中考冲刺：动手操作与运动变换型问题--巩固练习(提高) .doc
华东师大初中数学初三中考冲刺：动手操作与运动变换型问题--知识讲解(基础)
中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—知识讲解（基础）：【中考展望】1．对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.2．估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等和四边形的性质综合考查．需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力．图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)．2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等)．3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)．4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)．解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效．从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分.【方法点拨】实践操作问题：解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题．解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物出发，通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想．在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题．动态几何问题：1、动态几何常见类型（1）点动问题（一个动点）（2）线动问题（二个动点）（3）面动问题（三个动点）2、运动形式平移、旋转、翻折、滚动3、数学思想函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想4、解题思路（1）化动为静，动中求静（2）建立联系，计算说明（3）特殊探路，一般推证【典型例题】类型一、图形的折叠1．（2016•济南）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG= ．【思路点拨】如图2中，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x，利用勾股定理求出x，再利用△DME∽△FEN，得=，求出EN，EM，求出tan∠AMN，再证明∠EHG=∠AMN即可解决问题．【答案】45°．【解析】解：如图2中，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x，∵DE=EC，AB=CD=8，∴DE=CD=4，在RT△DEM中，∵DM2+DE2=EM2，∴（4）2+x2=（10﹣x）2，解得x=2.6，∴DM=2.6，AM=EM=7.4，∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，∴∠DEM=∠ENF，∵∠D=∠EFN=90°，∴△DME∽△FEN，∴=，∴=，∴EN=，∴AN=EN=，∴tan∠AMN==，如图3中，∵ME⊥EN，HG⊥EN，∴EM∥GH，∴∠NME=∠NHG，∵∠NME=∠AMN，∠EHG=∠NHG，∴∠AMN=∠EHG，∴tan∠EHG=tan∠AMN=．故答案为．【总结升华】本题考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会把问题转化，证明∠AMN=∠EHG是关键，属于中考填空题中的压轴题．举一反三：【变式】如图所示，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：________ (用“能”或“不能”填空)．若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由．【答案】解：能.如图所示，取四边形ABCD 各边的中点E ，F ，G ，H ，连接EG ，FH ，交点为O ．以EG ，FH 为裁剪线，EG ，FH 将四边形ABCD 分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，拼接时图中的Ⅰ不动，将Ⅱ，Ⅳ分别绕E ，H 旋转180°，将Ⅲ平移，拼成的四边形OO 1O 2O 3即为所求．沿CA 方向平移，将点C 平移到点A 位置．类型二、实践操作2．如图,在等腰梯形ABCD 中AB ∥CD,AB ＝高CE ＝对角线AC 、BD 交于H ，平行于线段BD 的两条直线MN 、RQ 同时从点A 出发沿AC 方向向点C 匀速平移，分别交等腰梯形ABCD 的边于M 、N 和R 、Q ，分别交对角线AC 于F 、G ；当直线RQ 到达点C 时，两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD 被直线MN 扫过的面积为1S ，被直线RQ 扫过的面积为2S ，若直线MN 平移的速度为1单位/秒,直线RQ 平移的速度为2单位/秒,设两直线移动的时间为x 秒.(1)填空:∠AHB ＝____________；AC ＝_____________；(2) 若213S S =,求x ；(3) 若21S mS =,求m 的变化范围.【思路点拨】(1) 如例2图-1所示,平移对角线DB,交AB的延长线于P.则四边形BPCD是平行四边形,BD＝PC,BP＝DC因为等腰梯形ABCD,AB∥CD,所以AC＝BD. 所以AC＝PC.又高CE＝＝所以AE＝EP＝所以∠AHB＝90°AC＝4；⑵直线移动有两种情况:32x<<及322x≤≤,需要分类讨论.①当32x<<时, 有2214S AGS AF⎛⎫==⎪⎝⎭. ∴213S S≠②当322x≤≤时,先用含有x的代数式分别表示1S,2S,然后由213S S=列出方程,解之可得x的值；(3) 分情况讨论:①当32x<<时, 214SmS==.②当322x≤≤时,由21S mS=,得()222188223xSmS x--==＝2123643x⎛⎫--+⎪⎝⎭.然后讨论这个函数的最值,确定m的变化范围. 【答案与解析】解： (1) 90°,4；(2)直线移动有两种情况:302x <<和322x ≤≤. ①当302x <<时,∵MN ∥BD,∴△AMN ∽△ARQ,△ANF ∽△AQG. 2214S AG S AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭. ∴213S S ≠ ②当322x ≤≤时, 如例2图-2所示,CG ＝4－2x,CH ＝1,14122BCD S ∆=⨯⨯=. ()22422821CRQ x S x ∆-⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭ 2123S x =,()22882S x =-- 由213S S =,得方程()22288233x x --=⨯, 解得165x =(舍去),22x =. ∴x ＝2.(3) 当302x <<时,m ＝4 当322x ≤≤时, 由21S mS =,得()2288223x m x --=＝2364812x x -+-＝2123643x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭. M 是1x 的二次函数, 当322x ≤≤时, 即当11223x ≤≤时, M 随1x 的增大而增大. 当32x =时,最大值m ＝4. 当x ＝2时,最小值m ＝3. ∴3≤m ≤4.【总结升华】本题是一道几何代数综合压轴题,重点考查等腰梯形, 相似三角形的性质,二次函数的增减性和最值及分类讨论,由特殊到一般的数学思想等的综合应用.解题时,(1)小题,通过平移对角线,将等腰梯形转化为等腰三角形,从而使问题得以简化,是我们解决梯形问题常用的方法.(2) 小题直线移动有两种情况:302x <<及322x ≤≤,需要分类讨论.这点万不可忽略,解题时用到的知识点主要是相似三角形面积比等于相似比的平方.(3) 小题仍需要分情况讨论.对于函数2123643m x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,讨论它的增减性和最值是个难点. 讨论之前点明我们把这个函数看作“M 是1x的二次函数”对顺利作答至关重要.3．已知等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，DE ⊥BC 于点E ，过点G 作GF ⊥BC 于点F ，把三角形纸片ABC 分别沿DG 、DE 、GF 按图①所示方式折叠．点A 、B 、C 分别落在A ′、B ′、C ′处．若点A ′、B ′、C ′在矩形DEFG 内或其边上．且互不重合，此时我们称A B C '''△ (即图中阴影部分)为“重叠三角形”．(1)若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格图中(图中每个小三角形都是边长为l 的等边三角形)，点A 、B 、C 、D 恰好落在网格图中的格点上，如图②所示，请直接写出此时重叠三角形A ′B ′C ′的面积；(2)实验探究：设AD 的长为m ，若重叠三角形A ′B ′C ′存在，试用含m 的代数式表示重叠三角形A ′B ′C ′的面积，并写出m 的取值范围(直接写出结果，备用图供实验探究使用)．【思路点拨】本题是折叠与对称类型操作题，折叠实质为对称变换，故轴对称的性质运用是解本类型题的关键．另外，本题对新概念“重叠三角形”的理解正确才能求得m 的取值范围．【答案与解析】解：(1)重叠三角形A ′B ′C理由：如题图，△A ′B ′C ′是边长为2的等边三角形．122⨯=(2)用含m 的代数式表示重叠三角形A ′B ′C 2)m -，m 的取值范围是83≤m ＜4． 理由：如图(1)，AD ＝m ，则BD ＝GC ＝8-m ，由轴对称的性质知DB ′＝DB ＝8-m ．DA ′＝DA ＝m ．∴A ′B ′＝DB ′－DA ′＝8－m —m ＝2(4－m)，由△ABC 是等边三角形及折叠过程知AA ′B ′C ′是等边三角形．2(4))m m -=-．212(4)))2A B C S m m m '''=⨯--=-△． 以下求m 的取值范围：如图(1)，若B ′与F 重合，则C ′与E 重合．由折叠过程知BE ＝EB ′＝EF ．CF ＝FC ′＝FE ．∴BE ＝EF ＝FC ＝83． ∵∠B ＝60°，BD ＝2BE ＝163， 168833AD =-=，即83m =． 若83m <，如图(2)，点B ′、C ′落在矩形DEFG 外，不合题意．∴83m ≥． 又由A ′B ′＝2(4-m)＞0，得m ＜4． ∴m 的取值范围是843m ≤<． 【总结升华】亲自操作实验有助于突破难点．举一反三：【图形的设计与操作及运动变换型问题 例2 】【变式】阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC 中，P 为BC 边上一定点，过点P 作一直线，使其等分△ABC 的面积．解决：情形1：如图①，若点P 恰为BC 的中点，作直线AP 即可．情形2：如图②，若点P 不是BC 的中点，则取BC 的中点D ，联结AP ，过点D 作DE ∥AP 交AC 于E ，作直线PE ，直线PE 即为所求直线．问题解决： 如图③，已知四边形ABCD ，过点B 作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD 的面积，并证明．【答案】解：如图③，取对角线AC的中点O，联结BO、DO、BD,过点O作OE∥BD交CD于E,∴直线BE即为所求直线类型三、动态数学问题4．如图①，有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′.(1)如图②，将△ACD沿A′C′边向上平移，使点A与点C′重合，连接A′D和BC，四边形A′BCD是形；（2）如图③，将△ACD的顶点A与A′点重合，然后绕点A沿逆时针方向旋转，使点D、A、B在同一直线上，则旋转角为度；连接CC′，四边形CDBC′是形；（3）如图④，将AC边与A′C′边重合，并使顶点B和D在AC边的同一侧，设AB、CD相交于E，连接BD，四边形ADBC是什么特殊四边形？请说明你的理由.【思路点拨】（1）利用平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可；（2）利用旋转变换的性质以及直角梯形判定得出即可；（3）利用等腰梯形的判定方法得出BD∥AC，AD=CE，即可得出答案．【答案与解析】解：（1）平行四边形；证明：∵AD=AB，AA′=AC，∴A′C与BD互相平分，∴四边形A′BCD是平行四边形；（2）∵DA由垂直于AB，逆时针旋转到点D、A、B在同一直线上，∴旋转角为90度；证明：∵∠D=∠B=90°，A，D，B在一条直线上，∴CD∥BC′，∴四边形CDBC′是直角梯形；故答案为：90，直角梯；（3）四边形ADBC是等腰梯形；证明：过点B作BM⊥AC，过点D作DN⊥AC，垂足分别为M，N，∵有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′．∴△ACD≌△A′BC′，∴BM=ND，∴BD∥AC，∵AD=BC，∴四边形ADBC是等腰梯形．【总结升华】此题主要考查了图形的剪拼与平行四边形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知识，熟练掌握判定定理是解题关键．举一反三：【图形的设计与操作及运动变换型问题例1 】【变式】（2015秋•莘县期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，0），C（6，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小，位似比为1：2，则线段AC中点P变换后对应点的坐标为．【答案】（322，）或（3-2-2，）.【解析】解：如图，∵A（2，2），C（6，4），∴点P的坐标为（4，3），∵以原点为位似中心将△ABC缩小位似比为1：2，∴线段AC的中点P变换后的对应点的坐标为（﹣2，﹣）或（2，）．故答案为：（2，）或（﹣2，﹣）．5．如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D 的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了秒（结果保留根号）．【思路点拨】根据图②判断出AB、BC的长度，过点B作BE⊥AD于点E，然后求出梯形ABCD的高BE，再根据t=2时△PAD的面积求出AD的长度，过点C作CF⊥AD于点F，然后求出DF的长度，利用勾股定理列式求出CD的长度，然后求出AB、BC、CD的和，再根据时间=路程÷速度，计算即可得解．【答案】（4+2）．【解析】解：由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4-2=2秒，∵动点P的运动速度是1cm/s，∴AB=2cm，BC=2cm，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，则四边形BCFE是矩形，∴BE=CF，BC=EF=2cm，∵∠A=60°，∴BE=ABsin60°=2×=，AE=ABcos60°=2×=1，∴×AD×BE=3，即×AD×=3，解得AD=6cm，∴DF=AD-AE-EF=6-1-2=3，在Rt△CDF中，CD===2，所以，动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+2=4+2，∵动点P的运动速度是1cm/s，∴点P从开始移动到停止移动一共用了（4+2）÷1=4+2（秒）．故答案为：（4+2）．【总结升华】本题考查了动点问题的函数图象，根据图②的三角形的面积的变化情况判断出AB、BC的长度是解题的关键，在梯形的问题中，作过梯形的上底边的两个顶点的高线是常见的辅助线．。
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中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—知识讲解（提高）【中考展望】1．对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.2．估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等和四边形的性质综合考查．需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力．图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)．2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等)．3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)．4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)．解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效．从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分.【方法点拨】实践操作问题：解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题．解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物出发，通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想．在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题．动态几何问题：1、动态几何常见类型（1）点动问题（一个动点）（2）线动问题（二个动点）（3）面动问题（三个动点）2、运动形式平移、旋转、翻折、滚动3、数学思想函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想4、解题思路（1）化动为静，动中求静（2）建立联系，计算说明（3）特殊探路，一般推证【典型例题】类型一、图形的剪拼问题1．直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下(如图所示)：请你用上面图示的方法，解答下列问题：(1)对下图中的三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；(2)对下图中的四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．【思路点拨】对于三角形的分割重组，要想拼成一个矩形，则分割时必须构造出直角来，示例中通过作中位线的垂线段而分割出①③两个直角三角形．对于四边形的分割重组，可以先把四边形转化为三角形的问题，再利用三角形的分割重组方法进行．【答案与解析】解：(1)如图所示：(2)如图所示：【总结升华】按照三角形的剪拼方法，探索规律，将任意四边形先分割成三角形，再进行剪拼，使学生经历由简单到复杂的探索过程．举一反三：【变式】（2016•绥化）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（）A． B． C． D．【答案】A .当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在直角三角形中间的位置上剪三角形，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且三角形关于对角线对称，三角形的AB边平行于正方形的边．再结合C点位置可得答案为C．故选C．类型二、实践操作2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．（1）求证：∠APB =∠BPH ；（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）要证∠APB=∠BPH ，由内错角∠APB=∠PBC ，即证∠PBC=∠BPH ，折叠后∠EBP=∠EPB=90°，再由性质等角的余角相等即可得证．（2）△PHD 的周长为PD+DH+PH ．过B 作BQ ⊥PH 构造直角三角形，再利用三角形全等：△ABP ≌△QBP 和△BCH ≌△BQH ．证明AP=QP ， CH=QH ，可得其周长为定值．（3）1()2S BE CF BC =+，关键是用x 来表示BE 、CF ．过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，先由边角关系得△EFM≌△BPA ，得EM AP ==x ．在Rt △APE 中可由勾股定理表示出BE ，再由228x CF BE EM x =-=+-，很容易用x 表示出S ，再配方求最值． 【答案与解析】 解：（1）∵PE=BE ， ∴∠EBP=∠EPB ． 又∵∠EPH=∠EBC=90°， ∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP ． 即∠PBC=∠BPH ． 又∵AD ∥BC ， ∴∠APB=∠PBC ． ∴∠APB=∠BPH ．（2）△PHD 的周长不变，为定值 8． 证明：过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ． 由（1）知∠APB=∠BPH ， 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP ， ∴△ABP ≌△QBP ． ∴AP=QP , AB=BQ ． 又∵ AB=BC ， ∴BC = BQ ．又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH ， ∴△BCH ≌△BQH ． ∴CH=QH ．∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8. （3）过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，则FM BC AB ==. 又EF 为折痕，∴EF ⊥BP .∴90EFM MEF ABP BEF ∠+∠=∠+∠=︒， ∴EFM ABP ∠=∠． 又∵∠A=∠EMF=90°， ∴△EFM ≌△BPA ． ∴EM AP ==x ．∴在Rt △APE 中，222(4)BE x BE -+=．解得，228x BE =+．∴228x CF BE EM x =-=+-． 又四边形PEFG 与四边形BEFC 全等，∴211()(4)4224x S BE CF BC x =+=+-⨯．即：21282S x x =-+． 配方得，21(2)62S x =-+， ∴当x =2时，S 有最小值6． 【总结升华】本题将函数和几何知识较好的综合起来，对能力的要求较高．本题考查了三角形全等、正方形的性质、勾股定理、梯形的面积公式、折叠的性质、二次函数等相关知识．难度较大，是一道很好的压轴题，通过此题能够反映出学生的思维能力及数学知识的掌握程度，解答本题要学会将题目中的已知量与待求量联系起来．此题的关键是证明几组三角形的全等，以及用x 来表示S ．3．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B ＝90°，∠C ＝60°，∠A ＝30°，BC ＝6 cm ；图②中，∠D ＝90°，∠E ＝45°，DE ＝4 cm ．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF 的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)．(1)在△DEF 沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐________．(填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行?问题②：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD ＝15°？如果存在，求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．【思路点拨】本题以动三角形为背景，考查特殊角的三角函数值、勾股定理． 【答案与解析】 解：(1)变小．(2)问题①：∵∠B ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝6， ∴AC ＝12．∵∠FDE ＝90°，∠DEF ＝45°，DE ＝4， ∴DF ＝4．连结FC ，设FC ∥AB ，∴∠FCD ＝∠A ＝30°∴在Rt △FDC 中，DC ＝43． ∴AD ＝AC －DC ＝1243-即AD ＝(1243)-cm 时，FC ∥AB ． 问题②：设AD ＝x ，在Rt △FDC 中，FC 2＝DC 2+FD 2＝(12-x)2+16．(i)当FC 为斜边时，由AD 2+BC 2＝FC 2得2226(12)16x x +=-+，316x =． (ii)当AD 为斜边时，由222FC BC AD +=得22(12)16x x -+=，4986x =>(不符合题意，舍去)． (iii)当BC 为斜边时，由222AD FC BC +=得222(12)166x x +-+=，212620x x -+=，△＝144－248＜0， ∴方程无解．另解：BC 不能为斜边． ∵FC ＞CD ．∴FC+AD ＞12．∴FC 、AD 中至少有一条线段的长度大于6． ∴BC 不能为斜边． ∴由(i)、(ii)、(iii)得，当316x =cm 时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形． 问题③：解法一：不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°． 理由如下：假设∠FCD ＝15°． 由∠FED ＝45°，得∠EFC ＝30°． 作∠EFC 的平分线，交AC 于点P ，则∠EFP ＝∠CFP ＝∠FCP ＝15°， ∴PF ＝PC ．∠DFP ＝∠DFE+∠EFP ＝60°． ∴PD ＝43，PC ＝PF ＝2FD ＝8． ∴PC+PD ＝8+4312>．∴不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°． 解法二：不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°． 假设∠FCD ＝15°，设AD ＝x ． 由∠FED ＝45°，得∠EFC ＝30°． 作EH ⊥FC ，垂足为H ．∴HE ＝12EF ＝22，CE ＝AC －AD －DE ＝8-x ， 且22(12)16FC x =-+．∵∠FDC ＝∠EHC ＝90°，∠DCF 为公共角， ∴△CHE ∽△CDF ．∴EC HEFC DF=． 又2222142HE DF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴212EC FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 整理后，得到方程22(8)1(12)162x x -=-+． ∴14430x =-<(不符合题意，舍去)，24438x =+>(不符合题意，舍去)．∴不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°． 【总结升华】本题的突破点是将图形静止于所要求的特殊位置，根据题中条件得出相应的结论．本题涉及分类讨论思想、方程思想，有一定的难度．举一反三：【变式】如图，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB=6,CD=BC=4，BC⊥OB于B,以O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处.为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在求出直线的解析式,若不存在，请说明理由.【答案】解：如图③，存在符合条件的直线，过点D作DA⊥OB于点A，则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心∴过点P的直线只要平分的面积即可.易知，在OD边上必存在点H，使得直线PH将面积平分，从而，直线PH平分梯形OBCD的面积.即直线PH为所求直线设直线PH的表达式为且过点∵直线OD的表达式为解之，得∴点H的坐标为∴PH与线段AD的交点F的坐标为∴解之，得∴直线l的表达式为类型三、平移旋转型操作题4．两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝1．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：(1)如图所示，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF 的形状在不断地变化，但它的面积不变化，请求出其面积．(2)如图所示，当D点移动到．AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．(3)如图所示，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB 边上，此时，点恰好与B点重合，连结AE，请你求出sinα的值．【思路点拨】平移时，CF AD ，AD ＝BE ，根据等底等高的特征，将求梯形面积转化为求ABC S △，旋转时需知道∠ABE ＝90°，BE ＝CB ，运用相似等知识解答．【答案与解析】【解析】(1)过C 点作CG ⊥AB 于G ，如图．在Rt △AGC 中，∵sin 60CG AC=°， ∴32CG =． ∵AB ＝2， ∴1332222ABC CDBF S S ==⨯⨯=△梯形． (2)菱形．∵CD ∥BF ，FC ∥BD ，∴四边形CDBF 是平行四边形∵DF ∥AC ，∠ACB ＝90°，∴CB ⊥DF ，∴四边形CDBF 是菱形．(3)解法一：过D 点作DH ⊥AE 于H ，如图，则11313222 ADES AD EB==⨯⨯=△，又1322 ADES AE DH==△，332177DHAE ⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭或．∴在Rt△DHE中，321 sin1427DHDEα⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭或．解法二：∵△ADH∽△AEB，∴DH ADBE DE=，即137DH=，∴37 DH=，∴321 sin1427DHDEα⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭或．【总结升华】本题是平移和旋转类型的操作题，需知道平移和旋转的性质，这两种变换都是全等变换.类型四、动态数学问题5．（2015•石峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB，过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE 于点D，运动时间为t秒．（1）当点B与点D重合时，求t的值；（2）当t为何值时，S△BCD=？【思路点拨】（1）由于∠CAB=90°，易证得Rt△CAO∽Rt△ABE；当B、D重合时，BE的长已知（即OC长），根据AC、AB的比例关系，即可得到AO、BE的比例关系，由此求得t的值．（2）求△BCD 的面积时，可以CD 为底、BD 为高来解，那么表示出BD 的长是关键；Rt△CAO∽Rt△ABE，且知道AC 、AB 的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE 的长，进一步得到BD 的长，在表达BD 长时，应分两种情况考虑：①B 在线段DE 上，②B 在ED 的延长线上．【答案与解析】解：（1）∵∠CAO+∠BAE=90°，∠ABE+∠BAE=90°，∴∠CAO=∠ABE．∴Rt△CAO∽Rt△ABE．∴．∴． ∴t=8．（2）由Rt△CAO∽Rt△ABE 可知：BE=t ，AE=2．当0＜t ＜8时，S △BCD =CD•BD=（2+t ）（4﹣）=． ∴t 1=t 2=3．当t ＞8时，S △BCD =CD•BD=（2+t ）（﹣4）=． ∴，（为负数，舍去）．当t=3或3+5时，．【总结升华】考查了二次函数综合题，该题是图形的动点问题，解决本题的关键在于找出相似三角形，得到关键线段的表达式，注意点在运动过程中未知数的取值范围问题．举一反三：【变式】如图，平行四边形ABCD 中，AB=10，AD=6，∠A=60°，点P 从点A 出发沿折线AB-BC 以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当P 与C 重合时停止运动，过点P 作AB 的垂线PQ 交AD 或DC 于Q ．设P 运动时间为t 秒，直线PQ 扫过平行四边形ABCD 的面积为S ．求S 关于t 的函数解析式．【答案】解：（1）213S=3(03)22t t t t ∙∙=≤≤； （2）193S=-33333-(310)22t t t t +∙=（）＜≤； （3）116-t 3(16)S=1033-222t -⨯∙∙3=1033-16-8t ⨯2（） 23-4323(1016)8t t t =+-＜≤. 综上，S 关于t 的函数解析式为：223(03)29333-(310)23-4323(1016)8t t S t t t t t ⎧⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+-⎪⎪⎩≤≤＜≤＜≤。
中考冲刺：动手操作与运动变换型问题--巩固练习(基础)
中考冲刺：着手操作与运动变换型问题—稳固练习（基础）【稳固练习】一、选择题1.如图，在Rt△ ABC中，∠ C=90° ，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒 2 cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点 B出发沿 BC方向以每秒 1cm的速度向终点C运动，将△ PQC沿 BC翻折，点 P的对应点为点 P′ . 设 Q点运动的时间t秒，若四边形 QPCP为菱形，则 t 的值为（）A.2B. 2C.22D.32．如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 BC=2cm， F 是弦 BC 的中点，∠ ABC=60° . 若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 A→B→A的方向运动，设运动时间为 t(s)(0 ≤ t ＜3) ，连结 EF，当△ BEF是直角三角形时， t的值为（）A. 7B.1C.7或1D.7或1或9 44443.如图，正方形 ABCD的边长为 4cm,动点 P、Q同时从点 A出发，以 1cm/s 的速度分别沿 A→ B→ C和 A→ D→ C的路径向点 C 运动，设运动时间为x（单位： s），四边形 PBDQ的面积为y（单位： cm2）, 则 y 与 x（ 0≤ x≤ 8）之间的函数关系可用图象表示为（）二、填空题4．如图,已知点 A（0,2）、 B（2 3,2）、 C过点 C向右作平行于 x 轴的射线,点 P 是射线上的动(0,4),点 , 连结AP, 以AP为边在其左边作等边△APQ,连结 PB、 BA.若四边形 ABPQ为梯形,则（1）当 AB为梯形的底时 , 点P的横坐标是；（2）当AB为梯形的腰时 , 点P的横坐标是.5．如图，矩形纸片ABCD， AB=2，点 E在 BC上，且 AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点 B 恰巧落在 AC上，则 AC的长是.6. 如图，在正方形纸片 ABCD中，对角线 AC、 BD交于点 O，折叠正方形纸片 ABCD，使 AD落在 BD上，点 A恰巧与 BD上的点 F 重合 . 睁开后，折痕 DE分别交 AB、AC于点 E、G.连结 GF.以下结论：①∠ AGD=112.5°；②t an ∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形 AEFG 是菱形；⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是.三、解答题7．如下图是规格为8× 8 的正方形网格，请在所给网格中，按以下要求操作：(1)请在网格中成立平面直角坐标系，使A 点坐标为 (-2 ， 4) ， B 点坐标为 (-4 ， 2) ；(2)在第二象限内的格点上画一点C，使点 C与线段 AB 构成一个以 AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则 C 点的坐标是 ________，△ ABC的周长是 ________ ( 结果保存根号 ) ；(3)画出△ ABC 以点 C 为旋转中心、旋转 180°后的△ A′ B′C，连结 AB′和 A′ B，试说出四边形ABA B 是何特别四边形，并说明原因．8. (1)察看与发现小明将三角形纸片ABC(AB＞ AC)沿过点 A 的直线折叠，使得AC落在 AB 边上，折痕为AD，展平纸片( 如图① ) ；再次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为 EF，展平纸片后获得△ AEF(如图② ) ．小明以为△ AEF是等腰三角形，你赞同吗？请说明原因．(2) 实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC边上的点 F 处，折痕为 BE(如图③ ) ；再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在 BE上的点 D′处，折痕为 EG(如图④ ) ；再展平纸片 ( 如图⑤ ) ．求图⑤中∠ α 的大小．9.如图(1)，已知△ ABC中，AB＝BC＝1，∠ ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板D 放在 AC的中点上 ( 直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角形板DEF的直角极点DEF绕 D 点按逆时针方向旋转．(1)在图 (1) 中， DE交 AB 于 M， DF交 BC于 N．①证明： DM＝ ND；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积能否发生变化？若发生变化，请说明是怎样变化的；若不发生变化，求出其面积；(2)持续旋转至如图 (2) 所示的地点，延伸 AB交 DE于 M，延伸 BC交 DF 于 N，DM＝DN能否仍旧成立 ? 若成立，请给出证明；若不可立，请说明原因；(3)持续旋转至如图 (3) 所示的地点，延伸 FD 交 BC于 N，延伸 ED交 AB于 M，DM＝ DN能否仍旧成立 ? 若成立，请写出结论，不用证明．10. 如下图，在边长为4 的正方形 ABCD 中，点 P 在 AB 上从 A 向 B 运动，连结 DP 交 AC 于点 Q ．(1)试证明：不论点． P 运动到 AB 上哪处时，都有△ ADQ ≌△ ABQ ；(2) 当点 P 在 AB 上运动到什么地点时，△ADQ 的面积是正方形 ABCD 面积的 1?6(3) 若点 P 从点 A 运动到点 B ，再持续在 BC 上运动到点 C ，在整个运动过程中，当点P 运动到什么地点时，△ ADQ 恰为等腰三角形 ?【答案与分析】一、选择题1. 【答案】 B ；【分析】连结 PP ′交 BC 于点 D ，若四边形 QPCP 为菱形，则 PP ′⊥ BC ， CD ＝ 1CQ=1（ 6-t ），1（ 6-t ） =3+ 122∴ BD=6- t. 在 Rt △ BPD 中， PB=AB-AP=6 2 -2 t ，而 PB= 2 BD ，22∴6 2-2 t=2 （3+ 1t ），解得： t=2 ，应选 B.22. 【答案】 D ；【分析】∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ACB=90°； Rt △ABC 中， BC=2，∠ ABC=60°；∴ A B=2BC=4cm.①当∠ BFE=90°时； Rt △BEF 中，∠ ABC=60°，则 BE=2BF=2cm ；故此时 AE=AB-BE=2cm ；∴E 点运动的距离为： 2cm 或 6cm ，故 t=1s 或 3s ；因为 0≤t ＜ 3，故 t=3s 不合题意，舍去；因此当∠ BFE=90°时， t=1s ；②当∠ BEF=90° 时；同①可求得 BE=0.5cm ，此时 AE=AB-BE=3.5cm ；∴E 点运动的距离为： 3.5cm 或 4.5cm ，故 t=1.75s 或 2.25s ；综上所述，当 t 的值为 1、 1.75 或 2.25s 时，△ BEF 是直角三角形．应选 D ．3. 【答案】 B.【分析】在 0≤ x ≤4 时,y 随 x 的增大而减小，在4≤ x ≤ 8 时 ,y 随 x 的增大而增大；且 y 与 x 的函数关系是二次函数，应选B.二、填空题4. 【答案】（ 1）23 ；（2）0， 2 3 ；3【分析】（ 1）由题意知，当 AB 为梯形的底时， AB ∥ PQ ，即 PQ ⊥ y 轴，又△ APQ 为等边三角形， AC ＝ 2，由几何关系知， 点 P 的横坐标是23 .（ 2）当 AB 为梯形的腰时， 当 PB ∥ y 轴时，知足题意， 此时 AQ=4，3由几何关系得，点P 的横坐标是 2 3 .5. 【答案】 4；【分析】由折叠可知∠ BAE=∠ CAE ，因为 AE=EC 因此∠ CAE=∠ACE ，因此∠ BAE=∠ CAE=∠ ACE ，三角的和为 90°，因此∠ ACE=30°，因此 AC=2AB=4. 6. 【答案】①④⑤．【分析】由折叠知：∠ ADG =∠GDO 依据外角定理∠ AGD=∠GD O+∠G OD 而∠G OD=90°，∠GDO =1∠ADO=22.5 °得∠ AGD=112.5°因此①正确.2由折叠知△ AGD ≌△ FGD 得 S △AGD =S △ FGD 因此③错误 .∠A ED=90° -2 2.5 ° =67.5 °，∠ AGE=45° +22.5 ° =67.5 °故∠A ED=∠AGE 可得 AE=AG ， 易证 AG=FG ，AE=EF ，进而得 AG=FG=AE=EF 所.以④正确 . BE=2 EF ，EF= FG= 2 OG ，故 BE=2OG 因此⑤正确 .AE= FG=2 OG ， AD= AB=AE+BE=（2 +2） OG ，在 Rt △AED 中 tan ∠AED=AD=22，因此②错误.AE2三、解答题7．【答案与分析】(1) 如下图成立平面直角坐标系．(2) 如图画出点C， C(-1 ， 1) ．△ ABC的周长是22 2 10 ．(3)如图画出△ A′ B′ C，四边形 ABA′B′是矩形．原因：∵ CA＝ CA′， CB＝CB′，∴四边形ABA′ B′是平行四边形.又∵ CA＝CB，∴CA＝ CA′＝ CB＝ CB′．∴AA′＝ BB′．∴四边形ABA′ B′是矩形．8．【答案与分析】解： (1) 赞同．如下图，设AD与 EF 交于点 G．由折叠知， AD均分∠ BAC，因此∠ BAD＝∠ CAD．又由折叠知，∠AGE＝∠ AGF＝ 90°，因此∠ AEF＝∠ AFE，因此 AE＝ AF，即△ AEF为等腰三角形．(2)由折叠知，四边形 ABFE是正方形∠ AEB＝ 45°，因此∠ BED＝ 135°．又由折叠知，∠ BEG＝∠ DEG，因此∠ DEG＝ 67.5 °．进而∠α＝90° -67.5 °＝ 22.5 °．9．【答案与分析】解： (1) ①连结 DB，利用△ BMD≌△ CND或△ ADM∽△ BDN即可证明DM＝ DN．②由△ BMD≌△ CND知，S△BMD S△CND ，∴S四边形DMBN S△DBN S△DMB S△DBN S△DNC 1S△ABC 1 ．24即在直角三角板DEF旋转过程中，四边形DMBN的面积一直等于1，不发生变化．4(2)连结 DB，由△ BMD≌△ CND可证明 DM＝ DN，即 DM＝ DN仍旧成立．(3)连结 DB．由△ BMD≌△ CND，可证明 DM＝ ND仍成立．10．【答案与分析】解： (1) 证明：在正方形 ABCD中，不论点 P 运动到 AB 上哪处时，都有 AD＝ AB，∠ DAQ＝∠ BAQ， AQ＝ AQ，∴△ ADQ≌△ ABQ．(2) 解：假定以下图中△A DQ的面积恰巧是正方形ABCD面积的1．6过点 Q作 QE⊥ AD于 E， QF⊥ AB于 F，则 QE＝ QF，1AD QE1S正方形ABCD8 ．2463∴ QE．3由△ DEQ∽△ DAP得QE DE，解得 AP＝ 2．AP DA∴ AP＝ 2 时，△ ADQ的面积是正方形 ABCD面积的1．6(3) 若△ ADQ是等腰三角形，则有 DQ＝QA或 DA＝ DQ或 AQ＝ AD．①当点 P 运动到与点 B 重合时，由四边形 ABCD是正方形知 QD＝ QA，此时△ ADQ是等腰三角形．②当点 P 与点 C 重合时，点 Q与点 C 也重合，此时 DA＝ DQ，△ ADQ是等腰三角形．③如下图，设点P 在 BC边上运动到 CP＝ x 时，有 AD＝AQ．∵AD∥ BC，∴∠ ADQ＝∠ CPQ．又∵∠ AQD＝∠ CQP，∠ ADQ＝∠ AQD，∴∠ CQP＝∠ CPQ．∴CQ＝ CP＝x．∵AC＝4 2， AQ＝ QD＝ 4，∴ x＝ CQ＝ AC－ AQ＝4 2 4，即当 CP＝4 2 4时，△ ADQ是等腰三角形．。
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中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90° ，AC=BC=6cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′.设Q 点运动的时间t 秒，若四边形QPCP 为菱形，则t 的值为（ ）. A. 2 B. 2 C. 22 D.32．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC =60°.若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A→B→A 的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t ＜3)，连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为（ ）.A.47 B. 1 C. 47或1 D. 47或1或493. （2015•盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD ，点M 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点N 从点A 出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B 的路径向点B 运动，当一个点到达点B 时，另一个点也随之停止运动，设△AMN 的面积为s ，运动时间为t 秒，则能大致反映s 与t 的函数关系的图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．二、填空题4．如图,已知点A （0,2）、B （23,2）、C (0,4),过点C 向右作平行于x 轴的射线,点P 是射线上的动点,连结AP ,以AP 为边在其左侧作等边△APQ ,连结PB 、BA .若四边形ABPQ 为梯形,则（1）当AB 为梯形的底时,点P的横坐标是；（2）当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是 .5．如图，矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是 .6. （2016•东河区二模）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的是．三、解答题7．如图所示是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中，按下列要求操作：(1)请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(-4，2)；(2)在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点的坐标是________，△ABC的周长是________ (结果保留根号)；(3)画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形ABA B''是何特殊四边形，并说明理由．8. (1)观察与发现小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．(2)实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG(如图④)；再展平纸片(如图⑤)．求图⑤中∠α的大小．9. 如图(1)，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角形板DEF绕D点按逆时针方向旋转．(1)在图(1)中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明：DM＝ND；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图(2)所示的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图(3)所示的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请写出结论，不用证明．10. （2016•绵阳）如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动，设△PDE的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒．（1）求直线DE的解析式；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】连接PP′交BC于点D，若四边形QPCP为菱形，则PP′⊥BC，CD＝12CQ=12（6-t），∴BD=6-12（6-t）=3+12t.在Rt△BPD中，PB=AB-AP=62-2t，而PB=2BD，∴62-2t=2（3+12t），解得：t=2，故选B.2.【答案】D；【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；∴AB=2BC=4cm.①当∠BFE=90°时；Rt△BEF中，∠ABC=60°，则BE=2BF=2cm；故此时AE=AB-BE=2cm；∴E点运动的距离为：2cm或6cm，故t=1s 或3s ；由于0≤t＜3，故t=3s 不合题意，舍去；所以当∠BFE=90°时，t=1s ；②当∠BEF=90°时；同①可求得BE=0.5cm ，此时AE=AB-BE=3.5cm ；∴E 点运动的距离为：3.5cm 或4.5cm ，故t=1.75s 或2.25s ；综上所述，当t 的值为1、1.75或2.25s 时，△BEF 是直角三角形．故选D ． 3.【答案】D. 【解析】（1）如图1， 当点N 在AD 上运动时， s=AM•AN=×t×3t=t 2．（2）如图2，当点N 在CD 上运动时， s=AM•AD=t×1=t ．（3）如图3，当点N 在BC 上运动时，s=AM•BN=×t×（3﹣3t ）=﹣t 2+t综上可得，能大致反映s 与t 的函数关系的图象是选项D 中的图象．故选：D ． 二、填空题 4.【答案】（1）332；（2）0， 32；【解析】（1）由题意知，当AB 为梯形的底时，AB ∥PQ ，即PQ ⊥y 轴，又△APQ 为等边三角形，AC ＝2，由几何关系知，点P 的横坐标是332.（2）当AB 为梯形的腰时，当PB ∥y 轴时，满足题意，此时AQ=4，由几何关系得，点P 的横坐标是32.5.【答案】4；【解析】由折叠可知∠BAE=∠CAE ，因为AE=EC 所以∠CAE=∠ACE ，所以∠BAE=∠CAE=∠ACE ， 三角的和为90°，所以∠ACE=30°，所以AC=2AB=4. 6.【答案】①②③．【解析】①正确．因为AB=AD=AF ，AG=AG ，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG ≌△AFG ；②正确．因为：EF=DE=CD=2，设BG=FG=x ，则CG=6﹣x ．在直角△ECG 中， 根据勾股定理，得（6﹣x ）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC ； ③正确．因为CG=BG=GF ，所以△FGC 是等腰三角形，∠GFC=∠GCF ． 又∠AGB=∠AGF ，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF ， ∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF ，∴AG ∥CF ；④错误．过F 作FH ⊥DC ，∵BC ⊥DH ，∴FH ∥GC ，∴△EFH ∽△EGC ，∴=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH ∽△EGC ，∴相似比为：==，∴S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC =×3×4﹣×4×（ ×3）=≠3．故答案为：①②③．三、解答题 7．【答案与解析】(1)如图所示建立平面直角坐标系．(2)如图画出点C ，C(-1，1)．△ABC 的周长是22210+． (3)如图画出△A ′B ′C ，四边形ABA ′B ′是矩形． 理由：∵CA ＝CA ′，CB ＝CB ′，∴四边形ABA ′B ′是平行四边形. 又∵CA ＝CB ，∴CA ＝CA ′＝CB ＝CB ′． ∴AA ′＝BB ′．∴四边形ABA ′B ′是矩形．8．【答案与解析】解：(1)同意．如图所示，设AD 与EF 交于点G ．由折叠知，AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD ． 又由折叠知，∠AGE ＝∠AGF ＝90°， 所以∠AEF ＝∠AFE ，所以AE ＝AF ，即△AEF 为等腰三角形．(2)由折叠知，四边形ABFE 是正方形∠AEB ＝45°，所以∠BED ＝135°．又由折叠知，∠BEG ＝∠DEG ， 所以∠DEG ＝67.5°．从而∠α＝90°-67.5°＝22.5°． 9．【答案与解析】解：(1)①连接DB ，利用△BMD ≌△CND 或△ADM ∽△BDN 即可证明DM ＝DN ．②由△BMD ≌△CND 知，BMD CND S S =△△，∴1124DBN DMB DBN DNC ABC DMBNS S S S S S=+=+==△△△△△四边形．即在直角三角板DEF旋转过程中，四边形DMBN的面积始终等于14，不发生变化．(2)连接DB，由△BMD≌△CND可证明DM＝DN，即DM＝DN仍然成立．(3)连接DB．由△BMD≌△CND，可证明DM＝ND仍成立．10．【答案与解析】解：由菱形的对称性可得，C（2，0），D（0，），∴OD=，OC=2，tan∠DCO==，∵DE⊥DC，∴∠EDO+∠CDO=90°，∵∠DCO+∠CD∠=90°，∴∠EDO=∠DCO，∵tan∠EDO=tan∠DCO=，∴，∴OE=，∴E（﹣，0），∴D（0，），∴直线DE解析式为y=2x+，（2）由（1）得E（﹣，0），∴AE=AO﹣OE=2﹣=，根据勾股定理得，DE==，∴菱形的边长为5，如图1，过点E作EF⊥AD，∴sin∠DAO=，∴EF==，当点P在AD边上运动，即0≤t＜，S=PD×EF=×（5﹣2t）×=﹣t+，如图2，点P在DC边上运动时，即＜t≤5时，S=PD×DE=×（2t﹣5）×=t﹣；∴S=，（3）设BP与AC相交于点Q，在菱形ABCD中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，∴DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°，∴∠DCB+∠ADE=90°，∴要使∠EPD+∠DCB=90°，∴∠EPD=∠ADE，当点P在AD上运动时，如图3，∵∠EPD=∠ADE，∴EF垂直平分线PD，∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2，∴2t=5﹣，∴t=，此时AP=1，∵AP∥BC，∴△APQ∽△CBQ，∴，∴，∴，∴AQ=，∴OQ=OA﹣AQ=，在Rt△OBQ中，tan∠OQB===，当点P在DC上运动时，如图4，精品初中数学讲义（带详细答案）∵∠EPD=∠ADE，∠EDP=∠EFD=90°∴△EDP∽△EFD，∴，∴DP===，∴2t=AD﹣DP=5+，∴t=，此时CP=DC﹣DP=5﹣=，∵PC∥AB，∴△CPQ∽△ABQ，∴，∴，∴，∴CQ=，∴OQ=OC﹣CQ=2﹣=，在Rt△OBD中，tan∠OQB===1，即：当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为．当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1．。
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中考冲刺：动手操作与运动变换型问题(提高)一、选择题1. （2015春•抚州期末）将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个圆形小洞后展开铺平得到的图形是（）A．B． C． D．2. （2016•邢台校级三模）一张正方形的纸片，如图1进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和是多少度？（）A．1080° B．360° C．180° D．900°3. 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN（图甲），再把B点叠在折痕MN上的B′处.得到Rt△AB′E（图乙），再延长EB′交AD于F，所得到的△EAF是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是（）A、B、C、D、二、填空题5. 如图（1）是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图（2）所示的一个菱形．对于图（1）中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：______．6．如图,△ABC中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB= ,D是线段BC上的一个动点,以AD 为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F ,连接EF,则线段EF长度的最小值为___________7．（2015•太仓市模拟）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm．动点Q从点B出发，以1cm/S的速度沿BC运动到点C停止，同时，动点P也从B点出发，沿折线B→A→D运动到点D停止，且PQ⊥BC．设运动时间为t（s），点P运动的路程为y（cm），在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE和EF（如图②）．已知点M（4，5）在线段OE上，则图①中AB的长是______cm．三、解答题8．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图（1）所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图（2）所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点D旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图（3）所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图（3）中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可)；（2）如图（4），在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图（4）中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果)．9. 如图(a)，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……．已知标准纸的短边长为a．（1）如图(b)，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF；则AD:AB的值是________，AD，AB的长分别是________，________；（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；（3）如图(c)，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的4个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；（4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M，N，P，Q 都在“4开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．10. 操作与探究（1）图(a)是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按图中方法折叠，点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；（2）再将图(b)中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图(b))．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图(c)中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图(c)中画出折痕；（3）请你在图(d)的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足什么条件时，一定能折成组合矩形?11. 在图1至图5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．操作示例：当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB 并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所示)，过点F作FM⊥AE于点M(图略)，利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC ＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．实践探究：（1）正方形FGCH的面积是________；(用含a、b的式子表示)（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展：小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时，如图所示的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．12. （2016•宿迁）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B 两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．答案与解析【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】由折叠可知，得到的四个圆形小洞一定不在一条直线上，故D不正确；四个圆形小洞不靠近原正方形的四个角，所以A不正确；选项C的位置也不符合原题意的要求，故只有B是按要求得到的．故选B．2.【答案】A；【解析】展开图的这个图形是八边形，故内角和为：（8﹣2）×180°=1080°．3.【答案】B；【解析】证明AE=AF，∠EAF=60°，得△EAF为等边三角形.4.【答案】D.二、填空题5.【答案】答案不唯一．可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．【解析】拼图注意研究重叠的边和有公共点的角，由图可以看出三个下底上的角拼成一个平角，上底和腰相等.6.【答案】；【解析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=12∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE.sin∠EOH=1×=，由垂径定理可知EF=2EH=，故答案为：．7.【答案】10；【解析】解：设OE的解析式为y=kt，∵点M（4，5），∴k=，如图，当Q运动到G点时，点P运动到A点，BQ=t，AB=，∵AG⊥BC，∴四边形ADCG是矩形，∴AG=DC=6，∴AB2=BG2+AG2，∴（）2=t2+62，解得：t=8，∴AB=×8=10（cm）．三、解答题8.【答案与解析】解：（1）拼接成的平行四边形是ABCD(如图所示)．（2）正确画出图形(如图所示)．平行四边形MNPQ的面积为．9.【答案与解析】解：（1），，．（2）相等，比值为．（3）设DG＝x．在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝∠D＝∠90°．∵∠HGF＝90°，∴∠DHG＝∠CGF＝90°－∠DGH，∴△HDG∽△GCF，∴．∴CF＝2DG＝2x．同理∠BEF＝∠CFG．∵EF＝FG．∴△FBE∽△GCF，∴BF＝CG＝．∴．解得，即．（4），．10.【答案与解析】（1）由对称性可证∠ECB＝∠B．（2）如图所示，有3种折法．（3）答案不唯一．只要有一条边与该边上的高相等即可．（4）当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形．11.【答案与解析】解：实验探究（1）（2）剪拼方法如图（1）（2）（3）．联想拓展能，剪拼方法如图（4）(图中BG＝DH＝b)．(注意；图（4）用其他剪拼方法能拼接成面积为的正方形均可)12.【答案与解析】解：（1）如图1中，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到，α=90°，∴CB与CE重合，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，∵BG=AD=BF，∴∠BGF=∠BFG=45°，∴∠A=∠BGF=45°，∴GF∥AC．（2）①如图2中，∵CA=CE，CD=CF，∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，∵∠ACD=∠ECF，精品初中数学讲义（带详细答案）∴∠ACE=∠DCF，∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，∴∠CAE=∠CDF，∴A、D、M、C四点共圆，∴∠CMF=∠CAD=45°，∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．∵AD=DB，CA=CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，由①可知A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，∵OA=OC，CD=DA，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴的长==．∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为．。
通用版2019年中考数学冲刺：动手操作与运动变换型问题--巩固练习(基础)
1 中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90° ，AC=BC=6cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′.设Q 点运动的时间t 秒，若四边形QPCP 为菱形，则t 的值为（ ）. A. 2 B. 2 C. 22 D.32．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC=60°.若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A →B →A 的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t ＜3)，连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为（ ）. A. 47 B. 1 C. 47或1 D. 47或1或493. （2015•盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD ，点M 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点N 从点A 出发以每秒3个单位长度的速度沿A →D →C →B 的路径向点B 运动，当一个点到达点B 时，另一个点也随之停止运动，设△AMN 的面积为s ，运动时间为t 秒，则能大致反映s 与t 的函数关系的图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．二、填空题4．如图,已知点A （0,2）、B （23,2）、C (0,4),过点C 向右作平行于x 轴的射线,点P 是射线上的动点,连结AP ,以AP 为边在其左侧作等边△APQ ,连结PB 、BA .若四边形ABPQ 为梯形,则（1）当AB 为2 梯形的底时,点P 的横坐标是 ；（2）当AB 为梯形的腰时,点P 的横坐标是.5．如图，矩形纸片ABCD ，AB =2，点E 在BC 上，且AE=EC ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 .6. （2016•东河区二模）如图，正方形ABCD 中，AB=6，点E 在边CD 上，且CD=3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG=GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC =3．其中正确结论的是 ．三、解答题7．如图所示是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中，按下列要求操作：(1)请在网格中建立平面直角坐标系，使A 点坐标为(-2，4)，B 点坐标为(-4，2)；(2)在第二象限内的格点上画一点C ，使点C 与线段AB 组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点的坐标是________，△ABC的周长是________ (结果保留根号)；(3)画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形ABA B''是何特殊四边形，并说明理由．8. (1)观察与发现小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．(2)实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG(如图④)；再展平纸片(如图⑤)．求图⑤中∠α的大小．9. 如图(1)，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角形板DEF绕D点按逆时针方向旋转．(1)在图(1)中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明：DM＝ND；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图(2)所示的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图(3)所示的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请写出结论，不用证明．3410. （2016•绵阳）如图，以菱形ABCD 对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A 、B 两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣），直线DE ⊥DC 交AC 于E ，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿着A →D →C 的路线向终点C 匀速运动，设△PDE 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒．（1）求直线DE 的解析式；（2）求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP 与直线AC 所夹锐角的正切值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B ；【解析】连接PP ′交BC 于点D ，若四边形QPCP 为菱形，则PP ′⊥BC ，CD ＝12CQ=12（6-t ）， ∴BD=6-12（6-t ）=3+12t.在Rt △BPD 中，PB=AB-AP=62-2t ，而PB=2BD ， ∴62-2t=2（3+12t ），解得：t=2，故选B.2.【答案】D ； 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°；Rt △ABC 中，BC=2，∠ABC=60°；∴AB=2BC=4cm.①当∠BFE=90°时；Rt △BEF 中，∠ABC=60°，则BE=2BF=2cm；故此时AE=AB-BE=2cm；∴E点运动的距离为：2cm或6cm，故t=1s或3s；由于0≤t＜3，故t=3s不合题意，舍去；所以当∠BFE=90°时，t=1s；②当∠BEF=90°时；同①可求得BE=0.5cm，此时AE=AB-BE=3.5cm；∴E点运动的距离为：3.5cm或4.5cm，故t=1.75s 或2.25s；综上所述，当t的值为1、1.75或2.25s时，△BEF是直角三角形．故选D．3.【答案】D.【解析】（1）如图1，当点N在AD上运动时，s=AM•AN=×t×3t=t2．（2）如图2，当点N在CD上运动时，s=AM•AD=t×1=t．（3）如图3，当点N在BC上运动时，s=AM•BN=×t×（3﹣3t）=﹣t2+t综上可得，能大致反映s与t的函数关系的图象是选项D中的图象．故选：D．56 二、填空题4.【答案】（1）332；（2）0， 32； 【解析】（1）由题意知，当AB 为梯形的底时，AB ∥PQ ，即PQ ⊥y 轴，又△APQ 为等边三角形，AC ＝2，由几何关系知，点P 的横坐标是332.（2）当AB 为梯形的腰时，当PB ∥y 轴时，满足题意，此时AQ=4，由几何关系得，点P 的横坐标是32.5.【答案】4； 【解析】由折叠可知∠BAE=∠CAE ，因为AE=EC 所以∠CAE=∠ACE ，所以∠BAE=∠CAE=∠ACE ， 三角的和为90°，所以∠ACE=30°，所以AC=2AB=4.6.【答案】①②③．【解析】①正确．因为AB=AD=AF ，AG=AG ，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG ≌△AFG ；②正确．因为：EF=DE=CD=2，设BG=FG=x ，则CG=6﹣x ．在直角△ECG 中，根据勾股定理，得（6﹣x ）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC ；③正确．因为CG=BG=GF ，所以△FGC 是等腰三角形，∠GFC=∠GCF ．又∠AGB=∠AGF ，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF ，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF ，∴AG ∥CF ；④错误．过F 作FH ⊥DC ，∵BC ⊥DH ，∴FH ∥GC ，∴△EFH ∽△EGC ，∴=， EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH ∽△EGC ，∴相似比为：==，∴S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC =×3×4﹣×4×（×3）=≠3． 故答案为：①②③．7三、解答题7．【答案与解析】(1)如图所示建立平面直角坐标系．(2)如图画出点C ，C(-1，1)．△ABC 的周长是22210 ．(3)如图画出△A ′B ′C ，四边形ABA ′B ′是矩形．理由：∵CA ＝CA ′，CB ＝CB ′，∴四边形ABA ′B ′是平行四边形.又∵CA ＝CB ，∴CA ＝CA ′＝CB ＝CB ′．∴AA ′＝BB ′．∴四边形ABA ′B ′是矩形．8．【答案与解析】解：(1)同意．如图所示，设AD 与EF 交于点G ．由折叠知，AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD ．又由折叠知，∠AGE ＝∠AGF ＝90°，所以∠AEF ＝∠AFE ，8 所以AE ＝AF ，即△AEF 为等腰三角形．(2)由折叠知，四边形ABFE 是正方形∠AEB ＝45°，所以∠BED ＝135°．又由折叠知，∠BEG ＝∠DEG ，所以∠DEG ＝67.5°．从而∠α＝90°-67.5°＝22.5°．9．【答案与解析】解：(1)①连接DB ，利用△BMD ≌△CND 或△ADM ∽△BDN 即可证明DM ＝DN ． ②由△BMD ≌△CND 知，BMD CND S S =△△， ∴1124DBN DMB DBN DNC ABC DMBN S S S S S S =+=+==△△△△△四边形． 即在直角三角板DEF 旋转过程中，四边形DMBN 的面积始终等于14，不发生变化．(2)连接DB ，由△BMD ≌△CND 可证明DM ＝DN ，即DM ＝DN 仍然成立．(3)连接DB ．由△BMD ≌△CND ，可证明DM ＝ND 仍成立．10．【答案与解析】解：由菱形的对称性可得，C （2，0），D （0，）， ∴OD=，OC=2，tan ∠DCO==， ∵DE ⊥DC ，∴∠EDO+∠CDO=90°，∵∠DCO+∠CD ∠=90°，∴∠EDO=∠DCO ，∵tan ∠EDO=tan ∠DCO=， ∴，∴OE=，∴E （﹣，0），∴D（0，），∴直线DE解析式为y=2x+，（2）由（1）得E （﹣，0），∴AE=AO﹣OE=2﹣=，根据勾股定理得，DE==，∴菱形的边长为5，如图1，过点E作EF⊥AD，∴sin∠DAO=，∴EF==，当点P在AD边上运动，即0≤t ＜，S=PD×EF=×（5﹣2t ）×=﹣t+，如图2，点P在DC 边上运动时，即＜t≤5时，S=PD×DE=×（2t﹣5）×=t ﹣；9∴S=，（3）设BP与AC相交于点Q，在菱形ABCD中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，∴DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°，∴∠DCB+∠ADE=90°，∴要使∠EPD+∠DCB=90°，∴∠EPD=∠ADE，当点P在AD上运动时，如图3，∵∠EPD=∠ADE，∴EF垂直平分线PD，∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2，∴2t=5﹣，∴t=，此时AP=1，∵AP∥BC，∴△APQ∽△CBQ，∴，∴，∴，∴AQ=，∴OQ=OA﹣AQ=，10在Rt△OBQ中，tan∠OQB===，当点P在DC上运动时，如图4，∵∠EPD=∠ADE，∠EDP=∠EFD=90°∴△EDP∽△EFD，∴，∴DP===，∴2t=AD﹣DP=5+，∴t=，此时CP=DC﹣DP=5﹣=，∵PC∥AB，∴△CPQ∽△ABQ，∴，∴，∴，∴CQ=，∴OQ=OC﹣CQ=2﹣=，在Rt△OBD中，tan∠OQB===1，即：当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC 所夹锐角的正切值为．当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1．11。
数学中考冲刺：动手操作与运动变换型问题--巩固练习(基础)
中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90° ，AC=BC=6cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′.设Q 点运动的时间t 秒，若四边形QPCP 为菱形，则t 的值为（ ）. A. 2 B. 2 C. 22 D.32．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC =60°.若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A→B→A 的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t ＜3)，连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为（ ）. A. 47 B. 1 C. 47或1 D. 47或1或493. （2015•盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD ，点M 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点N 从点A 出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B 的路径向点B 运动，当一个点到达点B 时，另一个点也随之停止运动，设△AMN 的面积为s ，运动时间为t 秒，则能大致反映s 与t 的函数关系的图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．二、填空题 4．如图,已知点A （0,2）、B （23,2）、C (0,4),过点C 向右作平行于x 轴的射线,点P 是射线上的动点,连结AP ,以AP 为边在其左侧作等边△APQ ,连结PB 、BA .若四边形ABPQ 为梯形,则（1）当AB 为梯形的底时,点P的横坐标是；（2）当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是 .5．如图，矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是 .6. （2016•东河区二模）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的是．三、解答题7．如图所示是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中，按下列要求操作：(1)请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(-4，2)；(2)在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点的坐标是________，△ABC的周长是________ (结果保留根号)；(3)画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形ABA B''是何特殊四边形，并说明理由．8. (1)观察与发现小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．(2)实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG(如图④)；再展平纸片(如图⑤)．求图⑤中∠α的大小．9. 如图(1)，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角形板DEF绕D点按逆时针方向旋转．(1)在图(1)中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明：DM＝ND；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图(2)所示的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图(3)所示的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请写出结论，不用证明．10. （2016•绵阳）如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动，设△PDE的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒．（1）求直线DE的解析式；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】连接PP′交BC于点D，若四边形QPCP为菱形，则PP′⊥BC，CD＝12CQ=12（6-t），∴BD=6-12（6-t）=3+12t.在Rt△BPD中，PB=AB-AP=62-2t，而PB=2BD，∴62-2t=2（3+12t），解得：t=2，故选B.2.【答案】D；【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；∴AB=2BC=4cm.①当∠BFE=90°时；Rt△BEF中，∠ABC=60°，则BE=2BF=2cm；故此时AE=AB-BE=2cm；∴E点运动的距离为：2cm或6cm，故t=1s 或3s ；由于0≤t＜3，故t=3s 不合题意，舍去；所以当∠BFE=90°时，t=1s ；②当∠BEF=90°时；同①可求得BE=0.5cm ，此时AE=AB-BE=3.5cm ；∴E 点运动的距离为：3.5cm 或4.5cm ，故t=1.75s 或2.25s ；综上所述，当t 的值为1、1.75或2.25s 时，△BEF 是直角三角形．故选D ．3.【答案】D.【解析】（1）如图1，当点N 在AD 上运动时， s=AM•AN=×t×3t=t 2．（2）如图2，当点N 在CD 上运动时， s=AM•AD=t×1=t ．（3）如图3，当点N 在BC 上运动时， s=AM•BN=×t×（3﹣3t ）=﹣t 2+t综上可得，能大致反映s 与t 的函数关系的图象是选项D 中的图象．故选：D ．二、填空题4.【答案】（1）332；（2）0， 32；【解析】（1）由题意知，当AB 为梯形的底时，AB ∥PQ ，即PQ ⊥y 轴，又△APQ 为等边三角形，AC ＝2，由几何关系知，点P 的横坐标是332.（2）当AB 为梯形的腰时，当PB ∥y 轴时，满足题意，此时AQ=4，由几何关系得，点P 的横坐标是32.5.【答案】4；【解析】由折叠可知∠BAE=∠CAE ，因为AE=EC 所以∠CAE=∠ACE ，所以∠BAE=∠CAE=∠ACE ， 三角的和为90°，所以∠ACE=30°，所以AC=2AB=4.6.【答案】①②③．【解析】①正确．因为AB=AD=AF ，AG=AG ，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG ≌△AFG ；②正确．因为：EF=DE=CD=2，设BG=FG=x ，则CG=6﹣x ．在直角△ECG 中，根据勾股定理，得（6﹣x ）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC ；③正确．因为CG=BG=GF ，所以△FGC 是等腰三角形，∠GFC=∠GCF ．又∠AGB=∠AGF ，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF ，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF ，∴AG ∥CF ；④错误．过F 作FH ⊥DC ，∵BC ⊥DH ，∴FH ∥GC ，∴△EFH ∽△EGC ，∴=， EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH ∽△EGC ，∴相似比为：==，∴S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC =×3×4﹣×4×（ ×3）=≠3． 故答案为：①②③．三、解答题7．【答案与解析】(1)如图所示建立平面直角坐标系．(2)如图画出点C ，C(-1，1)．△ABC 的周长是22210+．(3)如图画出△A ′B ′C ，四边形ABA ′B ′是矩形．理由：∵CA ＝CA ′，CB ＝CB ′，∴四边形ABA ′B ′是平行四边形.又∵CA ＝CB ，∴CA ＝CA ′＝CB ＝CB ′．∴AA ′＝BB ′．∴四边形ABA ′B ′是矩形．8．【答案与解析】解：(1)同意．如图所示，设AD 与EF 交于点G ．由折叠知，AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD ．又由折叠知，∠AGE ＝∠AGF ＝90°，所以∠AEF ＝∠AFE ，所以AE ＝AF ，即△AEF 为等腰三角形．(2)由折叠知，四边形ABFE 是正方形∠AEB ＝45°，所以∠BED ＝135°．又由折叠知，∠BEG ＝∠DEG ，所以∠DEG ＝67.5°．从而∠α＝90°-67.5°＝22.5°．9．【答案与解析】解：(1)①连接DB ，利用△BMD ≌△CND 或△ADM ∽△BDN 即可证明DM ＝DN ． ②由△BMD ≌△CND 知，BMD CND S S =△△，∴1124DBN DMB DBN DNC ABC DMBNS S S S S S=+=+==△△△△△四边形．即在直角三角板DEF旋转过程中，四边形DMBN的面积始终等于14，不发生变化．(2)连接DB，由△BMD≌△CND可证明DM＝DN，即DM＝DN仍然成立．(3)连接DB．由△BMD≌△CND，可证明DM＝ND仍成立．10．【答案与解析】解：由菱形的对称性可得，C（2，0），D（0，），∴OD=，OC=2，tan∠DCO==，∵DE⊥DC，∴∠EDO+∠CDO=90°，∵∠DCO+∠CD∠=90°，∴∠EDO=∠DCO，∵tan∠EDO=tan∠DCO=，∴，∴OE=，∴E（﹣，0），∴D（0，），∴直线DE解析式为y=2x+，（2）由（1）得E（﹣，0），∴AE=AO﹣OE=2﹣=，根据勾股定理得，DE==，∴菱形的边长为5，如图1，过点E作EF⊥AD，∴sin∠DAO=，∴EF==，当点P在AD边上运动，即0≤t＜，S=PD×EF=×（5﹣2t）×=﹣t+，如图2，点P在DC边上运动时，即＜t≤5时，S=PD×DE=×（2t﹣5）×=t﹣；∴S=，（3）设BP与AC相交于点Q，在菱形ABCD中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，∴DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°，∴∠DCB+∠ADE=90°，∴要使∠EPD+∠DCB=90°，∴∠EPD=∠ADE，当点P在AD上运动时，如图3，∵∠EPD=∠ADE，∴EF垂直平分线PD，∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2，∴2t=5﹣，∴t=，此时AP=1，∵AP∥BC，∴△APQ∽△CBQ，∴，∴，∴，∴AQ=，∴OQ=OA﹣AQ=，在Rt△OBQ中，tan∠OQB===，当点P在DC上运动时，如图4，∵∠EPD=∠ADE，∠EDP=∠EFD=90°∴△EDP∽△EFD，∴，∴DP===，∴2t=AD﹣DP=5+，∴t=，此时CP=DC﹣DP=5﹣=，∵PC∥AB，∴△CPQ∽△ABQ，∴，∴，∴，∴CQ=，∴OQ=OC﹣CQ=2﹣=，在Rt△OBD中，tan∠OQB===1，即：当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为．当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1．。
通用版2019年中考数学冲刺：动手操作与运动变换型问题--巩固练习(基础)
中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90° ，AC=BC=6cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′.设Q 点运动的时间t 秒，若四边形QPCP 为菱形，则t 的值为（ ）. A. 2 B. 2 C. 22 D.32．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC=60°.若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A →B →A 的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t ＜3)，连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为（ ）. A. 47 B. 1 C. 47或1 D. 47或1或493. （2015•盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD ，点M 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点N 从点A 出发以每秒3个单位长度的速度沿A →D →C →B 的路径向点B 运动，当一个点到达点B 时，另一个点也随之停止运动，设△AMN 的面积为s ，运动时间为t 秒，则能大致反映s 与t 的函数关系的图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．二、填空题4．如图,已知点A （0,2）、B （23,2）、C (0,4),过点C 向右作平行于x 轴的射线,点P 是射线上的动点,连结AP ,以AP 为边在其左侧作等边△APQ ,连结PB 、BA .若四边形ABPQ 为梯形,则（1）当AB 为梯形的底时,点P的横坐标是；（2）当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是 .5．如图，矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是 .6. （2016•东河区二模）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S △FGC=3．其中正确结论的是．三、解答题7．如图所示是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中，按下列要求操作：(1)请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(-4，2)；(2)在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点的坐标是________，△ABC的周长是________ (结果保留根号)；(3)画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形ABA B''是何特殊四边形，并说明理由．8. (1)观察与发现小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．(2)实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG(如图④)；再展平纸片(如图⑤)．求图⑤中∠α的大小．9. 如图(1)，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角形板DEF绕D点按逆时针方向旋转．(1)在图(1)中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明：DM＝ND；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图(2)所示的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图(3)所示的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请写出结论，不用证明．10. （2016•绵阳）如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动，设△PDE的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒．（1）求直线DE的解析式；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】连接PP′交BC于点D，若四边形QPCP为菱形，则PP′⊥BC，CD＝12CQ=12（6-t），∴BD=6-12（6-t）=3+12t.在Rt△BPD中，PB=AB-AP=62-2t，而PB=2BD，∴62-2t=2（3+12t），解得：t=2，故选B.2.【答案】D；【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；∴AB=2BC=4cm.①当∠BFE=90°时；Rt△BEF中，∠ABC=60°，则BE=2BF=2cm；故此时AE=AB-BE=2cm；∴E点运动的距离为：2cm或6cm，故t=1s或3s；由于0≤t＜3，故t=3s不合题意，舍去；所以当∠BFE=90°时，t=1s；②当∠BEF=90°时；同①可求得BE=0.5cm，此时AE=AB-BE=3.5cm；∴E点运动的距离为：3.5cm或4.5cm，故t=1.75s 或2.25s；综上所述，当t的值为1、1.75或2.25s时，△BEF是直角三角形．故选D．3.【答案】D.【解析】（1）如图1，当点N在AD上运动时，s=AM•AN=×t×3t=t2．（2）如图2，当点N在CD上运动时，s=AM•AD=t×1=t．（3）如图3，当点N在BC上运动时，s=AM•BN=×t×（3﹣3t）=﹣t2+t综上可得，能大致反映s与t的函数关系的图象是选项D中的图象．故选：D．二、填空题4.【答案】（1）332；（2）0， 32； 【解析】（1）由题意知，当AB 为梯形的底时，AB ∥PQ ，即PQ ⊥y 轴，又△APQ 为等边三角形，AC ＝2，由几何关系知，点P 的横坐标是332.（2）当AB 为梯形的腰时，当PB ∥y 轴时，满足题意，此时AQ=4，由几何关系得，点P 的横坐标是32.5.【答案】4； 【解析】由折叠可知∠BAE=∠CAE ，因为AE=EC 所以∠CAE=∠ACE ，所以∠BAE=∠CAE=∠ACE ， 三角的和为90°，所以∠ACE=30°，所以AC=2AB=4.6.【答案】①②③．【解析】①正确．因为AB=AD=AF ，AG=AG ，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG ≌△AFG ；②正确．因为：EF=DE=CD=2，设BG=FG=x ，则CG=6﹣x ．在直角△ECG 中，根据勾股定理，得（6﹣x ）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC ；③正确．因为CG=BG=GF ，所以△FGC 是等腰三角形，∠GFC=∠GCF ．又∠AGB=∠AGF ，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF ，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF ，∴AG ∥CF ；④错误．过F 作FH ⊥DC ，∵BC ⊥DH ，∴FH ∥GC ，∴△EFH ∽△EGC ，∴=， EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH ∽△EGC ，∴相似比为：==，∴S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC =×3×4﹣×4×（ ×3）=≠3． 故答案为：①②③．三、解答题7．【答案与解析】(1)如图所示建立平面直角坐标系．．(2)如图画出点C，C(-1，1)．△ABC的周长是22210(3)如图画出△A′B′C，四边形ABA′B′是矩形．理由：∵CA＝CA′，CB＝CB′，∴四边形ABA′B′是平行四边形.又∵CA＝CB，∴CA＝CA′＝CB＝CB′．∴AA′＝BB′．∴四边形ABA′B′是矩形．8．【答案与解析】解：(1)同意．如图所示，设AD与EF交于点G．由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD．又由折叠知，∠AGE＝∠AGF＝90°，所以∠AEF＝∠AFE，所以AE＝AF，即△AEF为等腰三角形．(2)由折叠知，四边形ABFE是正方形∠AEB＝45°，所以∠BED＝135°．又由折叠知，∠BEG＝∠DEG，所以∠DEG＝67.5°．从而∠α＝90°-67.5°＝22.5°．9．【答案与解析】解：(1)①连接DB ，利用△BMD ≌△CND 或△ADM ∽△BDN 即可证明DM ＝DN ． ②由△BMD ≌△CND 知，BMD CND S S =△△， ∴1124DBN DMB DBN DNC ABC DMBN S S S S S S =+=+==△△△△△四边形． 即在直角三角板DEF 旋转过程中，四边形DMBN 的面积始终等于14，不发生变化．(2)连接DB ，由△BMD ≌△CND 可证明DM ＝DN ，即DM ＝DN 仍然成立．(3)连接DB ．由△BMD ≌△CND ，可证明DM ＝ND 仍成立．10．【答案与解析】解：由菱形的对称性可得，C （2，0），D （0，）， ∴OD=，OC=2，tan ∠DCO==， ∵DE ⊥DC ，∴∠EDO+∠CDO=90°，∵∠DCO+∠CD ∠=90°，∴∠EDO=∠DCO ，∵tan ∠EDO=tan ∠DCO=， ∴， ∴OE=， ∴E （﹣，0）， ∴D （0，），∴直线DE 解析式为y=2x+，（2）由（1）得E（﹣，0），∴AE=AO﹣OE=2﹣=，根据勾股定理得，DE==，∴菱形的边长为5，如图1，过点E作EF⊥AD，∴sin∠DAO=，∴EF==，当点P在AD边上运动，即0≤t＜，S=PD×EF=×（5﹣2t）×=﹣t+，如图2，点P在DC边上运动时，即＜t≤5时，S=PD×DE=×（2t﹣5）×=t﹣；∴S=，（3）设BP与AC相交于点Q，在菱形ABCD中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，∴DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°，∴∠DCB+∠ADE=90°，∴要使∠EPD+∠DCB=90°，∴∠EPD=∠ADE，当点P在AD上运动时，如图3，∵∠EPD=∠ADE，∴EF垂直平分线PD，∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2，∴2t=5﹣，∴t=，此时AP=1，∵AP∥BC，∴△APQ∽△CBQ，∴，∴，∴，∴AQ=，∴OQ=OA﹣AQ=，在Rt△OBQ中，tan∠OQB===，当点P在DC上运动时，如图4，11 ∵∠EPD=∠ADE，∠EDP=∠EFD=90°∴△EDP∽△EFD，∴，∴DP===，∴2t=AD﹣DP=5+，∴t=，此时CP=DC﹣DP=5﹣=，∵PC∥AB，∴△CPQ∽△ABQ，∴，∴，∴，∴CQ=，∴OQ=OC﹣CQ=2﹣=，在Rt△OBD中，tan∠OQB===1，即：当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC 所夹锐角的正切值为．当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1．。
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中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2015春•抚州期末）将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个圆形小洞后展开铺平得到的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．2. （2016•邢台校级三模）一张正方形的纸片，如图1进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和是多少度？（ ）A ．1080°B ．360°C ．180°D ．900°3. 如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的B ′处.得到Rt △AB ′E （图乙），再延长EB ′交AD 于F ，所得到的△EAF 是（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则CE 的长是（ ）A 、10315-B 、1053-C 、535-D 、20103-二、填空题5.如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形．对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：．6．如图,△ABC中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB=22,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F ,连接EF,则线段EF长度的最小值为___________7．（2015•太仓市模拟）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm．动点Q从点B出发，以1cm/S的速度沿BC运动到点C停止，同时，动点P也从B点出发，沿折线B→A→D运动到点D停止，且PQ⊥BC．设运动时间为t（s），点P运动的路程为y（cm），在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE和EF（如图②）．已知点M（4，5）在线段OE上，则图①中AB的长是cm．三、解答题8．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图(1)所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图(2)所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点D旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图(3)所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图(3)中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可)；(2)如图(4)，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图(4)中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果)．9. 如图(a)，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……．已知标准纸的短边长为a．(1)如图(b)，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF；则AD:AB的值是________，AD，AB的长分别是________，________；(2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；(3)如图(c)，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的4个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；(4)已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．10. 操作与探究(1)图(a)是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按图中方法折叠，点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；(2)再将图(b)中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图(b))．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图(c)中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图(c)中画出折痕；(3)请你在图(d)的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；(4)有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足什么条件时，一定能折成组合矩形?11.在图1至图5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE 在同一直线上．操作示例：当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所示)，过点F作FM⊥AE于点M(图略)，利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．实践探究：(1)正方形FGCH的面积是________；(用含a、b的式子表示)(2)类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展：小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时，如图所示的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．12. （2016•宿迁）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】由折叠可知，得到的四个圆形小洞一定不在一条直线上，故D不正确；四个圆形小洞不靠近原正方形的四个角，所以A不正确；选项C的位置也不符合原题意的要求，故只有B是按要求得到的．故选B．2.【答案】A；【解析】展开图的这个图形是八边形，故内角和为：（8﹣2）×180°=1080°．3.【答案】B；【解析】证明AE=AF，∠EAF=60°，得△EAF为等边三角形.4.【答案】D.二、填空题5.【答案】答案不唯一．可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．【解析】拼图注意研究重叠的边和有公共点的角，由图可以看出三个下底上的角拼成一个平角，上底和腰相等.6.【答案】3；【解析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=12∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=22，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH= 12∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×32=32，由垂径定理可知EF=2EH=3，故答案为：3 ．7.【答案】10；【解析】解：设OE 的解析式为y=kt ， ∵点M （4，5）， ∴k=，如图，当Q 运动到G 点时，点P 运动到A 点，BQ=t ，AB=，∵AG ⊥BC ，∴四边形ADCG 是矩形， ∴AG=DC=6， ∴AB 2=BG 2+AG 2， ∴（）2=t 2+62，解得：t=8，∴AB=×8=10（cm ）．三、解答题 8．【答案与解析】解：(1)拼接成的平行四边形是ABCD(如图所示)．(2)正确画出图形(如图所示)．平行四边形MNPQ 的面积为25． 9．【答案与解析】解：(1)2，24a ，14a ． (2)相等，比值为2．(3)设DG ＝x ．在矩形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠90°． ∵∠HGF ＝90°，∴∠DHG ＝∠CGF ＝90°－∠DGH ， ∴△HDG ∽△GCF ， ∴12DG HG CF GF ==． ∴CF ＝2DG ＝2x ． 同理∠BEF ＝∠CFG ． ∵EF ＝FG ．∴△FBE ∽△GCF ， ∴BF ＝CG ＝14a x -． ∴12244x a x a +-=． 解得214x a -=，即214DG a -=． (4)2316a ，2271828a -．10．【答案与解析】(1)由对称性可证∠ECB ＝∠B ．(2)如图所示，有3种折法．(3)答案不唯一．只要有一条边与该边上的高相等即可．(4)当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形． 11．【答案与解析】 解：实验探究 (1)22a b +(2)剪拼方法如图(1)(2)(3)．联想拓展能，剪拼方法如图(4)(图中BG ＝DH ＝b )．(注意；图(4)用其他剪拼方法能拼接成面积为22a b 的正方形均可) 12. 【答案与解析】解：（1）如图1中，∵CA=CB ，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵△CEF 是由△CAD 旋转逆时针α得到，α=90°， ∴CB 与CE 重合， ∴∠CBE=∠A=45°， ∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°， ∵BG=AD=BF ， ∴∠BGF=∠BFG=45°，∴∠A=∠BGF=45°， ∴GF ∥AC ．（2）①如图2中，∵CA=CE ，CD=CF ，∴∠CAE=∠CEA ，∠CDF=∠CFD ， ∵∠ACD=∠ECF ， ∴∠ACE=∠DCF ，∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°， ∴∠CAE=∠CDF ，∴A、D、M、C四点共圆，∴∠CMF=∠CAD=45°，∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．∵AD=DB，CA=CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，由①可知A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，∵OA=OC，CD=DA，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴的长==．∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为．。