精选题库高一数学 课堂训练10-1北师大版
北师大版高一数学必修第一章试题及答案
高一年级数学（必修1）第一章质量检测试题参赛试卷学校 ：石油中学 命题人：王燕南（时间 90分钟 总分 150分）班级 姓名一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。
1．已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，那么此三角形一定不是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．全集U=N 集合A={x|x=2n,n ∈N}，B={x|x=4n,n ∈N}则（ ）A 、U=A ∪B B 、(C U A)⊆B C 、U= A ∪C U BD 、C U A ⊇C U B3．下列六个关系式：①{}{}a b b a ,,⊆ ②{}{}a b b a ,,= ③{0}=∅④}0{0∈ ⑤{0}∅∈ ⑥{0}∅⊆ ，其中正确的个数为( )A 、 6个B 、 5个C 、4个D 少于4个4．若},4,2,0{},2,1,0{),(==⋂⊆Q P Q P M 则满足条件的集合M 的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．已知}{R x x y y M ∈-==,42，}{42≤≤=x x P ，则M P 与的关系是（ ）A ．M P =B ．M P ∈C ．M ∩P =ΦD ．M ⊇P6．集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 的元素个数为（ ）A 、10个B 、8个C 、18个D 、15个7．下列命题中，(1)如果集合A 是集合B 的真子集，则集合B 中至少有一个元素。
(2)如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 的元素少于集合的B 元素。
(3)如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 的元素不多于集合B 的元素。
(4)如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 和B 不可能相等。
错误的命题的个数是：（ ）A ． 0B ．1C 、2D ．38．已知集合{}{}21,3,,,1A x B x ==，由集合A B 与的所有元素组成集合{}1,3,x 这样的实数x 共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．设3x y ==+，集合 A ．,x M y M ∈∈ B ．,x M y M ∈∉C ．,x M y M ∉∈D ．,x M y M ∉∉10．如右图所示，I 为全集，M 、P 、S 为I 的子集。
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第一章集合1集合的含义与表示第1课时集合的含义课时过关·能力提升1给出下列说法:①地球周围的行星能构成一个集合;②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合;③集合A为{1,2,3},集合B为{1,3,2},是不同的集合.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:①是错误的,因为“周围”是个模糊的概念,不满足集合元素的确定性.②是正确的,虽然满足条件的数有无数多个,但任给一个元素都能判断出其是否属于这个集合.③是错误的,因为集合中的元素是无序的.答案:B2已知集合M中的元素满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是()A.-1∉MB.-11∈MC.3k2-1∈MD.-34∉M解析:A错,当k=0时,-1∈M;B错,若3k-1=-11,则k=-∉Z;C正确,因为3k2-1=3k-1,解得k=0或k=1,满足条件;D错,当k=-10时,-34∈M.故选C.答案:C3集合A的元素y满足y=x2+1,集合B的元素(x,y)满足y=x2+1(A,B中x∈R,y∈R).下列选项中元素与集合的关系都正确的是()A.2∈A,且2∈BB.(1,2)∈A,且(1,2)∈BC.2∈A,且(3,10)∈BD.(3,10)∈A,且2∈B答案:C4已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若a∈A,则实数a的值是()A.-3B.0或1C.1D.-1解析:由于a∈A,则a=a-3或a=2a-1.若a=a-3,则有-3=0,不成立;若a=2a-1,则a=1,此时集合A 中的两个元素是-2,1,符合题意.答案:C5已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,则x满足的条件是()A.x≠0B.x≠-1C.x≠0且x≠-1D.x≠0且x≠1解析:由-解得x≠0且x≠-1.故选C.-答案:C6集合A中有3个元素1,2,3,集合B中有2个元素4,5,设集合M中的元素x满足x=a+b,a ∈A,b∈B,则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6解析:因为集合A为1,2,3,集合B为4,5,集合M中的元素满足x=a+b,a∈A,b∈B,所以a+b的值可能为1+4=5,1+5=6,2+4=6,2+5=7,3+4=7,3+5=8,所以集合M中的元素有5,6,7,8,共4个,故选B.答案:B7若已知-5是x2-ax-5=0的根,集合M中的元素为方程x2-4x-a=0的根,则集合M中所有元素之和为.解析:把-5代入方程x2-ax-5=0,得a=-4,将a=-4代入方程x2-4x-a=0得x2-4x+4=0,故集合M中的元素即为2.因此所有元素之和为2.答案:28设a,b为非零实数,则x=的所有值组成的集合中的元素为.解析:当a<0,b<0时,ab>0,则x=-1-1+1=-1;当a<0,b>0时,ab<0,则x=-1+1-1=-1;当a>0,b>0时,ab>0,则x=1+1+1=3;当a>0,b<0时,ab<0,则x=1-1-1=-1.故x=-1或x=3.所以由x的所有值构成的集合中的元素为-1,3.答案:-1,39已知集合A的元素满足条件x=m+n,n,m∈Z.,x2=-,判断x1,x2与集合A之间的关系;(1)设x1=-(2)任取x3,x4∈A,判断x3+x4与集合A之间的关系.=-,∴x1∉A,解(1)∵x1=-∵x2=-=-1+2,∴x2∈A.(2)x3,x4∈A,设x3=m1+n1,x4=m2+n2(m1,n1,m2,n2∈Z).则x3+x4=m1+n1+m2+n2=(m1+m2)+(n1+n2),∵m1,n1,m2,n2∈Z,∴m1+m2,n1+n2∈Z,∴x3+x4∈A.10设集合A的元素为2,3,a2+2a-3,集合B的元素为|a+3|,2.已知5∈A,且5∉B,求a的值.解∵5∈A,∴a2+2a-3=5,解得a=2或a=-4.又5∉B,∴|a+3|≠5,解得a≠2,且a≠-8.∴a=-4.★11已知方程ax2-3x-4=0的解组成的集合为A.(1)若A中有两个元素,求实数a的取值范围.(2)若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.解(1)因为A中有两个元素,所以方程ax2-3x-4=0有两个不等的实数根,所以即a>-且a≠0.所以实数a的取值范围为a>-,且a≠0.(2)当a=0时,由-3x-4=0得x=-;当a≠0时,若关于x的方程ax2-3x-4=0有两个相等的实数根,则Δ=9+16a=0,即a=-;若关于x的方程无实数根,则Δ=9+16a<0,即a<-,故所求的a的取值范围是a≤-或a=0.∈A.★12已知集合A的元素全为实数,且满足当a∈A时,-(1)若2∈A,则A中一定还有哪些元素?(2)0是不是集合A中的元素?请你设计一个实数a∈A,再求出A中的所有元素.(3)根据(1)(2),你能得出什么结论?,计算可得,解(1)当2∈A时,依次代入-=-3∈A,-=-∈A,--∈A,=2∈A,……-结果循环出现,故A中一定还有-3,-.(2)0不是集合A中的元素.若0∈A,则-=1∈A,而此时-没有意义,与条件-∈A矛盾,故0不是集合A中的元素.若a=3,则集合A的元素为3,-2,-.(3)根据(1)(2)可得出如下结论:A中不含0,1,-1;若a∈A,则其负倒数也属于A.第2课时集合的表示课时过关·能力提升1集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是()A.{x|x是不大于9的非负奇数}B.{x|x≤9,x∈N}C.{x|1≤x≤9,x∈Z}D.{x|0≤x≤9,x∈N}解析:B,D只说明集合中的元素是小于等于9的自然数;C只说明集合中的元素是小于等于9的正整数,B,C,D都没指明是奇数,所以只有A正确,故选A.答案:A2已知集合M={x∈N+|-≤x≤},则下列说法中正确的是()A.M是空集B.∈MC.该集合是有限集D.1∉M解析:由已知得M={1},因此M是有限集.答案:C3下列集合中,含义不同于另外三个集合的是()A.{x|x=1}B.{x|x2=1}C.{1}D.{y|(y-1)2=0}答案:B4由方程组--的解组成的集合是()A.(1,1)B.{1}C.{(1,1)}D.{1,1}解析:由--解得方程组的解组成的集合是{(1,1)},故选C.答案:C★5若P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},R={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P,b∈Q,则有()A.a+b∈PB.a+b∈QC.a+b∈RD.a+b不属于P,Q,R中的任何一个解析:由题意知,P为偶数集,Q为奇数集,R是除以4余1的数构成的集合,是奇数的一部分,而a+b是奇数与偶数之和,仍为奇数,故选B.答案:B6下列集合中不是空集的是()A.{x|x<0且x>1}B.{x∈N|x2-2=0}C.{x∈R|x2-x+1=0}D.{(x,y)|x2+y2=0}解析:A选项中集合是空集;B选项中,由x2-2=0得x=± ∉N,所以是空集;C选项中判别式Δ=1-4=-3<0,方程无解,所以是空集;只有D选项不是空集,是集合{(0,0)},故选D.答案:D7下列命题中正确的是(只填序号).①0∈{⌀};②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3},也可表示为{3,2,1};③方程(x-1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{x|2<x<5}可以用列举法表示.解析:①中的{⌀}中的元素为⌀,所以0∉{⌀},故①不正确;由元素的无序性可知②正确;③中的集合不满足互异性,故③不正确;④中的集合不能用列举法表示,故④不正确.答案:②8给出下列说法:①在直角坐标平面内,第一、三象限的点的集合为{(x,y)|xy>0};②方程-+|y+2|=0的解集为{-2,2};③集合{(x,y)|y=1-x}与{x|y=1-x}是同一集合.其中正确序号是.解析:在直角坐标平面内,第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的,且集合中的代表元素为点(x,y),故①正确;方程-+|y+2|=0等价于-即-解为有序实数对(2,-2),即解集为{(2,-2)}或-,故②不正确;集合{(x,y)|y=1-x}的代表元素是(x,y),集合{x|y=1-x}的代表元素是x,一个是实数对,一个是实数,故这两个集合不相同.③不正确,综上所述,只有①正确.答案:①9已知集合A={x|-3<x<3,x∈Z},B={(x,y)|y=x2+1,x∈A},则集合B用列举法表示是.解析:易求集合A={-2,-1,0,1,2},则集合B={(-2,5),(-1,2),(0,1),(1,2),(2,5)}.答案:{(-2,5),(-1,2),(0,1),(1,2),(2,5)}10用列举法表示下列集合:(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=x的所有实数解组成的集合;(3)直线y=2x+1与y轴的交点组成的集合.分析::题目中要求用列举法表示集合,需先辨析集合中元素的特征及满足的性质,再一一列举出满足条件的元素.解(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.(2)方程x2=x的实数解是x=0或x=1,所以方程的实数解组成的集合为{0,1}.(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故直线y=2x+1与y轴的交点组成的集合是{(0,1)}.11若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为“可倒数集”.(1)判断集合A={-1,1,2}是否为可倒数集.(2)试写出一个含3个元素的可倒数集.解(1)由于2的倒数为不在集合A中,故集合A不是可倒数集.(2)若a∈A,则必有∈A,现已知集合A中含有3个元素,故必有一个元素有a=,即a=±1,故可以取集合A=或-或等.★12对于a,b∈N+,现规定:a*b=与的奇偶性相同与的奇偶性不同集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N+}.(1)用列举法表示a,b奇偶性不同时的集合M;(2)当a与b的奇偶性相同时,集合M中共有多少个元素?解(1)当a,b的奇偶性不同时,a*b=a×b=36,则满足条件的(a,b)有(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1),故集合M可表示为M={(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1)}.(2)当a与b的奇偶性相同时,a*b=a+b=36,由于两奇数之和为偶数,两偶数之和仍为偶数,故36=1+35=2+34=3+33=…=17+19=18+18=19+17=…=35+1,所以当a,b的奇偶性相同时,这样的元素共有35个.2集合的基本关系课时过关·能力提升1已知集合A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则()A.A⫋BB.B⫋AC.A=BD.B⊈A解析:由A={x|-1<x<2},而B={x|-1<x<1},作数轴如图,故B⫋A.答案:B2已知集合A={1,2},B={1,2,3,4,5},且A⫋M⊆B.则符合条件的集合M的个数为()A.6B.7C.8D.不确定解析:∵A⫋M,∴M中一定含有A的全部元素1,2,且至少含有一个不属于A的元素.又M⊆B,∴M中除有1,2外,还有3,4,5中的1个,2个或3个,故M的个数即为{3,4,5}的非空子集,有7个.答案:B3集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}的关系用Venn图可表示为()解析:∵M={-1,0,1},N={0,-1},∴N⫋M,故选B.答案:B4若集合A={1,3,x},B={x2,1},且B⊆A,则满足条件的实数x的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:由B⊆A,知x2=3或x2=x,解得x=±或x=0或x=1.当x=1时集合A,B都不满足元素的互异性,故x=1舍去.答案:C5已知集合A={1,2,3,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,xy∈A},则集合B的所有真子集的个数为()A.512B.256C.255D.254答案:C★6设集合M=∈,N=+∈,则()A.M=NB.M⫋NC.M⫌ND.M⊈N解析:∵集合M中,x=(k∈Z),集合N中,x=(k∈Z),∴M中的x表示的奇数倍,N中的x表示的整数倍.∴M⫋N.答案:B7已知集合A=--,B={(x,y)|y=3x+b},若A⊆B,则实数b=.解析:由已知A={(0,2)},因为A⊆B,所以2=3×0+b,解得b=2.答案:28设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},则M与P的关系为.答案:M=P9已知A={x|x2-4=0},B={x|ax-6=0},且B是A的子集.(1)求a的取值集合M;(2)写出集合M的所有非空真子集.解(1)由已知得A={2,-2},∵B⊆A,∴B=⌀或{2}或{-2}.①当B=⌀时,方程ax-6=0无解,得a=0;②当B={2}时,方程ax-6=0的解为x=2,得2a-6=0,所以a=3;③当B={-2}时,方程ax-6=0的解为x=-2,得-2a-6=0,所以a=-3.∴a的取值集合M={0,3,-3}.(2)M={0,3,-3}的非空真子集为{0},{3},{-3},{0,3},{0,-3},{3,-3}.10已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},非空集合C是这样一个集合:其各元素都加2后,就变为A的一个子集;其各元素都减2后,则变为B的一个子集,求集合C.解逆向操作,A中元素减2得0,2,4,6,7,则C中元素必在其中;B中元素加2得3,4,5,7,10,则C中元素必在其中,所以C中元素只能是4或7.所以C={4}或{7}或{4,7}.★11已知集合A={x|0<x-a≤5},B=-.(1)若A⊆B,求实数a的取值范围.(2)若B⊆A,求实数a的取值范围.(3)集合A与B能否相等?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.解A={x|a<x≤a+5},B=-.(1)若A⊆B,则-解得∴0≤a≤1,即所求a的取值范围是0≤a≤1.(2)若B⊆A,则-≥6,或-即a≤-12或∴a≤-12.即所求a的取值范围是a≤-12.(3)若A=B,即{x|a<x≤a+5}=-,∴-即不可能同时成立.∴A≠B.§3集合的基本运算3.1交集与并集课时过关·能力提升1已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中的元素个数为()A.5B.4C.3D.2答案:D2若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为()A.1B.-1C.1或-1D.1或-1或0解析:∵A∪B=A,∴B⊆A.当B=⌀时,m=0;当B={-1}时,m=-1;当B={1}时,m=1.故选D.答案:D3已知集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k∈N+}的关系的Venn图如图,则阴影部分所示的集合的元素共有()A.3个B.2个C.1个D.无穷多个解析:M={x|-1≤x≤3},阴影部分所示的集合为M∩N={1,3}.故阴影部分所示的集合中共有2个元素.答案:B4已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为()A.4B.3C.2D.1解析:联立两集合中的函数关系式由x+y=1得x=1-y,代入x2+y2=1得y2-y=0即y(y-1)=0,解得y=0或y=1,把y=0代入x2+y2=1解得x=1,把y=1代入x2+y2=1解得x=0,所以方程组的解为或有两组解,则A∩B的元素个数为2.故选C.答案:C5已知集合A={1,2,3},B∩A={3},B∪A={1,2,3,4,5},则集合B的子集的个数为()A.6B.7C.8D.9答案:C6设集合A={(x,y)|y=x2-1},B={(x,y)|y=3x-3},则A∩B=.解析:A∩B=--=或={(1,0),(2,3)}.答案:{(1,0),(2,3)}7已知集合A={x|x≤-2,或x>5},B={x|1<x≤m},若A∩B={x|5<x≤7},则m=.解析:将集合A和集合A∩B用数轴表示出来,如图,要使A∩B={x|5<x≤7},则B={x|1<x≤m}={x|1<x≤7}.∴m=7.答案:78某班共有30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.解析:设两者都喜欢的有x人,则只喜欢篮球的有(15-x)人,只喜欢乒乓球的有(10-x)人.故(15-x)+(10-x)+x+8=30,解得x=3,所以15-x=12,即所求人数为12.答案:129已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求满足下列条件的a的值.(1)9∈A∩B;(2){9}=A∩B.解(1)∵9∈A∩B,且9∈B,∴9∈A,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.检验,知a=5或a=-3.(2)∵{9}=A∩B,∴9∈A∩B,∴由(1)知,a=5或a=-3.检验,知a=-3.10已知集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∪B=A,试求实数m的取值范围.分析::由A∪B=A,得B⊆A,则有B=⌀,或B≠⌀,因此对集合B分类讨论.解∵A∪B=A,∴B⊆A.又A={x|-2≤x≤5}≠⌀,∴B=⌀或B≠⌀.当B=⌀时,有m+1>2m-1,∴m<2.当B≠⌀时,如图,由数轴可得解得2≤m≤3.综上可得,实数m的取值范围是{m|m≤3}.★11为完成一项实地测量任务,夏令营的同学们成立了一支测绘队,需要24人参加测量,20人参加计算,16人参加绘图.测绘队的成员中有许多同学是多面手:其中在参加两项工作的人中,有8人既参加了测量又参加了计算,有6人既参加了测量又参加了绘图,有4人既参加了计算又参加了绘图;另有一些人三项工作都参加了.请问这个测绘队至少有多少人?解由题意可得,测量目前有8+6=14人参加,一共需要24人,所以还差10人;计算目前有8+4=12人参加,一共需要20人,所以还差8人;绘图目前有6+4=10人参加,一共需要16人,所以还差6人,若三项都参加的有x(x≤6)人,则只参加测量的有(10-x)人,只参加计算的有(8-x)人,只参加绘图的有(6-x)人,所以总人数就是x+8+6+4+(10-x)+(8-x)+(6-x)=42-2x≥30,当且仅当x=6时等号成立.由以上分析:可知,三项都参加的有6人时,测绘队总人数最少,且最少为30人.答:这个测绘队至少有30人.★12已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,求实数a,m.分析:根据并集、交集的性质转化为B⊆A,C⊆A,而A={1,2},从而转化为B,C中的方程的根的问题,注意运用分类讨论的思想方法.解由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,故A={1,2},因为A∪B=A,所以B⊆A,故B有四种情况:⌀,{1},{2},{1,2}.因为x2-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)],所以必有1∈B,因此a-1=1或a-1=2,解得a=2或a=3.又因为A∩C=C,所以C⊆A,故C有四种情况:⌀,{1},{2},{1,2}.①若C=⌀,则关于x的方程x2-mx+2=0没有实数根,由Δ=m2-8<0,得-2<m<2;②若C={1},则关于x的方程x2-mx+2=0有两个相等的实数根为1,所以很显然不成立;③若C={2},同②,也不成立;④若C={1,2},则解得m=3.综上所述,a=2或a=3;m=3或-2<m<2.3.2全集与补集课时过关·能力提升1已知集合A,B,C为非空集合,M=A∩C,N=B∩C,P=M∪N,则一定有()A.C∩P=CB.C∩P=PC.C∩P=C∪PD.C∩P=⌀答案:B2已知集合U={x|x是小于6的正整数},A={1,2},B∩(∁U A)={4},则∁U(A∪B)=() A.{3,5} B.{3,4}C.{2,3}D.{2,4}解析:U={1,2,3,4,5},∵B∩(∁U A)={4},∴4∈B.∴∁U(A∪B)={3,5}.答案:A3已知全集为U,集合M,N满足M∪N=U,则下列关系中一定正确的是()A.N⊆∁U MB.M∩N=⌀C.∁U M⊆ND.(∁U M)∪(∁U N)=U解析:借助Venn图易知选C.答案:C4已知全集U={1,2,3,4,5},若A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A}.则集合∁U(A∪B)中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:∵A={1,2},B={2,4},∴A∪B={1,2,4}.∴∁U(A∪B)={3,5},共有2个元素.答案:B★5设全集U=R,集合A={x|x≤1,或x≥3},集合B={x|k<x<k+1,k∈R},且B∩(∁U A)≠⌀,则k 的取值范围是()A.k<0或k>2B.2<k<3C.0<k<3D.-1<k<2解析:由题意知,∁U A={x|1<x<3},且k<k+1,故B≠⌀.又B∩(∁U A)≠⌀,结合图形,故k需满足解得0<k<3.答案:C6已知全集U=R,集合A={x|x≥0},B={y|y>1},则∁U A与∁U B的关系是.解析:由全集、补集的概念,得∁U A={x|x<0},∁U B={y|y≤1},显然∁U A⫋∁U B.答案:∁U A⫋∁U B7设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集U=R,且(∁U A)∩B=⌀,则实数m的取值范围为.解析:∵A={x|x≥-m},∴∁U A={x|x<-m},∵B={x|-2<x<4},(∁U A)∩B=⌀,∴-m≤-2,即m≥2,∴m的取值范围是{m|m≥2}.答案:{m|m≥2}8已知U为实数集,集合M={x|0<x<2},N={x|y=-},则M∩(∁U N)=.解析:N={x|x-1≥0}={x|x≥1},∁U N={x|x<1},则M∩(∁U N)={x|0<x<1}.答案:{x|0<x<1}9已知集合A={x|4≤x<6},B={x|3<x<15},求:(1)A∪B;(2)(∁R A)∩B.解(1)A∪B={x|4≤x<6}∪{x|3<x<15}={x|3<x<15}.(2)∵∁R A={x|x<4,或x≥6},∴(∁R A)∩B={x|3<x<4,或6≤x<15}.10已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足(∁R A)∩B={2},A∩(∁R B)={4},求实数a,b的值.解由条件(∁R A)∩B={2}和A∩(∁R B)={4},知2∈B,但2∉A;4∈A,但4∉B.-将x=2和x=4分别代入B,A两集合中的方程得即-解得a=,b=-即为所求.★11已知A={x|x2-2x-8=0},B={x|x2+ax+a2-12=0,a∈R}.若B∪A≠A,求实数a的取值范围.分析:本题主要考查补集思想的应用,解题的关键是从求解问题的反面考虑,采用“正难则反”的解题策略.解设B∪A=A,则B⊆A,又因为A={x|x2-2x-8=0}={-2,4},所以集合B有以下三种情况:①当B=⌀时,Δ=a2-4(a2-12)<0,即a2>16,所以a<-4或a>4;②当B是单元素集时,Δ=a2-4(a2-12)=0,所以a=-4或a=4.若a=-4,则B={2}⊈A;若a=4,则B={-2}⊆A;③当B={-2,4}时,-2,4是关于x的方程x2+ax+a2-12=0的两个根,所以----所以a=-2.综上可得,B∪A=A时,a的取值范围为a<-4或a=-2或a≥4.所以B∪A≠A的实数a的取值范围为-4≤a<4,且a≠-2.第一章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设集合S={x|x≥2},T={x|x≤5},则S∩T=()A.(-∞,5]B.[2,+∞)C.(2,5)D.[2,5]答案:D2已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=()A.⌀B.{2}C.{0}D.{-2}解析:易得B={-1,2},则A∩B={2},故选B.答案:B3设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则∁U A=()A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.⌀解析:由题意得∁U A={3,4,5},故选B.答案:B4已知集合M={1,2,3},N={2,3,4},则()A.M⊆NB.N⊆MC.M∩N={2,3}D.M∪N={1,4}解析:由集合的交集、并集及子集的概念,可知M∩N={2,3}.答案:C5设全集U=R,集合A=-,B={x|x2-x-6=0},则阴影部分所表示的集合是()A.{3}B.{-2}C.{3,-2}D.{⌀}解析:由Venn图可知阴影部分对应的集合为B∩(∁U A),∵集合A=-={3},B={x|x2-x-6=0}={-2,3},∴B∩(∁U A)={-2},故选B.答案:B6设集合A={a,b},集合B={a+1,5},若A∩B={2},则A∪B等于()A.{1,2}B.{1,5}C.{2,5}D.{1,2,5}解析:由题意A∩B={2},可得a=1,b=2,则集合A={1,2},集合B={2,5}.A∪B={1,2}∪{2,5}={1,2,5},故选D.答案:D7已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},则能使A⊇B成立的实数a的取值范围是()A.{a|3<a≤4}B.{a|3≤a≤4}C.{a|3<a<4}D.⌀解析:∵A⊇B,∴a-1≤3,且a+2≥5.∴3≤a≤4.故选B.答案:B8已知集合A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},(∁U B)∩A={9},则A=() A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9}解析:因为A∩B={3},所以3∈A,又因为∁U B∩A={9},所以9∈A,所以选D.除此之外,本题也可以用Venn图的方法帮助理解,Venn图如图.答案:D9已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}解析:∵A∪B={x|x≤0,或x≥1},∴∁U(A∪B)={x|0<x<1}.故选D.答案:D10经统计知,某小区有小汽车的家庭有35家,有电动自行车的家庭有65家,既有小汽车又有电动自行车的家庭有20家,则小汽车和电动自行车至少有一种的家庭数为() A.60 B.80 C.100 D.120解析:∵某小区有小汽车的家庭有35家,有电动自行车的家庭有65家,既有小汽车又有电动自行车的家庭有20家,∴画出Venn图,结合图形知,小汽车和电动自行车至少有一种的家庭数为15+20+45=80,故选B.答案:B11若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为()A.1B.-1C.1或-1D.1或-1或0解析:当m=0时,B=⌀,满足A∪B=A,即m=0;当m≠0时,B=,由A∪B=A,得=1或-1,即m=1或-1.故m=1或-1或0.答案:D12设I={1,2,3,4},A与B是I的子集,若A∩B={1,3},则称(A,B)为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”的个数是(规定(A,B)与(B,A)是两个不同的“理想配集”)()A.4B.8C.9D.16解析:对子集A分类讨论:当A是两元素集{1,3}时,B可以为{1,2,3,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3},共4种结果;当A是三元素集{1,2,3}时,B可以取{1,3,4},{1,3},共2种结果;当A是三元素集{1,3,4}时,B可以为{1,2,3},{1,3},共2种结果;当A是四元素集{1,2,3,4}时,此时B取{1,3},有1种结果.综上所述,共有4+2+2+1=9种结果,故选C.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案:填在题中的横线上)13若2∉{x|x-a<0},则实数a的取值集合是.解析:由题意知,{x|x-a<0}={x|x<a},∵2∉{x|x-a<0},∴a≤2,∴实数a的取值集合是{a|a≤2}.答案:{a|a≤2}14已知集合M={2},N={x|2x-a=0},且M∩N=N,则实数a=.解析:N=,∵M∩N=N,∴N⊆M.∴∈{2},即=2.∴a=4.答案:415已知集合A={x,y},B={2,2y},若A=B,则x+y=.解析:当x=2,y=2y时,x=2,y=0,则x+y=2;当x=2y,y=2时,x=4,y=2,则x+y=6.答案:2或616已知集合A={x|x≤-2,或x>1},B={x|2a-3<x<a+1},若A∪B=R,则a的取值范围是.解析:∵集合A={x|x≤-2,或x>1},B={x|2a-3<x<a+1},且A∪B=R,--∴解得0<a≤,∴a的范围是0<a≤.答案:0<a≤三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)设A={x∈Z|-6≤x≤6},B={1,2,3},C={3,4,5,6}.求(1)A∪(B∩C);(2)A∩[∁A(B∪C)].解(1)由题意知,A={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}.∵B∩C={3},∴A∪(B∩C)={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}.(2)∵B∪C={1,2,3,4,5,6},∴∁A(B∪C)={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0},∴A∩[∁A(B∪C)]={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0}.18(12分)已知集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.(1)求A∩B;(2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值范围.解(1)由题意知B={x|x≥2},∴A∩B={x|2≤x<3}.(2)由题意知C=-,∵B∪C=C,∴B⊆C.∴-<2,∴a>-4.19(12分)设全集U=R,A={x∈R|a≤x≤2},B={x∈R|2x+1≤x+3,且3x≥2}.(1)若B⊆A,求实数a的取值范围;(2)若a=1,求A∪B,(∁U A)∩B.解(1)B=且,又B⊆A,∴a≤.(2)若a=1,则A={x|1≤x≤2},此时A∪B={x|1≤x≤2}∪=.由∁U A={x|x<1,或x>2},得(∁U A)∩B={x|x<1,或x>2}∩.20(12分)已知全集U=R,集合A={x|2x+a>0},B={x|x<-1,或x>3}.(1)当a=2时,求集合A∩B,A∪B;(2)若A∩(∁U B)=⌀,求实数a的取值范围.解由2x+a>0得x>-,即A=-.(1)当a=2时,A={x|x>-1}.∴A∩B={x|x>3}.A∪B={x|x≠-1}.(2)∵B={x|x<-1,或x>3},∴∁U B={x|-1≤x≤3}.又A∩(∁U B)=⌀,∴-≥3,解得a≤-6.∴实数a的取值范围是(-∞,-6].21(12分)已知集合A={x|2m+1≤x≤3m-5},B={x|x<-1,或x>16}.(1)若A∩B=⌀,求实数m的取值范围;(2)若A⊆(A∩B),求实数m的取值范围.解(1)∵A={x|2m+1≤x≤3m-5},B={x|x<-1,或x>16},若A∩B=⌀, 则当A=⌀时,符合题意,此时2m+1>3m-5,所以m<6.当A≠⌀时,---所以6≤m≤7.综上所述,m≤7.(2)∵A={x|2m+1≤x≤3m-5},B={x|x<-1,或x>16},且A⊆(A∩B), ∴A为空集或A为B的非空子集.则2m+1>3m-5或---或-解得m<6或m>.22(12分)设数集M=,N=-,且M,N都是集合U={x|0≤x≤1}的子集,定义“b-a”为集合{x|a≤x≤b}的“长度”,求集合M∩N的长度的最小值.解在数轴上表示出集合M与N,可知当m=0且n=1,或n-=0且m+=1时,M∩N的“长度”最小.当m=0且n=1时,M∩N=,“长度”为;当m=且n=时,M∩N=,“长度”为.综上,M∩N的“长度”的最小值为.第二章函数§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识2.1函数概念课时过关·能力提升1已知函数f(x)=的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=()-A.{x|x≥-2}B.{x|x<2}C.{x|-2<x<2}D.{x|-2≤x<2}答案:D2函数f(x)=(x∈R)的值域是()A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]解析:由x2+1≥1,得0<≤1,故函数f(x)的值域为(0,1].答案:B3已知函数y=f(x)的定义域为(-1,3),则在同一坐标系中,函数f(x)的图像与直线x=2的交点有()A.0个B.1个C.2个D.0个或多个解析:函数y=f(x)的定义域为(-1,3),则在同一坐标系中,函数f(x)的图像与直线x=2的交点个数有1个,故选B.答案:B4已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则此函数的定义域为()A.RB.{x|x>0}C.{x|0<x<5}D.解析:∵等腰三角形的周长为10,∴-<x<5.-答案:D5已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表,则方程g(f(x))=x的解集为()x 1 2 3A.{1}B.{2}C.{3}D.⌀解析:当x=1时,g(f(1))=g(2)=2,不符合题意;当x=2时,g(f(2))=g(3)=1,不符合题意;当x=3时,g(f(3))=g(1)=3,符合题意.故选C.答案:C★6若函数f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1的定义域和值域都为R,则a的值是()A.a=-1或a=3B.a=-1C.a=3D.a不存在解析:因为函数f(x)的定义域和值域都为R,所以函数f(x)为一次函数,即---解得a=-1.故选B.答案:B7函数y=的定义域是.解析:要使该函数有意义,则x+2≥0,故x≥-2.答案:{x|x≥-2}8已知集合M={x|y=x2+1},集合N={y|y=x2+1},则M∩N=.解析:∵M=R,N={y|y≥1},∴M∩N={y|y≥1}.答案:{y|y≥1}9函数f(x)=(--2)0+-的定义域是.答案:{x|x>1,且x≠5}10已知函数f(x)=.(1)求f(2);(2)求函数f(x)的值域.解(1)f(2)=.(2)f(x)=-=1-,又≠0,∴1-≠1,∴f(x)≠1,故函数f(x)的值域是(-∞,1)∪(1,+∞).11若f{f[f(x)]}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.解设f(x)=ax+b(a≠0),则f[f(x)]=a2x+ab+b,f{f[f(x)]}=a(a2x+ab+b)+b=a3x+a2b+ab+b,所以解得则f(x)=3x+2.★12已知函数f(x)=.(1)求f(2)与f,f(3)与f.(2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f的关系吗?并证明你的发现.(3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 016)+f+f+…+f.解(1)∵f(x)=,∴f(2)=,f,f(3)=,f.(2)由(1)中的结果发现f(x)+f=1.证明如下:f(x)+f==1.(3)f(1)=.由(2)知f(2)+f=1,f(3)+f=1,…f(2 016)+f=1,∴原式=…=2 015+.个2.2函数的表示法第1课时函数的三种表示方法课时过关·能力提升1已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:则f(g(1))=()A.2B.1C.3D.不确定解析:由已知得g(1)=3,所以f(g(1))=f(3)=1.答案:B2去年国庆长假期间,某日8时至16时累计参观故宫人数的折线图如图所示,那么在8时~9时,9时~10时,…,15时~16时的八个时段中,入宫人数最多的时段是()A.8时~9时B.11时~12时C.13时~14时D.15时~16时解析:结合函数图像可知,在8时~9时,9时~10时,…,15时~16时的八个时段中,图像变化最快的,增加得最快的是11时~12时之间,故选B.答案:B,则当x≠0,且x≠1时,f(x)=()3若f-A. B.-C.D.-1-答案:B4下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是()A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x解析:因为f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x),所以A满足要求;因为f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x),所以B满足要求;因为f(2x)=2x+1≠2(x+1)=2f(x),所以C不满足要求;因为f(2x)=-2x=2f(x),所以D满足要求.故选C.答案:C5若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数y=f(2x-1)的定义域是()A.[0,1]B.[0,2]C.D.[-1,3]解析:因为函数y=f(x)的定义域是[0,2],即0≤x≤2,所以0≤2x-1≤2,解得≤x≤.因此y=f(2x-1)的定义域是.答案:C6已知函数g(x)=1-2x,f[g(x)]=-(x≠0),则f(0)等于()A.-3B.-C.D.3解析:令g(x)=1-2x=0,则x=,则f(0)=-=3.故选D.答案:D7函数f(n)对任意实数n满足条件f(n+3)=,若f(1)=6,则f(7)的值为.解析:由f(n+3)=得,f(7)==f(1)=6.答案:6★8若2f(x)+f=2x+(x≠0),则f(2)=.答案:9如图,函数f(x)的图像是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),那么f的值等于.解析:由函数f(x)的图像,知f(1)=2,f(3)=1,则f=f(1)=2.答案:210求下列函数的解析式:(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);(2)已知f(1-x)=-,求f(x).解(1)∵f(x+1)=x2-3x+2=(x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6,∴f(x)=x2-5x+6.(2)令1-x=t,则x=1-t.又1-x2≥0,∴-1≤x≤1,∴0≤1-x≤2,即0≤t≤2.∴f(t)=---(0≤t≤2).∴f(x)=-(0≤x≤2).★11已知函数f(x)=(a,b为常数,且a≠0),满足f(2)=1,且f(x)=x有唯一解,(1)求函数y=f(x)的解析式.(2)求f(f(-3))的值.解(1)∵f(2)=1,∴=1,即2a+b=2.①又f(x)=x有唯一解,即=x有唯一解,∴ax2+(b-1)x=0有两个相等的实数根,∴Δ=(b-1)2=0,∴b=1,代入①得a=,∴f(x)=.=6,(2)由(1)知f(-3)=--故f(f(-3))=f(6)=.★12已知f(x)对任意的实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0)与f(1)的值;(2)求证:f=-f(x);(3)若f(2)=p,f(3)=q(p,q均为常数),求f(36).(1)解令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0;令a=1,b=0,得f(0)=f(1)+f(0),解得f(1)=0.(2)证明令a=,b=x,得f(1)=f+f(x)=0,即f=-f(x).(3)解令a=b=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2p,令a=b=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2q.令a=4,b=9,得f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q.第2课时分段函数课时过关·能力提升1已知f(x)=则f(f(f(-3)))=()A.0B.πC.π+1D.2π解析:因为-3<0,所以f(-3)=0,所以f(f(-3))=f(0)=π,又π>0,所以f(f(f(-3)))=f(π)=π+1.答案:C2函数f(x)=x+的图像是()解析:f(x)=-故选C.答案:C3某城市出租车起步价为10元,最长可租乘3 km(含3 km),以后每1 km为1.6元(不足1 km,按1 km计费),若出租车行驶在不需等待的公路上,则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为()解析:由题意,当0<x≤3时,y=10;当3<x≤4时,y=11.6;当4<x≤5时,y=13.2;……当n-1<x≤n时,y=10+(n-3)×1.6,故选C.答案:C4已知f(x)=则f+f-等于() A.-2 B.4 C.2 D.-4答案:B5已知f(x)=g(x)=3-2x,则f(g(2))=() A.-3 B.-2 C.3 D.-1解析:因为g(x)=3-2x,所以g(2)=3-2×2=-1<0,所以f(g(2))=f(-1)=-1+4=3.答案:C6拟定从甲地到乙地通话m min的话费y(元)满足y=其中[m]是不超过m的最大整数,如[3.74]=3,从甲地到乙地通话5.2 min的话费是()A.3.71元B.4.24元C.4.77元D.7.95元解析:f(5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+2)=4.77.答案:C7若函数f(x)=则f(-3)=.解析:f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=f(1+2)=f(3)=2×3=6.答案:6若f(1-a)=f(1+a),则a的值为.8已知实数a≠0,函数f(x)=--答案:---9已知函数f(x)=(1)求f-,f,f的值;(2)作出函数f(x)的简图;(3)求函数f(x)的值域.分析:给出的函数是分段函数,应注意在不同的自变量取值范围内函数有不同的解析式.(1)根据自变量的值所在的区间,选用相应的关系式求函数值.(2)函数f(x)在不同区间上的关系式都是常见的基本初等函数,因而可利用常见函数的图像完成作图.(3)函数的值域是各段函数值的集合的并集.解函数的定义域为[-1,0)∪[0,1)∪[1,2]=[-1,2].(1)∵-1≤x<0时,f(x)=-x,∴f-=--.∵0≤x<1时,f(x)=x2,∴f.∵1≤x≤2时,f(x)=x,∴f.(2)在同一平面直角坐标系中分段画出函数f(x)的图像,如图.(3)由(2)中函数f(x)的图像可知,函数的值域为[0,2].★10某市范围内住宅电话通话费为前3 min 0.20元,以后每分0.10元(不足3 min按3 min计,以后不足1 min按1 min 计).(1)在直角坐标系内,画出一次通话在6 min内(包括6 min)的通话费y(元)关于通话时间t(min)的函数图像;(2)如果一次通话t min(t>0),写出通话费y(元)关于通话时间t(min)的函数关系式(可用[t]表示不小于t的最小整数).解(1)如图:(2)由(1)知,话费与时间t的关系是分段函数,当0<t≤3时,话费为0.2元;当t>3时,话费应为[0.2+([t]-3)×0.1]元,所以y=-★11已知函数的图像由两条射线及开口向下的抛物线的一部分(包括端点)组成,如图,试求函数的解析式.解设左射线所在直线的解析式为y=kx+b,因为点(1,1),(0,2)在直线上,故由得-所以左射线的解析式为y=-x+2(x<1).同理可得右射线的解析式为y=x-2(x>3).再设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+2,因为点(1,1)在此抛物线上,所以a+2=1,a=-1,所以中间抛物线的解析式为y=-(x-2)2+2=-x2+4x-2,1≤x≤3.综上所述,所求函数的解析式为y=----2.3映射课时过关·能力提升1映射f:A→B,在f作用下A中元素(x,y)与B中元素(x-1,3-y)对应,则与B中元素(0,1)对应的A中元素是()A.(-1,2)B.(0,3)C.(1,2)D.(-1,3)2下列从集合A到集合B的对应中为映射的是()A.A=B=N+,对应关系f:x→y=|x-3|B.A=R,B={0,1},对应关系f:x→y=C.A={x|x>0},B={y|y∈R},对应关系f:x→y=±D.A=Z,B=Q,对应关系f:x→y=答案:B3集合A={a,b},B={-1,0,1},从A到B的映射f:A→B满足f(a)+f(b)=0,那么这样的映射f:A→B的个数为()A.2B.3C.5D.8解析:存在的映射有-1+1=0,1+(-1)=0,0+0=0共3个.答案:B4已知A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b是从A到B的映射,若3和7的原像分别是5和9,则6在f下的像是()A.3B.4C.5D.6解析:因为3和7的原像分别是5和9,所以解得-即f:x→y=x-2,所以当x=6时,y=6-2=4,故选B.答案:B5已知映射f:A→B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像,且对任意的a∈A,在B中和它对应的元素是|a|,则集合B中的元素的个数是() A.4 B.5 C.6 D.7解析:对应关系是f:a→|a|,因此3和-3对应的像是3;-2和2对应的像是2;1和-1对应的像是1;4对应的像是4,所以B={1,2,3,4}.6若A到B的映射f:x→3x-1,B到C的映射g:y→,则A到C的映射h:x→.解析:由题意,得y=3x-1,.--故h:x→.-答案:-7设集合A和B都是自然数集,映射f:A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n+n,则在映射f下,A中的元素对应B中的元素3.解析:对应关系为f:n→2n+n,根据2n+n=3,可得n=1.答案:18设a,b为实数,集合M=,N={a,0},f:x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b的值为.解析:∵f:x→x,∴M=N,∴=0,a=1,b=0.故a+b=1.答案:19设f,g都是由A到A的映射(其中A={1,2,3}),其对应关系如下表:设a=g(f(3)),b=g(g(2)),c=f(g(f(1))).试判断a,b,c的大小关系.解∵a=g(f(3))=g(1)=2,b=g(g(2))=g(1)=2,c=f(g(f(1)))=f(g(2))=f(1)=2,∴a=b=c.10设f:A→B是A到B的一个映射,其中A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,y)→(x-y,x+y).(1)求A中元素(-1,2)的像;(2)求B中元素(-1,2)的原像.解(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素为(-1-2,-1+2),即A中元素(-1,2)的像为(-3,1).(2)设A中元素(x,y)与B中元素(-1,2)对应,则由--解得所以B中元素(-1,2)的原像为.11已知从集合A到集合B={0,1,2,3}的映射f:x→-,试问集合A中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A.解∵f:x→-是从集合A到集合B的映射,∴A中每一个元素在集合B中都有像.令-=0,则该方程无解,故0没有原像.分别令-=1,2,3可得x=±2,±,±.故集合A中的元素最多为6个,即A=---.★12设映射f:A→B,其中A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,y)→(3x-2y+1,4x+3y-1).(1)求A中元素(3,4)的像.(2)求B中元素(5,10)的原像.(3)A中是否存在这样的元素(a,b)使它的像仍是它本身?若有,求出这个元素;反之,说明理由.解(1)因为所以--所以集合A中元素(3,4)的像是(2,23).(2)因为--所以所以集合B中元素(5,10)的原像是(2,1).(3)因为--即--解得所以存在元素使它的像仍是它本身.§3函数的单调性第1课时函数单调性的定义与判断课时过关·能力提升1设函数f(x)在区间(a,b),(c,d)上是增加的,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.不能确定答案:D2若y=f(x)是R上的增函数,且f(2m)<f(9-m),则实数m的取值范围是()A.(3,+∞)B.(-∞,3)C.(-∞,0)D.(-3,3)。
2024_2025学年新教材高中数学课时作业十基本不等式北师大版必修第一册
课时作业(十) 基本不等式[练基础]1．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．b C ．2ab D ．a 2＋b 22．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．[多选题]若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≥8 B.1ab ≥14C.ab ≥2D.1a ＋1b≤1 5．已知a >b >c ，则a －b b －c 与a －c 2的大小关系是________． 6．已知x >0，y >0，z >0且x ＋y ＋z ＝1，求证：x ＋y ＋z ≤ 3.[提实力]7．[多选题]若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式成立的是( )A ．ab ≤1 B.a ＋b ≤ 2C ．a 2＋b 2≥2 D.1a ＋1b≥2 8．若正数a ，b 满意ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________；a ＋b 的取值范围为________．9．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.[战疑难]10．若两个正实数x ，y 满意4x ＋1y ＝1，且不等式x ＋4y >m 2－6m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．课时作业(十) 基本不等式1．解析：∵0<a<b ，∴ab<⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴ab<14，∴2ab<12. ∵a2＋b22>a ＋b 2>0，∴ a2＋b22>12，∴a2＋b2>12. ∵b －(a2＋b2)＝(b －b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab －a2＝a(b －a)>0，∴b>a2＋b2，∴b 最大．故选B.答案：B2．解析：当b a ，a b 均为正数时，b a ＋a b≥2，故只需a 、b 同号即可，∴①③④均可以．答案：C3．解析：∵a>b>0，∴a2＋b2>2ab ，充分性成立，ab<a2＋b22⇒a ≠b ，a ，b ∈R ，必要性不成立，故选A.答案：A4．解析：a2＋b2≥a ＋b 22＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，A 正确；a ＋b ＝4≥2ab ，ab ≤4，1ab ≥14，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，B 正确，C 错误；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，D 错误．故选AB.答案：AB5．解析：∵a>b>c ，∴a －b>0，b －c>0.∴a －c 2＝a －b ＋b －c 2≥a －b b －c ，当且仅当a －b ＝b －c 即2b ＝a ＋c 时取等号． 答案：a －b b －c ≤a －c 2 6．证明：∵x>0，y>0，z>0，∴x ＋y ≥2xy ，x ＋z ≥2xz ，y ＋z ≥2yz ，∴2(x ＋y ＋z)≥2(xy ＋xz ＋yz)．∵x ＋y ＋z ＝1，∴xy ＋xz ＋yz ≤1成立．∴x ＋y ＋z ＋2(xy ＋xz ＋yz)≤3，即(x ＋y ＋z)2≤3.∴x ＋y ＋z ≤ 3.当且仅当x ＝y ＝z ＝13时，等号成立． 7．解析：∵ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，A 正确；(a ＋b)2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，∴a ＋b ≤2，B 错误；a2＋b2＝(a ＋b)2－ab ≥22－2×1＝2，C 正确；1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥1＋b a ·a b＝2，D 正确．故选ACD. 答案：ACD8．解析：∵ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，令t ＝ab<0，∴t2－2t －3≥0，∴(t －3)(t ＋1)≥0.∴t ≥3即ab ≥3，∴ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，又∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2. 令t ＝a ＋b>0，∴t2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0.∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．答案：[9，＋∞)，[6，＋∞)9．证明：(1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ， ∵a ＋b ＝1，a>0，b>0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)． (2)证法一：∵a>0，b>0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理，1＋1b ＝2＋a b， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)． 证法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8， 故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． 10．解析：∵4x ＋1y ＝1， ∴x ＋4y ＝(x ＋4y)⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝4＋16y x ＋x y＋4≥8＋216y x ·x y ＝16.当且仅当x ＝16y ，即y ＝4且x ＝64时取等号．∵x ＋4y>m2－6m 恒成立，则16>m2－6m ，解得－2<m<8.答案：(－2,8)。
精选题库高一数学 课堂训练10-7
第10章 第7节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2011·辽宁]从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A. 18 B. 14 C. 25 D. 12答案：B解析：∵P (A )＝C 22＋C 23C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14.2．[2012·浙江温州]某人射击一次击中的概率为35，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )A. 81125B. 54125C. 36125D. 27125答案：A解析：该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是P 1＝C 23·(35)2·25， 三次全部击中目标的概率是P 2＝C 33·(35)3，所以此人至少有两次击中目标的概率是 P ＝P 1＋P 2＝C 23·(35)2·25＋C 33·(35)3＝81125. 3．设随机变量X 服从二项分布X ～B (6，12)，则P (X ＝3)等于( )A.516B.316 C.58 D.38答案：A解析：P (X ＝3)＝C 36(12)3×(1－12)3＝516.4．[2011·湖北]如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8.则系统正常工作的概率为( )A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576答案：B解析：由已知P ＝P (K A 1A 2)＋P (K A 2A 1)＋P (KA 1A 2)＝0.9×0.2×0.8＋0.9×0.2×0.8＋0.9×0.8×0.8＝0.864.故选B.5．[2012·潍坊质检]箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )A. 16625 B. 96625 C. 624625D. 4625 答案：B解析：依题意得某人能够获奖的概率为1＋5C 26＝25(注：当摸的两个球中有标号为4的球时，此时两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸的两个球中有标号均不是4的球时，此时要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况)，因此所求概率等于C 34·(25)3·(1－25)＝96625，选B.6．一场5局3胜制的乒乓球对抗赛，当甲运动员先胜2局时，比赛因故中断．已知甲、乙水平相当，每局甲、乙胜的概率都为12，则这场比赛的奖金分配(甲∶乙)应为( )A ．6∶1B ．7∶1C ．3∶1D ．4∶1答案：B解析：奖金分配比即为甲乙取胜的概率比．甲前两局已胜，甲胜有3种情况①甲第三局胜为A 1，P (A 1)＝12，②甲第三局负第四局胜为A 2，P (A 2)＝12×12＝14，③第三局、第四局甲负，第五局甲胜为A 3，P (A 3)＝12×12×12＝18.所以甲胜的概率P ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝78，乙胜的概率则为18，所以选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7．[2012·陕西西安]某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__________．答案：0.128解析：依题意可知，该选手的第二个问题必答错，第三、四个问题必答对，故该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率P ＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.8．一次测量中，出现正误差和负误差的概率均为12，那么在5次测量中，至少3次出现正误差的概率是______．答案：12解析：由题意得在5次测量中，至少3次出现正误差的概率等于C 35·(12)5＋C 45·(12)5＋C 55·(12)5＝12. 9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． 答案：②④解析：对于①，P (B )＝C 15C 110×C 15C 111＋C 15C 110×C 14C 111＝922；对于②，P (B |A 1)＝C 15C 111＝511；对于③，由P (A 1)＝12，P (B )＝922，P (A 1·B )＝522知P (A 1·B )≠P (A 1)·P (B )．故事件B 与事件A 1不是相互独立事件；对于④，从甲罐中只取一球，若取出红就不可能是其他，故两两互斥； ⑤由①可算得．三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．[2010·天津]某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率； (3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分．若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．解：(1)设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫5，23.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P (X ＝2)＝C 25×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－233＝40243. (2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5) ＝⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233＝881. (3)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6. P (ξ＝0)＝P (A 1 A 2 A 3)＝⎝⎛⎭⎫133＝127；P (ξ＝1)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1 A 2A 3)＋P (A 1 A 2A 3) ＝23×⎝⎛⎭⎫132＋13×23×13＋⎝⎛⎭⎫132×23＝29； P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427；P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝⎝⎛⎭⎫232×13＋13×⎝⎛⎭⎫232＝827； P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827. 所以ξ的分布列是11.[2012·击击中气球的概率分别为34、45，且每次射击相互之间没有影响．(1)若甲单独射击3次，求恰好两次击中气球的概率； (2)若两人各射击2次，求至少3次击中气球的概率．解：(1)甲射击3次，可以看作三次独立重复试验，则恰好两次击中气球的概率P ＝C 23(34)2·14＝2764. (2)两人各射击2次，至少3次击中气球含两种情况：记3次击中气球为事件A ， P (A )＝(34)2×C 12×45×15＋C 12×34×14×(45)2＝2150； 记4次击中气球为事件B ，P (B )＝(34)2×(45)2＝925；所求概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝2150＋925＝3950.12．[2011·山东]红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘，已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)求ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.解：(1)红队至少两名队员获胜可分为四类，即甲乙、甲丙、乙丙，甲乙丙胜， ∴P ＝0.6×0.5×0.5×2＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)ξ的可能取值为0、1、2、3，且 P (ξ＝0)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5×2＝0.35， P (ξ＝2)＝0.6×0.5×0.5×2＋0.4×0.5×0.5＝0.4， P (ξ＝3)＝0.6×0.5×0.5＝0.15, ∴ξ的分布列为∴数学期望Eξ＝0×。
高中数学同步测试卷(十)北师大数学选修1-1(2021学年)
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高中同步测试卷(十）单元检测函数的单调性与极值（时间:1２0分钟,满分：1５０分)一、选择题(本大题共１2小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设ｆ(x）＝ｘ2（2－x）,则f(x)的递增区间是( )A。
错误!ﻩB．错误!C.(－∞，0) Ｄ.(－∞，０）∪错误!2．函数f（x）＝错误!ｘ3－x２+x+a的极值点有( )A．0个B．1个Ｃ．2个ﻩD．与ａ的取值有关3.已知函数f（x）=ｘ＋ln ｘ,则有（ )A.ｆ(２)<ｆ(e）〈f（3) Ｂ.f(e）〈f(2)〈f(３)C.f(3)〈ｆ(e）<ｆ（２）D.f（ｅ）<ｆ（３）＜f（２)4。
如图,在半径为H的半圆形中，阴影部分的面积S是h的函数（0≤h≤Ｈ），则该函数的图像是( )5.已知实数a,ｂ，c,d成等比数列,且曲线ｙ＝3x-ｘ3的极大值点坐标为（b，c)，则ad等于( )A．2 ﻩＢ.1C.－1 ﻩD．－２6。
已知f(ｘ) 的定义域为R,ｆ(ｘ)的导函数f′(x)的图像如图所示,则( )Ａ．ｆ(ｘ）在x=1处取得极小值B．f（x)在x＝1处取得极大值C.f(x)是R上的增函数D．f（x）是（-∞,1）上的减函数,(1，+∞)上的增函数7．若函数f（x)＝-x3+ａx２-x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是( )A.（－∞，-错误!]∪［错误!,＋∞)ﻩB.［－错误!，错误!］Ｃ.(-∞，-3）∪(３，＋∞)ﻩD．(－＼ｒ(3),错误!)8.函数f(x）的定义域为R，f(-1）=2，对任意x∈Ｒ,f′(x)＞2,则f(x)〉２ｘ＋4的解集为( )A.（－1，1）ﻩB．(－１，+∞)C.(-∞，-1）ﻩD．(-∞,＋∞）９．设a〉0，b>0，ｅ是自然对数的底数（）Ａ.若eａ＋2a＝e b＋3ｂ，则ａ>ｂB．若ｅａ+２a=e b+3ｂ,则ａ<bC．若e a－2a=eｂ－３b，则a〉b D．若e a-2a=e b-3b，则a＜b10.已知函数f(ｘ）＝x3+ａｘ2＋bx+c有两个极值点x１,x2,若f(x1）=x1〈x2,则关于x的方程３（f（x)）2＋２ａf（x)＋b＝０的不同实根个数为（）A．3 ﻩ B.4Ｃ.5 ﻩＤ.611.若函数ｆ(x)＝kｘ－ln ｘ在区间(1,＋∞）上单调递增,则k的取值范围是( )A.(-∞，-2］Ｂ．(－∞,-１］Ｃ．［２,+∞） D.［１，＋∞）１２.f(ｘ）是定义在（0,＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′（ｘ)+f(x）≤0,对任意正数a，b，若ａ<b,则必有( )A．ａf(a)≤f(b) B．bf（ｂ)≤f（a)C.af(b)≤bｆ(a）ﻩD.bｆ(a)≤aｆ(b)题号１23４567891０１１12答案二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共2０分，把答案填在题中横线上)13.已知函数f(ｘ)=x(ｘ－c）2在x=2处有极大值,则c的值为__＿_＿___.1４。
北师大高中数学选择性必修第一册课时作业1 一次函数的图象与直线的方程直线的倾斜角、斜率及其关系
北师大高中数学选择性必修第一册课时作业1一次函数的图象与直线的方程直线的倾斜角、斜率及其关系(原卷版)一、选择题1.对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α≤180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置；④倾斜角越大，斜率k就越大.其中错误命题的个数是()A.1B.2C.3D.42.若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于()A.1±或0B.或0C. D.或03.如图，已知△AOB是等边三角形，则直线AB的斜率等于()A. B.－C. D.－4.设直线l的倾斜角为θ，则l关于y轴对称的直线的倾斜角是()A.θB.90°－θC.180°－θD.90°＋θ5.已知经过点A(2，3)的直线l不经过第四象限，则直线l的斜率k 的取值范围是()A.(－1，0]B.[0，1]C.[1，2]D.6.直线过点A(2，3)和B(m，7)，且倾斜角θ满足90°＜θ＜180°，则m的取值范围是()A.m≥2B.m≤2C.m＞2D.m＜27.过点A(－)与点B(－)的直线的一个方向向量为()A.(1，1)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－2)8.(多选题)下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有()A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C.若一条直线的斜率为tanα，则该直线的倾斜角为αD.若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tanα二、填空题9.直线l经过A(3，1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的斜率为1；倾斜角α的取值范围是1＋m.10.直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是(90°，180.11.已知过点P(－2，1)的直线l与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则直线l的斜率的;取值范围是1＋m.三、解答题12.已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1).(1)当m为何值时，直线l的斜率是1?(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°?13.直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围.14.已知直线l经过两点O(0，0)，A(1，)，直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是－.15.已知A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)可以构成三角形，实数a的取值范围为－.16.已知两点A(－2，2)，B(m，3).(1)求直线AB的斜率k；(2)若实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围.北师大高中数学选择性必修第一册课时作业1一次函数的图象与直线的方程直线的倾斜角、斜率及其关系(解析版)一、选择题1.对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α≤180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置；④倾斜角越大，斜率k就越大.其中错误命题的个数是(B)A.1B.2C.3D.4解析：由倾斜角和斜率概念可知②③正确；α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°，故①错误；当α∈时，α越大，斜率k就越大，同样α∈时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠时就不是了，故④错误.2.若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于(A)A.1±或0B.或0C. D.或0解析：∵平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，∴k AB ＝k AC，即，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.故选A.3.如图，已知△AOB是等边三角形，则直线AB的斜率等于(D)A. B.－C. D.－解析：因为△AOB是等边三角形，所以∠ABO＝60°.于是直线AB的倾斜角为120°，故AB的斜率为tan120°＝－.故选D.4.设直线l的倾斜角为θ，则l关于y轴对称的直线的倾斜角是(C)A.θB.90°－θC.180°－θD.90°＋θ解析：画出图(图略)，可知l1与l2的倾斜角总是互补的.故选C. 5.已知经过点A(2，3)的直线l不经过第四象限，则直线l的斜率k 的取值范围是(D)A.(－1，0]B.[0，1]C.[1，2]D.解析：作出图形(图略)可知直线l的斜率满足0≤k≤.故选D.6.直线过点A(2，3)和B(m，7)，且倾斜角θ满足90°＜θ＜180°，则m的取值范围是(D)A.m≥2B.m≤2C.m＞2D.m＜2解析：∵90°＜θ＜180°，∴斜率小于0，即＜0，∴m－2＜0，即m＜2.故选D.7.过点A(－)与点B(－)的直线的一个方向向量为(A)A.(1，1)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－2)解析：k AB＝＝1，故直线的一个方向向量为(1，1)，故选A.8.(多选题)下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有(AD)A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C.若一条直线的斜率为tanα，则该直线的倾斜角为αD.若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tanα解析：平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A正确；若直线的倾斜角为90°，而tan90°不存在，所以斜率不存在，故B错误；若一条直线的斜率为tanπ，因为tanπ＝1，即斜率为1，则该直线的倾斜角为，故C错误；若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tanα，故D正确.故选AD.二、填空题9.直线l经过A(3，1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的斜率为1＋m2；倾斜角α的取值范围是.解析：直线l的斜率k＝＝1＋m2≥1，所以k＝tanα≥1.又y＝tanα在上是增函数，因此≤α＜.10.直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是(90°，180°).解析：由题意，可得直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的范围是90°＜α＜180°.11.已知过点P(－2，1)的直线l与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则直线l的斜率的;取值范围是.解析：直线y＝－x＋2与坐标轴的交点为A(2，0)，B(0，2)，PA的斜率为，PB的斜率为，过点P(－2，1)的直线l 与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，故直线l的斜率的取值范围是.三、解答题12.已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1).(1)当m为何值时，直线l的斜率是1?(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°?解：(1)由题意，k MN＝＝1，解得m＝.(2)若直线l的倾斜角为90°，则l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1.13.直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围.解：如图所示.∵k AP＝＝1，k BP＝，又直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，所以由图象可得k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，因此倾斜角的取值范围为[45°，120°].14.已知直线l经过两点O(0，0)，A(1，)，直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是－.解析：依题意k OA＝，所以直线l的倾斜角为，所以直线m的倾斜角为，所以直线m的斜率为tan.15.已知A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)可以构成三角形，实数a的取值范围为.解析：由已知A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)可以构成三角形，则说明这三点不共线，当A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)三点共线时k AB＝k AC，即，解得a＝，所以a≠时，三点可以构成三角形.16.已知两点A(－2，2)，B(m，3).(1)求直线AB的斜率k；(2)若实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围.解：(1)当m＝－2时，直线AB的斜率k不存在；当m≠－2时，k ＝.(2)①当m＝－2时，α＝；②当m≠－2时，∵k＝，∴α∈.故综合①②得直线AB的倾斜角α∈.。
高中卷一北师大版高中数学必修一专题复习
北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解第一章集合与函数概念知识架构第一讲集合 ★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系： 文字语言符号语言 属于 不属于4.常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 *N 或+N二：集合间的基本关系表示 关系文字语言符号语言相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同B A ⊆且A ⊆B ⇔ 子集 A 中任意一元素均为B 中的元素B A ⊆或A B ⊇ 真子集A 中任意一元素均为B 中的元素，且B 中至少有一元素不是A 的元素空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A ⊆φ，φB （φ≠B ）三：集合的基本运算①两个集合的交集:A B I ={}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集:A B U ={}x x A x B ∈∈或; ③设全集是U,集合A U ⊆,则U C A ={}x x U x A ∈∉且交并补集合集 合 表 示 法 集 合 的 运 算 集 合 的 关 系 列 举 法 描 述 法 图 示 法 包 含 相 等 子集与真子交 集 并 集 补 集 函数函数 及其表示 函数基本性质单调性与最值函数的概念函数 的 奇偶性 函数的表示法 映射映射的概念 集合与函数概念★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。
重难点： 1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{})(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：问题：已知集合221,1,9432x y x y M xN y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N=（） A.Φ；B.{})2,0(),0,3(；C.[]3,3-；D.{}3,2[错解]误以为集合M 表示椭圆14922=+y x ，集合N 表示直线123=+yx ，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B[正解]C ；显然{}33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M I(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。
2023-2024学年高一数学同步精品课堂(北师大版2019必修第一册)+1
本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂 价为每件12元，每月的
销售量 y(单位:件)与销售单价 x(单位:元)之间的关系近似满足一次函数：y = −10x + 500.
(1)设袁阳每月获得的利润为 w(单位:元)，写出每月获得的利润 w 与销售单价 x 的函数关系
而是转化为前面的形式求解，
即
− >
⇔
− >
− + − >
.
− − >
(3)一元二次方程根的分布问题，数形结合法是解决此类问题的好方法．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
例5 某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满.该农家院欲提高档次，
方程144 2 + 592 − 54 ∙ 592 = 0的两根为1 ≈ −50.18, 2 ≈ 26.01，由于 > 0，
所以144 2 + 592 − 54 ∙ 592 ≤ 0的解集为0 < ≤ 26.01，
所以最大限制速度为26/ℎ.
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例6 为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策:由政府协调，本市企业按成本价提供产
品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.袁阳按照相关政策投资销售
本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂 价为每件12元，每月的
当这辆卡车不装货物且以59/ℎ的速度行驶时，得0.02 = 592 ，
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第10章第1节
时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)
1．不等式A6n＜6A5n的解集为()
A．[2,8]B．(6,11) C．[6,11) D．{11}
答案：C
解析：A6n＜6A5n，
∴
n！
(n－6)！
＜
6·n！
(n－5)！
，
∴n－5＜6，∴n＜11，
又∵n≥6，n≥5，
∴6≤n＜11，故选C.
2．[2012·广东揭阳]某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有()
A. 180种
B. 360种
C. 720种
D. 960种
答案：D
解析：按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位各有4种选法，因此该车主的车牌号码可选的所有可能情况共有A15·A13·A14·A14·A14＝960种，故选D.
3. [2012·江西井冈山]有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有()
A．1260种B．2025种
C．2520种D．5040种
答案：C
解析：第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C210种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C18种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C17种选派方法．根据分步乘法计数原理易得选派方法种数为C210·C18·C17＝2520.
4．2010年广州亚运会组委会要从A、B、C、D、E五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中A和B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()
A．48种B．36种
C．18种D．12种
答案：B
解析：分A和B都选中和只选中一个两种情况；当A和B都选中时，有A22·A23种选派方案；当A和B 只选中一个时，有2A12·A33种选派方案，所以不同的选派方案共有A22A23＋2A12·A33＝36种．
5. [2012·安徽“江南十校”联考]在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有()
A. 576
B. 720
C. 864
D. 1152
答案：C
解析：先让数字1,3,5,7作全排列，有A44＝24种，再排数字6，由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6有3种排法，最后排数字2,4，在剩下的4个空隙中排上2,4，有A24种排法，故共有A44×3×A24＝864种排列方式．
6. [2012·安徽合肥]某班有四名学生参加了志愿者工作，将这四名学生分到A，B，C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有()
A. 36种
B. 30种
C. 24种
D. 20种
答案：C
解析：若A馆只分配一人，则可从除甲以外的其他3名学生选一人，有C13种，其余三人分配到B、C 两个馆，有C23·A22种，因此有C13·C23·A22＝18种分配方案；若A馆分配二人，可从除甲以外的其他3名学生中选二人，有C23种，其余两人分配到B、C两个馆，有A22种，因此有C23·A22＝6种，故一共有18＋6＝24种分配方案．
二、填空题(每小题7分，共21分)
7. 在全运会期间，5名志愿者被安排参加三个不同比赛项目的接待服务工作，则每个项目至少有一人参加的安排方法有__________种．
答案：150
解析：现将5名志愿者按2,2,1或1,1,3分组，再排列，共有(C25C23C11
2！
＋
C15C14C33
2！
)A33＝150种不同的安排
方法．
8. [2012·广东联考]某国家代表队要从6名短跑运动员中选4人参加亚运会4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有______种参赛方法．
答案：252
解析：分情况讨论：①若甲、乙均不参赛，则有A44＝24种参赛方法；②若甲、乙有且只有一人参赛，则有C12·C34(A44－A33)＝144种；③若甲、乙两人均参赛，则有C24(A44－2A33＋A22)＝84种，故一共有24＋144＋84＝252种参赛方法．
9．[2011·湖北]给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，
黑色正方形互不相邻
．．．．的着色方案如下图所示：
由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻
．．．．的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形
相邻
．．的着色方案共有__________种．(结果用数值表示)
答案：2143
解析：如图所示六个正方形
若互不相邻有：(1)不着黑色，共有1种；
(2)着一格黑色共有C16＝6种；
(3)着两格黑色共有C26－C15＝10种；
(4)着三格黑色共有4种．
共计21种．
所有着色情况共有26＝64种，又由上知互不相邻的着色方案有21种．
故至少有两个相邻的着色方案共有64－21＝43种．
三、解答题(10、11题12分、12题13分)
10. 某班某天有七节课上午4节，下午3节，安排语、数、外、理、化、生及体育，要求数学在上午，体育在上午第四节或下午共有多少种不同的排课方法．
解：以元素为线索，先排数学，再排体育最后排没有限制的其它5节，数学可以上午的四节中任选一节有4种方法，而对于数学排在一二三节与排在第四节，再排体育方法数不一样，所以分类，第一类，数学在前三节，A13A14A55，第二类数学在第四节有A13A55.
∴共有A13A14A55＋A13A55＝1800.
11．有5张卡片的正反面上分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排在一起组成三位数，共可以组成多少个不同的三位数？
解：以“元素”进行分类，满足下列条件的三位数有以下三类：
(1)不要0和1的有C34·A33·23个；
(2)要1不要0的有C24·A33·22个；
(3)要0不要1的有2C24·22·A22个．
故共可得到不同的三位数有
C34·A33·23＋C24·A33·22＋2C24·22·A22＝432(个)．
12．有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：
(1)共有多少种放法？
(2)恰有一个空盒，有多少种放法？
(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？
解：(1)1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法．同理，2、3、4号小球也各有4种放法，故共有44＝256种放法．
(2)恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2.先从4个小球中任选2个放在一起，有C24种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有A34种放法．由分步计数原理，知共有C24A34＝144种不同的放法．
(3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：
①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有C14种分法，再放到2个盒子内，有A24种放法，共有C14A24种方法；
②2个盒子内各放2个小球．先从4个盒子中选出2个盒子，有C24种选法，然后把4个小球平均分成2组，每组2个，放入2个盒子内，也有C24种选法，共有C24C24种方法．
由分类计数原理知共有C14A24＋C24C24＝84种不同的放法．。