八年级数学下册第9章中心对称图形—平行四边形综合测试卷
2020-2021学年八年级数学苏科版下册第9章《中心对称图形—平行四边形》基础训练卷(三)
八年级下册数学第9章《中心对称图形—平行四边形》基础训练卷（三）一．选择题1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．两组对边分别平行3．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长为（）A．4.8 B．5 C．9.6 D．104．如图，在正方形ABCD中，E位DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC＝60°，则∠EFD的度数为（）A．15°B．10°C．20°D．25°5．如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝10°，则∠AOB′的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°6．如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（）A．15 B．16 C．19 D．207．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（）A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm8．如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（）A．30°B．35°C．40°D．50°9．如图，已知▱ABCD的面积为24cm2，点P是边CD上的一动点，则图中阴影部分的面积为（）A．6cm2B．9cm2C．12cm2D．15cm210．如图，在矩形ABCO中，点B的坐标为（1，3），则AC的长为（）A．3 B．C．D．2二．填空题11．如图，在▱ABCD中，AB＝4cm，BC＝7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝cm．13．如图，平面直角坐标系中，点A、B分别是x、y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD，则OC的最大值为．14．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，M、M′分别是AB、A′B′的中点，若AC＝4，BC＝2，则线段MM′的长为．三．解答题16．如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．17．如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图1，图2中各画一个四边形（所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上）（1）在图1中画四边形ABCD，使其为中心对称图形．（2）在图2中画以A，B，E，F为顶点的平行四边形，且其中一条对角线长等于3．18．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；（2）写出△A1B1C1的顶点坐标；（3）求出△A1B1C1的面积．19．在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论；DA的形状，并说明理由．（2）如图2，当α＝30°时，试判断四边形BC120．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．参考答案一．选择题1．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：D．2．解：A、正确．对角线互相垂直是菱形具有而平行四边形不具有的性质；B、错误．两组对角分别相等，是菱形和平行四边形都具有的性质；C、错误．对角线互相平分，是菱形和平行四边形都具有的性质；D、错误．两组对边分别平行，是菱形和平行四边形都具有的性质；故选：A．3．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝3，∴AB＝5，∴S＝AC•BD＝AB•DH，菱形ABCD∴DH＝＝4.8．故选：A．4．解：∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，∴CE＝CF，∠DFC＝∠BEC＝60°，∠EFC＝45°，∴∠EFD＝60°﹣45°＝15°．故选：A．5．解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝10°，∴∠AOB′＝∠A′OA﹣∠A′OB′＝45°﹣10°＝35°，故选：C．6．解：如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形的宽都是3，∴AE＝AF＝3，＝AE•BC＝AF•CD，∵S四边形ABCD∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形．如图2，当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，，设AB＝BC＝x，则BE＝9﹣x，∵BC2＝BE2+CE2，∴x2＝（9﹣x）2+32，解得x＝5，∴四边形ABCD面积的最大值是：5×3＝15．故选：A．7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC；又∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∴AB＝2OE＝2×3＝6（cm）故选：B．8．解：∵CC′∥AB，∠CAB＝75°，∴∠C′CA＝∠CAB＝75°，又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝30°．故选：A．9．解：如图，作PE⊥AB于点E，S△ABP ＝AB•PE＝S平行四边形，∵▱ABCD的面积为24cm2，∴△ABP的面积为12cm2，∴阴影部分的面积为12cm2，故选：C．10．解：连接OB，过B作BM⊥x轴于M，∵点B的坐标是（1，3），∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB＝，∵四边形OABC是矩形，∴AC＝OB，∴AC＝，故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠CFE，∵∠ABC的平分线交AD于点E，∴∠ABE＝∠CBF，∴∠CBF＝∠CFB，∴CF＝CB＝7cm，∴DF＝CF﹣CD＝7﹣4＝3cm，故答案为：3cm．12．解：∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴AB＝2CD，∵CD＝6cm，∴AB＝12cm，∵E、F分别是BC、CA的中点，∴EF＝AB＝6cm，故答案为：6．13．解：如图，取AB的中点E，连接OE、CE，则BE＝×2＝1，在Rt△BCE中，由勾股定理得，CE＝＝，∵∠AOB＝90°，点E是AB的中点，∴OE＝BE＝1，由两点之间线段最短可知，点O、E、C三点共线时OC最大，∴OC的最大值＝+1．故答案为：+1．14．解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两张纸条的宽度都是3，＝AB×3＝BC×3，∴S四边形ABCD∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ABC＝60°，∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，∴AB＝2BE，在△ABE中，AB2＝BE2+AE2，即AB2＝AB2+32，解得AB＝2，＝BC•AE＝2×3＝6．∴S四边形ABCD故答案是：6．15．解：如图，连接MC，M'C，∵AC＝4，BC＝2，∴AB＝＝＝2，∵M是AB的中点，∴CM＝AB＝，∵Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到Rt△A′B′C，∴∠A′CM′＝∠ACM，∵∠ACM+∠MCB＝90°，∴∠MCB+∠BCM′＝90°，又∵CM＝C′M′，∴△CMM′是等腰直角三角形，∴MM′＝CM＝，故答案为：．三．解答题（共5小题）16．证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH＝30°，∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠HDC＝45°，∴DC＝DH＝DF＝6，∴DF＝2，∴菱形BEDF的边长为2．17．解：（1）如图1，四边形ABCD为所作；（2）如图2，四边形ABEF为所作．18．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）点A 1（2，﹣1）、B 1（4，﹣5）、C 1（5，﹣2）；（3）S △A 1B 1C 1＝3×4﹣×1×3﹣×2×4﹣×1×3＝5．19．解：（1）BE ＝BF ．理由如下：∵AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C ，∵△ABC 绕点B 顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A 1BC 1， ∴AB ＝BC ＝BC 1，∠A ＝∠C ＝∠C 1，∠ABE ＝∠C 1BF ， 在△ABE 和△C 1BF 中，∴△ABE ≌△C 1BF ，∴BE ＝BF（2）四边形BC 1DA 是菱形．理由如下：∵AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，∴∠A ＝∠C ＝30°，∴∠A 1＝∠C 1＝30°，∵∠ABA 1＝∠CBC 1＝30°，∴∠ABA 1＝∠A 1，∠CBC 1＝∠C ，∴A1C1∥AB，AC∥BC1，∴四边形BC1DA是平行四边形．又∵AB＝BC1，∴四边形BC1DA是菱形．20．解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋转角的度数为60°；②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝60°，∴△OBD为等边三角形；∴OD＝OB＝4；③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD＝OB，∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2+2OB2＝OC2，∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．。
2020-2021学年苏科 版八年级下册数学 第9章 中心对称图形——平行四边形 单元测试卷
2020-2021学年苏科新版八年级下册数学《第9章中心对称图形——平行四边形》单元测试卷一．选择题1．经过矩形对称中心的任意一条直线，把这个矩形分成两部分，设这两部分的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不能确定2．下列判断四边形是平行四边形的是（）A．两组角相等的四边形B．对角线平分的四边形C．一组对边相等，一组对角相等的四边形D．两组对边分别相等的四边形3．四边相等的四边形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判定4．等腰三角形中有一条边长为4，其三条中位线的长度总和为8，则底边长是（）A．4B．8C．4或6D．4或85．如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF，MN相交于中心点O，对三角形ABC分别作下列变换：①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格．②先以点O为中心作其中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°．③先以直线MN为轴作其轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°．其中变换后的图形为三角形PQR的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③6．按图中所示的排列规律，在空格中应填（）A．B．C．D．7．下列这些美丽的图案都是在“几何画板”软件中利用旋转的知识在一个图案的基础上加工而成的，每一个图案都可以看作是它的“基本图案”绕着它的旋转中心旋转得来的，旋转的角度为（）A．30°B．60°C．120°D．180°8．观察下列图形，其中是旋转对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图所示的图案中，能够绕自身的某一点旋转180°后还能与自身重合的图形的个数是（）A．1B．2C．3D．410．有两个内角分别为90°，60°，30°的完全一样的三角形拼成四边形，其形状不同的有（）A．2个B．3个C．4个D．6个二．填空题11．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2.4，BC＝3.6，AD⊥BC于点D，E，F分别是AB，AC的中点，则EF＝，DE＝，DF＝．12．根据两条对角线的关系判断一个四边形是矩形或菱形或正方形的必不可少的条件是．13．矩形的两邻边分别为8cm和6cm，则其对角线为cm，矩形面积为cm2．14．（1）若直角三角形斜边上的高和中线分别为10cm、12cm，则它的面积为cm2．（2）已知等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角为．15．如图，在▱ABC D中，E是AB上一点，F是AB延长线上一点，则S△CDE S△CDF（在横线上填“＜”或“＞”或“＝”）．16．一般来说，反证法有如下三个步骤：（1），（2）（3）．17．国旗上的五角星是旋转对称图形，它的最小旋转角是．18．如图，已知四边形ABCD是一个平行四边形，则只须补充条件，就可以判定它是一个菱形．19．如果▱ABCD和▱ABE F有公共边AB，那么四边形DCEF是．20．等边三角形、平行四边形、矩形、圆四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是．三．解答题21．如图所示，已知DE，EF是△ABC的两条中位线．求证：四边形BFED是平行四边形．22．怎样将图中的甲图案变成乙图案．23．如图，说出这个图形的旋转中心，它绕旋转中心至少旋转多大角度才能与原来图形重合？24．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，DF⊥AE于点F，H为DF的中点，证明：CH⊥DF．25．如图，在平面直角坐标系中，有一个平行四边形ABCD，其中点A，B在x轴上，点D 在y轴上，点C在第一象限．已知AD⊥BD，AD＝4，∠ABD＝30°，求A，B，C，D 各点的坐标．26．如图所示，已知正方形ABCD的边长是7，AE＝BF＝CG＝DH＝2（1）四边形EFGH的形状是；（2）求出四边形EFGH的面积；（3）求出四边形EFGH的周长（结果精确到十分位，参考数值：≈1.703，）27．有一组数排成方阵，如图所示，试计算这组数的和．小明想了想，方阵象正方形，正方形是轴对称图形，又是中心对称图形，能否利用轴对称和中心对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小明试了试，竟得到了非常巧妙的方法，你能试试看吗？1234523456345674567856789参考答案与试题解析一．选择题1．解：矩形ABCD中，AD＝BC，AO＝BO＝CO＝DO，∴△AOD≌△BOC（SSS），∵∠ECO＝∠FAO，OA＝OC，∠EOC＝∠FOA，∴△OEC≌△OFA，同理可证，△DEO≌△BFO，∴S1＝S2．故选：C．2．解；根据平行四边形的判定可知，A、B、C不能判定为平行四边形．故选：D．3．解：根据菱形的判定：四边相等的四边形是菱形．故选：B．4．解：由题意得，周长＝2×8＝16，①当底边＝4时，此时腰长＝6，符合题意；②当腰长＝4时，此时底边＝8，4+4＝8，不能构成三角形，不符合题意．综上可得，底边长为4．故选：A．5．解：①通过认真的画图可知，此方法可以将△ABC变换成△PQR，故此方法正确，②通过认真的画图可知，此方法可以将△ABC变换成△PQR，故此方法正确，③通过认真的画图可知，此方法可以将△ABC变换成△PQR，故此方法正确，故选：D．6．解：观察图形，发现：图形绕三角形的中心按顺时针方向转动90°．故选：A．7．解：第一个图案可以看作是它的“基本图案”绕着它的旋转中心旋转90°得到；第二个图案可以看作是它的“基本图案”绕着它的旋转中心旋转90°得到；第三个图案可以看作是它的“基本图案”绕着它的旋转中心旋转90°得到；第四个图案可以看作是它的“基本图案”绕着它的旋转中心旋转90°得到．上述选项中只有180°是90°的整数倍．故选：D．8．解：旋转对称图形是（1），（3），（4）；不是旋转对称图形的是（2）．故选：C．9．解：4个图形都符合条件．故选D．10．解：根据平行四边形的基本性质：平行四边形的两组对角分别相等，可知角分别为，（1）90°，90°，90°90°；（2）120°，60°，120°，60°；（3）150°，30°，150°，30°；不是平行四边形的四边形为（4）60°，90°，120°，90°．共4种，故选：C．二．填空题11．解：如图∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝BC＝1.8；∵AD⊥BC，E是AB的中点，∴DE＝AB＝2；同理可得DF＝AC＝1.2．12．解：∵矩形、菱形、正方形的对角线都具有平分的性质，则根据两条对角线的关系判断一个四边形是矩形或菱形或正方形的必不可少的条件是平分．故答案为平分．13．解：矩形的对角线为＝10cm，面积S＝6×8＝48cm2故答案为10，48．14．解：（1）∵直角三角形斜边上的中线为12cm，∴斜边＝2×2＝24cm，∴它的面积＝×24×10＝120cm2；（2）∵等腰三角形的一个外角为100°，∴与这个外角相邻的内角是180°﹣100°＝80°，若80°角是顶角，则顶角为80°，若80°角是底角，则顶角为180°﹣80°×2＝20°，所以，这个等腰三角形的顶角为80°或20°．故答案为：（1）120；（2）80°或20°．15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴AB和CD之间的距离处处相等，即S△CDE ＝S△CDF，故答案为：＝．16．解：反证法有如下三个步骤：（1）提出反证，（2）推出矛盾，（3）肯定结论．17．解：∵360°÷5＝72°，∴该图形绕中心至少旋转72度后能和原来的图案互相重合．故答案为：72°．18．解：补充的条件是AB＝BC，理由是：∵AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：AB＝BC．19．解：由题意可得：AB平行且等于CD，AB平行且等于EF∴CD平行且等于EF，又∵两个平行四边形在同一平面∴四边形DCEF是平行四边形．故答案为：平行四边形．20．解：矩形、圆即是轴对称图形，又是中心对称图形．故答案为：矩形、圆．三．解答题21．证明：∵DE，EF是△ABC的两条中位线．∴DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BFED是平行四边形．22．解：步骤：（1）将图甲绕O点逆时针旋转一定角度，使树干与地面垂直．（2）接着将图（1）向右平移至与图乙重合即可．23．解：这个图形的旋转中心为圆心；∵360°÷6＝60°，∴该图形绕中心至少旋转60度后能和原来的图案互相重合．24．证明：延长AE、DC交于点P，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠PCE，∵BE＝CE，∠AEB＝∠PEC，∴△ABE≌△PCE（ASA），∴PC＝AB＝CD，∵H为DF的中点，∴CH是△PDF的中位线，∴CH∥AE，∵DF⊥AE，∴CH⊥DF．25．解：∵在直角△ABD中，∠ABD＝30°，∴AB＝2AD＝8，又∵直角△ABD中，OD⊥AB，∴∠ADO＝∠ABD＝30°，在直角△AOD中，AO＝AD＝2，OD＝AD•cos30°＝4×＝2，则OB＝AB﹣0A＝8﹣2＝6，则A的坐标是（﹣2，0），B的坐标是（6，0），C的坐标是（8，2），D的坐标是（0，2）．26．解：（1）四边形EFGH是正方形，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝7，∵AE＝BF＝CG＝DH＝2，∴AH＝DG＝CF＝BE＝5，∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE（SAS），∴EH＝EF＝FG＝HG，∠AHE＝∠DGH，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠DGH+∠DHG＝90°，∴∠AHE+∠DHG＝90°，∴∠EHG＝180°﹣90°＝90°，∴四边形EFGH是正方形，故答案为：正方形．（2）在Rt△AEH中，AE＝2，AH＝5，由勾股定理得：EH＝＝，∵四边形EFGH是正方形，∴EF＝FG＝GH＝EH＝，∴四边形EFGH的面积是（）2＝29．（3）四边形EFGH的周长是×4＝4≈4×5.39≈21.6．27．解：∵（1+9）+（2+8）+（3+7）+（4+6）+…+（8+2）+（3+7）+（4+6）+（5+5）+（6+4）+5＝10×12+5＝120+5＝125∴这组数和为125．。
苏教版八年级下册 第9章：中心对称图形～平行四边形重难点题型训练 【含答案】
苏教版八年级下册第9章：中心对称图形——平行四边形重难点题型训练1．如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）如图2，延长BC和DE相交于点G，不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的平行四边形．（除四边形ABCD和四边形OCED外）2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且2DE＝AC，连接AE交OD于点F，连接DE、OE．（1）求证：AF＝EF；（2）已知AB＝2，若AB＝2DE，求AE的长．3．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BC到点E，使BE＝CD，连接AE交CD 于点F．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．4．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，EF∥BC．（1）求证：CD＝EF；（2）已知∠ABC＝60°，连接BE，若BE平分∠ABC，CD＝6，求四边形BDEF 的周长．5．（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．6．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝，求▱ABCD的面积．7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6），E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH．（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH是正方形；（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标．8．如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，所围成的四边形EFGH显然是平行四边形．（1）当四边形ABCD分别是菱形、矩形、平行四边形时，相应的四边形EFGH一定是“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：四边形ABCD菱形矩形平行四边形四边形EFGH （2）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？当 时，四边形EFGH是矩形；当 时四边形EFGH是菱形．9．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分别是点M、N（1）求证：AE＝MN；（2）若AE＝2，∠DAE＝30°，求正方形的边长．10．如图，△ABC≌△DBC，AD平分∠BAC，AD交BC于点O．（1）如图1，求证：四边形ABDC是菱形；（2）如图2，点E为BD边的中点，连接AE交BC于点F，若∠AFO＝∠ADC，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图2中所有长度是线段EF长度的偶数倍的线段．11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．（1）若PE⊥BC，求BQ的长；（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．12．已知：正方形ABCD，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O．（1）若BF⊥AE，①求证：BF＝AE；②连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明；（2）若正方形的边长为4，且BF＝AE，求BO的长．13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠ADC，E，F分别为AD，CD的中点，连接BE，BF，延长BE交CD的延长线于点M．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若MD＝6，BC＝12，求BF的长度．（结果可保留根号）14．在矩形ABCD中，点E，点F为对角线BD上两点，DE＝EF＝FB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AE⊥BD，AF＝2，AB＝4，求BF的长度．15．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．（1）求证：△AEF≌△DEC；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD＝90°，OC＝AC，∵DE＝AC，∴OC＝DE，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∴四边形OCED是矩形，∴OE＝CD；（2）图中所有的平行四边形有：四边形AOED，四边形ACGD，四边形OBCE．由AO DE可得四边形AOED是平行四边形；由AC∥DG，AD∥CG可得四边形ACGD是平行四边形；由OE∥BC，OB∥CE可得四边形OBCE是平行四边形．2．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC，∵2DE＝AC，∴DE＝OA，又∵DE∥AC，∴四边形OADE是平行四边形，∴AF＝EF；（2）解：连接CE，∵DE∥OC，DE＝OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形，∴∠OCE＝90°，又∵AB＝2DE＝AC，∴△ABC为等边三角形，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，AO＝AC＝1，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝，∴在Rt△ACE中，AE＝＝．3．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BE，∴∠DAE＝∠E，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠E，∴AB＝BE，∴∠BAE＝∠E，∴∠BAE＝∠DAE，∴AE平分∠BAD；（2）解：由BE＝AB，∠BEA＝60°，∴△ABE为等边三角形，∴AB＝AE＝4，又∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝2，∴BF＝＝2，∵∠DAE＝∠E，AF＝EF，∠AFD＝∠CFE，∴△ADF≌△ECF（ASA），∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝×4×2＝4．4．（1）证明：∵DE∥AB，EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形，∴EF＝BD，∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD，∴CD＝EF；（2）解：∵BE平分∠ABC，∴∠FBE＝∠DBE，又∵四边形BDEF是平行四边形，∴BD＝EF，BF＝ED，EF∥BD，∴∠FEB＝∠DBE，∴∠FBE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴BD＝EF＝BF＝ED，又∵BD＝CD＝6，∴BD＝EF＝BF＝ED＝6，∴四边形BDEF的周长＝6×4＝24．5．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，如图①：延长BA，使AM＝CF，连接MD，在△AMD和△CFD中，，∴△AMD≌△CFD（SAS），∴∠MDA＝∠CDF，MD＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠ADE+∠FDC＝45°，∴∠ADM+∠ADE＝45°＝∠MDE，∴∠MDE＝∠EDF，在△EDF和△EDM中，，∴△EDF≌△EDM（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝AM+AE＝AE+CF，∴EF＝AE+CF；（2）EF2＝AE2+CF2，理由如下：如图②，将△CDF绕点D顺时针旋转90°，可得△ADN，由旋转的性质可得DN＝DF，AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°，∠CDF＝∠ADN，∴∠CAN＝∠CAD+∠DAN＝90°，∴EN2＝AE2+AN2，∵∠EDF＝45°，∴∠CDF+∠ADE＝45°，∴∠ADE+∠ADN＝45°＝∠NDE＝∠EDF，在△EDF和△EDN中，，∴△EDF≌△EDN（SAS），∴EF＝EN，∴EF2＝AE2+CF2．6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF．∴四边形ABEF是菱形．（2）作FG⊥BC于G，∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，∴BE＝＝5，∵S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，∴GF＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝（BE+EC）•GF＝（5+）×＝36．7．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAO＝∠AOC＝90°，∵E（0，2），H（﹣2，6），∴AH＝OE＝2，∵四边形EFGH是菱形，∴EH＝EF，在Rt△AHE和Rt△OEF中，，∴Rt△AHE≌Rt△OEF，∴∠AEH＝∠EFO，∵∠EFO+∠FEO＝90°，∴∠AEH+∠FEO＝90°，∴∠HEF＝90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．（2）连接EG交FH于K．∵HE＝EF，∴AH2+AE2＝EO2+OF2，∴AH2+16＝4+25，∴AH＝，∴H（﹣，6），∵KH＝KF，∴K（﹣，3），∵GK＝KE，∴G（﹣5﹣，4）．8．解：（1）四边形ABCD是菱形时，平行四边形EFGH是矩形，四边形ABCD是矩形时，平行四边形EFGH是菱形，四边形ABCD是平行四边形时，四边形EFGH是平行四边形；故答案为：矩形；菱形；平行四边形；（2）当平行四边形是矩形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线互相垂直，当平行四边形是菱形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线相等．故答案为：对角线互相垂直（AC⊥BD）；对角线相等（A C＝BD）．9．（1）证明：连接EC．∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，∴∠NCM＝∠CME＝∠CNE＝90°，∴四边形EMCN为矩形．∴MN＝CE．又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABE＝∠CBE．在△ABE和△CBE中∵，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴AE＝EC．∴AE＝MN．（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，∵AE＝2，∠DAE＝30°，∴EF＝AE＝1，AF＝AE•cos30°＝2×＝．∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠EDF＝45°，∴DF＝EF＝1，∴AD＝AF+DF＝+1，即正方形的边长为+1．10．（1）证明：∵△ABC≌△DBC，∴AB＝BD，AC＝CD，∴∠BAD＝∠BDA，∠CAD＝∠CDA，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∠ADC＝∠ADC，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC，∴AB＝AC，∴AB＝BD＝CD＝AC，∴四边形ABCD是菱形．（2）解：∵∠AFO＝∠ADC＝∠ADB，又∵∠AFO+∠EFO＝180°，∴∠EFO+∠EDO＝180°，∴∠FED+∠FOD＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AD⊥BC，∴∠FEO＝∠FOD＝90°，∵BE＝ED，∴AB＝AD，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠EBF＝∠ABD＝30°，在Rt△BEF中，BF＝2EF，∵∠FBA＝∠FAB＝30°，∴FA＝FB，在Rt△AFC中，CF＝2AF＝4EF，综上所述，长度是线段EF长度的偶数倍的线段有BF，AF，CF．11．解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示：∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴∠C＝45°＝∠B，∴AB＝AC，∴BM＝CM，∴AM＝BC＝5，∵AD∥BC，∴∠PAN＝∠C＝45°，∵PE⊥BC，∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，∴5﹣t＝2t﹣2，解得：t＝，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×＝；（2）存在，t＝4或12；理由如下：若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP＝BE，∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10解得：t＝4或12∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12．12．解：（1）①如图1①，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵BF⊥AE，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BF＝AE；②OD＝AB．证明：延长AD，交射线BM于点G，如图1②，∵△ABE≌△BCF，∴BE＝CF．∵E为BC的中点，∴CF＝BE＝BC＝DC，∴CF＝DF．∵DG∥BC，∴∠DGF＝∠CBF．在△DGF和△CBF中，，∴△DGF≌△CBF，∴DG＝BC，∴DG＝AD．∵BF⊥AE，∴OD＝AG＝AD＝AB；（2）①若点F在CD上，如图2①，在Rt△ABE和Rt△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠AOB＝90°．∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，∴AE＝＝2．∵S△ABE＝AB•BE＝AE•BO，∴BO＝＝＝．②若点F在AD上，如图2②，在Rt△ABE和Rt△BAF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），∴∠BAE＝∠ABF，∴OB＝OA．∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，∴∠AEB＝∠EBF，∴OB＝OE，∴OA＝OB＝OE．∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，∴AE＝＝2，∴OB＝AE＝．综上所述：BO的长为或．13．（1）证明：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC＝180°，∵∠A＝∠ADC，∴∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠M，∵E为AD的中点，∴AE＝DE．在△ABE和△DME中，∴△ABE≌△DME（AAS），∴AB＝DM＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝DM＝6，∠C＝90°，∵F为CD的中点，∴CF＝CD＝3，在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF＝＝＝3．14．（1）证明：连接AC，交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OC，OB＝OD，∵DE＝FB，∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：∵DE＝EF＝BF，AE⊥BD，∴AD＝AF＝2，∴BD＝＝＝2，∴BF＝BD＝．15．证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（AAS）；（2）当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形；∵△AEF≌△DEC，∴AF＝CD，∵AF＝BD，∴CD＝BD；∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AFBD是矩形．。
苏科版八年级下册第九章《中心对称图形——平行四边形》单元测试考试试卷(无答案)
苏科版八年级下学期第九章《中心对称图形——平行四边形》单元测试试卷2018．4一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内）1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A B C D2．下列命题中假命题是A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C ．一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形D ．一组对边平行一组对边相等的四边形是平行四边形3．如图，点A 、B 、C 、D 、O 都在方格纸的格点上，若△COD 是由△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为A ．30°B ．45°C ．90°D ．135°4．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为A ．1B ．34C ．23 D ．2 5．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°第3题 第4题 第5题6．在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，那么∠EAF 的度数为A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°7．如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边形分为九个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为100cm²，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为20 cm²，则四边形ABDC 的面积是A ．40 cm²B ．60 cm²C ．70cm²D ．80 cm²8．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，E 、F 分别是AB ，AD 的中点，DE 、BF 相交于点G ，连接BD ，CG ，有下列结论：①∠BGD ＝120°；②BG ＋DG ＝CG ；③△BDF ≌△CGB ；④S △ABD ＝2AB 43． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个第7题 第8题 第9题9．如图，在矩形AOBC 中，点A 的坐标是（﹣2，1），点C 的纵坐标是4，则B 、C 两点的坐标分别是A ．（23，3）、（32-，4） B ．（23，3）、（21-，4） C ．（47，27）、（32-，4） D ．（47，27）、（21-，4） 10．如图所示，边长为1的正方形EFGH 在边长为3的正方形ABCD 所在平面上移动，始终保持EF ∥AB ，线段CF 的中点为M ，DH 的中点为N ，则线段MN 的长为A ．217B ．210 C ．317 D ．1032 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）11．连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形EFGH ，还要添加 ▲ 条件，才能保证四边形EFGH 是矩形．12中，AB＝5cm ，AD ＝8cm ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF ＝ ▲ cm ．第13题 第14题 第15题第10题13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，延长BC到点F ，使CF ＝21BC ，若AB ＝10，则EF 的长是 ▲ ． 14．如图，正方形ABCD 的面积为16，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线BD 上有一点P ，使PC ＋PE 的和最小，则这个最小值为 ▲ ．15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点B 的坐标为（8，4），则C 点的坐标为 ▲ ．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝10cm ，点P 从点B 出发，沿BA 方向以每秒2cm 的速度向终点A 运动；同时，动点Q 从点C 出发沿CB 方向以每秒1cm 的速度向终点B 运动，将△BPQ 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′，设Q 点运动的时间为t 秒，当四边形QPBP ′为菱形时t 的值为 ▲ ．17．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠后得到△AFE ，且点F 在矩形ABCD 内部，将AF 延长交边BC 于点G ，若GB CG ＝k 1，则ABAD ＝ ▲ （用含k 的代数式表示）．18．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y ＝x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y ＝x 于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图），在旋转正方形OABC 的过程中，△MBN 的周长为 ▲ ．第16题 第17题 第18题三、解答题（本大题共7小题，共54分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题满分6分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标是（0，7），且AB ＝25．△AOB 绕某点旋转180°后，点C （36，9）是点B 的对应点．（1）求出△AOB 的面积；（2）写出旋转中心的坐标；（3）作出△AOB 旋转后的三角形．如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：DB＝CF；（2）如果AC＝BC，试判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论．21．（本题满分9分）如图，直线l与坐标轴分别交于A、B两点，∠BAO＝45°，点A坐标为（8，0），动点P从点O出发，沿折线段OBA运动，到点A停止；同时动点Q也从点O出发，沿线段OA运动，到点A停止；它们的运动速度均为每秒1个单位长度．（1）求直线AB的函数关系式；（2）若点A、B、O与平面内点E组成的图形是平行四边形，请直接写出点E的坐标；（3）在运动过程中，点P、Q的距离为2时，求点P的坐标．22．（本题满分7分）D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，O是平面上的一动点，连接OB、OC，G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、E、F、G．（1）如图1，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若点O在△ABC外，其余条件不变，点O的位置应满足什么条件，能使四边形DEFG是菱形？请在图2中补全图形，并说明理由．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．（1）求证：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；（2）求△FGC的面积．24．（本题满分8分）已知：如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺60°角的顶点与点A重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．（1）如图1，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F，求证：CE ＋CF＝AB；（2）如图2，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F，写出此时CE、CF、AB长度之间关系的结论．（不需要证明）25．（本题满分10分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1中，若AB＝1，BC＝2为1阶准菱形．（1）判断与推理：①邻边长分别为2和3的平行四边形是▲ 阶准菱形；②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE，请证明四边形ABFE是菱形．（2）操作、探究与计算：的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a＝6b＋r，b＝5r，是几阶准菱形．。
(完整版)第9章中心对称图形—平行四边形测试题含答案
第9章 中心对称图形—平行四边形 测试题一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（2015年汕尾）下列命题中正确的是（ ）A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形2．如图1，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DCE ，连接AD ，下列条件能够判定四边形ACED 为菱形的是（ ）A ．AB ＝BC B ．AC ＝BC C ．∠B ＝60°D ．∠ACB ＝60°3．如图2，DE 是△ABC 的中位线，若AD ＝4，AE ＝5，BC ＝12，则△ADE 的周长是（ ） A ．7.5 B ．30 C ．15 D ．24 4．如图3，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 的度数为（ ） A. 50° B ．60° C ．70° D ．80°5．如图4，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作EF ⊥AC 交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AECF 是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．无法确定 6．如图5，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，连接DE ，BF ，CE ，AF ，正方形ABCD 的面积为1，则阴影部分的面积为（ ）A ．21 B ．31 C ．41D ．517. 用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形.一定能拼成的图形是（ ） A. ①④⑤ B. ②⑤⑥ C. ①②③ D. ①②⑤8．如图6，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，折痕为BE ，若沿EF 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ） A ．邻边相等的矩形是正方形 B ．对角线相等的菱形是正方形 C ．两个全等的直角三角形构成正方形 D ．轴对称图形是正方形9．如图7，把一个矩形纸片对折两次，然后沿虚线剪下一个角，为了得到一个内角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（）A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°10．如图8，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，若AE＝1，DE＝3，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（）A．3 B．6 C．33D．43二、填空题（每小题4分，共32分）11．在□ABCD中，若添加一个条件：＿＿＿＿，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件：＿＿＿＿，则四边形ABCD是菱形．12．如图9，矩形ABCD内有一点E，连接AE，DE，CE，若AD＝ED＝EC，∠ADE ＝20°，则∠AEC的度数为＿＿＿＿．13．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若菱形ABCD的面积为48 cm2，且AE=6 cm，则AB的长为_________．14. 如图10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为_________．15. （2015年赤峰）如图11，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，请你只添加一个条件：____________，使得四边形BDFC 为平行四边形．16. 如图12，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形E FGH的面积为_________.17. 如图13，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10 cm，AD＝8 cm，AC⊥BC，则OB的长为_________cm.18．如图14，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________．三、解答题（共58分）19．（8分）如图15，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，P是AC的中点．求证：∠BDP＝∠DBP．20．（8分）如图16，在直线MN上和直线MN外分别取点A，B，过线段AB的中点O作CD∥MN，分别与∠MAB与∠NAB的平分线相交于点C，D．求证：四边形ACBD是矩形．21．（10分）如图17，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．求证：（1）△AE D≌△CFD；（2）四边形ABCD是菱形．22. （10分）如图18，在□ABCD中，BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，E在AD上，BE＝12，CE＝5．求□ABCD的周长和面积．23．（10分）如图19，在△ACD中，∠ADC＝90°，∠ADC的平分线交AC于点E，EF⊥AD交AD于点F，EG⊥DC交DC于点G，请你说明四边形EFDG是正方形．24．（12分）如图20，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于点Q．（1）求证：四边形PBQD为平行四边形．（2）若AB＝3 cm，AD＝4 cm，P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D匀速运动，设点P的运动时间为t s，问：四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．附加题（15分，不计入总分）以四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E ，F ，G ，H ，顺次连接这四个点，得到四边形EFGH ．（1）如图①，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 也是正方形；如图②，当四边形ABCD 为矩形时，请判断四边形EFGH 的形状（不要求证明）．（2）如图③，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC ＝α（0°＜α＜90°）． ①试用含α的代数式表示∠HAE ； ②求证：HE=HG .③四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由．参考答案一、1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．C 7. D 8．A 9．D 10．D二、11．答案不唯一，如∠ADC ＝90° AB ＝BC 12．120° 13．8 cm 14．4.8 15. 答案不唯一，如BD ∥FC ，或BC=DF ，或DE=CE 16. 12 17.73 18．35三、19．证明：因为∠ABC ＝∠ADC ＝90°，点P 是AC 的中点，所以BP ＝21AC ，DP ＝21AC ．所以BP ＝DP ．所以∠BDP ＝∠DBP ． 20．证明：因为AD 平分∠BA Ｎ，所以∠DA Ｎ＝∠BAD ．因为CD ∥ＭＮ，所以∠CDA ＝∠DA Ｎ．所以∠BAD ＝∠CDA ．所以DO ＝AO ．同理，CO ＝AO ．所以CO ＝DO ．又AO ＝BO ，所以四边形ACBD 是平行四边形．因为AC ，AD 均为角平分线，所以∠CAD ＝90°，所以平行四边形ACBD 是矩形． 21．证明：（1）因为DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，所以∠AED ＝∠CFD ＝90°．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠A ＝∠C ．又DE ＝DF ，所以△AED ≌△CFD ．（2）因为△AED ≌△CFD ，所以AD ＝CD ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以四边形ABCD 是菱形．22．解：因为BE ，CE 分别平分∠AB C ，∠BCD ，所以∠EBC=21∠ABC ，∠ECB=21∠DCB. 因为AB ∥CD ∠DCB=180°. 所以∠EBC+∠ECB=21（∠ABC+∠DCB ）=90°. 所以△EBC 是直角三角形.因为BE ＝12，CE ＝5，由勾股定理，得BC=13. 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC. 所以∠DE C=∠ECB.因为∠ECD=∠ECB ，所以∠DEC=∠ECD. 所以DE=CD. 同理，AB=A E.所以AB+CD=AE+DE=AD=BC=13.所以□ABCD 的周长为AB+BC+CD+DA=13+13+13=39． 过点E 作BC 所以S △EBC =21BC·EH=21BE·CE=21×12×5=30. 所以□ABCD 的面积为BC·EH=2×30=60.23．解：因为∠ADC ＝90°，EF ⊥AD ，EG ⊥CD ，所以四边形EFDG 是矩形． 又DE 平分∠ADC ，所以EF ＝EG ．所以四边形EFDG 是正方形. 24．（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以A D ∥BC ，OD ＝OB ．所以∠PDO ＝∠QBO ．又∠POD ＝∠QOB ，所以△POD ≌△QOB ．所以OP ＝OQ ．所以四边形PBQD 为平行四边形．（2）解：能．由题意，知AP ＝t cm ，PD ＝（4－t ） cm ．当PB ＝PD ＝（4－t ） cm 时，四边形PBQD 是菱形．因为四边形ABCD 是矩形，所以∠BAP ＝90°．在Ｒt △ABP 中，AP 2＋AB 2＝PB 2，即t 2＋32＝（4－t ）2．解得t ＝87．所以当点P 的运动时间为87s 时，四边形PBQD 是菱形．附加题（1）解：四边形EFGH 是正方形． （2）①解：在□ABCD 中，AB ∥CD ，所以∠BAD ＝180°-∠ADC ＝180°－α．因为△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角形，所以∠HAD ＝∠EAB ＝45°． 所以∠HAE ＝360°－∠HAD －∠EAB －∠BAD ＝360°－45°－45°－（180°－α）＝90°＋α．②证明：因为△AEB 和△DGC 都是等腰直角三角形，所以AE ＝22AB ，DG ＝22CD ．在□ABCD 中，AB ＝CD ，所以AE ＝DG ．因为△HAD 和△GDC 都是等腰直角三角形，所以∠HDA ＝∠CDG ＝45°．所以∠HDG ＝∠HDA ＋∠ADC ＋∠CDG ＝45°＋α＋45°＝90°＋α＝∠HAE ．又HA ＝HD ，所以△HAE ≌△HDG ，所以HE ＝HG ． ③解：四边形EFGH 是正方形．理由：同②，得GH ＝GF ，FG ＝FE ．因为HE ＝HG ，所以GH ＝GF ＝EF ＝HE ．所以四边形EFGH 是菱形．因为△HAE ≌△HDG ，所以∠DHG ＝∠AHE ．因为∠AHD ＝∠AHG ＋∠DHG ＝90°，所以∠EHG ＝∠AHG ＋∠AHE ＝90°．所以四边形EFGH 是正方形．。
2020-2021学年苏科版数学八年级下册第九章 中心对称图形—平行四边形 综合题练习
苏科版数学八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》综合题练习1．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F 两点，垂足是点O．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）问：四边形AFCE是什么特殊的四边形？（直接写出结论，不需要证明）．2．如图，在正方形ABC1D1中，AB＝1，连接AC1，以AC1为边作第二个正方形AC1C2D2，连接AC2，以AC2为边作第三个正方形AC2C3D3．（1）求第二个正方形AC1C2D2和第三个正方形AC2C3D3的边长；（2）请直接写出按此规律所作的第7个正方形的边长．3．如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF＝90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG．（1）求证：EG＝CF；（2）将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与EG的位置关系．4．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN 于E，连结AE、CD．（1）求证：AD＝CE；（2）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由．5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在的直线翻转180°得到△ABF．且使C、B、F三点在一条直线上，连接AD．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？6．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）EF和BC满足什么关系时，平行四边形EGFH是正方形？7．如图，菱形ABCD（图1）与菱形EFGH（图2）的形状、大小完全相同．且点A、C、E、G在同一直线上，点M是线段AG的中点．那么菱形EFGH可由菱形ABCD经一次图形变换得到，这次图形变换可以是轴对称变换、平移变换和旋转变换．请你具体描述这三种变换．（轴对称变换已描述）轴对称变换：菱形ABCD以线段AG的垂直平分线为对称轴作轴对称变换得到菱形EFGH．平移变换：旋转变换：8．如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△DFE；（2）连接CE，当CE平分∠BCD时，求证：CE⊥BF．9．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）当∠A＝90°时，试判断四边形DF AE是何特殊四边形？并说明理由．10．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB于点E，BF⊥AD于点F，（1）说明：；（2）▱ABCD周长为12，AD：DE＝3：2，求DE+BF的值．11．如图，E是正方形ABCD外的一点，连接AE、BE、DE，且∠EBA＝∠ADE，点F在DE上，连接AF，BE＝DF．（1）求证：△ADF≌△ABE；（2）小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE﹣BE＝AE．请你说明理由．12．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；（2）问∠G为多少度时，四边形DEBF是菱形．并证明你的结论．13．如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△DFE；（2）连接CE，当CE平分∠BCD时，求证：ED＝FD．14．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点F是AD的中点，△AEF是等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接BE，DE，AC．（1）求证：△EAB≌△EFD；（2）求的值．15．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE＝PB．（1）求证：PE＝PD；（2）PE⊥PD．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC（平行四边形的对边相互平行）．∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO（两直线平行，内错角相等）；∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．在△AOE和△COF中，∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，OA＝OC．∴△AOE≌△COF（AAS）；（2）由（1）知，△AOE≌△COF，则OE＝OF，∴AC垂直平分EF，又∵AC的垂直平分线是EF，∴四边形AFCE是菱形．2．解：（1）∵四边形ABC1D1是正方形，∴∠B＝90°，BC1＝AB＝1，∴AC1＝＝，即第二个正方形AC1C2D2的边长为，∵四边形AC1C2D2是正方形，∴∠AC1C2＝90°，C1C2＝AC1＝，∴AC2＝＝2，即第三个正方形AC2C3D3的边长是2；∁n D n的边长为（）n﹣1，则第七个正方（2）由上述过程可得出，第n个正方形AC n﹣1形的边长为8．3．（1）证明：∵正方形ABCD，点G，E为边AB、BC中点，∴AG＝EC，△BEG为等腰直角三角形，∴∠AGE＝180°﹣45°＝135°，又∵CF为正方形外角平分线，∴∠ECF＝90°+45°＝135°，∴∠AGE＝∠ECF，∵∠AEF＝90°，∴∠GAE＝90°﹣∠AEB＝∠CEF，∴△AGE≌△ECF，∴EG＝CF；（2）解：画图如图所示，旋转后CF与EG平行．4．（1）证明：∵MN是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，∠AOD＝∠EOC＝90°．∵CE∥AB，∴∠DAO＝∠ECO，在△ADO与△CEO中，，∴△ADO≌△CEO（ASA），∴AD＝CE；（2）解：四边形ADCE是菱形．理由如下：由（1）得OA＝OC，AD＝CE，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AC⊥DE，∴平行四边形ADCE是菱形．5．（1）由旋转60°得到AC＝DC，∠ACB＝∠ACD＝60°，△ACD是等边三角形∴AD＝DC＝AC，又∵Rt△ABC沿着AB所在的直线翻转180°，易证△AFC是等边三角形，∴AD＝DC＝FC＝AF∴四边形AFCD是菱形（2）四边形ABCG是矩形由（1）知△ACD是等边三角形，DE⊥AC于E∴AE＝EC，易证△AEG≌△CEB∴AG＝BC∴四边形ABCG是平行四边形，且∠ABC＝90°∴平行四边形ABCG是矩形．6．证明：（1）∵G、F分别是BE、BC的中点，∴GF∥EC，同理FH∥BE．∴四边形EGFH是平行四边形；（2）EF和BC满足关系：且EF⊥BC时，平行四边形EGFH是正方形，证明：连接EF，GH．∵G、H分别是BE，CE的中点，∴GH∥BC．∵EF⊥BC，∴EF⊥GH．∵又∵四边形EGFH是平行四边形，∴四边形EGFH是菱形，∵EF＝BC，GH＝BC，∴EF＝GH．∴平行四边形EGFH是正方形．7．解：平移变换：菱形ABCD沿AC方向（或从左往右）平移线段AE（或CG）的长得到菱形EFGH．旋转变换：菱形ABCD以点M为旋转中心顺时针（或逆时针）旋转180°得到菱形EFGH．8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAD＝∠FDE．（1分）又∵点E是AD的中点，∴AE＝DE．在△ABE与△DFE中，∵∠BAD＝∠FDE，AE＝DE，∠BEA＝∠FED，∴△ABE≌△DFE．（4分）（2）证明：∵△ABE≌△DFE∴DF＝AB又∵CD＝AB∴CF＝2CD（5分）∵CE平分∠BCD∴∠BCE＝∠FCE．又∵AD∥BC∴∠BCE＝∠DEC（6分）∴∠FCE＝∠DEC∴DE＝CD（7分）又∵AE＝DE∴BC＝2CD，∴CF＝BC（8分）又∵CE平分∠BCD，∴CE⊥BF．（9分）9．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°（1分）∵D是BC的中点，∴BD＝CD（2分）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠EDB＝∠FDC，∴△BED≌△CFD（3分）（2）解：∵∠BED＝∠CFD＝∠A＝90°∴四边形DF AE为矩形．（4分）∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF，（5分）∴四边形DF AE为正方形．（6分）10．（1）证明：∵在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥AD，∴S▱ABCD＝AB•DE＝AD•BF，∴＝；（2）∵＝，且＝，∴＝＝，又∵▱ABCD的周长为12，∴AD+AB＝×12＝6，∴＝，∴DE+BF＝4．11．证明：（1）∵四边形正ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵在△ADF和△ABE中，，∴△ADF≌△ABE；（2）理由如下：由（1）有△ADF≌△ABE，∴AF＝AE，∠3＝∠4，在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠3＝90°，∴∠BAF+∠4＝90°，∴∠EAF＝90°，∴△EAF是等腰直角三角形，∴EF2＝AE2+AF2，∴EF2＝2AE2，∴EF＝AE，即DE﹣DF＝AE，∴DE﹣BE＝AE．12．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝AB，DF＝CD．∴BE＝DF，BE∥DF，∴四边形DFBE是平行四边形，∴DE∥BF；（2）∵∠G＝90°．理由：AG∥BD，AD∥BG，∴四边形AGBD是矩形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中∵E为AB的中点，∴DE＝BE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∵四边形DFBE是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．13．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAD＝∠FDE，又∵点E是AD的中点，∴AE＝DE．在△ABE与△DFE中，∵∠BAD＝∠FDE，AE＝DE，∠BEA＝∠FED，∴△ABE≌△DFE．（2）证明：∵△ABE≌△DFE，∴DF＝AB，又∵CD＝AB，∴CF＝2CD，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠FCE．又∵AD∥BC，∴∠BCE＝∠DEC，∴∠FCE＝∠DEC，∴DE＝CD，∵CD＝DF，∴DE＝DF．14．（1）证明：∵△AEF是等腰直角三角形，∴∠EAF＝∠EF A＝45°，EA＝EF，又∵∠BAD＝90°，∠EFD+∠EF A＝180°，∴∠EAB＝∠EFD＝135°，又∵AD＝2AB，FD＝AD，∴AB＝FD，∴△EAB≌△EFD；（2）解：如图，连接BD．∵∠AEF＝90°，∴△EFD可由△EAB绕点E逆时针旋转90°得到，∴EB＝ED，且∠BED＝90°．∴△BED也是等腰直角三角形．∴BD＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．∴＝．15．证明：（1）①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示．∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．∴GD＝FC＝FP，GP＝AG＝BF，∠PGD＝∠PFE＝90度．又∵PB＝PE，∴BF＝FE，∴GP＝FE，∴△EFP≌△PGD（SAS）．∴PE＝PD；（2）∵△EFP≌△PGD，∴∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝90度．∴∠DPE＝90度．∴PE⊥PD．证法二证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°．∵PC＝PC，∴△PBC≌△PDC（SAS）．∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC．又∵PB＝PE，∴PE＝PD；（2）∵PB＝PE，∴∠PBE＝∠PEB，∴∠PEB＝∠PDC，∴∠PEB+∠PEC＝∠PDC+∠PEC＝180°，∴∠DPE＝360°﹣（∠BCD+∠PDC+∠PEC）＝90°，∴PE⊥PD．。
苏科版八年级下册 第9章 中心对称图形～平行四边形 重难点题型训练【含答案】
苏科版八年级下册第9章中心对称图形～平行四边形重难点题型训练1．如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF且AG＝AB，垂足为G，则：（1）△ABF与△AGF全等吗？说明理由；（2）求∠EAF的度数；（3）若AG＝7，△AEF的面积是21，求△CEF的面积．2．如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E 在边AB上，且AE＝4cm，如果点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．设运动时间为t秒．（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过2秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点Q与点P的运动速度不相等，则当t为何值时，△BPE与△CQP全等？此时点Q的运动速度为多少？3．已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是线段OB、OC上的动点（1）如果动点E、F满足BE＝OF（如图），且AE⊥BF时，问点E在什么位置？并证明你的结论；（2）如果动点E、F满足BE＝CF（如图），写出所有以点E或F为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）．4．如图，正方形ABCD，点F在BC上，试在图中画出一条线段，构出另一个三角形，使得这个三角形全等于△DFC．（1）你能在图中画出几种不同位置的线段得到这个三角形？试写出能够画出的种数共有 种．（2）画出其中的1种位置的线段，并证明你构出的三角形全等于△DFC．5．已知正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝16，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．动点P以每秒1个单位速度从点B出发沿射线BC方向运动，设点P的运动时间为t．连接PA．（1）如图1，动点Q同时以每秒4个单位速度从A点出发沿正方形的边AD运动，求t 为何值时，以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB全等；（2）如图2，在（1）的基础上，当点Q到达点D以后，立即以原速沿线段DC向点C运动，当Q到达点C时，两点同时停止运动，求t为何值时，以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB全等．6．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．（1）求证：OE＝OF；（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．7．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．8．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求∠CHA的度数．9．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F，（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长．11．如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）如图（2）若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于D，交AB于E，且CF＝BE．（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）当∠A的大小满足什么条件时，菱形BECF是正方形？回答并证明你的结论．13．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝DC＝BC，过AD的中点E作AC的垂线，交CB的延长线于F．求证：（1）四边形ABCD是菱形．（2）BF＝DE．14．如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）（2）证明：四边形AHBG是菱形；（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）15．如图：∠MON＝90°，在∠MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON 上，点B1是ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形AB1C1D1．（1）连续D1D，求证：∠D1DA＝90°；（2）连接CC1，猜一猜，∠C1CN的度数是多少？并证明你的结论；（3）在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在∠MON的内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再做出一个合理的判断．参考答案1．解：（1）结论：△ABF≌△AGF．理由：在Rt△ABF与Rt△AGF中，，∴△ABF≌△AGF（HL）（2）∵△ABF≌△AGF∴∠BAF＝∠GAF，同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；即∠EAF＝∠EAD+∠FAG＝∠BAD＝45°，故∠EAF＝45°．（3）∵S△AEF＝×EF×AG，AG＝4∴21＝×EF×AG，∴EF＝6，∵BF＝FG，EG＝DE，AG＝AB＝BC＝CD＝7，设FC＝x，EC＝y，则BF＝7﹣x，DE＝7﹣y，∵BF+DE＝FG+EG＝EF＝6，∴7﹣x+7﹣y＝6，∴x+y＝8 ①在Rt△EFC中，∵EF2＝EC2+FC2，∴x2+y2＝62②①2﹣②得到，2xy＝28，∴S△CEF＝xy＝7．方法二：易知S△ABF＝S△AGF，S△AED＝S△AEG，∴S△ABF+S△ADE＝S△AEF＝21，∴S△EFC＝S正方形ABCD﹣S五边形ABFED＝49﹣42＝7．2．解：（1）全等．理由：由题意：BP＝CQ＝2t当t＝2时，BP＝CQ＝4∵AB＝BC＝10，AE＝4∴BE＝CP＝10﹣4＝6∵BP＝CQ，∠B＝∠C＝90°，BE＝CP∴△BPE≌△CQP（SAS）（2）∵P、Q运动速度不相等∴BP≠CQ∵∠B＝∠C＝90°∴当BP＝CP，CQ＝BE时，△BPE≌△CPQ，∴BP＝CP＝BC＝5，CQ＝BE＝6∴当t＝5÷2＝（秒）时，△BPE≌△CPQ，此时点Q的运动速度为6÷＝（cm/s）3．解：（1）当AE⊥BF时，点E在BO中点．证明如下：延长AE交BF于点M，如图所示：∵∠BME＝∠AOE，∠BEM＝∠AEO，∴△BEM∽△AEO，∴，∵∠MBE＝∠OBF，∠BME＝∠BOF，∴△BEM∽△BFO，∴，∵AO＝BO，∴EO＝OF，∵BE＝OF，∴BE＝EO，故当AE⊥BF时，点E在BO中点．（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，AB＝BC＝AD＝CD，∠ACB＝∠ABD＝∠ADE＝∠BAC＝45°∵BE＝CF，∴OE＝OF，AF＝DE，∵BE＝CF，∠ABD＝∠ACB，AB＝BC∴△ABE≌△BCF（SAS）同理可得△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF；∴以点E或F为顶点的全等三角形有△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF；4．解：（1）如图，共可以构造出8个满足条件的三角形；故答案为：8．（2）如图1，作AE＝CF，则△DFC≌△DAE，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，在△DFC和△DAE中，，∴△DFC≌△DAE（SAS）．5．解：（1）由题意，得BP＝t，AQ＝4t，QD＝16﹣4t，∵△ABP≌△CDQ∴BP＝QD∴t＝16﹣4t解得：t＝，∴当t＝时，以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB全等；（2）如图2，依题意有△ADQ≌△ABP或△BCQ≌△ABP∴DQ＝BP或CQ＝BP∵DQ＝4t﹣16，CQ＝32﹣4t∴4t﹣16＝t或32﹣4t＝t解得：t＝或t＝，∴当t＝或t＝时，以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB全等．6．证明：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，∵EF∥BC，∴∠BCE＝∠FEC，∠EFC＝∠GCF，∴∠DCE＝∠FEC，∠EFC＝∠DCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；（2）∵点O为CD的中点，∴OD＝OC，又OE＝OF，∴四边形DECF是平行四边形，∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠DCE＝∠BCD，∠DCF＝∠DCG∴∠DCE+∠DCF＝（∠BCD+∠DCG）＝90°，即∠ECF＝90°，∴四边形DECF是矩形．7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA＝∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC＝＝5，∴AD＝BC＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DFA，∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB．8．解：（1）如图，连接AC，∵E为BC的中点，AE⊥BC，∴AB＝AC，又∵菱形的边AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AE＝AB＝×4＝2，∴菱形ABCD的面积＝BC•AE＝4×2＝8；（2）在等边三角形ABC中，∵AE⊥BC，∴∠CAE＝∠BAC＝×60°＝30°，同理∠CAF＝30°，∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝30°+30°＝60°，∵AE∥CG，∴∠CHA＝180°﹣∠EAF＝180°﹣60°＝120°．9．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE；（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°；（3）解：AP＝CE；理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵PA＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PC，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE．10．（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝4，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝＝2．在Rt△ACE中，AE＝＝2．11．解：（1）∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．在△BOE和△AOF中，∵，∴△BOE≌△AOF．∴OE＝OF．（2）OE＝OF成立．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠F+∠MBF＝90°，∠E+∠OBE＝90°，又∵∠MBF＝∠OBE，∴∠F＝∠E．在△BOE和△AOF中，∵，∴△BOE≌△AOF．∴OE＝OF．12．1）证法一：如图∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，∵CF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；证法二：如图∵EF垂直平分BC，∴BD＝DC，EF⊥BC∵BE＝CF，∴△BED≌△CFD，∴DE＝DF∴四边形BECF是菱形；（2）解法一：当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°∴菱形BECF是正方形．解法二：当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°，∵BE＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝45°∴∠BEC＝90°，∴菱形BECF是正方形．13．证明：（1）∵AD∥BC，AD＝BC（已知），∴四边形ABCD为平行四边形．又邻边AD＝DC，∴四边形ABCD为菱形；（3分）（2）证法一：如图：记EF与AC交点为G，EF与AB的交点为M．由（1）证得四边形ABCD为菱形，所以对角线AC平分∠A，即∠BAC＝∠DAC．又∵EF⊥AC，AG＝AG，∴△AGM≌△AGE，∴AM＝AE．（6分）又∵E为AD的中点，四边形ABCD为菱形，∴AM＝BM．∠MAE＝∠MBF．又∵∠BMF＝∠AME，∴△BMF≌△AME．∴BF＝AE．∴BF＝DE．（8分）证法二：如图：连接BD∵四边形ABCD为菱形∴BD⊥AC∵EF⊥AC∴EF∥BD∵BF∥DE∴四边形BDEF是平行四边形∴BF＝DE（8分）14．（1）解：△ABC≌△BAD．证明：∵AD＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BA，∴△ABC≌△BAD（SAS）．（2）证明：∵AH∥GB，BH∥GA，∴四边形AHBG是平行四边形．∵△ABC≌△BAD，∴∠ABD＝∠BAC．∴GA＝GB．∴平行四边形AHBG是菱形．（3）解：需要添加的条件是AB＝BC．15．（1）证明：∵∠D1AD+∠B1AD＝90°，∠OAB1+∠B1AD＝90°，∴∠B1AO＝∠D1AD，∵AD1＝AB1，AO＝AD，∴△OAB1≌△DAD1，∴∠D1DA＝∠O＝90°；（D1，D，C在同一条直线上）．（2）解：猜想∠C1CN＝45°．证明：作C1H⊥ON于H．作C1G⊥CD1于G；则有C1G＝CH．∵∠C1D1C+∠AD1D＝90°，∠C1B1H+∠AB1O＝90°∴∠C1D1C＝∠C1B1H，∵C1D1＝B1C1，∠D1C1E＝∠C1HB1＝90°，∴△C1GD1≌△C1B1H，∴C1G＝C1H，又∵CH＝C1G，∴直角三角形CHC1是个等腰直角三角形，∴∠C1CN＝45°．（3）解：作图；得∠ADD2＝90°（∠ADD2＝90°、∠C2CN＝45°均可）．。
苏科版数学八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形综合素质评价(含答案)
第9章中心对称图形——平行四边形综合素质评价一、选择题(每题2分，共16分)1．下列图形中，中心对称图形是()2．在▱ABCD中，添加以下哪个条件能判断其为菱形()A．AB⊥BC B．BC⊥CD C．CD⊥AC D．AC⊥BD 3．用两张边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是()A．等腰梯形B．菱形C．矩形D．正方形4．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ADF？()A．BE＝DFB．∠BAE＝∠DAFC．AE＝AFD．∠AEB＝∠AFD5．如图所示，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠DBC＝30°，BE＝1 cm，则AE的长为()A．3 cmB．2 cmC．23cmD． 3 cm6．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①AG⊥DF；②EF∥AB；③AB＝AF；④OE∶OB＝1∶2，其中正确的有() A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC.以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为() A．3－1B．3－ 5C．5＋1D．5－18．如图，矩形ABCD的面积为20 cm2，对角线交于点O；以AB，AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，对角线交于点O2……依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为()A．54cm2B．58cm2C．516cm2D．532cm2二、填空题(每题2分，共20分)9．如图，在▱ABCD中，BD是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形AFCE 是平行四边形，还需添加一个条件是________．10．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE.若∠CAD＝70°，则∠DCE＝________°.11．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD于点F，连接AE，若EF＝3，AE＝5，则AD＝________．12．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点(点E不与点B，D重合)，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝________．13．如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥BC，则∠AFD等于________．14．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是_____________．15．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝33，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN 的中点，则EF长度的最大值为________．16．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF 的周长为________．17．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF.若BC＝2GC，则∠EGF＝________．18．如图，E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝________．三、解答题(19～21题每题6分，22～24题每题8分，25题10分，26题12分，共64分)19．如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，延长CB到点F，使得DE＝BF，连接EF，分别交CD，AB于点G，H，连接AG，CH.求证：四边形AGCH是平行四边形．20．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接AF，DE，DF.(1)求证：四边形AEFD为矩形；(2)若AB＝3，DE＝4，BF＝5，求DF的长．21．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD ＝90°，E为AD的中点，连接BE.(1)求证：四边形BCDE是菱形；(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝4，求AC的长．22．如图，已知在菱形ABCD中，∠B＝72°，请设计三种不同的方法，将菱形ABCD 分割成四个三角形，使每个三角形都是等腰三角形．(要求画出分割线段，标出所得的三角形内角的度数．注：只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的方法)23．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA，DC的延长线分别交于点E，F.(1)求证：AE＝CF；(2)如果EF⊥BD，求证：四边形BFDE是菱形．24．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD.25．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG，H为FG的中点，连接DH.(1)求证：四边形AFHD是平行四边形；(2)若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数．26．已知，矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.(1)如图1，连接AF，CE.①求证：四边形AFCE为菱形；②求AF的长．(2)如图2，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周后停止．即点P沿A→F→B→A运动，点Q沿C→D→E→C运动．在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P，Q的运动路程分别为a cm, b cm(ab≠0)，已知以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出a与b满足的数量关系式．答案一、1．C 2．D 3．B 4．C 5．D 6．C 7．D 8．B 二、9．BF ＝DE (答案不唯一) 10．40 11．7 12．30°或60° 13．60° 14．对角线互相垂直的四边形 15．3 点拨：连接DN ，DB .∵点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，∴EF ＝12DN ，∴DN 的值最大时，EF 的值最大．易知N 与B 重合时，DN 的值最大， 此时DN ＝DB ＝AD 2＋AB 2＝6， ∴EF 的最大值为3. 16．16 17．45° 18．135°三、19．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠EAH ＝∠FCG ，AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠E ＝∠F .∵AD ＝BC ，DE ＝BF ， ∴AD ＋DE ＝BC ＋BF ，即AE ＝CF . 在△AEH 与△CFG 中，⎩⎨⎧∠E ＝∠F ，AE ＝CF ，∠EAH ＝∠FCG ，∴△AEH ≌△CFG (ASA)， ∴AH ＝CG .∵AH ∥CG ， ∴四边形AGCH 是平行四边形．20．(1)证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋CE ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴AD ＝BC ＝EF . 又∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 为平行四边形． ∵AE ⊥BC ，∴∠AEF ＝90°，∴平行四边形AEFD 为矩形． (2)解：由(1)知四边形AEFD 为矩形，∴DF ＝AE ，AF ＝DE ＝4.∵AB ＝3，AF ＝4，BF ＝5，∴AB 2＋AF 2＝BF 2， ∴△BAF 为直角三角形，∠BAF ＝90°， ∴S △ABF ＝12AB ×AF ＝12BF ×AE ，即3×4＝5AE ，∴AE ＝125，∴DF ＝AE ＝125. 21．(1)证明：∵AD ＝2BC ，E 为AD 的中点，∴DE ＝BC ＝AE .∵AD ∥BC ， ∴四边形BCDE 是平行四边形． ∵∠ABD ＝90°，AE ＝DE ，∴BE ＝DE ，∴四边形BCDE 是菱形． (2)解：∵AD ∥BC ，AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC ＝∠DAC ＝∠BCA ，∴AB ＝BC ＝4. ∵AD ＝2BC ＝8，∴∠ADB ＝30°. ∵∠ABD ＝90°，AC 平分∠BAD ，∴∠DAC ＝30°.由(1)知四边形BCDE 是菱形， ∴∠ADC ＝60°，∴∠ACD ＝90°.在Rt △ACD 中，∵AD ＝8，∠DAC ＝30°， ∴CD ＝4，∴AC ＝48. 22．解：如图．(答案不唯一)23．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，BE ∥DF ，∴∠AEO ＝∠CFO .在△AOE 和△COF 中，⎩⎨⎧∠AEO ＝∠CFO ，∠AOE ＝∠COF ，OA ＝OC ，∴△AOE ≌△COF (AAS)，∴AE ＝CF .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD .∵△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF ，∴四边形BFDE 是平行四边形， ∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形． 24．证明：如图，连接MB ，MD .∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M 为AC 的中点， ∴MB ＝MD ＝12AC .又∵N 为BD 的中点，∴MN ⊥BD . 25．(1)证明：∵BF ＝BE ，CG ＝CE ，∴BC 为△FEG 的中位线， ∴BC ∥FG ，BC ＝12FG .又∵H 是FG 的中点，∴FH ＝12FG ，∴BC ＝FH . 又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴AD ∥FH ，AD ＝FH ， ∴四边形AFHD 是平行四边形． (2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠DAB ＝∠DCB .∵CE ＝CB ， ∴∠BEC ＝∠EBC ＝75°， ∴∠BCE ＝180°－75°－75°＝30°，∴∠DCB ＝∠DCE ＋∠BCE ＝10°＋30°＝40°， ∴∠DAB ＝40°.26．(1)①证明：∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO .∵EF 垂直平分AC ， ∴AO ＝CO .又∵∠AOE ＝∠COF ， ∴△AOE ≌△COF (ASA)，∴AE ＝CF .又∵AE ∥CF ，∴四边形AFCE 为平行四边形． 又∵EF ⊥AC ，∴平行四边形AFCE 为菱形． ②解：由①知AF ＝CF .设AF＝x cm，则CF＝x cm，BF＝BC－CF＝(8－x)cm，在Rt△ABF中，AB2＋BF2＝AF2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.∴AF＝5 cm.(2)解：①情况一：当P在AF上，Q在CD上时，四边形APCQ显然不可能为平行四边形．情况二：当P在BF上，Q在ED上时，则当BP＝DQ时，四边形APCQ为平行四边形，易得8－5t＝4t－4，解得t＝4 3.情况三：当P在AB上，Q在ED上时，四边形APCQ显然不可能为平行四边形．情况四：当P在AB上，Q在EC上时，四边形APCQ显然不可能为平行四边形．∴当t＝43时，四边形APCQ为平行四边形．②a＋b＝12(ab≠0)．。
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第九章 中心对称图形—平行四边形 综合测试卷（A ）
一、选择题(每题3分,共24分)
1．观察下列标志,从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ( )
2．下列性质中,正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( ) A ．四条边相等 B ．对角线互相平分 C ．对角线相等 D ．对角线互相垂直
3．如果菱形的边长是α,一个内角是60⁰,那么菱形较短的对角线长等于 ( )
A ．12α
B ．
2
a C ．a D 4．如图,将其中一个角为60⁰的直角三角形纸片沿一中位线剪开,不能拼成的四边形是( ) A ．邻边不等的矩形 B ．等腰梯形
C ．有一个角是锐角的菱形
D ．正方形
5．平行四边形一边的长是10 cm,那么这个平行四边形的两条对角线长可以是 ( ) A ．4 cm,6 cm B ．6 cm,8 cm C ．8 cm,12 cm D ．20 cm,30 cm
6．边长为10 cm 的正方形ABCD 绕对角线的交点O 旋转到得到正方形OA’B’C’,如图, 则阴影部分面积为 ( )
A ．100 cm 2
B ．75 cm 2
C ．50 cm 2
D ．25 cm 2
7．如图,在四边形ABCD 中,AC=BD=6,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,则EG 2+FH 2的值为 ( )
A ．9
B ．18
C ．36
D ．48 8．如图,在矩形ABCD 中,AB=4 cm,AD=12 cm,点P 在AD
边上以每秒1 cm 的速度从点A 向点D 运动,点Q 在BC 边 上,以每秒4 cm 的速度从点C 出发,在CB 间往返．．运动,两 个点同时出发,当点P 到达点D 时停止(同时点Q 也停止), 在这段时间内,线段PQ 有多少次平行于AB?
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 二、填空题(每空2分,共20分)
9．已知菱形ABCD,两条对角线AC=6 cm,DB=8 cm,则菱形的周长是 cm,面
积是cm2．
10．矩形的两条对角线的夹角为60⁰,一条对角线与较短边的和为15,则较长边的长为．
11．如图,在周长为20的平行四边形ABCD中,AB<AD,AC与BD交于点O,OE⊥BD,交AD 于点E,则△ABE的周长为．
12．一块矩形场地,长为101米,宽为70米,从中留出如图所示的宽为1米的小道,其余部分种草,则草坪的面积为m2．
13．如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且CE=DF,AE、BF相交于点O．下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO⊥OE；④S△AOE=S四边形DEOF,其中正确的是(填序号)．
14．如图,矩形ABCD中,E 是BC中点,矩形ABCD的周长是20 cm,AE=5 cm,则AB 的长为cm．
15．如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点．若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为．
16．如图,正方形ABCD的边长为1,顺次连正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1,由顺次连接正方形A1B1C1D1。
四边的中点得到第二个正方形A2B2 C2 D2……
以此类推,则第六个正方形A6B6C6D6周长是．
17．如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,边CD在直线L上,将矩形ABCD沿直线L作无滑动翻滚,当点A第一次翻滚到点A,位置时,则点A经过的路线长为·
三、解答题(共56分)
18．(本题8分)如图AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于F．试判断AEDF是何图形,并说明理由．
19．(本题8分)已知：如图,在正方形ABCD中,G是CD上一点,延长BC到E,使CE=CG,连接BG并延长交DE于F．
(1)求证：△BCG≌DCE；
(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE’,判断四边形E’BGD是什么特殊四边
形?并说明理由．
20．(本题7分)如图,在矩形ABCD中,∠ABC的平分线交对角线AC于点M,ME⊥AB,MF⊥BC,垂足分别为E、F．
求证：四边形EBFM是正方形．
21．(本题10分)如图,正方形ABCD中,点P是直线BC上一点,连接PA,将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE,在直线BA上取点F,使BF=BP,且点F与点E
在BC同侧,连接EF、CF．
(1)如图①,当点P在CB延长线上时,求证：四边形PCFE是平行四边形．
(2)如图②,当点P在线段BC上时,四边形PCFE是否还是平行四边形,说明理由．
22．(本题12分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点．BE交AC于点F,连接DF．
(1)证明：∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE；
(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下,试确定点E的位置,使∠EFD=∠BCD,并说明理由．
23．(本题共11分)如图,已知点A从点(1,0)出发,以1个单位长度／秒的速度沿x轴向正方向运动,以0、A为顶点作菱形0ABC,使点B、C在第一象限内,且∠AOC=60°；
点P的坐标为(0,3),设点A运动了t秒,求：
(1)点C的坐标(用含t的代数式表示)；(2分)
(2)点A在运动过程中,当t为何值时,使得△OCP为等腰三角形．(9分)
参考答案
一、1．B 2．C 3．C 4．A 5．D 6．D 7．C 8．D
二、9．20 24 10． 11．10 12．6 900 13．①②④ 14．4 15．20 16．12
17．67π
三、18．四边形AEDF 为菱形．
证明：∵DE ∥AC,DF ∥AB,∴四边形AEDF 为平行四边形．又∵AD 平分 ∠BAC,∴∠1=∠2,∵ DE ∥AC,∴∠2 =∠EDA,∴∠1=∠EDA,∴AE=ED,∴平行四边形AEDF 为菱形．
19．(1)证明：∵在正方形ABCD 中,BC=DC,∠BOG=∠DCE=90︒,又∵
CE=CG,∴△BCG ≌△DCE(SAS)．
(2)由(1)得：BG=DE,∵由旋转得：△DAE'≌△DCE,∴D E'∥=DE 。
AE’=CE ,∴DE’=BG ,AE’=CG ,由∵正方形ABCD 中,AB=CD,∴B E’=DG ,∴四边形E’BGD 是平行四边形．
20．∵在矩形ABCD 中,∠ABC=90︒,又∵ME ⊥AB,MF ⊥BC,∴∠MEB=∠MFB=90︒,四边
形EBFM 为矩形．又∵BM 平分∠ABC,ME ⊥AB,MF ⊥BC,∴ME=MF,∴矩形EBFM 为正方形．
21．(1)证明：∵在正方形ABCD 中,AB=BC,∠ABC=∠ABP=90︒,又∵BF=BP,
∴△BCF ≌△BAP(SAS),∴CF=AP 。
∠BFC=∠BPA ．又由旋转得：∠EPA=90︒,PA=PE,∴PE=CF ．∵∠BFC+∠BCF=90︒∴∠BPA+∠BCF=90︒, ∴∠BPA+∠EPA+∠BCF=180︒,∴PE ∥CF ．∴四边形PCFE 为平行四边形． (2)四边形PCEF 是平行四边形．
证明：同(1)得：△BCF ≌△BAP,∴∠BCF=∠BAP,AP=CF ．由旋转得：AP=PE,∠EPA=90︒,∴PE=CF ．∴／BPE+∠BPA=90︒,∵在△ABP 中,∠ABP=90︒∴∠BAP+∠BPA=90︒,∠BPE=∠BAP,：∴∠BPE=∠BCF,∴PE ∥CF,∴四边形PCFE 为平行四边形． 22．(1)证明：在△ABC 和△ADC
中,AB=AD,CB=CD,AC=AC,∴△QABC ≌△ADC(SSS)．∴∠BAC=∠DAC,∠BFA=∠D FA,∵∠CFE=∠BFA,∴∠AFD=∠CFE
(2)∵AB ∥CD,∴∠BAC=∠DCA,∵∠BAC=∠DAC,∴∠DAC=∠DCA,∵DC=DA,∴AB =AD=DC=CB,∴四边形ABCD 是菱形．
(3)当BE ⊥CD 时,∠EFD=∠BCD ．证明：∵菱形ABCD 中,∠BCA=∠DCA,又BC=DC,CF=CF,∴△BCF ≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF,∵BE ⊥CD,∠CBF+∠BCD=90︒,∠EFD+∠CDF=90︒,∴∠EFD=∠BCD ．
23．(1)C(
12 (t+1),2
(t+1))． (2)∵P(0,3),∴OP=3．△OCP 为等腰三角形：①若OP=OC,则OC=3,即t +1=3,
t =2；②若PC=OC,则作CE ⊥y 轴,OE=
12OP=3
2
即 ；③若P0=PC,
则作PF ⊥OC,则PF=12OP=32,OF= 3
2
即∴t=2或
或。