ＝2n －14D.a n ＝2n －1510.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色某摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min 。
吉林省实验中学2021届高三上学期第三次质量检测数学(理)试题 Word版含解析
吉林省试验中学2021届高三上学期第三次质量检测数学（理）试题（解析版）本试卷是高三理科试卷，以基础学问和基本技能为为主导，在留意考查运算力量和分析问题解决问题的力量，学问考查留意基础、留意常规、留意主干学问，兼顾掩盖面.试题重点考查：不等式、复数、导数、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、立体几何，数列，参数方程，几何证明等；考查同学解决实际问题的综合力量，是份较好的试卷.【题文】一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
【题文】1.已知集合U={1,2,3,4}，集合A={1，2},B={2,3},则()U C A B ⋃=( ) A.{1，3，4} B{3，4} C.{3} D{4} 【学问点】集合及其运算A1【答案解析】D 由A={1，2},B={2,3}则A B ⋃={1,2,3}所以()U C A B ⋃={4}故选D 。
【思路点拨】先求出A B ⋃再求出结果。
【题文】2.已知i 是虚数单位，则31ii+=-（ ）A.1-2iB.2-iC.2+iD. 1+2i 【学问点】复数的基本概念与运算L4 【答案解析】D 由31i i +=-242i+=1+2i 故选D 。
【思路点拨】先化简求出结果【题文】3．若条件:12p x +>，条件:q x a >，且p q ⌝⌝是的充分不必要条件，则a 的取值范围围是 A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．3a ≥- D ．3a ≤-【学问点】充分条件、必要条件A2【答案解析】A ∵p ：|x+1|＞2，∴p={x|x ＞1或x ＜-3}，若¬p 是¬q 的充分不必要条件则q 是p 的充分不必要条件，则q ⊊p ，∴a ≥1，故答案为：A ．【思路点拨】先求出，p={x|x ＞1或x ＜-3}，再依据¬p 是¬q 的充分不必要条件，得到q 是p 的充分不必要条件，即q ⊊p ，从而得出答案．明显面积的最大值为10故答案为：C【思路点拨】三视图复原的几何体是一个三棱锥，依据三视图的图形特征，推断三棱锥的外形，三视图的数据，求出四周体四个面的面积中，最大的值 【题文】5．若02πθ-<<，且sin 3P θ=，()3sin Q θ=，()13sin R θ=，则,,P Q R 大小关系为A. R Q P <<B. Q R P <<C. P Q R <<D. R P Q << 【学问点】指数与指数函数对数与幂函数B6 【答案解析】A 0<sin 3θ<13,由于1sin 0θ-<<，则Q>R,所以R Q P <<故选A. 【思路点拨】先依据指数函数幂函数性质确定大小【题文】6．已知函数()2sin ,(),(),()f x x g x x x m f x g x ===直线与的图象分别交,M N 两点，则MN 的最大值为A. 3B. 4C. D ．2 【学问点】三角函数的图象与性质C3【思路点拨】依题意可设M （x 0，2sinx 0），N （x 0 ，0），|MN|=|2sinx 0- 0|，利用帮助角公式即可．【题文】7．设m n ，是两条不同的直线, αβ，是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A ．若αβ⊥,,m n αβ⊂⊂,则m n ⊥ B ．若α∥β,,m n αβ⊂⊂,则n ∥m C ．若m n ⊥,,m n αβ⊂⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,n ∥m ,n ∥β,则αβ⊥【学问点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系G4 G5【答案解析】D 选项A ，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则可能m ⊥n ，m ∥n ，或m ，n 异面，故A 错误；选项B ，若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ，或m ，n 异面，故B 错误；选项C ，若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C 错误； 选项D ，若m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，再由n ∥β可得α⊥β，故D 正确．故选D【思路点拨】由α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，可推得m ⊥n ，m ∥n ，或m ，n 异面；由α∥β，m ⊂α，n ⊂β，可得m ∥n ，或m ，n 异面；由m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，再由n ∥β可得α⊥β．【题文】8．已知函数()()log 1a f x x =+，1a >,对于定义域内的12,x x 有1201x x <<<，给出下列结论：①()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦; ②()()2112x f x x f x <;1xyO •③()()2112f x f x x x ->-;④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭.其中正确结论的序号是 A. ①② B. ①③ C. ②④ D ③④ 【学问点】对数与对数函数B7【答案解析】D 由于1a >所以为增函数①错误，()()2112x f x x f x <没有必定联系所以②错误③()()2112f x f x x x ->-;④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭正确。
吉林省长春市实验中学2019届高三数学上学期开学考试试题文
长春市实验中学2018-2019学年上学期期初测试高三数学试卷（文）第Ⅰ卷一. 选择题(共12小题，每小题5分，计60分)1.21ii ++= A ．3122i -B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 2.已知集合{|(1)(3)0},{1,0,1,2,3}M x x x N =+-<=-，则M N =A ．{0,1,2}B ．{12}，C ．{1012}-，，，D ．{23}，3.命题“若220x y +=,则0x =且0y =的逆否命题是A. 若220x y +≠,则0x ≠且0y ≠ B. 若220x y +≠,则0x ≠或0y ≠ C. 若0x ≠且0y ≠，则220x y +≠ D. 若0x ≠或0y ≠，则220x y +≠ 4.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是 A.2logy x = B.y x =- C.2x y -= D.11y x =-- 5.已知[,2]2παπ∈，54cos =α，则=αtan A ．43±B ．43C ．43-D ．34 6.函数()ln xf x e x =+的零点所在的大致区间是A.(1,0)-B.1(0,)2C.1(,1)2D.3(1,)2 7.函数()1cos 2sin cos 22x xf x x =++的最小值为A ．12+B ．12-C ．2D ．2-8.执行如图所示的程序框图，若输入64x =，则输出的结果为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 59.表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是A. 4πB.323πC.8πD. 12π 10.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的13，则该椭圆的离心率为A.13 B.12 C.23 D.34 11.函数1ln sin 1xy x x-=++的图象大致为 A. B. C. D.12.在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C 所对的边，若cos 4cos a C c A =-，3B π=，463a =，则cos C =A ．41B ．462-C ．462+D ．42-6第Ⅱ卷二. 填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13.某同学在高三参加的九次考试成绩分别为85，94，101，110，106，123，123，122，130，则这些次成绩的中位数是_______14.已知向量(1,3),(3,1)a b ==，则,a b 的夹角余弦值为________．15.已知双曲线的渐近线方程为340x y ±=，焦点坐标为(5,0)±，则双曲线的方程为_________.16.已知奇函数32()3f x x ax x =+-，则函数的极大值点是____________. 三.解答题（解答应有必要的文字说明和解题步骤，共计70分）17.（本小题满分12分）已知公差为1的等差数列{}n a ，137,,a a a 依次为一个等比数列的相邻三项.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列11{}n n a a +的前10项和. 18. （本小题满分12分）针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持保留不支持50岁以下8000 4000 200050岁以上（含50岁）1000 2000 3000(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求n 的值；(2)在接受调查的人中，有10人给这项活动打出的分数如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，8.3，9.7，把这10个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率． 19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，90ACB ∠=,112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点 （1）证明：平面1BDC BDC ⊥平面（2）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 20. （本小题满分12分）已知抛物线2:C y ax =过点(2,1). (1)求抛物线的准线方程;(2)设P 为C 上第一象限内的动点，过点P 作抛物线的切线交其准线于点M ,N 为准线上一点，且0PM PN ⋅=，求当MN 最小时点P 的坐标.21. （本小题满分12分）函数x x a x f +=ln )(a R ∈， (1)求)(x f 的单调区间;(2)若()f x a 恒成立,求a 取值范围请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22)4πρθ=+， 直线l 的参数方程为1x t y t=⎧⎨=-+⎩ (t 为参数)，直线l 和圆C 交于,A B 两点，P 是圆C 上不同于,A B 的任意一点.(1)求圆心的极坐标；(2)求△PAB 面积的最大值. 23. （本小题满分10分）选修4−5：不等式选讲 已知函数()f x x =.（1）记函数()()2g x f x x =++，求函数()g x 的最小值；（2）记不等式()1f x <的解集为M ，若,a b M ∈时，证明|1|a b ab +<+.长春市实验中学2018-2019学年上学期阶段测试高三数学试卷（文）答案一.选择题二.填空题 13.110 14.3215.221169x y -= 16.-1 三.解答题17.（1）1n a n =+；（2）24n n +.51218.(1)120;(2)平均9分，310.19.(1)略；（2）1：1 20.(1)14a =;1y =-; (2)2(,)4t P t ,323(,1),(,1)282t t t M N t --+-,328t MN t t=++,231()33P 21.(1) 当0a ≥时，(0,)+∞增；当0a <时，(0,)a -减，(,)a -+∞增 (2) 2[,0]a e ∈- 22.(1)(2,)4π-3323.（1）2；（2）略. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A ADACBBCDCAD。
吉林省长春市实验中学2019届高三数学上学期期末考试试题理(含解析)
长春市实验中学2018-2019学年上学期期末考试高三数学试卷（理）一选择题：在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合, ，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出A中函数的值域y的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【详解】由A中，得到y≥0，即A＝{y| y≥0}，由B中， x，即B＝{x| x}，则A∩B＝{x| x}，故选：C．【点睛】本题考查了交集的运算及函数定义域和值域的求法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.若复数是纯虚数（为虚数单位），则的值为（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】由于z为纯虚数，,.3.函数的递增区间为（）A. B. C. D.【答案】C分析：令=>0，求得函数的定义域为，且函数y=，本题即求二次函数t（x）在上的增区间．再利用二次函数的性质可得t（x）在上的增区间．详解：令=>0，求得 x≤1，或x≥2，故函数的定义域为，且函数y=，故本题即求二次函数t（x）在y=上的增区间．再利用二次函数的性质可得t（x）在y=上的增区间为，故选：C．点睛：复合函数单调性判断的口诀：同增异减，即内外层单调性一致为增函数，内外层单调性相反为减函数.4.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，①②③④若,，则则以上说法中正确的有( )个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由是两条不同的直线，是三个不同的平面，知：对于①，，，由线面垂直的判定定理得，故①正确；对于②，，，，则与平行或异面，故②错误；对于③，，，，由线面垂直的判定定理得，故③正确；对于④，若，，，则与相交或平行，故④错误．故选B.5.下列判断中正确的是（）A. “若，则有实数根”的逆否命题是假命题B. “”是“直线与直线平行”的充要条件C. 命题“”是真命题D. 已知命题，使得；命题，则是真命题.【解析】【分析】A,根据有实数根的等价条件，判断A是否正确；B, 根据“直线与直线平行” 的充要条件是或，判断B；C, 根据sin x+cos x，判断C；D,先判断p，q的真假，再利用复合命题真假性的判定方法得出结果．【详解】对于A, ∵有实数根,∴△＝1+4×m，∴m，∴若，则有实数根是正确的，所以逆否命题是正确的，故A错误；对于B, “直线与直线平行” 的充要条件是或，∴“”是“或”的充分不必要条件，故B错误；对于C, ∵sin x+cos x sin（x），∴命题“”为假命题，故C 错误；对于D，∵﹣1≤cos x≤1，∴lg cos x≤0，∴命题p为假命题，命题q：∀x＜0，3x＞0，是真命题，∴是真命题，故D正确.故选D.【点睛】本题考查了命题的真假判断，考查了命题的否定命题，考查了充要条件的判断，涉及三角函数的值域问题、平面上两直线间的位置关系判断及一元二次方程根的情况的判断等知识，解答时要细心，属于综合题.6.设数列中，若，则称数列为“凸数列”.已知数列为“凸数列”，且，则数列的前2019项和为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】数列{b n}为“凸数列”，b n+1＝b n+b n+2，b1＝1，b2＝﹣2，可得：b3＝﹣3，进而得到b4，b5，b6，b7，b8，…，所以发现b n+6＝b n．即可得出．【详解】∵数列{b n}为“凸数列”，∴b n+1＝b n+b n+2，∵b1＝1，b2＝﹣2，∴﹣2＝1+b3，解得b3＝﹣3，同理可得：b4＝﹣1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝﹣2…，∴b n+6＝b n．又b1+b2+…+b6=1﹣2﹣3﹣1+2+3=0，且2019=6+3，∴数列{b n}的前2019项的和＝b1+b2+ b3+336=1-2-3=-4，故选：C．【点睛】本题考查了递推关系的应用、新定义、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.若向量满足，则与夹角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由可求得，再根据夹角公式求向量的夹角，进而得解.【详解】∵，∴，即，∴，∴，∴，故选D.【点睛】本题考查了向量的数量积的应用，涉及了向量的模，向量的夹角以及同角三角函数的关系；一般情况下，在解题时需注意两向量夹角的范围是 .8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 20B. 15C. 10D. 5【答案】C【解析】【分析】由三视图可知：该几何题是由一个长方体截取后剩下的一个三棱锥，直接利用锥体体积公式计算即可．【详解】由三视图可知：该几何题是由一个长方体截取后剩下的一个三棱锥A-BCD，如图：∴该几何体的体积．故选：C．【点睛】本题考查了三视图的有关计算、三棱锥与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.设的一个顶点是，的平分线方程分别为，则直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析题意，求出A关于x＝0，y＝x，的对称点的坐标，都在直线BC上，利用两点式方程求解即可．【详解】∵∠B、∠C的平分线分别是x＝0，y＝x，∴AB与BC对于x＝0对称，AC与BC对于y＝x对称．A（-3， 1）关于x＝0的对称点A'（3，1）在直线BC上，A关于y＝x的对称点A''（1，-3）也在直线BC上．由两点式，所求直线BC的方程：y＝2x-5．故选：B．【点睛】本题是基础题，考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，考查计算能力，发现问题解决问题的能力，常考题型．10.已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A. 函数的周期为B. 函数为偶函数C. 函数在上单调递增D. 函数的图象关于点对称【答案】C【解析】【分析】观察图象由最值求，然后由函数所过的点，求出，可求函数的解析式，进而研究函数性质即可得出结论．【详解】观察图象可得，函数的最小值，所以，又由图像可知函数过，即结合可得，则，显然A 选项错误；对于B，，不是偶函数，B错；对于D ，当，故D错误，由此可知选C.【点睛】点睛：本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．11.函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【解析】【分析】由题意得到，然后将问题转化为函数在区间上有一个变号零点的问题处理，分离参数后借助数形结合的方法可得结果．【详解】∵，∴．∵函数在区间上有且仅有一个极值点，∴在区间上只有一个变号零点．令，得．令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴，又．结合函数的图象可得，当时，在区间上只有一个变号零点．∴实数的范围为．故选B．【点睛】本题具有综合性，解答本题时注意以下几点：（1）将函数有一个极值点的问题转化为导函数有一个变号零点的问题处理，然后再转化为两个函数图象的公共点的问题处理；（2）解题中要利用数形结合的方法解题，求解时注意所求范围的端点值能否取到．12.设函数是定义在上的函数，且对任意的实数，恒有，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据函数的周期和奇偶性作出f（x）和y＝log a x在（0，+∞）上的图象，根据交点个数列出不等式解出a．【详解】∵f（x）﹣f（﹣x）＝0，∴f（x）＝f（﹣x），∴f（x）是偶函数，∴，令则x=t+，∴有成立，∴f（x）是的周期为2，根据函数的周期和奇偶性作出f（x）的图象如图所示：∵g（x）＝f（x）﹣log a x在x∈（0，+∞）上有且仅有三个零点，∴y＝f（x）和y＝log a x的图象在（0，+∞）上只有三个交点，∴，解得3＜a＜5．故选：A．【点睛】本题考查了零点个数的判断，作出f（x）的函数图象是解题关键．二填空题：将正确的答案填在横线上。
2021年 实验中学高三上学期开学考试数学文模拟练习解析版配套精选卷
高三上学期开学考试数学〔文〕试题
数学
考前须知：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
A．B．C．D．
10．直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，假设椭圆中心到的距离为其短轴长的，那么该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
11．函数的图象大致为
A．B．C．D．
12．在中，分别是所对的边，假设，，，那么
A．B．C．D．
二、填空题
13．某同学在高三参加的九次考试成绩分别为85，94，101，110，106，123，123，122，130，那么这些次成绩的中位数是_______
【点睛】
此题主要考查了常见根本初等函数的增减性，属于中档题.
5．C
【解析】
【分析】
根据同角三角函数的关系，先求出，再求出即可.
【详解】
因为，，所以在第四象限，，，应选C.
【点睛】
此题主要考查了同角三角函数的根本关系及三角函数在各象限的符号，属于中档题.
6．B
【解析】
【分析】
根据零点存在性定理逐一判断选项即可.
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题
1．=
A．B．C．D．
2．集合，那么
A．B．C．D．
3．命题“假设,那么且的逆否命题是
A．假设,那么且B．假设,那么或
2021届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2021届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}11,0,1,3,5A =-，{|3B x x =>或}1x <，则()B A =R（ ）A ．{}1,0,5-B ．{}1,2,3C ．{}2,3D ．{}1,3【答案】D 【分析】由{}R|13B x x =≤≤，直接进行交集运算即可得解.【详解】.集合{}1,0,1,3,5A =-，{|3B x x =>或}1x <， 则{}R|13B x x =≤≤，所以(){}1,3RB A ⋂=，故选：D.【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算，属于基础题. 2．复数312iz i+=-（其中i 为虚数单位)，则z =( )A ．2B ．43CD 【答案】C【分析】根据复数的运算法则和复数模的计算方法，准确运算，即可求解.【详解】由复数的运算法则，可得()()()()31231712121255i i i z i i i i +++===+--+，则1755z i =-所以z ==故选：C .【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及模的计算，其中解答中熟记复数运算法则是解答的关键，的着重考查了计算能力.3．若向量()2,1a =-，()3,2b =-，则3a b +与2a b +的夹角余弦值为（ ）A ．2-B ．C ．D ． 【答案】C【分析】利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标运算即可求解. 【详解】由(2,1)a =-，(3,2)b =-，则()222215a =+-=，()2223213b =-+=，()()23128a b ⋅=⨯-+-⨯=-，设3a b +与2a b +的夹角余弦值为θ，所以()()2222223cos 9423642a b a b a a b ba ab a b a bbθ+⋅==++⋅++⋅+++===. 故选：C 4．若tan()2cos()2παπα-=-+，则cos2=α（ ）A ．12B ．34C ．1-或12D ．0或12【答案】C【分析】根据诱导公式化简得到cos 0α=或1sin 2α=-,再根据二倍角的余弦公式可得答案.【详解】由tan()2cos()2παπα-=-+得sin()22cos()cos()2παπαπα-=-+-, 所以cos 2cos sin ααα=-, 所以cos 0α=或1sin 2α=-,所以2cos 22cos 11αα=-=-或21cos212sin 2αα=-=.故选:C【点睛】本题考查了诱导公式,二倍角的余弦公式,属于基础题.5．若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(B ．(-0)∪(0)C．[3 -，33] D．(-∞，3-)∪(33，+∞)【答案】B【解析】由题易知221:20C x y x+-=表示22(1)1x y-+=的圆，圆心为(1,0)，半径为1r=；2:()0C y y mx m--=表示0y=和0y mx m--=两条直线，易知0y mx m--=过定点(1,0)-，在平面直角坐标系中画出图像如图：∵直线0y=与1C相交于(0,0)和(2,0)两个点，∴0y mx m--=与圆相交即可．当0y mx m--=与圆相切时，圆心到直线的距离2211md rm===+，∴213m=，3m=，而0m=时，直线为0y=，不合题；∴330,33m⎛⎫⎛∈-⋃⎪⎝⎭⎝⎭，∴选择B．点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．243π+ B ．2123π+ C ．443π+ D ．4123π+ 【答案】A【分析】结合三视图可得该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，上半部分是一个直径为2的半球，即可求得答案.【详解】结合三视图可得该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，上半部分是一个直径为2的半球，∴该几何体的体积为：322124312333V ππ+=⨯+⨯⨯=.故选：A.【点睛】本题主要考查了根据三视图求几何体体积问题，解题关键是掌握三视图的基础知识和椎体体积公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7．函数229()x x x x f x e e--=+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，利用排除法进行求解即可．【详解】f （﹣x ）x xe e--==-+f （x ），即f （x ）是奇函数，图象关于原点对称， 排除B ，当x ＞0时，f （x ）＞0恒成立，排除A ，D 故选C ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键．8．设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f << B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<【答案】A【分析】由题意可得11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再利用函数在区间[1,0)-上是增函数可得答案. 【详解】解：()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又(2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又1111023--<-<-≤，且函数在区间[1,0)-上是增函数，11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的能力.9．将函数()f x 的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后得到函数()sin 2g x x =的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】D【分析】利用三角函数的最值，取自变量1x 、2x 的特值，然后判断选项即可.【详解】因为函数()sin 2g x x =的周期为π，由题意可得：()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦， 若()()122f x g x -=，两个函数的最大值与最小值的差等于2，有12min3x x π-=，所以不妨取24x π=，则1712x π=，即()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦在1712x π=取得最小值， 所以77121s 12in 2f ϕππ⎛⎫=-=- ⎪⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎝⎥⎭⎣⎦⎭⎝，此时5+,6k k Z πϕπ=∈，又02πϕ<<，所以此时不符合题意， 取24x π=，则112x π=-，即()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦在112x π=-取得最小值， 所以12sin 21ϕπ⎡⎤⎛⎫-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-，此时,6k k Z πϕπ=-∈，当0k =时，6π=ϕ满足题意， 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的图象的平移，三角函数性质之最值，关键在于取出2x ，得出1x ，再利用正弦函数取得最小值的点，求得ϕ的值，属于中档题．10．已知P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，2AB DC AD ===，4BC PA ==，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为（ ）A ．3B ．3C ．D ．16π【答案】A【分析】根据已知中的平行关系和长度关系可确定BC 中点E 为底面梯形的外接圆圆心，根据球的性质可知OE ⊥平面ABCD ，利用勾股定理构造出关于OE 和球的半径R 的方程，解方程求得R ，代入球的体积公式可求得结果. 【详解】取BC 中点E ，连接,,AE DE BD//AD BC 且12AD BC EC == ∴四边形ADCE 为平行四边形 AE DC ∴=，又12DC BC = 12DE BC ∴=AE DE BE EC ∴===E ∴为四边形ABCD 的外接圆圆心设O 为外接球的球心，由球的性质可知OE ⊥平面ABCD作OF PA ⊥，垂足为F ∴四边形AEOF 为矩形，2OF AE == 设AF x =，OP OA R ==则()22444x x +-=+，解得：2x = 4422R ∴=+=∴球O 的体积：34233V R π==本题正确选项：A【点睛】本题考查棱锥外接球体积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，主要是根据球心与底面外接圆圆心连线垂直于底面的性质，通过勾股定理构造方程求得结果.11．已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P 上的投影等于1F P ，1e ，2e 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的离心率，则22129e e +的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】C【分析】由12F F 在1F P 上的投影等于1F P 可知PF 1⊥PF 2， 利用椭圆与双曲线的 焦距相同找到1e 和2e 的关系，最后构建函数利用导数求出22129e e +的最小值. 【详解】如图，设半焦距为c ．∵点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P 上 的投影等于1F P ，∴PF 1⊥PF 2．设1PF m =，2PF n =，则12m n a +=，22m n a -=．∴22()()4m n m n mn +--=＝21a ﹣22a ．在12PF F △中，由勾股定理可得：()()22222221124242c m n m n mn a a a =+=+-=--.∴222122c a a =+．两边同除以c 2，得2＝221211+e e ，所以()()222222121212222212219111==1199++10+10+6=8222e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++，当22123=e e 即16=e 时取等号，因此9e 12+e 22的最小值是8． 故选：C.【点睛】求最值题目一般分为三步： ①写表达式； ②消元； ③求值域.12．已知函数()()ln 1xf x ex =-，1,2x ⎡⎤∈+∞⎢⎥⎣⎦若存在[]2,1a ∈-，使得21223f a a e m ⎛⎫-≤+-- ⎪⎝⎭成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,+∞C ．2,3⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦D ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】'1()ln 1xf x e x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令1()ln 1g x x x=+-，计算函数的单调性，得到()121f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，计算得到答案.【详解】'1()ln 1x f x e x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令1()ln 1g x x x =+-，则'22111()x g x x x x -=-=， 故当112x <<时，)'(0g x <，()g x 单调递减，当1x >时，'()0,()g x g x >单调递增，()(1)0g x g ∴≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，'()0f x ≥，()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.设()()222314h a a a e a e =+--=+--，则()h a 在[]2,1--上单调递减，在[]1,1-上单调递增，()max ()1h a h e ==-，存在[]2,1a ∈-，使21223f a a e m ⎛⎫-≤+-- ⎪⎝⎭成立，等价于()121f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭.1211122m m ⎧-≤⎪⎪∴⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤.故选：D.【点睛】本题考查了能成立问题，转化为函数的值域问题是解题的关键，得出参数与函数的最值的大小关系.二、填空题13．某社团计划招入女生x 人，男生y 人，若满足约束条件246122312x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩，则该社团今年计划招入的学生人数最多为______． 【答案】9【分析】设z x y =+，作出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义即可求解.【详解】设z x y =+，则y x z =-+，作出约束条件246122312x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩表示的平面区域，如图：z 的最大值，即直线y x z =-+的纵截距的最大值，由图可知，当直线经过点C 时，纵截距最大.612023120x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得36x y =⎧⎨=⎩， 所以z 的最大值为369+=，此时,x y 均为正整数，符合要求. 所以该社团今年计划招入的学生人数最多为9. 故答案为：9 14．若函数33()ln 3f x x x x=-+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角是______． 【答案】2=3πθ 【分析】首先求出导函数，求出()1f '，利用导数的几何意义即可求解.【详解】由3()ln f x x x =+，则()311f x x '=-+， 所以()13f '=- 设切线的倾斜角为θ， 所以tan 3θ= 因为0θπ≤<， 所以2=3πθ. 故答案为：2=3πθ15．设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意实数x 恒有()()0,f x f x --=当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，若()()log xa g x f x =-在(0,)x ∈+∞上有三个零点，则a 的取值范围为_______. 【答案】()3,5【分析】根据函数的周期和奇偶性作出()f x 和log a y x =在(0,)+∞上的图象，根据交点个数列出不等式解出a ． 【详解】解：()()0f x f x --=，()()f x f x ∴=-，()f x ∴是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出()f x 的图象如图所示：()()log a g x f x x =-在(0,)x ∈+∞上有且仅有三个零点，()y f x ∴=和log a y x =的图象在(0,)+∞上只有三个交点，∴31511a a log log a <⎧⎪>⎨⎪>⎩，解得35a <<即()3,5a ∈ 故答案为：()3,5．【点睛】本题考查了零点个数的判断，作出()f x 的函数图象是解题关键．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a +b ）sinB ＝csinC ﹣asinA ，23c =，△ABC 的面积记为S ，则当2S S+取最小值时，ab ＝_____ 46． 【分析】由正弦定理化简已知等式可得a 2+b 2﹣c 2＝﹣ab ，利用余弦定理可求cos C ，可求角C ，进而由题意，利用三角形的面积公式，基本不等式即可求解． 【详解】∵（a +b ）sin B ＝c sin C ﹣a sin A ，∴（a +b ）b ＝c 2﹣a 2，可得a 2+b 2﹣c 2＝﹣ab ，∴cos C 2221222a b c ab ab ab +--===-，∵C ∈（0，π）， ∴C 23π=， ∵△ABC 的面积记为S ，2S S +≥22，当且仅当S 2S=， 即S 122==ab sin C 3=ab 时等号成立，解得此时ab 463=． 故答案为：46． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，还考查了转化思想和运算求解能力，属于中档题．三、解答题17．如图，已知在四棱锥S ﹣AFCD 中，平面SCD ⊥平面AFCD ，∠DAF ＝∠ADC ＝90°，AD ＝1，AF ＝2DC ＝4，2SC SD ==，B ，E 分别为AF ，SA 的中点．（1）求证：平面BDE ∥平面SCF （2）求二面角A ﹣SC ﹣B 的余弦值 【答案】（1）证明见解析（23【分析】（1）通过证明//CF 平面BDE ，//SF 平面BDE ，由此证得平面//BDE 平面SCF .（2）取CD 的中点O ，连结SO ，取AB 的中点H ，连结OH .证得,,OH OS OC 两两垂直，由此建立空间直角坐标系，通过平面ASC 和平面BSC 的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：∵∠DAF ＝∠ADC ＝90°，∴DC ∥AF ， 又B 为AF 的中点，∴四边形BFCD 是平行四边形，∴CF ∥BD ，∵BD⊂平面BDE，CF⊄平面BDE，∴CF∥平面BDE，∵B，E分别是AF，SA的中点，∴SF∥BE，∵BE⊂平面BDE，SF⊄平面BDE，∴SF∥平面BDE，又CF∩SF＝F，∴平面BDE∥平面SCF．（2）取CD的中点O，连结SO，∵△SCD是等腰三角形，O是CD中点，∴SO⊥CD，又平面SCD⊥平面AFCD，平面SCD∩平面AFCD＝CD，∴SO⊥平面AFCD，取AB的中点H，连结OH，由题设知四边形ABCD是矩形，∴OH⊥CD，SO⊥OH，以O为原点，OH为x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，1），∴CA=（1，﹣2，0），CS=（0，﹣1，1），CB=（1，0，0），设平面ASC的法向量m=（x，y，z），则20m CA x ym CS y z⎧⋅=-=⎨⋅=-+=⎩，取y＝1，得m=（2，1，1），设平面BSC的法向量n=（x，y，z），则n CB xn CS y z⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩，取y＝1，得n=（0，1，1），∴cos362m nm nm n⋅===⋅⋅＜，＞，由图知二面角A﹣SC﹣B的平面角为锐角，∴二面角A﹣SC﹣B的余弦值为3．【点睛】本小题主要考查面面平行的证明，考查空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查运算求解能力，属于中档题.18．成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在[]80,100评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在[)60,80评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在[)40,60评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在[)20,40评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如下图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数； （2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的班级中抽取10个班级，再从这10个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和为X ，求X 的分布列与数学期望()E X . 【答案】（1）中位数为70分.（2）见解析，()195E X =【分析】（1）根据频率分布直方图中中位数的计算公式计算即可.（2）先根据分层抽样确定10个班级中优”、“良”、“中”、“差”的班级的人数，再根据奖励小红旗的面数确定X 的可能取值，再根据古典概型概率计算公式求解X 每个取值对应的概率，最后列出分布列求解数学期望.【详解】解：（1）得分[)20,40的频率为0.005200.1⨯=； 得分[)40,60的频率为0.010200.2⨯=； 得分[]80,100的频率为0.015200.3⨯=；所以得分[)60,80的频率为()10.10.20.30.4-++=. 设班级得分的中位数为x 分，于是600.10.20.40.520x -++⨯=，解得70x =. 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分.（2）由（1）知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3，0.4，0.2，0.1.又班级总数为40.于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为12，16，8，4.分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3，4，2，1. 由题意可得X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，6.11122102(1)45C C P X C ===，2112142101(2)9C C C P X C +===，1111132441011(3)45C C C C P X C +===， 2114232104(4)15C C C P X C +===，11432104(5)15C C P X C ===，232101(6)15C P X C ===. 所以X 的分布列为211144117119()12345645945151515455E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==. 所以X 的数学期望()195E X =. 【点睛】本题考查频率分布直方图中中位数的计算，同时也考查了古典概型概率的计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.19．已知数列{}n a 的各项均为正数，且2*2(21)0,n n a na n n N --+=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）*21,n a n n N =+∈；（2）12(21)2n n T n +=+-⋅【解析】分析：（1）由()22210n n a na n --+=得()()2110n n a n a ⎡⎤-+⋅+=⎣⎦，解得21n a n =+或1n a =-，又数列{a n }的各项均为正数，可得a n ．（2）利用错位相减法求解即可. 详解：（1）由()22210n n a na n --+=得()()2110n n a n a ⎡⎤-+⋅+=⎣⎦，所以21n a n =+或1n a =-，又因为数列{}n a 的各项均为正数，负值舍去所以*21,n a n n N =+∈.（2）由()2221nnn n b a n =⋅=⋅+，所以()23232527...221nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅+①()23412232527...221n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅+②由①-②得：()2316222...2221n n n T n +⎡⎤-=-+++-⋅+⎣⎦()()()211121262221222112n n n n n -++-=--⋅+=-+⋅+-所以()12212n n T n +=+-⋅.点睛：考查数列通项的求法和利用错位相减法求和，能正确分解因式递推式求得通项是解题关键.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点23(,)2A -，离心率为22，点12,F F 分别为其左右焦点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥,求四边形PMQN 面积的最小值．【答案】（1）2212x y +=；（2）最小值为42．【详解】试题分析：（1）由题,2b c a c ==，代入点，解得1,c =2a =可得方程；（2）直线MN 斜率不存在时，易得4,22,42MN PQ S ===；直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠，与24y x =联立得()2222240k x k x k -++=，则2224124MN kk ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭244k=+，又直线PQ 的方程为：1(1)y x k =--，与椭圆联立得，222(2)4220k x x k +-+-=，得2222222142222(1)14222k k PQ k k k k-+⎛⎫=+-⋅= ⎪+++⎝⎭，所以四边形PMQN 的面积()2222142(1)22k S MN PQ k k +==+，换元法解得，综上可得四边形PMQN 面积的最小值为42． 试题解析：（1）由题意得：2222,2c e a b c a ==-=，得,2b c a c ==， 因为椭圆过点，则22131,44c c+=解得1,c =所以2a = 所以椭圆C 方程为:2212x y +=（2）当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得4,22,42MN PQ S ===当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠，与24y x =联立得()2222240k x k x k -++=，令1122(,),(,)M x y N x y ，则1212242,1x x x x k +=+⋅=， 2222441244MN k k k ⎛⎫=++-=+ ⎪⎝⎭，∵PQ MN ⊥，∴直线PQ 的方程为：1(1)y x k=--，将直线与椭圆联立得，222(2)4220k x x k +-+-=，令3344(,),(,)P x y Q x y ，2341222422,22k x x x x k k-+=⋅=++， 由弦长公式222222142222(1)1422k k PQ k k k -+⎛⎫=+-⋅= ⎪++⎝⎭， ∴四边形PMQN 的面积()2222142(1)22k S MN PQ k k +==+,令21(1)t k t =+>， 上式()22224242142(1)421(1)11t t S t t t t ===+>-+-- 所以42S ≥42 【解析】直线与圆锥曲线的位置关系． 【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21．已知函数()()211ln 2f x x m x m x =-++，m R ∈，()x e g x x=.（1）求()g x 的极值；（2）若对任意的[]()1212,2,4x x x x ∈≠，当12x x <时，()()()()1212f x f x g x g x -<-恒成立，求实数m 的最大值；（3）若函数()f x 恰有两个不相等的零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）极小值为e ，无极大值；（2）最大值为222e+；（3）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）求出()g x '，讨论其符号后可得其极值.（2）结合（1）的结果可知题设的不等式等价于()()f x g x +为[]2,4上的增函数，利用导数可求实数m 的最大值.（3）先讨论()f x 的单调性，结合零点存在定理可求实数m 的取值范围.【详解】（1）()()21x e x g x x-'=，令()0g x '=，得1x =. 当0x <或1x >时，()0g x '>；当01x <<时，()0g x '<， 故1x =为()y g x =的极小值点，无极大值点， ∵()1g e =，∴()y g x =的极小值为e ，无极大值. （2）由（1）可得()g x 在[]2,4为增函数，∵21x x >，故()()()()1212f x f x g x g x -<-等价于()()()()1221f x f x g x g x -<-，即()()()()1122f x g x f x g x +<+设()()()()21ln 12xe h xf xg x x m x m x x=+=+-++，则()h x 在[]2,4为增函数.∴()2(1)1(1)0x x m e x x e h x x m x m x x x x ⎛⎫--'=-+++=-+≥ ⎪⎝⎭在[]2,4恒成立. ∴xe m x x≤+恒成立.设()x e v x x x =+，∵()2(1)10x e x v x x -'=+>在[]2,4上恒成立 ∴()v x 为增函数，∴()v x 在[]2,4上的最小值为()2222e v =+.∴222e m ≤+，∴m 的最大值为222e +. （3）()(1)()(1)m x x m f x x m x x--'=-++=①当01m <<时，当()0,x m ∈和()1,+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(),1x m ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以()f x 的极大值为()()211ln 2f m m m m m m =-++ 2ln 02m m m m =--+<，所以函数()f x 至多有一个零点，不合题意，舍. ②当1m =时，()()210x f x x-'=≥，()f x 在()0,∞+上单调递增，此时()f x 至多一个零点，不合题意，舍.③当1m 时，当()0,1x ∈和(),m +∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当()1,x m ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以()f x 的极大值为()()1111022f m m =--=--<， 所以函数()f x 至多有一个零点，不合题意，舍.④当0m ≤时，当()0,1x ∈，()0f x '<，()f x 单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递减， 所以()()()min 111122f x f m m ==-+=--，Ⅰ：当()min 102f x m =--≥时，即12m ≤-时，函数()f x 至多一个零点，不合题意，舍. Ⅱ：当102m -<<时，()()()233ln 1ln 22f m m m m m m m m ⎡⎤-=++-=++-⎢⎥⎣⎦，令()311ln ,022S t t t t =+-<<，则()1302S t t '=->， 故()S t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，故()1311ln 2ln 20244S t S ⎛⎫>=--=-< ⎪⎝⎭， 故()31ln 02m m ++-<，所以()0f m ->， 所以存在()1,1x m ∈-，()10f x =，所以函数()f x 在()0,1上有唯一的零点.又()()()()()22222222222112102222e ee e ef e e e m e --+⎛⎫⎛⎫=-+->--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 在()1,+∞上有唯一的零点. Ⅲ：当0m =时，()212f x x x =-，在()0,∞+上仅有零点2x =，舍. 综上所述：实数m 的取值范围为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：（1）函数的极值取决于其导数的符号，一般地，如果在0x x =的左侧附近的导数为负，右侧附近的导数为正，则0x x =为函数的极小值点.（2）导数背景下的零点问题，一般利用函数的单调性和零点存在定理综合判断，取点时注意根据函数解析式的形式取合适点（容易计算方可），必要时可构建新函数再结合导数判断函数值的符号.22．已知直线l的参数方程为422x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点．(1)求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；(2)动点P 在圆C 上(不与A ，B 重合)，试求△ABP 的面积的最大值．【答案】（1）(x －2)2＋y 2＝4；；（2）2＋.【分析】（1）圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程代入圆C 的的直角坐标方程，利用直线参数方程的几何意义，即可求解；（2）要求△ABP 的面积的最大值，只需求出点P 到直线l 距离的最大值，将点P 坐标设为圆方程的参数形式，利用点到直线的距离公式以及三角函数的有界性，即可求解.【详解】(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2－4x ＝0，所以圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2.将直线l 的参数方程代入圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，并整理得t 2＋t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－所以直线l 被圆C 截得的弦AB 的长为|t 1－t 2|＝(2)由题意得，直线l 的普通方程为x －y －4＝0.圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数)， 可设圆C 上的动点P (2＋2cos θ，2sin θ)，则点P 到直线l 的距离d |2cos()4πθ=+，当cos()4πθ+＝－1时，d 取得最大值，且d 的最大值为2.所以S △ABP ＝12××(2)＝2＋即△ABP 的面积的最大值为2＋【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，考查直线参数方程几何意义的应用，以及利用圆的参数方程求最值，属于中档题.23．已知a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=.（1）求证：14116a b c++≥；（2≤【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据“1”的妙用，转化()141141a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式证明；（2）同样是变形后利用基本不等式证明.【详解】（1）∵a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=， 故()141141446b c a c a b a b c a b c a b c a a b b c c⎛⎫++=++++=++++++ ⎪⎝⎭6642416≥+=+++=， 当且仅当14a c ==，12b =时，等号成立，即14116a bc ++≥.（23=332332332153()92222a b c a b c +++++++++⎫≤++===⎪⎝⎭ 当且仅当13a b c ===时，等号成立，≤【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方。
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长春市实验中学2018-2019学年上学期学期初考试高三数学(理)试卷一．选择题:本题共12小题,每小题5分,在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知1－bi1＋2i＝a ＋i （a ，b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于（ ) A ．－4B ．4C ．－10D ．102．下列说法中,正确的是( )A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b "的逆命题是真命题B ．命题“存在x 0∈R ,x 错误!－x 0〉0”的否定是“对任意的x ∈R ,x 2－x ≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x 〉1"是“x 〉2"的充分不必要条件3．如图为某几何体的三视图，则其体积为A ．4π3+B ．π43+C ．24π33+D ．2π43+4．若圆C ：224x y +=上的点到直线l :y x a =+的最小距离为2,则a = ( )A ． 22±B ．222-±C ．224-±D ．42±5.现有2门不同的考试要安排在连续的5天之内进行，每天最多考一门,且不能连续两天有考试，则不同的安排方案有( )A ．6种B ．8种C ．12种D ．16种6.欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元"，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆,中间有边长为1 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是（ )A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!7。
已知定义域为R 的偶函数()f x 在(,0]-∞上是减函数，且(1)2f =，则不等式2(log )2f x >的解集为( ）A 。
(2,)+∞B 。
1(0,)(2,)2+∞C . 2(0,)(2,)2+∞D .(2,)+∞ 8．设m 、n 是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，下列命题是真命题的是( ）A ．若//,//,//m m αβαβ则B ．若//,//,//m m ααββ则C ．若,,m m αβαβ⊂⊥⊥则D ．若,,m m ααββ⊂⊥⊥则9.已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是 ( ）A ．29B ．30C ．31D ．3210.已知⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,20,lg )(x x x x f x ，则函数y ＝2［f （x )］2－3f (x ）＋1的零点个数是( ）A ．3B ．5C ．7D ．811。
已知f （x )＝｜x ＋2｜＋｜x －4|的最小值为n ，则二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1展开式中x 2项的系数为( ）A ．11B ．20C ．15D ．1612。
在C ∆AB 中，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则（ ) A ．a ，b ，c 依次成等差数列 B ．a ,b ，c 依次成等比数列C ．2a ,2b ,2c 依次成等差数列D ．2a ，2b ,2c 依次成等比数列二．填空题：本题共4小题，每小题5分,将正确的答案填在横线上13。
平面向量a 与b 的夹角为60°，()2,0,1a b ==，则2a b +等于______． 14．若,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≥0111y x y x y ,则y x 2+的最小值为15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线310x y ++=垂直,则双曲线的离心率等于______．16。
设n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知12a =, 对任意,p q ∈N *，都有p q p q a a a +=+,则()60(1n S f n n n +=∈+N *）的最小值为______． 三．解答题：本题共6小题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本题共12分）如图，函数f （x )＝3sin 错误!·cos 错误!＋cos 2错误!＋m 的图象过点⎪⎭⎫⎝⎛0,65π (1）求m 的值及f (x ）的单调递减区间;（2）设y ＝f （x )的图象与x 轴、y 轴及直线x ＝t ⎪⎭⎫⎝⎛<<320πt 所围成的曲边四边形的面积为S ,求S 关于t 的函数S (t ）的解析式．18．(本题共12分）某产品按行业生产标准分成6个等级,等级系数ξ依次为1、2、3、4、5、6,按行业规定产品的等级系数ξ≥5的为一等品，3≤ξ<5的为二等品,ξ〈3的为三等品．若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本，数据如下：1 3 1 1 6 3 3 4 12 4 1 2 53 1 2 6 3 1 6 1 2 1 2 2 5 34 5（1）以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产的产品为一等品、二等品和三等品的概率；（2)已知该厂生产一件产品的利润y （单位：元）与产品的等级系数ξ的关系式为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=5,453,23,1ξξξy ，若从该厂大量产品中任取两件,其利润记为Z ,求Z 的分布列和均值．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，22,AD BC ==o 90BAD ABC ∠=∠=．（1)证明：BC PC ⊥;（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为︒30，求二面角D PC B --的余弦值．20.（本小题满分12分）在直角坐标系中,椭圆1C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ，其中2F 也是抛物线2C :24y x =的焦点，点P 为1C 与2C 在第一象限的交点,且25||3PF =．(1）求椭圆的方程；（2）过2F 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M 、N 两点，若线段2OF 上存在定点(,0)T t 使得以TM 、TN 为邻边的四边形是菱形,求t 的取值范围． 21．(本题共12分)若函数f (x ）＝lnx ，g (x )＝x －错误!． （1)求函数φ（x )＝g (x ）－f (x )的单调区间；(2）若对所有的x ∈[e ,＋∞），都有xf （x )≥ax －a 成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23三题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分。
22．选修4-4：坐标系与参数方程(本题共10分）在直角坐标系x y O 中,曲线1C 的参数方程为133x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩(其中θ为参数），点M 是曲线1C 上的动点，点P 在曲线2C 上,且满足2OP =OM ． (1）求曲线2C 的普通方程；（2）以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线3πθ=与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求AB ．23。
选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数()1f x x a x =-+-，R a ∈． (1）当3a =时,解不等式()4f x ≤；（2)当()2,1x ∈-时,()21f x x a >--恒成立，求a 的取值范围．长春市实验中学2018-2019学年上学期阶段测试高三数学(理）试卷三．选择题:本题共12小题，每小题5分,在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案A B A D C D B C C B C C四．填空题：本题共4小题，每小题5分，将正确的答案填在横线上13.2314．2 15．1016。
292四．解答题:本题共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．(本题共12分)解：（1）f （x ）＝错误!sin 错误!cos 错误!＋cos 2错误!＋m ＝错误!sin x ＋错误!cosx ＋错误!＋m ＝m x +++21)6sin(π因为f （x)的图象过点)0,65(π，所以021)665sin(=+++m ππ，解得m ＝－12.所以f(x ）＝)6sin(π+x ，由错误!＋2kπ≤x＋错误!≤3错误!＋2kπ,k∈Z，得34223ππππ+≤≤+k x k k∈Z.故f （x)的单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++342,32ππππk k ，k∈Z. （2)由（1)得f （x ）＝错误!sin x ＋错误!cos x 。
所以dx x t )6sin(0⎰+π=t x 0|)6cos(π+-=23)6cos(++-πt =23)3sin(+-πt )320(π<<t20．（本题共12分）解:(1)由题意在抽取的30件产品中一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件,故该厂生产一等品概率为P 1＝错误!＝错误!，二等品概率为P 2＝错误!＝错误!，三等品概率为P 3＝错误!＝错误!.（2）由题意得：Z 的可能取值为2、3、4、5、6、8，而从该厂大量产品中任取两件取得一等品、二等品、三等品是相互独立的，故:P(Z ＝2)＝错误!×错误!＝错误!，P(Z ＝3)＝2×错误!×错误!＝错误!， P （Z ＝4)＝错误!×错误!＝错误!，P(Z ＝5)＝2×错误!×错误!＝错误!, P （Z ＝6）＝2×错误!×错误!＝错误!,P （Z ＝8)＝错误!×错误!＝错误!。
∴Z 的分布列为Z23 4568P 错误!310错误! 错误! 错误! 错误!∴E（Z ）＝2×14＋3×错误!＋4×错误!＋5×错误!＋6×错误!＋8×错误!＝3.8。