“变式”与数学学习
浅谈变式训练在数学教学中的运用
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中掌生数理化． 掌研版
浅 谈 变 式 训 练 在 数 学教 学 中的运 用
■ 刘 强
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（ ９ ） 实验报告（ １ ０分 ） ．
Ａ ． 几乎没有文字错误 ， 结 构严 谨 规 范 ， 解 释简洁 、 科学 ， 并 对 可 能性 能 做 出预 测 ． Ｂ ． 出现的文字表达错误不影响理解 ， 结构基 本合 理 ， 但 没 有对可能性进行探讨． Ｃ ． 错 误 比较 多 ， 或结构 不完 整、 不规 范 ， 给 理 解 造 成 一 定
解 得 一 ．
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（ ２ ） 若 两车相遇后相距 ８ Ｏ千 米 ， 此 时 设 ｚ小 时 后 两 车 相
距 ８ Ｏ千 米 ． 得 ：
６ ５ ｘ＋ ８ ５ ｘ一 ４ ５ ０ ＋８ ０ 。
Ｃ ０
２ ． 快 车先开 ３ Ｏ分 钟 ， 两 车相 向而行 ， 慢 车 行 驶 了 多 少 小
８５ ｘ一 ６ ５ ｘ一 ４ ５ ０．
解 得 一３ ．
２ ． 设慢车行驶 了 小时两车相遇 ， 则：
６ ５ ｘ＋ ８ ５× １ ／ ２ ＋８ ５ ｘ一 ４ ５ ０．
解 得 一 １ ２ ． ５ ．
变式 ５ ： 把 此 题 改 为工 程 问题 的 应 用 题 ． 甲、 乙 两 工 人 合 作
变式 ３ ： 在原题 后增加一 问 ： 两 车同时 开出 ， 相 向而行 ， 多
少小时后两次相距 ８ Ｏ千 米 ？
简略解答 （ １ ） 若两 车相遇前 相距 ８ Ｏ千 米 ， 此 时 设 ｚ小 时
浅谈变式教学法在初中数学教学中的应用
浅谈变式教学法在初中数学教学中的应用一、变式教学法的基本概念变式教学法是一种以学生为中心、以问题为导向的教学方法，它强调通过不同的变式设计，激发学生的思维，促进学生的探究和发现，培养学生的创新意识和解决问题的能力。
变式教学法注重学生的参与性和综合能力的培养，不再是单一的知识传授，而是通过不同形式的变式设计，激发学生的学习兴趣，激活学生的学习动力，提高学生的学习效果。
二、变式教学法在初中数学教学中的应用1. 激发学生的学习兴趣初中生对数学往往存在一定的抵触情绪，认为数学是枯燥乏味的学科。
而采用变式教学法，可以设计各种形式的变式问题，使学生在解决问题的过程中感受到数学的趣味性和挑战性，从而激发学生对数学的学习兴趣。
在解决一道复杂的代数题目时，可以设计多种不同的变式，让学生体验到数学的神奇和乐趣，从而改变他们对数学的负面情绪。
2. 提高学生的学习主动性传统的数学教学往往是教师在讲台上讲解，学生在座位上听讲，缺乏互动和参与。
而变式教学法强调学生的参与性和主动性，通过设计问题和情境让学生自主探究，培养学生的解决问题的能力。
在初中数学教学中，可以通过设计开放性的变式问题，让学生在解决问题的过程中进行自主思考和探索，从而提高他们的学习主动性和自主学习能力。
3. 培养学生的创新意识和解决问题的能力变式教学法注重多样性和灵活性，教师可以通过设计一些新颖的问题和情境，激发学生的创新意识和解决问题的能力。
在初中数学教学中，可以设计一些具有启发性和挑战性的变式问题，让学生在解决问题的过程中灵活运用所学的知识，培养他们的创新思维和解决问题的能力。
4. 增强学生的记忆和理解通过变式教学法，可以设计多种不同形式的变式，让学生在解决问题的过程中进行不断的反复练习和思考，增强学生的记忆和理解。
在初中代数的教学中，可以设计多种不同形式的代数式变式，让学生在反复练习的过程中加深对代数式的理解，从而提高他们的记忆和理解能力。
三、变式教学法在初中数学教学中的实施策略1. 合理设置变式在变式教学中，变式的设置是至关重要的。
加强变式教学，提升数学教学有效性
加强变式教学，提升数学教学有效性摘要;问题解决是数学教学的主要任务，其核心素养是发展学生的思维，而变式训练是提高学生问题解决能力和思维发展的关键。
本文从教学“变式”，理清知识内在联系；习题“变式”，提高问题解决能力；模型“变式”，提升思维的灵活性这三个策略出发，讲述如何利用“变式”提升学生的思维品质和问题解决能力。
关键字:变式问题解决思维能力1.现状透视问题解决能力是数学核心素养的综合体现，是学生思维能力、问题分析能力的综合体现。
数学变式训练实质上是对数学知识结构和思维模式的变化练习，通过变式训练，将零散的知识进行系统化整理，让学生在比较、分析、探究中形成新的知识结构，发展思维水平。
调查发现，大部分教师越来越重视对学生进行变式训练，通过对学习材料的选择和整合，经过系统的归类和练习，帮助学生理清不同的概念特征。
但学生的问题解决能力依旧薄弱，往往会因为理解不深、认知不透、忽视直观、缺乏系统等原因导致解决问题过程中出现错误和偏差。
主要存在以下几个问题：1．审题意识薄弱良好的审题习惯与方法是解决问题的关键，是学生提高数学解题能力的先决条件。
而现实教学时，学生在审题过程中，总是出现没有仔细审题或缺少有效方法进行审题。
由于数学语言比较精炼，常常由于一字之差，导致解题时发生错误。
如六年级上册《分数乘法》中的习题：（1）小明走了5km，小梅比他多走 km，小梅走了多少千米？（2）小明走了5km，小梅比他多走，小梅走了多少千米？学生对于“量”与“率”不能准确区分或者审题时马虎大意导致了解题过程发生错误。
因此，对题组的整合和训练显得尤为重要，通过理解和比较不同习题之间的结构与关系，加深对知识内涵的理解与运用。
1.学习材料单一习题训练在小学数学教学中具有多重功能，不仅承载着练习与巩固、拓展与运用的基础功能，还具有发散思维、激励创新、提高数学素养等多重价值。
现实教学中，教师在课堂教学中以课本为主，照本宣科，缺少整合而且没有充分利用习题的多重功能，导致学生的思维得不到尽可能多的锻炼。
变式教学在数学课堂中的运用
变式教学在数学课堂中的运用福建厦门市槟榔中学蔡建华变式教学是被教学实践所证实的具有良好教学效果的中国式的教学方法.在数学课堂中恰当地运用变式教学可以有效促进学生对概念本质的理解,提高学生的问题解决能力,培养学生的创新意识.下面笔者就结合自己的教学实践谈谈变式教学在数学课堂中的一些具体运用以及由此引发的思考.1运用变式展现概念形成过程,突出对数学知识本质的理解在数学课堂中我们经常要进行概念的教学,如果仅仅把概念看作是一个既定的结果,认为书上就是这么“规定”的,而我们的学生只要“接受”它,把“节省”的时间用来“操练”就可以了,那么我们的学生所看到的就只剩下概念那冰冷的外表,而体验不到概念生成的火热思考过程,概念留给学生的印象就只是抽象、枯燥、乏味,这时候学生对概念的理解也只是形式的、肤浅的,并没有真正理解概念的本质属性.例如,在“代数式概念”的教学中,如果我们这样设计教学过程:(1)按课本直接给出代数式概念;(2)给出一些代数式、非代数式的例子,带领学生紧扣概念进行辨别;(3)提供若干辨别代数式的练习,让学生模仿.这个过程可谓是单刀直入,把概念以定论的形式直接呈现给了学生,而把课堂的大部分时间留给所谓的“练习”,学生的任务则只是“跟着我学”的简单模仿.这里学生体会不到数学知识的形成过程,只能被动接受这些“静态”的现成结果,进而就是简单的令人生厌的模仿与复制,因此学生对概念的认识仍然是模糊的、浮于表面的.显然上述的教学设计未能很好地贯彻“淡化形式,注重本质”的原则.如果我们重视知识发生的过程,把教学作为一个活动的过程,通过变式教学设置合理的情境,给学生一个体验的空间,让学生参与到活动中去,那将会有另一番的景象.例如,我们可以创设这样的一个活动过程:按图示的方式,用火柴棒搭三角形.搭1个三角形需要3根火柴棒,搭2个三角形需要()根火柴棒,搭3个三角形需要()根火柴棒.搭10个这样的三角形需要多少根火柴棒?搭100个这样的三角形呢?你是怎样得到的?如果用x表示所搭三角形的个数,那么搭x个这样的三角形需要多少根火柴棒?你是怎样表示出搭x个这样的三角形需要多少根火柴棒的?请与同学交流、分享不同的算法.这里我们运用变式教学创设问题情境,让学生以自己的直接经验为基础,在探索中经历了一个有指导的“再创造”过程:如何由若干特例归纳出其中蕴涵的规律;同时尝试用数学符号表达自己的发现,体验“字母”代“数”的意义,形成初步的符号感.经历操作和思考、表达与交流等过程,学生不仅接触到了代数式,更了解到为什么要学习代数式,从而逐步形成数学概念.通过这样的方式进行概念教学,显然比将一个现成的定义强加给学生要有效得多.此外,在数学概念特别是几何概念的教学中,我们还可以运用变式对概念中非本质属性进行变换,构建一个变异的空间,让学生在直观的强烈对比和思维的激烈冲突中准确获得概念的本质属性.例如:在讲解对顶角概念时,我们可以通过呈现如下的变式图形,使学生十分直观地理解概念的本质属性.2运用变式铺设“阶梯”,创设“最近发展区”,提高问题解决能力教学实践中我们经常会听到老师们在水平测验后抱怨:反复讲过、练过好几遍的同类题目学生还是没能掌握.问题出在哪里呢?难道是教学出问题了?可是已经把重点、难点、关健讲得很仔细了呀！我们需要反思:这些题目是否在学生还不具有足够充分的准备下就过早地给出了呢?在这些题目的解决中学生主动参与到数学思维中去了吗?学生又是否真正理解了问题解决过程以及对问题本身的结构有了清晰的认识?教学实践表明问题具有能被学生“跳一跳,摘得到”的难度,最能激起学生的思维,形成所谓“愤排”状态.如果把过难的问题直接交给学生,学生怎么也“够不着”,就会挫伤学习的积极性;如果平铺直叙地讲解,又由于当中“拐弯”多,部分学生囫囵吞枣难以真正理解,就会造成在新的情境中学生仍旧束手无策的局面.只有通过设置梯度合适的“阶梯”,沟通新旧知识的联系,把问题解决建立在学生“最近发展区”的基础上,一个一个台阶地过渡、递进,才能挖掘出学生的最大潜力,才能实现问题解决能力的飞跃.如在“均值不等式应用”的教学中,有这么一个问题:问题④:求函数22(10)1x xy xx+=<≤+的最小值.这是个较为复杂的问题,如果我们直接要求学生求解,恐怕很多学生会束手无策,问题的解决也就陷入了困境.如何激活学生的思维?著名数学教育家波利亚有句名言:回到最简单的问题.我们可以从问题①:求函数y x=+ 4/x(0)x>的最小值这个简单问题开始,但问题④(复杂问题)与问题①(简单问题)之间的联系不够明显,因此需要在两者之间铺设合适的“阶梯”,于是根据学生的现有水平可引入问题②:求函数234x xyx+=(x0)>的最小值以及问题③:求函数22(1)1x xy xx+=>+的最小值作为“阶梯”.从而问题②可化归为问题①,问题③通过换元法可化归为问题②,最后问题④化归为问题③而得到解决.在整个问题解决过程中学生始终处于教师所激发形成的“愤排”状态中,体验思维的过程,在教师所创设的一个个的“最近发展区”中完成思维的飞跃,学生思维的积极性被调动起来了,教师的“教”有效转化为学生的“学”.3运用一题多变,引导深层次数学思维,培养数学创新意识教学中我们往往都很重视发挥课本的示范作用,也经常会向学生提及某些考题的“原型”就在课本中,它们之间其实是“源”与’“流”的关系,而联系它们的纽带正是“变式”.有时我们的学生会感到困惑:明明做了很多题目为什么收效却不明显.我们也不难发现他们在实际解题中往往是“做一题丢一题”,不懂得去反思、梳理题与题之间的关系,更不能在深层次上理解把握问题.然而通过一题多变却能使一题变式成多题进而有效带动一片问题的解决,帮助学生从“题海”中摆脱出来.实际教学中我们可以选择一些有探索价值的问题进行变换条件、条件弱化、条件一般化、条件开放化、条件类比等多角度深层次的连环变式,激起学生思维的火花和强烈的求知欲望,而学生在经历一系列的思维碰撞后对问题本身就会有了深刻的认识,就会举一反三、触类旁通,就会获得活跃的灵感,从而有效提高解题能力.实践表明这个过程往往也能极大地调动学生学习热情,激励探索精神,培养创新意识.如有这么一道题:求函数24y x x=+5, [3,4]x∈的值域.学生容易犯的错误主要有两个:(1)忽略了“顶点”不在给定区间内这一事实;(2)不加思索直接就把两个端点值带入而得解.靠教师的再三“强调”来纠正错误的效果并不理想,学生往往很快就会“故伎重演”.我们可以让学生变更题目条件自己来提出新问题.刚开始学生提出的问题可能会比较肤浅,不过毕竟是他们自己提出来的,应该给予鼓励.此时,我们可以引导学生结合函数的图像来帮助思考,以便提出的问题更具代表性并从中挑选具有代表性的变换:①若[0,1]x∈呢?②若[1,4]x∈呢?学生在反思“变”所引起的“异”(解题过程差异)中逐步形成对问题的清晰认识,“错”就在理解中通过自我监控转化为“正”.趁热打铁,我们能不能变更条件让区间“动”起来呢?学生们跃跃欲试,思维也就随之进入了更加广阔的空间.那就用字母来“代”数,变换成:③若[,3]x a∈,且13a<<呢?再削弱一下条件,变换成:④若[,3]x a∈,且3a<呢?乘胜追击,推广到更一般的情形:⑤若[,1]x a a∈+呢?课堂闪动着创造性的“火花”,学生学习的热情高涨.还可以变换成开放题:⑥当x满足_______时,函数245y x x=+的值域是[1,5]?(填上一种你认为合适的条件即可)让不同层次的学生都能得到发展.当然对这道题的“开发”远不止于此,还可以引导学生选择函数解析式进行类似的变式和探究.在本例中,学生通过“一题多变”掌握了一类问题的实质和思维规律,达到了较高层次的抽象和概括,克服了思维的保守状态,培养了创造性思维能力.如果在数学教学中能经常选择一些有思维价值的素材进行一题多变,把探索研究引入课堂,不仅可以有效拓展学生的思维空间,而且还会潜移默化,让学生养成对问题进行变式探究的学习习惯,自觉地探究问题的变换形式,乃至推广到更为一般的结论,从而发展了深层次的思维,收获了探索未知领域的一种极为重要的手段.此外,在这个过程中学生提出的问题往往会超出了我们的课前预设,相应地就会对我们的教学应变提出了较高的要求,但更为重要的是学生成为了学习的真正主人.著名数学家R.柯朗曾经指出:数学教学有时竟演变成空洞的解题训练.这种训练虽然可以提高形式推导能力,但却不能导致真正的理解和深入的独立思考.除非学生和教师设法超越数学的形式主义,并努力去把握数学的实质,否则产生受挫和幻灭的危险将会更甚.应该说,变式教学在数学课堂中的恰当运用,可以有效促进学生对数学本质的理解,可以有效提高学生的问题解决能力,可以有效发展学生的深层次思维,培养探索精神、创新意识.然而,在教学实践中如何设置良好的问题情境让学生在变式中经历“再创造”过程,如何准确把握学生原有的认知水平进而铺设适当的化归“阶梯”,如何把握一题多变的深度,有效发展学生深层次思维等仍然需要我们在教学实践中不断去探索、反思、完善.(参考文献见)开发习题探究功能培养数学思维能力漳州教育学院方倩珊新《数学课程标准》指出:数学课程应开展“数学探究”、“数学建模”等学习活动,让学生体验数学发现和创造的历程;数学课程应注重提高学生的数学思维能力,让学生在学习数学和运用数学解决问题时,不断经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程,有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断.因此,在新的课程理念下,作为自主学习的一种手段——开发习题的探究功能,对于培养学生的数学思维能力具有良好成效.下面就以初等几何中的一道习题为例来说明这一点.案例一个西瓜切5刀,问最多能把西瓜切成几块?数学建模如果把西瓜理想化为整个空间,把刀理想化为一个平面,那么上述问题的数学模型即为空间最多能被5个平面分成几部分?直观感知通过几何直观易知:1个平面将空间分成两部分;2个平面最多能将空间分成4部分;3个平面最多能将空间分成8部分;4个平面呢?探究14个平面最多能将空间分成几部分?这就难以直观判断得出,我们把已得到的结果列于下表.平面数最多被分成的空间数122438观察猜想通过观察上表可知,每增加一个平面,最多被分成的空间数就增加1倍,由此可猜想:当平面是4时,空间数就变为16,这个猜想对吗?如何验证?空间想象我们知道处在一般位置的4个平面所分割出来的各部分空间,其中一个P11则它可表示为一个偶函数与一个奇函数之和.并探索出新命题的证法——构造法,培养了学生的独创性.例9若对0,1x x ≠≠的一切实数,都有1()()1x f x f x x+=+.求()f x .分析按常规解法进行两次替代,此题无法解决.首先启发学生取特殊值探究实验:若2x =,则1(2)()32f f +=;若12x=,则1()2f +3(1)2f =;若1x=,则(1)(2)0f f +=.再探究发现:(2)f 经过三次运算还原.最后产生解法:分别用x 、1x x 、11x 代入已知等式得1()()1x f x f x x+=+,11()()1x f f x x +=11x x +,11()()111f f x x x +=+,消去1()x f x 和1()1f x得321()2(1)xxf x x x=.这样在探究的活动中发现规律猜想结论,形成思路创造方法,体现了思维的独创性.总之,我们要感悟并实践新课程,在教学过程中精心安排教材、设计教法,充分重视各种思维能力间的联系和渗透,有的放矢地进行思维训练,在引导学生开展各种丰富多彩的探索活动中,培养他们的创新思维,发展他们的创新能力,为他们的可持续性发展创造条件.～～～～～～～～～～～～～～～～～～～(接P4)参考文献[1]唐瑞芬等.数学教学理论选讲.华东师范大学出版社.[2]马复.设计合理的数学教学.高等教育出版社.[3]周春荔等.数学创新意识培养与智力开发.首都师范大学出版社.[4]顾泠沅.教学改革的行动与诠释.人民教育出版社[5]R 柯朗等什么是数学复旦大学出版社浅谈在数学习题教学中培养学生观察思维的一些尝试福建石狮永宁中学曹水荣观察是思维的起点,世界上许多的发明、创造始于观察.所谓观察就是以人们的感知为基础,有目的、有选择地认识事物的本质和规律的一种方法.数学观察则是人们对数学问题在客观情境下考察其数量关系及其图形性质的方法.解答数学问题首先要从观察开始,通过观察对已得到的信息,联系已有的知识,经过思维分析,求出未知条件.因此问题的解决取决于观察是否全面细致,方法是否正确,否则就会造成对问题“束手无策”或“会而不对”,“对而不全”的现象.在教学中,我们常发现有的学生对审题重视不够,观察不够细致,匆匆一看就急于下笔,以至对题目的条件和要求还没吃透就解题,其结果是解错或半途而废.例1(2005年福建省高考试题第14题):非负实数,x y ,满足240,30.x y x y +<+≤则3x y+的最大值为_______.这是一道容易题,多数学生看完题目后都觉得会做,不加思考就求出直线24x y +0=与直线30x y +=的交点坐标(1,2),然后代入得到7.这就是学生没有进行细致的观察,忽略了“非负实数”条件而产生的错误,另一方面,没有画图或只是画一个草图,导致判断错误,结果是会而不对,后悔莫及.(本题正确答案是9,解略.)教学中还发现,有的学生只是单纯的做题或纯粹的“模仿”,不善于做解题后的“回顾”和“反思”,对例题和做过的题目中所体现的数学思想和方法,没有再作深层次的思考和总结,往往只要问题的背景或结论稍微改变,就观察不出问题的本质而使得解答错误或繁琐.....。
浅析变式教学在数学课堂中的应用
甚至有学生变式得 ： 在等 比数列 ｛ ａ ）中， 若前 １ ０项 积为 １ ０ ， 前 １ ０ ０项之积为 １ ０ ０ ， 求前 １ １ ０ 项之积．
２ ． 预设“ 陷 阱” ， 枷 ｌ 练 思 维 严谨 性
、
关 于 变 式 教 学
１ ． 变 式
所谓变 式 练 习， 是 指在 教 学相 关 条件 不 变 的情 况 下， 相关概念 与规则 的正 例变化． 顾 明远对 “ 变式 教学 ” 的解 释为 ： “ 在 教学 中使学 生确 切地 掌握概 念 的重要方 式之一． 即在教学 中用不 同形式直 观材料 或事例说 明事 物的本质属性 或变换 事 物 的非 本质 特征 以突 出事物 的 本质特征 ， 目的在 于使 学 生 了解 哪些 是 事物 的本 质特 征， 哪些是 事物 的非本 质特征 ， 从 而对事 物形成 科学概 念． ” 在这段话 里 ， 虽 没有直 接说 变式就 是 正例 的变 化 ， 但“ 是 变换事 物的非 本质 特征 以突 出事物 的本质 特征 ” 却 能明确感受 到．
； ②
） 一
．
伴随着思维层次的上 升 ， 很 多高 中数 学 的概念 变得 抽象 ， 如果教师直接给出概 念 ， 学生会 觉得很 突兀 ， 但若
学生易错 为第 （ Ⅱ） 组， 事实 上 ， 要 先考 虑 函数 的定
义域 ， 根据函数 的定义域将 函数 进行化 简后再判 断 函数 的奇偶性．
３ ． 深化基础 。 拓展 思 维
例如 ， 在《 指数函数》 第 一课 时 ， 可设置如下情境 ： ①提 出问题 ： 一张报纸 ， 把它对 折后撕 开 ， 然后将其 重叠后再撕一 次 ， 再重 叠 ， 再 撕一 次 ， 如 此重 复 ３次后 ，
浅谈变式教学在数学课堂中的应用
浅谈变式教学在数学课堂中的应用
变式教学是指一种基于学习者的认知特点、兴趣、体验和知识
程度，因材施教、激发学习潜能的教学方法。
在数学课堂中，变式
教学可以适应学生不同的认知方式和学习节奏，拓宽学习视野，提
高学生的学习效果。
变式教学在数学中的应用主要表现在以下几个方面：
1. 完整性教学
变式教学可帮助学生理解数学知识的完整性。
在数学课堂中，
老师可以通过给学生引导、提出问题，或展示有关数学概念的实际
应用等方式，让学生自己发现数学知识的完整性，从而提供更加协
调的学习方式。
2. 知识多元性表达
变式教学可以提供灵活的知识表达方式，让学生理解数学知识
的多元性。
通过多元表达方式，可以使学生不断受到挑战、自我鼓励，以及摆脱对数学课程的教条认知。
3. 探究式学习
变式教学也常常采用探究式学习的方式来增强学生的求索精神
和自主学习能力，让学生在数学课上通过观察、思考、实践等方式，自主发现和理解大量数学概念和方法，建立自己的数学体系。
4. 认知规律教学
在变式教学中，可以将清晰的认知规律表达进行融入数学教学。
这样可以从细节入手，激发学生的思考能力，让学生有效、快速地
掌握数学规则和方法。
总之，变式教学在数学中的应用，对于学生的数学学习、认知能力和发展具有积极的作用，可以使学生通过这种学习方式，涵养出独立思考、自我认知的能力，从而实现进一步提升其数学素养的目标。
浅谈“变式教学”在数学教学中的运用——高中概率易错问题辨析
④常 比．比较是理解的起点、判断的精华、分 析 的前 提 、推理 的基础 ．要让 学 生会 “ 中思异 ，异 同 中寻同，同异分化” ，尤其是在相似的问题中发现不
同点或在不 同的问题中指 出共同点 ，是比的习惯的 精髓 ．⑤深辨 ．即清晰地辨别各 知识点 ，尤应从各 变式背景 中窥视知识的本质属性 ，而不被表面现象 所迷 惑 ． 总 之 ， 师应 树立 “ 教 以学为 中心 ” 把 学 习的主 动 ， 权 交 给 学 生 ，充 分 挖 掘学 生学 习的创造 潜 能 ，以学
概率是高中数学新增内容 ，也是近几年高考 中 热 点 之 一 ．不 少 学 生对 这 部 分 内容 较 陌 生 ，笔者 在 复 习教学 中就利 用“ 变式教学” 对概率 中的一些容易
２ ６
福建中学数学
２ １ 年第 ３ ０２ 期
分 析 因为抽取 卡片 的结 果为 有限个 ，且每 个基
且其 在 绳子 上 的任 意 一点 的可 能 性相 等 ，所 以这 是 属于 几 何概 型 ．又 因为这 是 一 维 问题 ，故 其尺 度 为
线段 长 ．
本事件 出现的可能性相等 ，所以此问题也属于古典 概 型，但它是有放 回的抽取 ，也可用列举法解决 ． 点评 例题和变式都是古典概型 ，初看没什 么不 同 ，实实 际两 题 的抽 取方 式 不 同 ，例题 为 不放 回的 抽取 ，而变 式为 有放 回 的抽 取 ． ２古典概型与几何概型
形 成 的过程 ，从 而理 解 知识 的来 龙 去脉 ，形 成 知识 网络 ，使 学生抓 住 问题 的本质 ，加 深对 问题 的理 解 ．
混淆问题进行辨析 ，希望对读者有帮助． １放回与不放回 例 １一个盒子中装有标号为 １ ，３ ，５的 ，２ ，４ 五张卡片 ，现不放 回的从盒中随机抽取两张，求抽 取的数字之和大于 ５ 的概率 ． 分析 因为抽取卡片的结果为有限个，且每个基 本事件 出现的可能性相等 ，所以此问题属于 古典概 型 ，且是 不放 回的抽取 ，可 用列 举法解 决 ． 变式 一个盒子中装有标号为 ｌ ，３ ，５ ，２ ，４ 的 五 张卡 片 ，现 有 放 回的从 盒 中 随机抽 取 两 张 ，求抽 取 的数字 之和 大于 ５的概率 ．
例谈变式在数学教学中的应用
例谈变式在数学教学中的应用泉州七中吴大勤在教学一线的大部分教师可以说工作勤勤恳恳，把自己的知识毫无保留的传授给学生，但学生掌握知识的效果却给我们以极大的反差：许多我们认为学生已掌握的知识，在一次次考试中，只要对问题的背景或数量关系稍作演变，有的许多学生就无所适从。
许多实例也表明：在讲解时教师直接把自己的解题思路灌输给学生，就题论题。
对一些学生薄弱的地方没有进行深入的思考，处理方法单一，缺乏演变，再加上学生参与不够，这样的课堂就变得枯燥无味，而大量单一的、重复的机械性练习，达到的不是“生巧”，而是“生厌”，它不仅对学生知识与技能的掌握无所裨益，而且还会使学生逐步丧失学习数学的兴趣。
要改变上面所提到的现状，提高学生的学习兴趣，取得更佳的效果，关键是我们的数学课堂教法上要有所改变------变式教学是有效的、重要的教学手段，下面我结合教学实例，谈谈我的几点体会：一．变式教学对新概念教学的促进作用: 概念，在数学课中的比例较大。
能否正确理解概念，是学生学好数学的关键。
概念通常比较抽象，学生感觉枯燥，学习起来索然无味，对抽象概念的理解就显困难。
通过变式等手段，不仅能有效的解决这一难题，使学生渡过难关，而且还可加深学生对概念内涵和外延的更深层次的理解。
如在讲分式的意义时，一个分式的值为零，是指分式的分子为零而分母不为零，因此对于分式321X X +-的值为零时，在得到答案x=-3时。
实际上学生对“分子为零而分母不为零”这个条件还不是很清晰，难以辨析出学生是否考虑了“分母不为零”这个条件，此时可以做如下变形： X 31X _____X 32X-1X 32X X 3X-3-=±-=-变式：当时，分式的值为零（此时）变式： 当_____时，分式的值为零（此时） 所以说，运用变式教学，不仅能加深学生对新知识的理解、解决难点，还能对概念内涵和外延的更深层次的理解，增加课堂思维量，提高课堂教学有效性。
二．变式教学有利于培养学生良好的思维品质。
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２“ ．变式” 与数学原理教学 。在数学原 理的教学 中 ， 变式是促进学生理解原理的重要手 段 ，通过设置变式 ，
可 以增加理解原理的角度和途径。
一
图 １
图２
图１ 是一个正方形 ， 在正方形的 内部有 ４个全等的 直角 三角形 。设直角 三角形两条直 角边分别为 ａｂ 那 、，
当且仅 当 ａ ｂ时 ， ＝ 等号成立 。 那么会 因为代数符号 的抽象性 和代数变 换 的机械 性操 作 ， 使学 生体会 不到基本不等式 的意义 。 可以从 几何 角度理解基本不 等式 ， 图 ： 如
这个例子是通过非概念变式明确了概 念的外延 。 通 过非概念变式和概念 图形 的比较 ， 以直观地理解 概念 可 的本质 。
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【 教法研究 】
么正方式的边长为 Ｘ ａ 一 ／ ｒ 。这样 ４ ｄ － ￣ 个直角三角形的面 积为 ２ ｂ正方形 的面积为 ａ ｂ。由于 ４ ａ， ２ ＋ 个直 角三角形 的面积 和不 大于正方形 的面积 ，就 可以得 到基本不 等
式。
与特定 操作行为相联系 的条件 图式 ，从 而不 仅能正确 地执行 每个操 作步骤 ，而且还懂得如何适 当的使用技 能。 ４“ ． 变式” 与掌握数学思想方法。 数学思想方法 的教 学一定要注意避免 出现“ 功能固着” 。 例 如 ： 与 ｙ ａｘ １ 只有 一个 交点 ， ｎ的取 ＝ ＝（＋ ） 求 值， 学生此 时若 不假思索地使用判别式 ， 这就是方程思 想成为僵化的教条 的表现 。 当前 的题 型教学 、 方法策略教学是非常有 害的 ， 通 过强 化训练达 到“ 自动化 ” 的使 用方法 ， 思想方法 变 把 成 了教条 ， 这违 背了根据 问题背景 和条件 ， 择适当 的 选
【 教法研究 】
“ 式” 变 与数学 学 习
安徽师范大学 ２０ ０ ７教育硕士
葛 继 望 安徽省宣城市第 四中学
安徽
宣城市
２ ２０ ４ ００
摘要 ：变式” “ 即变更对 象非本质特征 的表现形式 ， 变更事物 的角度 与方法， 突出那些 隐蔽 的本质要素 。学生在
变式 中思维， 可以更好地 掌握事物的本质和规律 。变式是为深刻理 解 内容的精神 实质和思想方法服务的 ， 变式教 学 可以用于各类数 学知识的教 学 中。
在 ＡＡ Ｃ中 ，角 Ａ、 、 Ｂ Ｂ Ｃ所对的边分 别是 ａ ｂＣ Ｒ 、 、， 是 △Ａ Ｃ外接 圆的半径 。 Ｂ 变式
料， 确认关键属性 。④把新概念纳入到相应的概念体系 中， 已有 的概念建立有机 的联 系， 与 形成一个概念体系 。
在概念的学 习过程 中 ， 概念引入 中的变式 的材料和
径， 由此也可得基本不等式 。 ④原理应用 的各种变式情境 。 例 ４Ａ． ． 已知长方形 ， 周长 ２ ａ ｂ ， 面积 的最 大 （＋ ） 求
变 式 ２ ａｉ ＝ ｓ Ａ，ｓ Ｃ ｃｉ ｃｉ ＝ ｓ Ｃ ： ｎ ｂｉ ｂｉ ＝ ｓ Ｂ，ｓ Ａ ａｉ ． ｓＢ ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ 变 式 ３ ａ ２ ｓ Ａ，＝ Ｒ ｉ ｃ ２ ｓ Ｃ ： Ｒ ｉ ｂ ２ ｓ Ｂ，＝ Ｒ ｉ ． ＝ ｎ ｎ ｎ
例子有助于使学 生掌握概念 的本质 即概念 的内涵 ； 而在 学生获得 概念定义后 ，呈现变式的材料让学 生辨析 ， 有 助学生构建概念 的外延 ， 认识概念的本质。 例 １ ． 下列 四个图有何共同特征？
教学思想方法 的原则 。 数学思想方法 的变式 策略 ，就是通过具有适 当变
又如图 ２Ａ ， Ｂ是圆的直径 ， ｃ是 Ａ 点 Ｂ上一 点 ； ｃ ，＝ ４ 口Ｂ ＝ ， ， Ｃ ｂ 过点 ｃ 作垂 直于 Ａ Ｂ的弦 Ｄ 连接 Ａ Ｂ 因 Ｅ， Ｄ，Ｄ。
为 △Ａ Ｄ＇ ＡＤ Ｂ，所 以 Ｃ ＝ Ｃ － ＂ Ｃ Ｄ ，Ｄ不大 于圆的直 Ｃ
（ ） 差 角公式 。
③原理证 明方式 的变式 。 如均值不 等式 ：＞Ｏ ｂ ， Ｉ２ ａ ，＞０ 叶６ ＞ 的教学 ， 如 果从代数推理 的角度 ， 可让学生作如下推导 ：
（ － ）≥Ｏ ａ＋ ２２ ｂ≥ ０ ＋ ２ ｂ ａ ｂ ￣ ２ｂ＿ ａ ＝ ６≥ ａ
（ ／ 一 ／ ）＞０ ａ ｂ ２ ／６ ≥０ ａ ｂ 、 ａ 、 ｂ ＋ 一 、ｎ １ ＋ ≥２
变 ４ｉ＝ ，Ｂ ＇ ｃ ・ 式 ：ａ素 ｓ ｓ － ｓ ｎ ｉ ｎ ｉ景 ｎ
② 相关 知识 的广 泛联 系。 再如， 在两 角和（ ） 差 的三角公式 的教学 中 ， 公式 的
圃 圃
给 出的四个 图形 ， 形状不一 样 ， 但侧 棱都与底 面垂 直， 是变化的图形 ， 有共 同本质 。
关键词 ： 变式 数学 教 学
“ 变式” 即变更对象非本质特征 的表现形式 ， 变更事
促进数学原理理解的变式 ， 通常有以下来源 ：
①原理 的多样化 的表示 。
物 的角度与方法 ， 突出那些 隐蔽 的本质要素 。学生在变 式 中思维 ， 可以更好地掌握事物 的本质和规律 。变式是
为深刻理解内容 的精神实质和思想方法服务 的， 变式教 学可 以用于各类数学知识 的教学 中。
例 ２ 图 中是 棱 柱 吗 ？ ． 下
各种变形 、 特殊化等 ， 都是获取公式变式的方法 ， 某种程 度上 ， 以认 为所有 和 （ ） 可 差 角公式 都是公 式 ＣＳＯ ） Ｏ（￣ ＝０ ０ ｓ ａ ｉ 的变式 。通过令 卢 ， ｃｓｃ ＋ｉ ｓ ｆ ｎ ｎ ｌ ＝ 再令 ， 得 到公式 的不 同变现形式 ，从 而帮助学 生理解 和掌握和
例 ３ 于正弦定 理的表述有 ： ． 关
一
＝
一
＝
＝
２（ Ｒ Ｒ为 外 接 圆半 径 ） 引。 恢 ’
１ 变式” ． “ 与概念 教学 。 概念教学必须有 以下一些关 键要素 ： 观察一定数量 、 ① 形式变异 的事实性材料 。 ②分 化每个事实材料 的屙 ｌ 给出概念定义 。③辨析变式材 生，