2018-2019学年山东省淄博市部分学校高一下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年山东省淄博市部分学校高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,2,3,log 1A B x x =-=≤，则A B =I （ ） A ．{}1,2 B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,2,3D ．{}1,0,1,2,3-【答案】A【解析】由2log 1x ≤，得02x <≤，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案. 【详解】因为{}{}{}21,0,1,2,3,log 102A B x x x x =-=≤=<≤，所以{}1,2A B =I . 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的交集运算及对数不等式.2．若角α的终边经过点()1,2P --，则sin α=（ ）A．B． CD【答案】B【解析】根据任意角的三角函数的定义，可以直接求到本题答案. 【详解】因为点()1,2P --在角α的终边上，所以sin 5y rα===-. 故选：B 【点睛】本题主要考查利用任意角的三角函数的定义求值.3．已知直线1:230l x ay +-=与()2:110l a x y -++=，若12l l //，则a =（ ） A ．2 B ．1C ．2或-1D ．-2或1【答案】C【解析】由两直线平行的等价条件，即可得到本题答案. 【详解】因为12l l //，所以23111a a -=≠-，解得2a =或1a =-. 故选：C 【点睛】本题主要考查利用两直线平行的等价条件求值.4．已知向量4a b ==r r ，且12a b ⋅=-r r ，则a r 与b r 的夹角为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【解析】直接由平面向量的数量积公式，即可得到本题答案. 【详解】设a r 与b r 的夹角为θ，由4a b ==r r ，12a b ⋅=-r r，cos 2a b a b θ⋅===-r r r r ，所以56πθ=. 故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积公式. 5．已知tan 3α=，tan 5β=，则()tan αβ-=（ ）A ．18- B ．18 C ．47-D ．47【答案】A【解析】由()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，代入运算即可得解.【详解】解：因为tan 3α=，tan 5β=， 所以()tan tan 3511ta tan n tan 1358αβαβαβ--===-++⨯-.故选：A. 【点睛】本题考查了两角差的正切公式，属基础题.6．在ABC V 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若3,23a b B π===，则A =（ ）A ．4π B ．4π或34πC ．6π或56πD ．6π【答案】D【解析】直接利用正弦定理，即可得到本题答案，记得要检验，大边对大角. 【详解】 因为sin sin a b A B=，所以sin 1sin 2a B A b ==，又a b <，所以A B <，6A π=. 故选：D 【点睛】本题主要考查利用正弦定理求角. 7．要得到函数1cos 312y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数1cos 3y x =的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 【答案】C【解析】由11cos cos 31234y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则只需将函数1cos 3y x =的图象向左平移4π个单位长度. 【详解】 解：因为11cos cos 31234y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以要得到函数1cos 312y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数1cos 3y x =的图象向左平移4π个单位长度. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换，属基础题.8．从某健康体检中心抽取了8名成人的身高数据（单位：厘米），数据分别为172，170，172，166，168，168，172，175，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A ．171 172B ．170 172C ．168 172D ．170 175【答案】A【解析】由中位数和众数的定义，即可得到本题答案. 【详解】把这组数据从小到大排列为166，168，168，170，172，172，172，175，则中位数为1701721712+=，众数为172. 故选：A 【点睛】本题主要考查中位数和众数的求法.9．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若::4:3:2a b c =，则2sin sin sin 2A BC-=（ ）A ．37B ．57C ．97D ．107【答案】D 【解析】由题意2sin sin 2sin sin 2sin 22sin cos 2cos A B A B a bC C C c C---==，再由余弦定理可求出cos C ，即可求出答案.【详解】 由题意2sin sin 2sin sin 2sin 22sin cos 2cos A B A B a b C C C c C---==，::4:3:2a b c =，设4,3,2a k b k c k ===，由余弦定理可得：()2216947cos 2438k C k +-==⨯⨯， 则()832sin sin 107sin 2748k A B C k --==⨯.故选D. 【点睛】本题考查了正、余弦定理的应用，考查了计算能力，属于中档题.10．已知ABC V的三个顶点都在一个球面上，4AB BC AC ===，且该球的球心到平面ABC 的距离为2，则该球的表面积为（ ）A．80πB．16053πC．32πD．6423π【答案】C【解析】先算出ABC∆的外接圆的半径，然后根据勾股定理可得球的半径，由此即可得到本题答案.【详解】设点O为球心，因为22,4AB BC AC===，所以ABC∆的外接圆的圆心为AC的中点M，且半径2r=，又因为该球的球心到平面CAB的距离为2，即2OM=，在Rt OAM∆中，222222OA=+=，所以该球的半径为=22R，则该球的表面积为24=32Rππ.故选：C【点睛】本题主要考查球的表面积的相关问题.11．若圆()()()222120x y r r-++=>上有且仅有两个点到直线260x y-+=的距5r的取值范围是（）A．(0,25B．5,35C．5,25D．(25,35【答案】B【解析】先求出圆心()1,2-到直线260x y-+=的距离，然后结合图象，即可得到本题答案.【详解】由题意可得，圆心()1,2-到直线260x y-+=的距离为()()2221262521d⨯--+==+-故由图可知，当5r =时，圆()()22125x y -++=上有且仅有一个点到直线260x y -+=的距离等于5；当35r =时，圆()()221245x y -++=上有且仅有三个点到直线260x y -+=的距离等于5； 当则r 的取值范围为()5,35时，圆()()()222120x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线260x y -+=的距离等于5.故选：B 【点睛】本题主要考查直线与圆的综合问题，数学结合是解决本题的关键. 12．已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题得，再由题分析得到，解不等式分析即得解. 【详解】 因为，，所以． 因为在区间内没有零点，所以，，解得，．因为，所以． 因为，所以或． 当时，；当时，．故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的零点问题和三角函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于中档题.二、填空题13．若函数()()3xf x a x R =+∈的图象过点()2,3，则()0f =___________.【答案】5-【解析】由()()3xf x a x R =+∈过点()2,3，求得a ，代入()f x ，令0x =，即可得到本题答案 【详解】因为()3x f x a =+的图象过点()2,3，所以233,6a a +==-，所以()36xf x =-，故()05f =-. 故答案为：-5 【点睛】本题主要考查函数的解析式及利用解析式求值.14．一组样本数据8，10，18，12的方差为___________. 【答案】14【解析】直接利用平均数和方差的公式，即可得到本题答案. 【详解】 平均数8101812124x +++==，方差222221[(812)(1012)(1812)+(12)]144s =⨯-+-+-=12-. 故答案为：14 【点睛】本题主要考查平均数公式与方差公式的应用.15．在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，O 是对角线AC 与BD 的交点，若点F 是线段CD 上的动点，且点F 关于点O 的对称点为G ，则BF OG ⋅u u u r u u u r的最小值为______. 【答案】-6【解析】由题意()01CF CD λλ=≤≤u u u r u u u r，然后结合向量共线及数量积运算可得()()BF OG BC CF BG BO⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()11BC BA BC BO CD BA CD BO λλλλ=-⋅-⋅+-⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，再将已知条件代入求解即可. 【详解】解：菱形的对称性知，G 在线段AB 上，且AG CF =，设()01CF CD λλ=≤≤u u u r u u u r， 则()1BG BA λ=-u u u r u u u r ，所以()()BF OG BC CF BG BO ⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()1BC CD BA BO λλ⎡⎤=+⋅--⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r()()11BC BA BC BO CD BA CD BOλλλλ=-⋅-⋅+-⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()221341341λλλλλλ=--+--=---，又因为[]0,1λ∈，当1λ=时，BF OG ⋅u u u r u u u r取得最小值-6. 故答案为：-6. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了向量共线及数量积运算，属中档题.三、解答题16．已知扇形的半径为3，面积为9，则该扇形的弧长为___________. 【答案】6【解析】直接利用扇形的面积公式，即可得到本题答案.【详解】因为扇形的半径3r =，扇形的面积S 9=，由12S lr =，得26Sl r ==，所以该扇形的弧长为6. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查扇形的面积公式的应用.17．已知向量()sin ,2a α=-r ，()5,cos b α=r ，且a b ⊥r r.（1）求tan α的值；（2）求()()()()23sin cos sin 2cos 22sin cos cos 22παπααπαπππααπα⎛⎫++-++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）25；（2）215【解析】（1）由向量垂直的坐标运算可得5sin 2cos αα=，再求解即可；（2）利用三角函数诱导公式可得原式22sin sin cos 2cos sin cos αααααα-+=+，再构造齐次式求解即可. 【详解】解：（1）因为a b ⊥r r，所以0a b ⋅=r r ，因为()sin ,2a α=-r ，()5,cos b α=r ，所以5sin 2cos 0a b αα=-⋅=r r，即5sin 2cos αα=，故sin 2tan cos 5ααα==. （2）()()()()23sin cos sin 2cos 22sin cos cos 22παπααπαπππααπα⎛⎫++-++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin sin cos 2cos sin cos αααααα-+=+ 2tan tan 2tan 1ααα-+=+ 422255215215-+==⨯+. 【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算，重点考查了三角函数诱导公式及构造齐次式求值，属中档题.18．某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了 50名学生的成绩（满分100分，且抽取的学生成绩都在[]50,100内），按成绩分为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）用分层抽样的方法从月考成绩在[]80,100内的学生中抽取6人，求分别抽取月考成绩在[)80,90和[]90,100内的学生多少人；（2）在（1）的前提下，从这6名学生中随机抽取2名学生进行调查，求月考成绩在[]90,100内至少有1名学生被抽到的概率.【答案】（1）[)80,90有4人，[]90,100有2人；（2）35【解析】（1）由频率分布直方图，求出成绩在[)80,90和[]90,100内的频率的比值，再按比例抽取即可；（2）由古典概型的概率的求法，先求出从这6名学生中随机抽取2名学生的所有不同取法，再求出被抽到的学生至少有1名月考成绩在[]90,100内的不同取法，再求解即可. 【详解】解：（1）因为()0.0080.0240.0440.008101a ++++⨯=，所以0.016a =， 则月考成绩在[)80,90内的学生有500.016108⨯⨯=人； 月考成绩在[]90,100内的学生有500.008104⨯⨯=人， 则成绩在[)80,90和[]90,100内的频率的比值为2:1，故用分层抽样的方法从月考成绩在[)80,90内的学生中抽取4人， 从月考成绩在[]90,100内的学生中抽取2人.（2）由（1）可知，被抽取的6人中有4人的月考成绩在[)80,90内，分别记为a ，b ，c ，d ；有2人的月考成绩在[]90,100内，分别记为A ，B .则从这6名学生中随机抽取2名学生的情况为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a A ，(),a B ，(),b c ，(),b d ，(),b A ，(),b B ，(),c d ，(),c A ，(),c B ，(),d A ，(),d B ，(),A B ，共15种；被抽到的学生至少有1名月考成绩在[]90,100内的情况为(),a A ，(),a B ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，(),c B ，(),d A ，(),d B ，(),A B ，共9种.故月考成绩[]90,100内至少有1名学生被抽到的概率为93155P ==. 【点睛】本题考查了分层抽样，重点考查了古典概型概率的求法，属中档题.19．如图，在三棱锥A BCD -中，,AB AD BC BD ⊥⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，点E F ，（E 与A D ，不重合）分别在棱AD BD ，上，且EF AD ⊥.（1）证明：//EF 平面ABC . （2）证明：AD AC ⊥.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）通过证明//EF AB ，来证//EF 平面ABC ； （2）通过证明AD ⊥平面ABC ，即可得到本题答案. 【详解】证明：（1）在ABD △中，因为,AB AD EF AD ⊥⊥，所以//EF AB . 又因为EF ⊄平面ABC ，AB Ì平面ABC ，所以//EF 平面ABC .（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC AD ⊥.又因为,AB AD BC AB B ⊥=I ，AB Ì平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC .又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行及直线与直线垂直的判定. 20．在锐角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且3sin cos sin cos 02a A C c A A +-=. （1）求角A 的大小；（2）若4a =，求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）60A =︒；（2）3【解析】（1）利用正弦定理边转化为角，逐步化简，即可得到本题答案； （2）由余弦定理得，222211622b c bc b c bc =+-⨯=+-，综合222b c bc +≥，得16bc ≤，从而可得到本题答案.【详解】（1）因为3sin cos sin cos 0a A C c A A +=， 所以23sin cos sin Csin cos 0A C A A B +=， 即()3sin sin cos cos sin 02A A C A CB +-=，所以sin sin 02A B B -=，又sin 0B ≠，所以sin A =，由ABC ∆为锐角三角形，则60A =︒； （2）因为2222cos ,60,4a b c bc A A a ︒=+-==，所以222211622b c bc b c bc =+-⨯=+-， 所以162bc bc bc ≥-=，即16bc ≤（当且仅当4b c ==时取等号），所以11sin 16sin 6022ABC S bc A ∆=≤⨯⨯︒=【点睛】本题主要考查利用正弦定理边角转化求角，以及余弦定理和基本不等式综合运用求三角形面积的最大值.21．已知函数()()()()2cos +2cos 02f x x x x πϕϕϕϕ⎛⎫=+++<< ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期； （2）若13f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求当()2f x =时自变量x 的取值集合. 【答案】（1）π；（2）12x x k ππ⎧=-+⎨⎩或()4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭【解析】（1）由辅助角公式可得()f x 2sin 2216x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，再求周期即可； （2）由13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出12πϕ=，再解方程2sin 2123x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭即可. 【详解】 解：（1）()()()()2cos 2cos f x x x x ϕϕϕ=++++()()2cos21x x ϕϕ++++2sin 2216x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为2T ππω==.（2）因为13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2sin 221136ππϕ⎛⎫⨯+++= ⎪⎝⎭，即()526k k Z πϕπ+=∈， 解得()5212k k Z ππϕ=-∈. 因为02πϕ<<，所以12πϕ=.因为()2f x =，所以2sin 2123x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即1sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2236x k πππ+=+或()52236x k k Z πππ+=+∈， 解得12x k ππ=-+或()4x k k Z ππ=+∈.故当()2f x =时，自变量x 的取值集合为12x x k ππ⎧=-+⎨⎩或()4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，重点考查了解三角方程，属中档题.22．已知圆22:9O x y +=（O 为坐标原点），直线:100l y +-=.（1）过直线l 上任意一点A 作圆O 的两条切线，切点分别为B C ，，求四边形ABOC 面积的最小值. （2）过点()3,0P的直线PM PN ，分别与圆O 交于点M N ，（M N ，不与P 重合），若3PM PN k k ⋅=-，试问直线MN 是否过定点？并说明理由. 【答案】（1）12；（2）过定点，理由见解析【解析】（1）由5OA d ≥=，得过点A 的切线长4AB =≥=，所以四边形ABOC 的面积为4312AB OB ≥⨯=，即可得到本题答案； （2）设直线PM 的方程为()3y k x =-，则直线PN 的方程为()33y x k=--. 联立方程()2293x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，整理得()()()2231330x k x k ⎡⎤-+--=⎣⎦， 得222336,11k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，22227318,99k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以(22226433:131k k k MN y x k k k k ⎛⎫--+=-≠ ⎪+-+⎝⎭，令1k =±，即可得到本题答案. 【详解】（1）由题意可得圆心O 到直线l的距离为5d ==，从而5OA d ≥=，则过点A的切线长4AB ==.故四边形ABOC 的面积为4312AB OB ≥⨯=，即四边形ABOC 面积的最小值为12. （2）因为3PM PN k k ⋅=-，所以直线PM 与直线PN 的斜率都存在，且不为0. 设直线PM 的方程为()3y k x =-，则直线PN 的方程为()33y x k=--. 联立方程()2293x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，整理得()()()2231330x k x k ⎡⎤-+--=⎣⎦ 解得3x =或22331k x k -=+，则222336,11k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 同理可得22227318,99k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.所以(22226433:131k k k MN y x k k k k ⎛⎫--+=-≠ ⎪+-+⎝⎭. 令1k =±，得3232y x y x +=⎧⎨-=-⎩，解得320x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩.取3,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，可以证得243QM QN k k k k ==--，所以直线MN 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.当k =MN x ⊥轴，易知OPM ∆与OPN ∆均为正三角形，直线MN 的方程为32x =，也过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭. 综上，直线MN 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查与椭圆相关的四边形面积的范围问题以及与椭圆有关的直线过定点问题，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理是解决此类问题的常用方法.。